几何造型方法
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4.4实体模型
实体模型是把封闭的空间作为实体，将其完整的几何和拓 扑信息存储在计算机中。实体模型不仅记录全部的几何信 息，而且还记录了所有的点、线、面、体的拓扑信息，这 是实体模型与线框模型及曲面模型的本质区别。 实体模型在数据结构中增加了体的概念，与其计算机内部 描述（数据结构）相对应，可分成边界表示法（B-Rep）和 构造实体几何法（CSG）。 实体模型可以在计算机内部对几何物体进行唯一的、无冲 突的和完整的描述。 实体模型可以通过接口为其他应用提供关于物体完整的计 算机内部描述，因此计算机辅助设计过程可以完全自动化。 从数据的通用性来看，通过程序应用，整个产品生产过程 都可以得到辅助。
19
由于缺乏表面信息，消隐工作不能够自动进行，而 必须采用费时费力的交互方式来完成。 由于描述棱边的信息量较少，因此难以保证几何物
体的描述没有错误。
在商业化CAD系统中实际上已不再采用线框建模。
然而作为一种表示形式，线框模型常常被用作为表
面模型和实体模型的基础。
20
4.3曲面模型
曲面模型是把由高级曲线构成的封闭区域作为一 个整体，从而创建曲面模型。常见的曲面模型有 贝赛尔曲面、样条曲面、NURBS曲面等。 在曲面的造型系统中，曲面的生成方法有：利用 轮廓直接生成的，如各种扫描曲面等，称其为基 本曲面；在现有的曲面基础上生成曲面，如复制 等，称为派生曲面；利用空间曲线自由生成曲面， 称为自由曲面。
空间中可以构成一个单连通域。我们把满足这个要求的形体
就称之为正则形体，否则称为非正则形体。通常，正则形体 不能有悬边、悬线等等，因为那样的形体在现实生活中是不 存在的，所以是不正确的。
34
基于正则形体表示的实体造型系统只能表示正则的三维实体，低于三 维的形体是不能存在的。因此，线框模型中的“线”和表面模型中的“面” 都是这类实体造型系统中所不能表示的。但在实际应用中，有时候我们希 望在系统中也能处理象中心线、基准面和剖切平面等等这样一些低于三维
24
实体模型的特点是设计者可以采用许多不同的生 成技术，以计算机内部的数据结构为条件，在较 高的几何层面上进行工作。 如面向表面的建模技术和面向实体的建模技术。 与其他模型相比，实体CAD系统为交互生成几何 模型提供了多种多样的输入方法，这些方法的应 用在很大程度上取决于应用界面的质量。
25
Geometry）
由两个实体间的并、交或差操作生成新的实体。
A B
A B
A B
(a)A,B形体的并
(b)A,B形体的差
(c)A,B形体的交
图4-26 构造几何实体法生成三维实体
27
有重叠部分的一个长方体 和一个柱体
交
差
28
在构造实体几何法中，集合运算的实现过程可以用 一棵二叉树（称为CSG树）来描述： • 树的叶子
Topology（拓扑信息）
描述形体的几何元素性质和度量关系，如位置、大小、方向、 尺寸、形状等信息犹如附着在“骨架”上的肌肉。
3
表示形体的基本几何元素 ：
顶点（Vertex） 边（Edge） 面（Face） 环（Loop） 体（Body）
4
4.1.1 几何信息
5
4.1.2. 拓朴信息
4.4.1 几何体素构造法（CSG）
构造实体几何表示 constructive solid gemetry，简称CSG 采用单一的“建筑块”形式的实体造型方法， 由两个物体的正则集合操作生成新的物体 并（union） 交（intersection） 差（difference）
26
构 造 实 体 几 何 法 （ CSG ， Constructive Solid
23
实体建模的主要目标在于为生产过程提供数据库。 这个数据库不仅存储几何信息，而且还以集成的 产品模型的形式存储开发过程中所有收集到的信 息，并且提供给尽可能大的应用范围和后续过程 使用。 其中绘制图纸就是一个后续应用，它占了设计时 间的很大一部分。不同的视图可以直接用现存的 实体模型来产生，截面生成和消隐之类的处理可 以半自动地进行。
15
线框模型存在着几个缺陷：
二义性
16
容易构造出无效形体
(a)有效形体 (b)无效形体 图4-15 线框模型表示的三维形体
17
不能正确表示曲面信息。
线框模型表示 不出轮廓线
图4-16线框模型无法表示轮廓线
18
特点:
• 线框模型中一个物体的描述是通过顶点和与之相连
的边来产生的。 • 在线框模型中，没有面和体的概念，无法区别物体 的内部和外部，断面不可能被表示，更无法采用连 接许多简单的几何对象的方式来构造复杂的零件。
术应满足以下要求：
1)建模系统应具备信息描述的完整性； 2)建模技术应贯穿产品生命周期的整个过程；
3)建模技术应为企业信息集成创造条件。
13
