完全平方公式和平方差公式的应用讲课讲稿
八年级数学上册 《平方差公式》说课稿 人教新课标版
《平方差公式》说课稿一、说教材。
1、说课内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“”（第一课时）。
2、本课在教材中的地位、作用和意义：《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型X例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.3、本节课的教学目标：基于对教材的理解和分析，以学生的学为根本，基于以下目的：1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.3、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.我把本课的目标定位为：（一）知识目标：1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单运算。
（二）能力目标1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力。
2．培养学生观察、归纳、概括的能力。
（三）情感目标：在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。
8.3完全平方公式与平方差公式(第2课时-平方差公式)教案
教学设计8。
3 完全平方公式与平方差公式(第２课时) 平方差公式一、教学背景（一）教材分析平方差公式是在学习了完全平方公式之后又一种特殊形式多项式乘法结果的归纳和总结,将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的。
也是学习因式分解、函数等知识的重要基础；也是考试中考查的重点内容之一.（二)学情分析学生在第8.2节学习了多项式乘以多项式的法则，为推导和掌握平方差公式奠定了基础。
学生在经历完全平方公式推导基础上，初步为学习平方差公式提供了思维方式。
七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础,为推导平方差公式提供了保证。
二、教学目标:1 经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力.2 会推导平方差公式:3 了解平方差公式的几何背景，会应用公式计算。
4 进一步体会转化、数形结合等思想方法.三、重点、难点:重点：体会平方差公式的发现和推导，会用平方差公式进行熟练地计算。
难点:探索平方差公式,并会用几何图形解释公式.四、教学方法分析及学习方法指导教法分析：在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对平方差公式做直观说明，加深学生对公式理解。
学法指导：学习中，让学生主动发现公式,并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上,把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用平方差公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．()()２２ｂ—＝ａｂ—ａａ＋ｂ五、教学过程：(一）情景导入：以前，狡猾的灰太狼，把一块长为a 米的正方形土地租给懒羊羊种植。
今年,他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米,继续租给你，你也没有吃亏,你看如何？"懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏,就答应了.懒羊羊回到羊村,把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了.过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了。
《完全平方公式》一等奖说课稿
《完全平方公式》一等奖说课稿1、《完全平方公式》一等奖说课稿今天我说课的题目是《完全平方公式》，所选用的教材为北师大版义务教育课程标准实验教科书。
根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标，教学方法，教学过程四个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节教材是初中数学七年级下册第一章第八节的内容，是初中数学的重要内容之一。
一方面，这是在学习了整式的加、减、乘、除及平方差公式的基础上，对多项式乘法的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。
鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养，从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了多项式乘法法则、平方差公式的探索过程，对“完全平方公式”已经有了初步的认识，为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于“完全平方公式” 的理解，（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
3、教学重难点根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：对公式（a+b）2=a2+2ab+b2的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述（学生自己的语言）、几何解释。
难点确定为：从广泛意义上理解完全平方公式的符号含义，培养学生有条理的思考和语言表达能力。
2019年四平方差公式与完全平方公式.ppt
4. 单项式除以单项式的运算法则 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后， 作为商的因式,对于只在被除数里含有的字 母,则连同它的指数作为商的一个因式。
5. 多项式除以单项式的运算法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项分别除以这个单项式，再把所得的商相加， 即：
（am＋bm＋cm）÷m＝am÷m＋bm÷m＋cm÷m
(2)6(a b)5 [1 (a b)2 ] 3
(3)(5x2 y3 4x3 y2 6x) (6x)
