几种求极限方法的总结(论文型-常规版)
求极限的方法,(自己总结的)
求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。
直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。
例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。
例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。
解:3.利用连续性定义。
例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。
因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求 。
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx→1x 4−1x−1，本例中当x →1时，x −1→0，表明x 与1无限接近，但x ≠1,所以x −1这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限lim x→∞x 3−x 23x 3+1精品文档，你值得期待∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
limx→∞x 3−x 23x 3+1=lim x→∞1−1x3+1x 3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限lim x→∞(√x 3+3−√x 2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
()()()()131313lim13lim22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x xx xx xxxx x132lim22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→0√1+tanx−√1+sinxx 330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限两个重要的极限(1)limx→0sinx x=1(2)lim x→∞(1+1x)x=lim x→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限lim x→∞(x+1x−1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。
lim x→∞(x +1x −1)x =lim x→∞(1+2x −1)x =lim x→∞[(1+1x −12)2x−1(1+2x −1)12]2=e 2五、 利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限方法总结第一篇1、等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说肯定在加减时候不能用,前提是必需证明拆分后极限依旧存在,e的X次方-1或者〔1+x〕的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记〔x趋近无穷的时候还原成无穷小〕。
2、洛必达法则〔大题目有时候会有示意要你使用这个方法〕。
首先他的使用有严格的使用前提！必需是X趋近而不是N趋近！〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种状况而已，是必要条件〔还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不行能是负无穷！〕必需是函数的导数要存在！〔假如告知你g〔x〕,没告知你是否可导，直接用，无疑于找死！！〕必需是0比0无穷大比无穷大！当然还要留意分母不能为0。
洛必达法则分为3种状况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的'函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，〔这就是为什么只有3种形式的缘由，LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0〕。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意！〕E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去冗杂,处理很简洁！5、无穷小于有界函数的处理方法,面对冗杂函数时候,尤其是正余弦的冗杂函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法。
面对特别冗杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6、夹逼定理〔主要对付的是数列极限！〕这个主要是观察极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
数学学年论文毕业论文求极限的方法
在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。
求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。
下面我将介绍几种常用的求极限的方法。
一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。
如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。
二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。
三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。
通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。
四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。
具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。
通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。
五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。
通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。
在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。
考研数学：求极限的16种方法1500字
考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。
求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。
1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。
2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。
3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。
4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。
5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。
6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。
7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。
8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。
9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。