4.2线框模型
定义：线框建模是利用基本线素来定义设计目标的棱线
部分而构成的立体框架图。线框建模生成的实体模型是
由一系列的直线、圆弧、点及自由曲线组成，描述的是 产品的轮廓外形。在计算机内部生成三维映像，还可实 现视图变换及空间尺寸的协调。 线框建模的优缺点：
35
正则形体与非正则形体：
要保证几何造型的可靠性和可加工性，形体上任意一点的足够小的邻 域在拓扑上必须是一个等价的封闭圆，即该点的邻域在二维空间中是 一个单连通域（在整个区域里面， 所有简单的环路不相交而且共心， 简单来说就是同轮封闭曲线 ） 点至少和三个面（或三条边）邻接，不允许存在孤立点 边只有两个邻面，不允许存在悬边 面是形体表面的一部分，不允许存在悬面
• 树的非终端结点
• 二叉树根结点
29
将构造实体的过程表示成一棵二叉树，称为CSG树
叶节点----基本体素，如立方体、圆柱体、圆环、锥体、球体等 中间节点----并、交、差正则集合运算
U*
—*
—*
U*
30
优点
表示简单、直观，无二义性 数据量比较小，内部数据的管理比较容易 形体形状容易被修改 可用作图形输入的一种手段 容易计算物体的整体性质 物体的有效性自动得到保证
维模型分为线框模型、表面模型和实体模型。
2
4.1 概述
几何模型是由几何信息和拓扑信息构成的模型，为图形的 显示和输出提供信息，并且作为设计的基础，为分析、模 拟、加工等提供信息。
描述形体的信息：
Geometry（几何信息）
描述形体的几何元素（顶点、边、面）之间的连接关系， 形成物体边界表示的“骨架”
v f f f v 面相邻性 f:{f} f f f v 顶点—面相邻性 v:{f} f f 顶点相邻性 v:{v} v e v 边-面相邻性 e:{f} 边-顶点包含性 e:{v} 边相邻性 e:{e:} e e e e e 顶点-边相邻性 v:{e} 面-顶点包含性 f:{v} v v v e e v e v f v e e f e e
9
二、双链三表的数据结构
双链三表结构设置了三个表，即顶点表、 面表和体表。顶点表决定了物体在空间的位 置和大小。而物体的面、边和顶点之间的邻 接关系则由面表来描述。体表存储了该物体 的面号和各个面在面表中的首地址及其属性。
10
双链三表数据结构采用体、面、顶点三个表存储 三维实体的信息。 顶点表描述顶点的坐标，确定了顶点的空间位臵， 即三维物体的空间位臵和大小设臵了前臵指针和 后续指针。 面表描述了用于定义某面的全部顶点号、设有顶 点的前臵指针和后续指针，确定此面与各顶点的 关系。 体表描述物体的表面信息，还设有指向某个面的 前臵指针和后续指针。
左上边 P2 右上边
左外环
e
右外环
左下边 P1
右下边
翼边数据结构
8
优点
精确表示物体 表示覆盖域大，表示能力强 容易确定几何元素间的连接关系，几何变换容易 显式表示点、边、面等几何元素，绘制速度快
缺点
数据结构及其维护数据结构的程序复杂 需大量的存储空间 有效性难以保证
21
特点： 表面模型是用有向棱边围成的部分来定义形体 的表面，表面可以是平面、解析曲面或参数曲 面。表面模型在线框模型的基础上增加了环边 信息、表面特征等。 对表面模型，由于面与面之间没有必然的关系， 形体在面的哪一侧无法给出明确的定义，所描 述的仅是形体的外表面，并没切开物体而展示 其内部结构，因此也就无法表示零件的立体属 性，也无法指出所描述的物体是实心还是空心。 因而在物性计算、有限元分析等应用中表面模 型仍缺乏表示上的完整性。
的“形体”，于是非正则形体造型技术就应运而生。它能够统一表示线框、
表面和实体模型，可以在同一个几何造型系统中存取具有不同维数的几何 元素，并可以对这些几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体
覆盖域。二十世纪九十年代以来，基于约束的参数化造型和特征造型，以
及支持线框、曲面、实体统一表示的非正则形体造型技术已成为几何造型 技术的主流。
来生成。
• 连接操作有：加（并）；减（差）；相交（交）； 补充造型（补）。
它们被称为布尔操作或者集合运算。
• 利用布尔操作生成实体模型时，在空间中确定两个 实体对象（交会或分割）。在调用了相应的连接功 能之后，系统自动执行生成新的几何体的实体模型。
32
• 在进行布尔操作时，操作数的顺序十分重 要。 • 布尔操作用相对较少的输入命令完成复杂 模型的定义，而在用传统的方法花费很大 或者根本不可能实现的情况下，使用布尔 操作就有很大优点。 • 布尔操作的缺点就是要求使用者有相当高 的抽象能力。
P
有悬面
有悬边
一条边有两个以上 的邻面
点P的邻域非单连 通
36
几何元 素 面
正则形体
非正则形体
是形体表面的一部分
可以是形体表面的一 部分，也可以是形体 内的一部分，也可以 与形体相分离。