(4) 1 x3m y2n x2m1 y2 3 x2m1 y3) (0.5x2m1 y2 )
3
4
3 计算下列各题。
(1)(2a) (x 2 y 3c), (2)( x 2)( y 3) (x 1)( y 2) (3)( x y)(2x 1 y)
2
4、计算下图中阴影部分的面积
2b b
a
1. 单项式乘法法则：单项式与单项式相乘， 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其 余字母连同它的指数不变，作为积式的每一项，再把所得的积 相加。
3. 多项式与多项式相乘乘法法则:先用一个多 项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 项，再把所得的积相加。
课堂练习：
1 计算下列各式。
(1)(5x3) (2x2 y),(2)(3ab)2 (4b3)
(3)(am )2b (a3b2n ),
(4)( 2 a2bc3) ( 3 c5) (1 ab2c)
3
43
2 计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
四、平方差公式与完全平方公式
２ 完全平方公式： (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
平方差公式与完全平方公式PPT教学课件
宋陵文官石像
宋陵武将石像
宋朝设置“中书门下”
元世祖忽必烈
忽必烈建立元朝后，废除三省， 实行一省制，只设中书省。中书省的长 官为左、右丞相和平章政事，是元代的 宰相。六部也归入中书省。
丞相制度的废除
朱元璋
朱元璋明孝陵神道石兽 （位于南京）
南京皇城午朝门
南京皇城午朝门，即午门，是传达圣旨的地方，也是 对大臣施“廷杖”的地方。原有城楼已毁。
自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉唐宋因之，虽有贤相，然其间 所用者，多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察 院、通政司、大理寺等衙门，分理天下庶务，彼此颉颃，不敢相压。 事皆朝廷总之，所以稳当。以后子孙做皇帝时，并不许立丞相。
——《皇明祖训》
明朝中央集权表
明朝之中央机构分布图
明朝的内阁与清朝的军机处
总面积=a2+
ab+ab+b2.
法二 求
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋 完全平方公式 的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
=( 4a2 – 12ab + 9b2 )
例2、利用乘法公式计算：
(1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
解：( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
平方差公式和完全平方公式 (讲义及答案)
平方差公式和完全平方公式（讲义）➢ 课前预习1. （1）对于多项式(4)x -和多项式(4)x +，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（2）对于多项式(4)x --和多项式(4)x -，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（3）对于多项式()a b c +-和多项式()a b c -+-，完全相同的项是_________，只有符号不同的项是__________．2. 利用幂的运算法则证明22()()a b a b --=+．证明过程如下：[]2222()()(___)(____)__________a b a b --=-+=⋅=即22()()a b a b --=+请你参照上面的方法证明22()()a b a b -+=-．3. 计算：①()()a b a b +-；②2()a b +；③2()a b -．➢ 知识点睛1. 平方差公式：___________________________．2. 完全平方公式：_________________________；_________________________．口诀：首平方、尾平方，二倍乘积放中央．➢ 精讲精练1. 填空：①22(4)(4)( )( )x x -+=-=_________；②22(32)(32)( )( )a b a b +-=-=__________； ③22()()( )( )m n m n ---=-=_____________； ④112244x y x y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=_______-_______=___________； ⑤()() n n a b a b +-=_______-_______=__________；⑥22(33)(33)( )( )a b a b +++-=-；⑦22(33)(33) ( )( )a b a b -++-=-；⑧(m +n )(m -n )(m 2+n 2)=( )(m 2+n 2)=( )2-( )2=_______； ⑨22(23)( )49x y x y +=-；⑩22(3)( )9x y y x +=-．2. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．(4x -3y )(-3y -4x )B ．(2x 2-y 2)(2x 2+y 2)C ．(a +b )(-b +a )D ．(-x +y )(x -y ) 3. 计算：①(8)(8)ab ab +-；②(34)(34)x y x y -+--；③112233a b b a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ④22(2)(2)(4)a b a b a b -++；⑤10397⨯；⑥2201920182020-⨯．4. ①222(25)( )2( )( )( )x y +=++=_____________； ②22211( )2( )( )( )32m ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭___________；③212mn n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________________=_____________； ④22()( )x y -+==________________；⑤22()( )m n --==________________；⑥2(34)x y -+=2()=_____________________； ⑦2142x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2()=____________________；⑧224x y ++_________2(2)x y =-．