10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。
11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。
12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。
13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。
14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。
15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。
16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。
以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。
求函数极限的方法总结（精选3篇）
求函数极限的方法总结（精选3篇）求函数极限的方法总结篇1(一) 四则运算法则四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。
但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。
四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。
如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。
当然，在用洛必达的时候需要注意：(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。
化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。
考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。
考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
(三) 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。
泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如(四) 定积分定义考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。
常用的是这种形式只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）
求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）第一篇：求极限方法小结(实用易懂)求极限的方法小结极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：一、利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
11lim(-)3x→11-x1-x例 1.lim(12n-1++Λ+)n2n2n2 2.n→∞二、利用两个重要极限1sinx1xlim=1,lim(1+)=elim(1+x)x=e.x→0x→∞xx两个重要极限为：或x→0使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
1lim(1-)kxx 例 1.x→1lim(x+32x+1)x+2 2.x→∞三、利用夹逼准则求极限关键在于选用合适的不等式。
lim(n!)nnnlim(na1+Λ+am)n例1.n→∞a1,Λ,am}，且ak>0(k=1,2,Λ,m)求n→∞ 2.设a=max{ / 4四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
x=a,x2=a+a=a+x1,Λ,xn+1=a+xn(n=1,2,Λ)例1.设a>0，1limxn求极限n→∞。
五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1.x→0 lim(1+xsinx-1sinsin(x-1))lim2lnxex-1 2.x→0六、利用函数连续性求极限limf(x)=f(x0)xf(x)x0设在点处连续，则→x0。
求极限的方法总结
求极限的方法总结在数学中，我们经常会遇到需要求解极限的问题。
极限是一种重要的概念，它可以帮助我们理解函数的行为和趋势。
然而，求解极限并不总是简单的，往往需要运用不同的方法和技巧。
在这篇文章中，我将总结一些常用的方法，希望能给读者提供一些帮助。
一、代入法代入法是最简单的求解极限的方法之一。
它的基本思想是将待求的极限代入函数中，通过计算函数在极限点附近的取值，得到极限的近似值。
这种方法适用于一些简单的函数，比如常函数、幂函数以及一些简单的三角函数。
举个例子，我们考虑求解lim(x→0) 2x + 1。
我们可以直接代入x=0，得到2(0) + 1 = 1。
所以，lim(x→0) 2x + 1 = 1。
然而，代入法并不适用于所有情况。
当我们需要求解的极限形式不适合代入时，就需要考虑其他方法。
二、夹逼法夹逼法是一种常用的求解极限的方法。
它的思想是通过找到两个较为简单的函数，它们的极限与待求的极限相等，然后利用这些函数对待求的极限进行“夹逼”。
这个方法可以帮助我们解决一些复杂的极限问题。
例如，我们考虑求解lim(x→0) x*sin(1/x)。
这个极限在x=0附近的取值非常复杂。
但是，我们可以利用两个简单的函数：f(x) = -|x| 和 g(x) = |x|。
很显然，对于任何x，我们都有f(x) ≤ x*sin(1/x) ≤ g(x)。
现在，我们来考虑这两个函数的极限。
当x趋近于0时，f(x)和g(x)的极限都是0。
因此，根据夹逼法，我们可以得出lim(x→0) x*sin(1/x) = 0。
三、无穷小代换法无穷小代换法是一种常用的求解极限的方法。
它的基本思想是将一个符合一定条件的无穷小量代换到需要求解的极限式中，通过对无穷小量进行简化计算来求解极限。
这种方法适用于一些复杂的极限问题。
例如，我们考虑求解lim(x→∞) (√x + 3)/(2x - 1)。
这个极限在x 趋近于无穷大时的计算非常困难。
但是，我们可以进行一次无穷小代换。
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几种求极限方法的总结(常规版)摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 1 用定义求极限[]1根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a〈ε.例1 用定义证明11lim=+∞→n nn证明：0,ε∀>要使不等式11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n2利用两边夹定理求极限[]1例2 求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim 解：设=n c nn n n +++++22212111则有：21n cn n>++=+同时有：211n c n<+=+，于是nc<<由1nn <=+>=.有11n nnc n n<<<<=+ 已知：11lim =+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞→lim解：显然{}n x 是单调增加的。