可以有多个邻面、一 个邻面或没有邻面。 可以与多个面（或边） 邻接，也可以是聚集 体、聚集面、聚集边 或孤立点。
33
早期的几何造型系统有一个共同的特点：它们只支持正
则的形体造型。正则形体集的概念最早是由罗切斯特大学的
Requicha引入造型系统的。为了保证几何造型的可靠性和正 确性，要求形体上的任意一点的充分小的邻域在拓扑上与平 面上的圆盘是同构的，即：在该邻域与圆盘之间存在连续的 一对一的映射关系，围绕该点的形体的充分小的邻域在二维
线框建模的优点：所需信息最少，数据运算简单，所占
存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间 短。
14
线框建模的局限性：几何意义的二义性，即一 个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。
1. 结构体的空间定义缺乏严密性
2. 拓扑关系缺乏有效性 3. 描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物 性计算
缺点
表示物体的CSG树不唯一 受体素种类和对体素操作种类的限制，CSG方法表示形体 的覆盖域有较大的局限性 形体的边界几何元素（点、边、面）隐含地表示在CSG中， 因此，显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间 求交计算麻烦
31
• 不同系统中生成实体模型的方式也多种多样，复杂 的构件通过连接相应的具有大小和定位的基本体素
第4章
几何造型方法
几何模型是CAD系统的核心部分，通常用几何造型方法构
建几何模型。在CAD系统中，对产品设计的操作是在几何
模型的基础上进行操作如生成刀具路径和数控指令，对对 象进行分析模拟以及判断各运动部件之间的运动状态等。 几何造型为设计、计算及制造提供基础信息。 根据模型的数据结构所包含的拓扑元素的不同，可以将三
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建模的基本概念与基本要求 基本概念：建模就是以计算机能够理解的方式，对实体
进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据
结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内 部构造一个实体的模型。 基本要求： 建模技术是系统的核心，建模的过程依赖于 计算机的软硬件环境、是面向产品的创造性过程。建模技
面-边包含性 f:{e}
e
图4-3 平面立体的九种拓扑关系
6Βιβλιοθήκη Baidu
4.1.3常见的数据结构
为提高造型系统的效率，对数据结构要求操 作时间短、存储空间小。对于三维物体造型 系统常见的数据结构有冀边数据结构和双链 三表数据结构。
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一、冀边数据结构是存储与边有关的信息。从已知的边 可以得知与这条边有关的顶点、面、边的信息。
4.4实体模型
实体模型是把封闭的空间作为实体，将其完整的几何和拓 扑信息存储在计算机中。实体模型不仅记录全部的几何信 息，而且还记录了所有的点、线、面、体的拓扑信息，这 是实体模型与线框模型及曲面模型的本质区别。 实体模型在数据结构中增加了体的概念，与其计算机内部 描述（数据结构）相对应，可分成边界表示法（B-Rep）和 构造实体几何法（CSG）。 实体模型可以在计算机内部对几何物体进行唯一的、无冲 突的和完整的描述。 实体模型可以通过接口为其他应用提供关于物体完整的计 算机内部描述，因此计算机辅助设计过程可以完全自动化。 从数据的通用性来看，通过程序应用，整个产品生产过程 都可以得到辅助。
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由于缺乏表面信息，消隐工作不能够自动进行，而 必须采用费时费力的交互方式来完成。 由于描述棱边的信息量较少，因此难以保证几何物
体的描述没有错误。
在商业化CAD系统中实际上已不再采用线框建模。
然而作为一种表示形式，线框模型常常被用作为表
面模型和实体模型的基础。
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4.3曲面模型
曲面模型是把由高级曲线构成的封闭区域作为一 个整体，从而创建曲面模型。常见的曲面模型有 贝赛尔曲面、样条曲面、NURBS曲面等。 在曲面的造型系统中，曲面的生成方法有：利用 轮廓直接生成的，如各种扫描曲面等，称其为基 本曲面；在现有的曲面基础上生成曲面，如复制 等，称为派生曲面；利用空间曲线自由生成曲面， 称为自由曲面。