5. 下列二次三项式是完全平方式的是（ ）A ．2816x x --B ．2816x x ++C ．2416x x --D ．2416x x ++6. 下列各式一定成立的是（ ） A ．222(2)42a b a ab b -=-+B ．222()x y x y +=+C ．2221124a b a ab b ⎛⎫--=++ ⎪⎝⎭D ．22()()x y x y x y --+=- 7. 计算：①2(21)t --；②22(2)4m n n +-；③2()a b c --； ④2102．8. 运用乘法公式计算：①2(2)4()()x y x y x y --+-；②()()()()a b a b a b a b --+----；③(23)(23)x y x y +--+；④()()a b c a b c -+---；⑤3()a b +；⑥()()a b c a b c -+--+；⑦2210298-；⑧2222(1)(1)n n +--．9. 若222(3)x y ax bxy y -=++，则a =______，b =_________．10. 若2222(2)4x y a x xy y -=-+，则a =______．11. 若222()816x ky x xy y -=++，则k =______．12. 若222()96ax y x xy y +=-+，则a =______．【参考答案】➢ 课前预习1．（1）x ；4，-4；（2）-4；x ，x -；（3）b -c ；a ，-a2．-1；a b +； 2()a b +；证明略3．①22a b -；②222a ab b ++；③222a ab b -+ ➢ 知识点睛1. 22()()a b a b a b +-=-2. 222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+ ➢ 精讲精练1. ①x ；4；216x -；②3a ；2b ；2294a b -；③n -；m ；22n m -；④2(2)y -；214x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；221416y x -； ⑤ 2()n a ；2b ；22n a b -； ⑥3a b +；3；⑦3a ；3b -；⑧22m n -；2m ；2n ；44m n -；⑨23x y -；⑩3y x -2. D3. ①2264a b -；②22916x y -； ③22149b a -；④4416a b -； ⑤9 991；⑥14. ①2x ；2x ；5y ；5y ；2242025x xy y ++； ②13m ；13m ；12；12；2111934m m -+； ③2211()2()22mn mn n n -⋅⋅+；222214m n mn n -+； ④x y -；222x xy y -+；⑤m n +；222m mn n ++；⑥3x -4y ；2292416x xy y -+； ⑦142x y +；2211644x xy y ++；⑧(4)xy -5. B6. C7. ①2441t t ++；②24m mn +；③222222a b c ab ac bc ++--+；④10 4048. ①245xy y -+；②222ab b -；③224129x y y -+-；④2222c a ab b -+-；⑤332233a b a b ab +++； ⑥222222a ab b ac bc c -+--+-； ⑦800；⑧24n9. 9；-610. ±211. -412. -3。
完全平方公式与平方差公式(第2课时平方差公式)教案
教学设计8.3完全平方公式与平方差公式（第２课时）平方差公式一、教学背景（一）教材分析平方差公式是在学习了完全平方公式之后又一种特殊形式多项式乘法结果的归纳和总结，将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的.也是学习因式分解、函数等知识的重要基础；也是考试中考查的重点内容之一. （二）学情分析学生在第 8.2 节学习了多项式乘以多项式的法则，为推导和掌握平方差公式奠定了基础 .学生在经历完全平方公式推导基础上，初步为学习平方差公式提供了思维方式 . 七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础，为推导平方差公式提供了保证.二、教学目标：1 经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力.2 会推导平方差公式：２２ａ＋ｂａ—ｂ＝ａ—ｂ3 了解平方差公式的几何背景，会应用公式计算.4 进一步体会转化、数形结合等思想方法.三、重点、难点：重点：体会平方差公式的发现和推导，会用平方差公式进行熟练地计算.难点：探索平方差公式，并会用几何图形解释公式.四、教学方法分析及学习方法指导教法分析：在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对平方差公式做直观说明，加深学生对公式理解。
学法指导：学习中，让学生主动发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上，把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用平方差公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．五、教学过程：（一）情景导入：以前，狡猾的灰太狼，把一块长为 a 米的正方形土地租给懒羊羊种植 . 今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少 4 米，另一边增加 4 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了. 懒羊羊回到羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了 . 过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了 . 这是为什么呢？（先独立思考，后小组讨论，列出算式）设计意图：创设情境 ,通过以学生较为熟悉动画人物,让学生探索问题中的关系 ,激发学生求知欲望 .（二）知识回顾：1完全平方公式2多项式与多项式的乘法法则是什么？