理论力学第三章新(1)
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MB MB (F ) Fd
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
F1' F1 F2' F2
M1 Mo (F1) M2 Mo (F2 )
Fn' Fn Mn Mo (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
求： A ,C支座处约束力. 解： 取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图.
求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M A 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0
解得
FBy 77.5kN
Fiy 0 FAy FBy 2P P1 P2 0
解得
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
MD 0
求:
DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l, 450,
P, 各构件自重不计.
A,E支座处约束力及BD杆受力.
解: 取整体,画受力图.
ME 0
5
FA
2 2l P l 0 2
பைடு நூலகம்
解得
FA
52 8
P
Fix 0
FEx FA cos 450 0
解得
FEx
Fy 0
M A 0
M M
A B
0 0
各力不得与投影轴垂直 A, B 两点连线不得与各力平行
例3-3 已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
F1' F1 F2' F2
M1 Mo (F1) M2 Mo (F2 )
Fn' Fn Mn Mo (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
求： A ,C支座处约束力. 解： 取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图.
求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M A 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0
解得
FBy 77.5kN
Fiy 0 FAy FBy 2P P1 P2 0
解得
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
MD 0
求:
DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l, 450,
P, 各构件自重不计.
A,E支座处约束力及BD杆受力.
解: 取整体,画受力图.
ME 0
5
FA
2 2l P l 0 2
பைடு நூலகம்
解得
FA
52 8
P
Fix 0
FEx FA cos 450 0
解得
FEx
Fy 0
M A 0
M M
A B
0 0
各力不得与投影轴垂直 A, B 两点连线不得与各力平行
例3-3 已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
理论力学第三章刚体力学 ppt课件
正常转动，赝张量的变换多出一个负号。
对于张量，可定义如下运算：
1）相等。
设A和B为两个同阶张量，如果它们的所有分量相等，
即
A ... B ... ，则称它们相等，记为A = B.
2）加法。
两个同阶张量A和B的和定义为 C ...＝A ...＋B ... 它仍为一个张量，记为 C＝A＋B
L
a
L
a AL L )(a L
a L
a
B L
L
)
a L aa L a AL L BL L (a a )
a L aa L a ( AL L BL L )
nr nr nr nr
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
§3.1 刚体运动的分析
1. 描写刚体位置的独立变量
将两个矢量Av和Bv按顺序并在一起，不作任何运算
得到的量称为并矢，记为
vv AB
A
B ev ev
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
理论力学第三章
M
F'
F
二、空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。
理论力学 中南大学土木工程学院 24
理论力学
中南大学土木工程学院
25
理论力学
中南大学土木工程学院
26
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：
8
[例]图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用 绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。 已知CE=EB=DE，角a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。 解：1、取杆AB与重物为研究 对象，受力分析如图。
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间 力偶系，如图。
z O
F1 y F2 z M2 z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
M1 x
O F'n
＝
MO
F'R
O y
x
( i 1，， 2 ，n )
Fi Fi M i M O ( Fi ) ri Fi
M M cos( M，k ) z M
27
理论力学
中南大学土木工程学院
[例]工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶 矩均为80N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
西南交大理论力学第三章 (1)
合力作用线位置：
l
q(x)xdx
h
0 l
0 q(x)dx
☆ 两个特例
(a) 均布荷载 P
q
h
x
l
l
P 0 q(x)dx ql
l
h
q( x) x dx
0 l
q( x)dx
l 2
0
(b) 三角形分布荷载 P q0
h
x
l
q(x) q0 x l
P
l
q(x)dx
0
l q0 0l
xdx 12q0l
D
X 0, P FA cos 0
FAy
FAx
解得 FA
5P 2
Y 0, FB FA sin 0
A
FA
y
B
FB
解得
FB
1 2
P
x
例 题 3 已知：F，
求：物块M的压力。
解：（1）取销钉B为研究对象
X 0, F (FBA FBC ) sin 0
Y 0, FBC cos FBA cos 0
Fy 0 G3 G1 G2 FA FB 0
解方程得
FB 870 kN FA 210 kN
例 题 15 构架如图，已知：
a=4m，r=1m，P=12kN
求：A、B处的反力。
a
解：取图示部分为研究对象
MB F 0 P 3 FA .4 0
A
E
D
B
C
r
a
a
FA 9kN
X 0 FA FBx 0
解得
FBC
FBA
F 2 sin
FBA
B FBC
B F
FBC
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
理论力学第三章
FR Fi Fi
主矢 FR Fi
主矩 M O M O ( Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
如何求出主矢、主矩?
FRx ' Fix ' Fix Fx
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心距离d
MO d FR
主矩 M O FR d
主矢 FR FR F
合力矩定理
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
（4） FR
0 MO 0
平衡 与简化中心的位置无关
平面任意力系简化结果的讨论 1、FR
平面任意力系向作用面内一点简化的结果，从主矢主矩等不 等于零考虑，可能有四种情况， 即 :（1） ; (2) ；(3) ;
(4)
；下面作进一步的分析讨论。
（1） FR
0 MO 0
合力偶
若为O1点，如何?