我们来证明它是有界的.易见12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，从而 12-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+两段除以n x ，得 1n nax x <+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12-+=n n x a x 两边去极限，则有∞→-∞→+=n n n n x a x 12lim lim ⇒al l +=2解得214++=a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞→解4 )221sin()221sin(2cos 1cos xx x x x x -+++-=-+ 2)221sin(2≤++-x x ， 而)1(21221)221sin(0x x x x xx ++=-+≤-+≤ 又,0)1(21lim=++∞→x x x 故 02_1lim=+∞→xx n5 应用“两个重要极限”求极限[]2e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim例5求)1cos 1(sin lim x x x +∞→解2sin 1222sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )xxxx xx x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦ ∴原式=e xxxxx =+∞→22sin2sin 1)2sin 1(lim6利用洛必达法则求极限[]2例6求xx x 1sin arctan 2lim -∞→π（)0解： xx n 1sin arctan 2lim -∞→π=11cos111lim 22=-+-∞→x xx n 例7 求极限xx x 3tan tan lim2π→（)∞∞解 xxx 3tan tan lim2π→= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 222232,,2=--===--==→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ 7利用泰勒公式求极限[]2例8：求极限 xx x x n cos sin 1lim2-+∞→解 ∵xx x x cos sin 12-+中分子为2x ，∴将各函数展开到含2x 项。
当0→x 时，222211cos 0(),sin 0().2x x x x x x x -=+=+从而)(0)(021211)(0211)cos 1(1cos 22222x x x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+-=--==1-)(04122x x +)(0211)(01sin 12222x x x x x x ++=++=+ ∴原式=)(043lim)(0411)(0211lim 22222222x x x x x x x x n n +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++∞→∞→ 8利用数列求和来求极限[]2有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。
例9：求极限).2122321(lim 2n n n -+++∞→ []2 解：令n n n s 21223212-+++= ，则143221225232121+-+++=n nn s122121212121-++++=-n n n s s -1212+-n n =,212211211*21211+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn 从而n n n n s 21221121111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-，∴ 原式=3212112111lim 1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n9用定积分求和式的极限[]2例10 设函数f(x)在[]1,0上连续，且f(x)0 ,求nn nnf n n f n f n f )()1()2().1(lim-∞→ []2 解 令T=nn nnf n n f n f n f )()1()2().1(lim-∞→ 于是lnT=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)()1().2().1(ln 1n n f n n f n f n f n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++)(ln ))2(ln )1(ln 1n n f n f n f n 而dx x f n n k f T nk n n )(ln 1).(ln lim ln lim 101⎰∑===∞→∞→ 所以 nn n nf n n f n f n f )()1()2().1(lim-∞→ =⎰1)(ln dx x f 10 利用定积分求极限[]4利用定积分求极限可分为以下两种形式（1）nn n f n f n f n f n )()3()2()1(lim ++++∞→ 型. 定理1 设f(x)在[]1,0上可积，则有：n n nf n f n f n f n )()3()2()1(lim ++++∞→ =⎰10)(dx x f 例12 求nn nnn n n ++++∞→ 321lim []4 解：设f(x)=x,f(x)在[]1,0上可积。
则n n nn n n n ++++∞→ 321lim =⎰1oxdx =21（2）nn nnf n f n f )()2()1(lim∞→型[]4.定理2 设f(x)在[]1,0上可积，则有nn n nf n f n f )()2()1(lim∞→=epx ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰10)(ln dx x f 例13 求nn nn !lim∞→ []4 解：n n nn !lim∞→=n n nn n n 2.1lim ∞→ 令 f(x)=x,则有n n nn !lim ∞→=n n n n n n 2.1lim ∞→=exp ⎰1ln xdx =e 1-11利用数列的递推公式求极限[]3 这种方法实际上包含有两种方法（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。
这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决. 例14 设1a =1，22=a ，30412=+-++n n n a a a （1)n >，求n n a ∞→lim []3解：递推公式可化为3（=-++)12n n a a n n a a -+1 设n n n a a b -=+1，那么311=+n n b b 所以，121a a b -==1，234323231,31=-==-=a a b a a b 21131---=-=n n n n a a b将以上各式相加得 2321313131311-+++=-n n a a2131.21253113111---=--+=⇒n n n a ⇒25lim =∞→nn a （1） 如果数列极限存在设为A ，则根据递推公式求出A.令数列的第n 项记为A+n a ，利用无穷小和极限的关系，只需证明0→n a （)∞→n ，便可确定数列的极限确实存在且就为A.例15 证明数列 2，2+21，2+2121+， 极限存在并求出这个极限[]3.解：由题意知递推关系为n n a a 121+=+，若数列的极限存在并设为A ，则A=2+A1设 n n a β++=21，有递推关系得1+nn ββ+++=++211221，即nn n βββ++-=+21)21(1 因为11121)21(12)21(--+-=+-+=+-=n n n n a a a β而111212n n n n a ββββ-+>⇒<⇒<≤ 但2=1+⇒+12β211-=β，所以11122n n ββ<⇒< 即)(0∞→→n n β 由此推出数列的极限存在并且就为1+212 利用级数收敛的必要条件求极限[]1当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限. 收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则)(0∞→→n u n例16 计算2lim (!)nn n n →∞解：作级数∑∞=12)!(n nn n ，令 2(!)n n n u n = 101lim 111lim lim 1<=+=+⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→+∞→n e n n u u n nn nn n 有达朗贝尔判别法知∑∞=12)!(n nn n 收敛.又有级数收敛的必要条件⇒2lim (!)n n n n →∞=0。