（三）探究新知：1由多项式乘法，计算下列各题：（ 1） 3m 13m 1（ 2）(2) x2y x2y解：1)(2)( x2y)( x2y)(1)(3m 1)(3m3m 3m 3m 1 1 3m 1 1x2x2x2 y yx2y y9m2 1x4y22 你能得到 a b a b 的计算公式吗？(a b)(a b)a a a b a b b b a2b2设计意图：利用多项式乘法推导平方差公式,让学生探索问题中发现公式特征 ,培养学生学习兴趣 .平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.3 在边长为 a 的大正方形中，割去一个边长为 b 的小正方形 . 小明想将剩下的黄色部分分割后拼成一个长方形，他能拼成功吗 ?a baa-ba abbba b a b a2b2注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式．思考：(1)( a b)( a b)(b a)(b a)b2a2(2)( a b)(b a)(a b)(a b)a2b2(3)( a b)( a b) (a)2b2a2b2(4)( a b)(a b)(b a)(b a)( b) 2a2b2a2设计意图：联系实际生活,渗透数形结合的思想 ,让学生形象直观的感受平方差公式的构成 .并分类总结 ,使学生更容易理解和掌握.（四）合作学习：例 2利用乘法公式计算：(1)1999 2001 (2)( x 3)(x 3)( x29)解：(1)19992001 (2000 1)(2000 1)(2)(x 3)(x 3)(x2 9) (x2 9)(x2 9)2481=x=20001=39999设计意图：通过合作学习 , 进一步理解掌握平方差公式,并让学生认清解题应规范 , 使学生注重良好学习习惯的培养.（五）自主学习 :1 按要求填写下面的表格 .(a b)( a b) a2b2算式与平方差公式中对应的项a与平方差公式中对应的项b写成“a2-b2 ”的形式(2-3x)(2+3x)(-2m+3n)(2m+3n)2下列计算对不对？如果不对，怎样改正？(1) x 6 x 6x26(2) 2a2 b 2a2b2a4b4 3利用乘法公式计算：(1)(2a 5b)(2a 5b) (2)( 1x 3)(1x3) 2 2(3)( y 2x)( 2x y) (4)( xy 1)(xy 1) (5)598 602(6)9992设计意图：通过自主学习，让学生体验成功的喜悦和探索的乐趣，增强自信心 .（六）课堂小结：这节课你有哪些收获？我们一起来分享一下吧！设计意图：通过小结，让学生谈收获及注意的问题，让学生认识自我，增强自信心 .（七）布置作业 :1必做：课本 71 页习题 8.3 ：第 2、4、5、6 题2选做：你能用右图中图形面积割补的方法，说明平方差公式吗？abba板书设计：8.1 平方差公式平方差公式：例2.. 3.计算a b a b a2b2两数和与这两数差的积等于这两数的平方差 .预设反思：本节课从多项式的乘法法则得到平方差公式引入新课，通过学生的合作交流得出平方差公式, 培养了学生归纳总结和数形结合的思想 . 要求学生能熟练掌握这些公式，并能运用它进行计算 .随着新课的进行、问题的提出，学生在教师的引导下充分经历观察、比较、交流、反思、发现问题过程，积极参与教学中；通过从一般到特殊、数形结合等思维活动、不断激起学生的“兴奋点” ，让学生体会到探索的艰辛，也体会到成功喜悦，发挥教师是学生学习的“促进者”的作用。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
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完全平方公式和平方差公式的应用完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。
公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 . 。
公式结构特点：左边： 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=一、计算下列各题：1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972三、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +-（3）()()2()x y x y x y --+- 四、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高1、若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
2、 若k x x ++22是完全平方式，求k 值。
3、已知13a a +=，求221a a +的值巧用平方差公式解题平方差公式 22))((b a b a b a -=-+ 用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。
在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例1、计算：22)111049()11150(- 解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将a 看作11150，将b 看作111049，逆用平方差公式，则问题化繁为简，事半功倍22)111049()11150(-=11200112100)11104911150)(11104911150(=⨯=-+ 例2、计算：1.1009.991002⨯-解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将1.1009.99⨯变形为)1.0100)(1.0100(+-，再运用平方差公式，则问题迅速获解1.1009.991002⨯-=01.0)1.0100(100)1.0100)(1.0100(1002222=--=+--例3、计算：2200720052006222-+ 解析：直接计算，数值较大，可先将分母22007200522-+变形为)12007()12005(22-+-，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解原式=)12007)(12007()12005)(12005(2006)12007()12005(20062222-++-+=-+-212006200622006)20082004(2006200620082006200420062006222=⨯⨯=+⨯=⨯+⨯例4、计算：)1011()411)(311)(211(2222---- 解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(+-+-+-+-=20111011211011109454334322321=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例5、试确定1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。