空间中可以构成一个单连通域。我们把满足这个要求的形体
就称之为正则形体，否则称为非正则形体。通常，正则形体 不能有悬边、悬线等等，因为那样的形体在现实生活中是不 存在的，所以是不正确的。
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基于正则形体表示的实体造型系统只能表示正则的三维实体，低于三 维的形体是不能存在的。因此，线框模型中的“线”和表面模型中的“面” 都是这类实体造型系统中所不能表示的。但在实际应用中，有时候我们希 望在系统中也能处理象中心线、基准面和剖切平面等等这样一些低于三维
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实体模型的特点是设计者可以采用许多不同的生 成技术，以计算机内部的数据结构为条件，在较 高的几何层面上进行工作。 如面向表面的建模技术和面向实体的建模技术。 与其他模型相比，实体CAD系统为交互生成几何 模型提供了多种多样的输入方法，这些方法的应 用在很大程度上取决于应用界面的质量。
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Geometry）
由两个实体间的并、交或差操作生成新的实体。
A B
A B
A B
(a)A,B形体的并
(b)A,B形体的差
(c)A,B形体的交
图4-26 构造几何实体法生成三维实体
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有重叠部分的一个长方体 和一个柱体
交
差
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在构造实体几何法中，集合运算的实现过程可以用 一棵二叉树（称为CSG树）来描述： • 树的叶子
Topology（拓扑信息）
描述形体的几何元素性质和度量关系，如位置、大小、方向、 尺寸、形状等信息犹如附着在“骨架”上的肌肉。
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表示形体的基本几何元素 ：
顶点（Vertex） 边（Edge） 面（Face） 环（Loop） 体（Body）
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4.1.1 几何信息
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4.1.2. 拓朴信息
4.4.1 几何体素构造法（CSG）
构造实体几何表示 constructive solid gemetry，简称CSG 采用单一的“建筑块”形式的实体造型方法， 由两个物体的正则集合操作生成新的物体 并（union） 交（intersection） 差（difference）
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构 造 实 体 几 何 法 （ CSG ， Constructive Solid
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实体建模的主要目标在于为生产过程提供数据库。 这个数据库不仅存储几何信息，而且还以集成的 产品模型的形式存储开发过程中所有收集到的信 息，并且提供给尽可能大的应用范围和后续过程 使用。 其中绘制图纸就是一个后续应用，它占了设计时 间的很大一部分。不同的视图可以直接用现存的 实体模型来产生，截面生成和消隐之类的处理可 以半自动地进行。
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线框模型存在着几个缺陷：
二义性
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容易构造出无效形体
(a)有效形体 (b)无效形体 图4-15 线框模型表示的三维形体
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不能正确表示曲面信息。
线框模型表示 不出轮廓线
图4-16线框模型无法表示轮廓线
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特点:
• 线框模型中一个物体的描述是通过顶点和与之相连
的边来产生的。 • 在线框模型中，没有面和体的概念，无法区别物体 的内部和外部，断面不可能被表示，更无法采用连 接许多简单的几何对象的方式来构造复杂的零件。