与简化中心的位置无关
（2）
FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
（3）
解：取起重机，画受力图.
F 满载时， A 0,
为不安全临界状况
M
解得
B
0
P3min 8 2P 10P2 0 1
P3min=75kN
空载时， FB 0, 为不安全临界状况
M
A
0
4P3max-2P1=0
解得
F3max=350kN
75kN P3 350kN
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
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这里只是把 n 看成一个有方向的量，并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
r1 r2 r2 r1 n1 n2 n2 n1
这就证明了两个无限小的角位移的合成是可以对易的。 因此无限小的角位移是矢量。 角速度必定是矢量。
3、角速度矢量
n d n lim t 0 t dt
x cos sin sin y sin cos sin z cos
': 0 n : cos : sin sin
0 sin sin cos
确定刚体绕该轴线转过的角度：一个变量
故确定自由刚体位置所需独立变量数为6， 即自由刚体的自由度s=6。
二、刚体运动的分类
1.一般运动 三个平动变量，三个转动变量，独立变量为6；
2.平动 所有质点都有相同的速度和加速度；独立变量为3；
3.定轴转动 独立变量为1； 4.平面平行运动 任意一点的运动轨迹都平行于某一固定平面；
0 cos
3.4
1、力的可传性
刚体的运动方程与平衡方程
一、刚体受力力系的简化
实验事实表明：如果 F2 F1 ，刚体保持 平衡，证明力具有可传性。
力的可传性：力的作用点可沿其作用线改变，但不会改变刚体的运动效果。 可认为作用在刚体上的力是滑移矢量。 注意： (1)作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移， 但是力的作用线的位置不能任意平移。 (2)力的可传性只在研究刚体运动时有效，在 讨论物体的形变时，力的可传性失效。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
P
F1
r1
r2 r
F2
就等于一个力相对另一个力的作用点的力矩。 力偶矩的大小：M=F d 力偶矩的方向：垂直于力偶面
按右手螺旋规则
1’ 力偶矩与计算力矩的参考点无关。 2’ 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小。只要力偶矩保持不变，力偶对 刚体作用的效果就仍然保持不变。 3’ 力偶可以在同一平面内随便搬移，只要力偶矩保持不变，搬移前后的力偶 是等效的。 4’ 力偶除了可以在同一平面内随便搬动，它也可以从一个平面搬到另一 个与之平行的平面上 5’ 作用在刚体上的力是滑移矢量；作用在刚体上的力偶是自由矢量。
r2 n2 r r1 n1 (r n2 r ) n1 r
r2 r1 (n2 n1 ) r
(n1 n2 ) r (n2 n1 ) r
第三章
刚体力学
刚体：一种特殊的质点系，内部任何两点的距离在运动中保 持不变。 刚体是一种理想化模型，当物体的大小变化和形状变化可以 忽略时，可认为是刚体。 内容 1.刚体运动的描述 2.刚体动力学
3.1 刚体运动的描述
一、自由刚体的自由度
自由刚体指运动不受任何限制的刚体。 确定基点A：三个变量，且独立； 三个变量，即轴线与x轴、y轴、z轴 确定过A且与刚体固连的轴线： 的三个方向角，两个独立变量；因为
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明了P点经两个分转动而产生的合位移 n2 所给定的。
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
第一次转过后 第二次转过后 P点的总位移
2、力系的划分
平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 一般力系
(1) 平面汇交力系的合力 平行四边形法则
；
(2) 平行力系的合力 大小等于各个平行力的代数和R Fi
i
；
合力的作用线，可用力矩关系确定，合力对某轴线的力矩等于各分力 的力矩之和。
F1
F2
(3) 力偶 ； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。 a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
d 方向沿着该时刻的瞬时轴，并用右手螺旋法则判定，大小等于 dt
刚体上任一点的线速度与角速度的关系式
dr dn v r r dt dt
v r
3.3
欧拉角
刚体在做定点运动时自由度为3，需要确定转动轴在空间的取向（2个独立变 量）和刚体绕这轴线所转过的角度（1个独立变量），这三个角度叫做欧勒角。
o 是固定在空间不动的，
o xyz 是固连在刚体上的，
ON：节线，它是 平面和 xy 平面之间的交线。 确定转动轴的取向：
：进动角，
：章动角，
确定刚体绕这轴线所转过的角度
：自转角。
欧勒动力学方程
n x i y j z k '
n
P
绕OM轴转动微小角度 ，它的大小是 ， 方向沿转轴的方向，用右手螺旋法则决定其指向， 因此，我们可以用 来代表角位移的大小 n 和方向。
r
P
'
M
r r
r
pm r sin r sin n
r n r