原式=1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(643216842++++++++- =1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(6432168422+++++++- =1)13)(13)(13)(13)(13)(13(643216844++++++-=1)13)(13(6464++-= =3232412812881)3(3113===+- 因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1所以1)13)(13)(13)(13)(13)(13)(13(2643216842++++++++未位数是1计算：（1）、1.109.9⨯ （2）、2007200520062⨯- （3）、229.91.10-（4）、试确定1)12)(12)(12)(12)(12)(12)(12(643216842++++++++的未位数 完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式（1）ab b a b a 4)()(22+-=+ （2）ab b a b a 2)(222 ±=+（3）)(2)()(2222b a b a b a +=-++ （4）)()(2222b a b a ab +-+=（5）2)1(1222-+=+a a a a 二、完全平方公式变形的应用 例1 已知216,8c ab ba +==+，求2008)(cb a +-的值。
解：由变式（1）得：222224)16(484)()(c c ab b a b a -=+-=-+=-所以04)(22=+-c b a 所以0,0==-c b a所以0)(2008=+-c b a 例2 已知2222,3)(,7)(y x y x y x +=-=+求的值。
解：由变式（3）得： 52372)()(2222=+=-++=+y x y x y x 例3 已知,2,122=+=+y x y x 求44y x +的值。
解：由变式（4）得：)()(2222y x y x xy +-+= 212-=1-= 所以21-=xy 再由变式（2）得：22222442)(y x y x y x -+=+ 22)21(22-⨯-= 214-= 27= 例4 已知0132=++x x ，求441xx +的值。
解：由题意知0≠x在0132=++x x 的两边都乘以x1得： 31-=+x x 由变式（5）得： 72)3(2)1(12222=--=-+=+x x xx 47272)1(1222244=-=-+=+x x x x例1 若,x y 为有理数，且满足22312120xy y +-+=，求x y 的值． 分析：欲求x y 的值，须求出,x y 的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．解：22312120x y y +-+=，223(44)0x y y +-+=，223(2)0x y +-=，∵220,(2)0xy -≥≥，∴220,(2)0x y =-=，即0,2x y ==， ∴x y =20=1．例2 已知2,5a b b c -=--=，求222a b c ab bc ac ++---的值．分析：显然，本题若按一般方法，即先求出,,a b c 的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．解：∵ 2,5a b b c -=--=，∴3a c -=，∴222ab c ab bc ac ++---=2221(222222)2a b c ab bc ac ++--- =()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦ =()22212532⎡⎤-++⎣⎦=19． 例3 试说明不论,x y 为何值时,代数式224614xy x y ++-+的值总是正数. 分析：本题实质就是证明2246140x y x y ++-+>.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．解: 224614xy x y ++-+ =2244691x x y y +++-++=22(2)(3)1x y ++-+∵2(2)x +≥0,2(3)y -≥0, ∴22(2)(3)1x y ++-+>0.即代数式224614x y x y ++-+的值总是正数.平方差公式专项练习题A 卷：基础题一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题9．利用平方差公式计算：2023×2113．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．B卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3=3a 6B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3D ．（－13a －4b ）（13a －4b ）=16b 2－19a 2 6．计算：（a+1）（a －1）=______．C 卷：课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3，（1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=______．（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）．③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a －b ）（a+b ）=_______．②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有: ab b a b a 2)(222-+=+ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。