中职数学8.4.2向量内积的坐标运算

(4) 2 7 2
65 ．
例3
， 2)，B(3 ， 4)，C (5， 0). 已知 A(1
求证：△ABC是等腰三角形． 证明：因为 AB (3 1 ， 4 2) (2， 2)，
AC (5 1 ， 0 2) (4， 2)， BC (5 3 ， 0 4) (2， 4)，
e2 为 e1 ， 内，
问题
a b a1b ． 1 a2b2
x
⑵ 的 如 长 果 ，y1 ) ，B( x2，y 2 ) ， 解：因为 A(y x1 度 吗 则 AB ( x2 x1，y2 y1 )． 两点间距离公式 ？ 由向量的长度公式得：
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2．
向 量
向量 向量
8.4.2 向量内积的坐标运算
1.已知非零向量 a与 b，则 a与 b 的内积表达式是怎样的？
由内积表达式怎样求 cos 〈a , b源自文库〉 ？
a b a b cos 〈a, b 〉
a b cos 〈a, b 〉 a b 2. a b a b 0
a b cos 〈a, b 〉 ab
因为
5 10 5

2 ， 2
π 所以 〈a, b 〉 ． 4
例2
4)，B(2， 3)， 已知 A(2， 求 AB ．
解：由已知条件得
AB (2， 3) (2， 4) (4， 7)，
所以 AB
a a 3. 与 a a 有何关系？
a a
e e a (a1 , a2 )， 已知 1 ， 2是直角坐标平面上的基向量， b (b1 , b2 ) ，你能推导出 a b 的坐标公式吗？
探究过程： a b (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 ) a1 b1 e1 e1 a1 b2e1 e2 a2b1 e2 e1 a2b2e2 e2． e e e e 1 e1 e2 e2 e1 0， 因为 1 1 ， 2 2 所以 a b a1b1 a2b2．
必做题：教材 P72 练习第 1 题；
选做题：第 4题．
a b cos 〈a, b 〉 a b a1b1 a2b2 a12 a2 2 b12 b2 2 ．
向量内积的坐标 运算公式
定理
在直角坐标平面 轴， 轴的基向量， y xoy x a (a1 , a2 )， b (b1 , b2 ) ，则 a b a1b1 a2b2．
定理
在直角坐标平面 轴， 轴的基向量， y x xoy a (a1 , a2 )， b (b1 , b2 ) ，则
a b a1b1 a2b2．
e2 为 内，e1，
推论
⑴ 两向量垂直的充要条件 a b a1b1 a2b2 0 ． ⑵ 两向量夹角余弦的计算公式
A(x1, y1),B(x2, y2) AB
例1
已知 a (3,1), b (1,2)
求 a b ， a， b ，〈a，b 〉 .
解：由已知条件得 a b 31 (1) (2) 3 2 5， a a a 3 3 (1) （1 ） 10 ， b b b 1 1 (2) (2) 5．
可得
AB AC (1 ， 1) (3 ， 3) 0．
所以 AB AC ．
1 ．已知 A(1 ， 2)，B(2， 3)，C (2， 5). 求证： BAC
π 2
2．已知点P的横坐标是7，点P到点Ｎ(-1,5)的距离 等于10，求点P的坐标．
本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距 离公式，常见的题型主要有： 1．直接用两向量的坐标计算内积； 2．根据向量的坐标求模； 3．根据两点的坐标求两点间的距离； 4．运用内积的性质判定两向量是否垂直．
e1 ， e2 为 内，
问题
⑴ 若已知 a (a1 , a2 ) ，你能用上面的定理求出 a 吗？ 2 解：因为 a a a ( a1，a2 ) ( a1，a2 )
a
2 1
a2 ．
2 2
2
所以
a
a1 a2 ．
向量的长度公式
定理
在直角坐标平面 轴， 轴的基向量， a (a1 , a2 )， b (b1 , b2 ) ，则
AC BC
所以
42 (2) 2 22 (4) 2
20 ， 20 ，
AC BC．
即△ABC是等腰三角形．
例4
， 2)，B(2， 3)，C (2,5). 已知 A(1
求证： ． AB AC 证明：因为
AB (2， 3) (1 ， 2) (1 ， 1)， AC (2， 5) (1 ， 2) (3， 3)，