分解为平面内某一点的平动和绕垂直于平面的轴的转动， 独立变量为3；
5.定点转动 刚体围绕通过这点的某一瞬时轴线转动，
确定轴线的空间取向和刚体绕这轴线转过的角度，独立变量为3。
3.2
角速度矢量
有量值有方向的量不一定就是矢量（例如电流强度） 矢量的判断：有大小、有方向、满足矢量对易 A B B A 1、有限大小的角位移不是矢量 2、无限小的角位移是矢量
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
r1 r2 r2 r1 n1 n2 n2 n1
这就证明了两个无限小的角位移的合成是可以对易的。 因此无限小的角位移是矢量。 角速度必定是矢量。
3、角速度矢量
n d n lim t 0 t dt
x cos sin sin y sin cos sin z cos
': 0 n : cos : sin sin
0 sin sin cos
确定刚体绕该轴线转过的角度：一个变量
故确定自由刚体位置所需独立变量数为6， 即自由刚体的自由度s=6。
二、刚体运动的分类
1.一般运动 三个平动变量，三个转动变量，独立变量为6；
2.平动 所有质点都有相同的速度和加速度；独立变量为3；
3.定轴转动 独立变量为1； 4.平面平行运动 任意一点的运动轨迹都平行于某一固定平面；
0 cos
3.4
1、力的可传性
刚体的运动方程与平衡方程
一、刚体受力力系的简化
实验事实表明：如果 F2 F1 ，刚体保持 平衡，证明力具有可传性。
力的可传性：力的作用点可沿其作用线改变，但不会改变刚体的运动效果。 可认为作用在刚体上的力是滑移矢量。 注意： (1)作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移， 但是力的作用线的位置不能任意平移。 (2)力的可传性只在研究刚体运动时有效，在 讨论物体的形变时，力的可传性失效。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
P
F1
r1
r2 r
F2
就等于一个力相对另一个力的作用点的力矩。 力偶矩的大小：M=F d 力偶矩的方向：垂直于力偶面
按右手螺旋规则
1’ 力偶矩与计算力矩的参考点无关。 2’ 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小。只要力偶矩保持不变，力偶对 刚体作用的效果就仍然保持不变。 3’ 力偶可以在同一平面内随便搬移，只要力偶矩保持不变，搬移前后的力偶 是等效的。 4’ 力偶除了可以在同一平面内随便搬动，它也可以从一个平面搬到另一 个与之平行的平面上 5’ 作用在刚体上的力是滑移矢量；作用在刚体上的力偶是自由矢量。
r2 n2 r r1 n1 (r n2 r ) n1 r
r2 r1 (n2 n1 ) r
(n1 n2 ) r (n2 n1 ) r
第三章
刚体力学
刚体：一种特殊的质点系，内部任何两点的距离在运动中保 持不变。 刚体是一种理想化模型，当物体的大小变化和形状变化可以 忽略时，可认为是刚体。 内容 1.刚体运动的描述 2.刚体动力学
3.1 刚体运动的描述
一、自由刚体的自由度
自由刚体指运动不受任何限制的刚体。 确定基点A：三个变量，且独立； 三个变量，即轴线与x轴、y轴、z轴 确定过A且与刚体固连的轴线： 的三个方向角，两个独立变量；因为
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明了P点经两个分转动而产生的合位移 n2 所给定的。
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
第一次转过后 第二次转过后 P点的总位移
2、力系的划分
平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 一般力系
(1) 平面汇交力系的合力 平行四边形法则
；
(2) 平行力系的合力 大小等于各个平行力的代数和R Fi
i
；
合力的作用线，可用力矩关系确定，合力对某轴线的力矩等于各分力 的力矩之和。
F1
F2
(3) 力偶 ； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。 a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
d 方向沿着该时刻的瞬时轴，并用右手螺旋法则判定，大小等于 dt
刚体上任一点的线速度与角速度的关系式
dr dn v r r dt dt
v r
3.3
欧拉角
刚体在做定点运动时自由度为3，需要确定转动轴在空间的取向（2个独立变 量）和刚体绕这轴线所转过的角度（1个独立变量），这三个角度叫做欧勒角。
o 是固定在空间不动的，
o xyz 是固连在刚体上的，
ON：节线，它是 平面和 xy 平面之间的交线。 确定转动轴的取向：
：进动角，
：章动角，
确定刚体绕这轴线所转过的角度
：自转角。
欧勒动力学方程
n x i y j z k '
n
P
绕OM轴转动微小角度 ，它的大小是 ， 方向沿转轴的方向，用右手螺旋法则决定其指向， 因此，我们可以用 来代表角位移的大小 n 和方向。
r
P
'
M
r r
r
pm r sin r sin n
r n r
分解为平面内某一点的平动和绕垂直于平面的轴的转动， 独立变量为3；
5.定点转动 刚体围绕通过这点的某一瞬时轴线转动，
确定轴线的空间取向和刚体绕这轴线转过的角度，独立变量为3。
3.2
角速度矢量
有量值有方向的量不一定就是矢量（例如电流强度） 矢量的判断：有大小、有方向、满足矢量对易 A B B A 1、有限大小的角位移不是矢量 2、无限小的角位移是矢量