术应满足以下要求：
1)建模系统应具备信息描述的完整性； 2)建模技术应贯穿产品生命周期的整个过程；
3)建模技术应为企业信息集成创造条件。
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4.2线框模型
定义：线框建模是利用基本线素来定义设计目标的棱线
部分而构成的立体框架图。线框建模生成的实体模型是
由一系列的直线、圆弧、点及自由曲线组成，描述的是 产品的轮廓外形。在计算机内部生成三维映像，还可实 现视图变换及空间尺寸的协调。 线框建模的优缺点：
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正则形体与非正则形体：
要保证几何造型的可靠性和可加工性，形体上任意一点的足够小的邻 域在拓扑上必须是一个等价的封闭圆，即该点的邻域在二维空间中是 一个单连通域（在整个区域里面， 所有简单的环路不相交而且共心， 简单来说就是同轮封闭曲线 ） 点至少和三个面（或三条边）邻接，不允许存在孤立点 边只有两个邻面，不允许存在悬边 面是形体表面的一部分，不允许存在悬面
• 树的非终端结点
• 二叉树根结点
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将构造实体的过程表示成一棵二叉树，称为CSG树
叶节点----基本体素，如立方体、圆柱体、圆环、锥体、球体等 中间节点----并、交、差正则集合运算
U*
—*
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优点
表示简单、直观，无二义性 数据量比较小，内部数据的管理比较容易 形体形状容易被修改 可用作图形输入的一种手段 容易计算物体的整体性质 物体的有效性自动得到保证
维模型分为线框模型、表面模型和实体模型。
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4.1 概述
几何模型是由几何信息和拓扑信息构成的模型，为图形的 显示和输出提供信息，并且作为设计的基础，为分析、模 拟、加工等提供信息。
描述形体的信息：
Geometry（几何信息）
描述形体的几何元素（顶点、边、面）之间的连接关系， 形成物体边界表示的“骨架”
v f f f v 面相邻性 f:{f} f f f v 顶点—面相邻性 v:{f} f f 顶点相邻性 v:{v} v e v 边-面相邻性 e:{f} 边-顶点包含性 e:{v} 边相邻性 e:{e:} e e e e e 顶点-边相邻性 v:{e} 面-顶点包含性 f:{v} v v v e e v e v f v e e f e e
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二、双链三表的数据结构
双链三表结构设置了三个表，即顶点表、 面表和体表。顶点表决定了物体在空间的位 置和大小。而物体的面、边和顶点之间的邻 接关系则由面表来描述。体表存储了该物体 的面号和各个面在面表中的首地址及其属性。
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双链三表数据结构采用体、面、顶点三个表存储 三维实体的信息。 顶点表描述顶点的坐标，确定了顶点的空间位臵， 即三维物体的空间位臵和大小设臵了前臵指针和 后续指针。 面表描述了用于定义某面的全部顶点号、设有顶 点的前臵指针和后续指针，确定此面与各顶点的 关系。 体表描述物体的表面信息，还设有指向某个面的 前臵指针和后续指针。
左上边 P2 右上边
左外环
e
右外环
左下边 P1
右下边
翼边数据结构
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优点
精确表示物体 表示覆盖域大，表示能力强 容易确定几何元素间的连接关系，几何变换容易 显式表示点、边、面等几何元素，绘制速度快
缺点
数据结构及其维护数据结构的程序复杂 需大量的存储空间 有效性难以保证
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特点： 表面模型是用有向棱边围成的部分来定义形体 的表面，表面可以是平面、解析曲面或参数曲 面。表面模型在线框模型的基础上增加了环边 信息、表面特征等。 对表面模型，由于面与面之间没有必然的关系， 形体在面的哪一侧无法给出明确的定义，所描 述的仅是形体的外表面，并没切开物体而展示 其内部结构，因此也就无法表示零件的立体属 性，也无法指出所描述的物体是实心还是空心。 因而在物性计算、有限元分析等应用中表面模 型仍缺乏表示上的完整性。
的“形体”，于是非正则形体造型技术就应运而生。它能够统一表示线框、
表面和实体模型，可以在同一个几何造型系统中存取具有不同维数的几何 元素，并可以对这些几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体
覆盖域。二十世纪九十年代以来，基于约束的参数化造型和特征造型，以
及支持线框、曲面、实体统一表示的非正则形体造型技术已成为几何造型 技术的主流。
来生成。
• 连接操作有：加（并）；减（差）；相交（交）； 补充造型（补）。
它们被称为布尔操作或者集合运算。
• 利用布尔操作生成实体模型时，在空间中确定两个 实体对象（交会或分割）。在调用了相应的连接功 能之后，系统自动执行生成新的几何体的实体模型。
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• 在进行布尔操作时，操作数的顺序十分重 要。 • 布尔操作用相对较少的输入命令完成复杂 模型的定义，而在用传统的方法花费很大 或者根本不可能实现的情况下，使用布尔 操作就有很大优点。 • 布尔操作的缺点就是要求使用者有相当高 的抽象能力。
P
有悬面
有悬边
一条边有两个以上 的邻面
点P的邻域非单连 通
36
几何元 素 面
正则形体
非正则形体
是形体表面的一部分
可以是形体表面的一 部分，也可以是形体 内的一部分，也可以 与形体相分离。
可以有多个邻面、一 个邻面或没有邻面。 可以与多个面（或边） 邻接，也可以是聚集 体、聚集面、聚集边 或孤立点。
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早期的几何造型系统有一个共同的特点：它们只支持正
则的形体造型。正则形体集的概念最早是由罗切斯特大学的
Requicha引入造型系统的。为了保证几何造型的可靠性和正 确性，要求形体上的任意一点的充分小的邻域在拓扑上与平 面上的圆盘是同构的，即：在该邻域与圆盘之间存在连续的 一对一的映射关系，围绕该点的形体的充分小的邻域在二维
线框建模的优点：所需信息最少，数据运算简单，所占
存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间 短。
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线框建模的局限性：几何意义的二义性，即一 个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。
1. 结构体的空间定义缺乏严密性
2. 拓扑关系缺乏有效性 3. 描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物 性计算
缺点
表示物体的CSG树不唯一 受体素种类和对体素操作种类的限制，CSG方法表示形体 的覆盖域有较大的局限性 形体的边界几何元素（点、边、面）隐含地表示在CSG中， 因此，显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间 求交计算麻烦
31
• 不同系统中生成实体模型的方式也多种多样，复杂 的构件通过连接相应的具有大小和定位的基本体素
第4章
几何造型方法
几何模型是CAD系统的核心部分，通常用几何造型方法构
建几何模型。在CAD系统中，对产品设计的操作是在几何
模型的基础上进行操作如生成刀具路径和数控指令，对对 象进行分析模拟以及判断各运动部件之间的运动状态等。 几何造型为设计、计算及制造提供基础信息。 根据模型的数据结构所包含的拓扑元素的不同，可以将三
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建模的基本概念与基本要求 基本概念：建模就是以计算机能够理解的方式，对实体
进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据
结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内 部构造一个实体的模型。 基本要求： 建模技术是系统的核心，建模的过程依赖于 计算机的软硬件环境、是面向产品的创造性过程。建模技
面-边包含性 f:{e}
e
图4-3 平面立体的九种拓扑关系
6Βιβλιοθήκη Baidu
4.1.3常见的数据结构
为提高造型系统的效率，对数据结构要求操 作时间短、存储空间小。对于三维物体造型 系统常见的数据结构有冀边数据结构和双链 三表数据结构。
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一、冀边数据结构是存储与边有关的信息。从已知的边 可以得知与这条边有关的顶点、面、边的信息。