《经济数学微积分B》教学大纲

《经济数学—微积分(B)》教学大纲
适用对象经济管理类本科各专业(学分：10 学时：180)
一、课程的性质和任务
《经济数学—微积分》是一门重要的基础理论课。

教学内容有：函数、极限与连续，导数、微分、不定积分、定积分及其在经济上的应用，无穷级数，多元函数微积分，常微分方程等。

通过本课程的学习使学生掌握微积分等方面的基本原理、基本方法、基本运算技能及其在几何、经济中的基本应用；同时培养学生的抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，使他们受到运用数学方法分析和解决实际问题的初步训练，为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础，从而自觉地运用数学这一有力工具为学习后继课程，为科学技术工作服务。

二、课程的教学内容
(一) 函数与极限
集合、实数集，函数关系及建立函数关系实例，函数表示法，函数的几种简单性质，反函数，复合函数，初等函数，函数图形的简单组合与变换。

数列的极限，函数的极限，变量的极限，无穷大量与无穷小量，极限的运算法则，两个重要的极限，函数的连续性。

(二) 导数与微分
导数的概念，导数的基本公式与运算法则，高阶导数，微分。

(三) 中值定理与导数的应用
中值定理，罗彼塔法则，函数的增减性和极值，最大值与最小值，极值的应用问题，曲线的凹向与拐点，函数图形的作法，变化率及相对变化率在经济中的应用—边际分析与弹性分析。

(四) 不定积分
不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。

(五) 定积分
引出定积分的概念的两个例子，定积分的定义，定积分的基本性质，定积分与不定积分的关系，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的应用，*定积分的近似计算，广义积分与Γ—函数。

(六) 无穷级数
无穷级数的概念，无穷级数的基本性质，正项级数，任意项级数，绝对收敛，幂级数，泰勒公式与泰勒级数，某些初等函数的幂级数展开式，幂级数的应用举例。

(七) 多元函数
空间解析几何简介，多元函数的概念，二元函数的极限与连续，偏导数，全微分，复合函数与隐函数的微分法，二元函数的极值，二重积分。

(八) 微分方程与差分方程简介
微分方程的一般概念，一阶微分方程，几种二阶微分方程，*常系数线性微分方程，差分方程的一般概念，一阶和二阶常系数线性差分方程。

三、课程的教学要求
［注］：教学要求按掌握，熟悉，了解三个层次。

1熟悉集合概念，掌握集合的并，交，差，补运算，熟悉集合运算规律。

掌握实数集，了解平面点集。

掌握函数的定义，定义域，表达式；熟悉函数表达式的建立；掌握函数的几种简单性质；熟悉反函数，复合函数，掌握基本初等函数及初等函数图形；了解图形简单组合与变换。

掌握数列极限与函数极限的一般描述性定义，熟悉ε-N语言定义，了解ε-δ语言定义；熟悉左右极限，了解变量的极限。

熟悉无穷小量与无穷大量的定义，熟悉无穷小量的性质，了解无穷小阶的比较。

掌握和、差、积、商的极限运算，掌握两个重要极限及应用；了解夹逼定理和单调有界原理；熟悉e极限在经济问题的应用。

熟悉连续的概念，了解间断点及分类，熟悉初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质。

2熟悉导数的定义，几何意义，可导与连续的关系；掌握导数基本公式，掌握和、差、积、商的导数，复合函数求导；了解反函数、隐函数、参数方程求导，了解高阶导数。

熟悉微分的概念，微分的计算；了解微分在近似计算中的应用。

3熟悉罗尔定理，拉格朗日定理和柯西定理，了解定理的推导和简单应用。

熟悉洛必达法则；掌握函数的单调性，极值，最值；熟悉函数的凹凸、拐点、渐近线，会做一些简单函数的图形，熟悉边际分析与弹性分析。

4熟悉原函数、不定积分概念，掌握不定积分基本公式，掌握直接积分法，第一类换元法，熟悉第二类换元法，分部积分法，了解有理函数积分，简单根式积分。

5熟悉定积分定义，定积分性质，掌握牛顿—莱布尼兹公式，熟悉定积分的换元法和分部积分法，熟悉定积分的几何应用，经济应用；了解定积分的其他应用。

熟悉无穷积分；了解瑕积分；了解Γ函数。

6熟悉无穷级数的概念及基本性质；掌握比较法，比值法，莱布尼兹判别法；了解其它审敛法，绝对收敛与条件收敛。

熟悉幂级数定义，收敛半径，收敛区间，了解幂级数运算性质，了解泰勒公式与泰勒级数；熟悉五个基本展开式，了解幂级数应用。

7掌握空间直角坐标系，两点间距离公式；熟悉直线方程，平面方程，球面方程，锥面方程，椭球面方程，抛物面方程；了解其他曲面方程。

熟悉多元函数的概念；掌握二元函数的定义域；了解多元函数的极限与连续。

熟悉偏导数定义，掌握偏导数计算，了解全微分概念及应用；熟悉全微分计算；熟悉复合函数求偏导，隐函数求偏导；熟悉二元函数极值及应用，熟悉条件极值及拉格朗日乘数法；了解最小二乘法。

熟悉二重积分概念及性质；掌握二重积分在直角坐标下的计算；了解极坐标以及二重积分在极坐标下的计算。

了解三重积分。

8熟悉微分方程概念；掌握可分离变量的微分方程及其求解；熟悉齐次方程，一阶线性微分方程及求解；了解一阶微分方程的应用；熟悉可降阶的二阶微分方程及求解；了解二阶线性微分方程。

了解差分方程的一般概念；了解一阶、二阶线性差分方程。

四、课程的重点和难点
(一) 函数
［重点］函数的定义，函数的几个性质，反函数，复合函数，初等函数。

(二) 极限与连续
［重点］极限概念，连续性概念，极限的四则运算法则，两个极限存在准则，两个重要极限，初等函数连续性的结论，闭区间上连续函数的性质。

［难点］极限的分析定义，分段函数连续性的判定，应用两个重要极限求极限。

(三) 导数与微分
［重点］导数作为变化率的概念，微分作为函数增量的线性主部的概念，基本初等函数的求导公式，函数和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的导数，高阶导数。

［难点］导数作为变化率的理解，复合函数求导法则的运用，一阶微分形式不变性的理解及应用。

(四) 中值定理、导数的应用
［重点］罗尔定理，拉格朗日中值定理，罗彼塔法则，函数的单调性及极值，最大、最小值问题，曲线的凹凸与拐点，函数图形的描绘，经济上的应用(边际分析、弹性分析)。

［难点］微分中值定理的应用，正确熟练地运用罗彼塔法则，最值的应用问题。

(五) 不定积分
［重点］不定积分概念，基本积分公式，两类换元积分法，分部积分法，有理函数的积分。

［难点］不定积分概念，第一类换元法，分部积分法。

(六) 定积分
［重点］定积分定义及性质，定积分换元法与分部积分法，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的几何应用(平面图形的面积，旋转体体积，已知截面面积的立体的体积)
［难点］定积分概念的理解，积分上限函数的概念及其导数，定积分换元法的运用，广义积分的计算。

(七) 无穷级数
［重点］级数收敛与发散的概念，正项级数的审敛法(尤其是比值判别法) ，绝对收敛与条件收敛；求幂级数的收敛半径与收敛区间，利用幂级数性质和已知的基本初等函数展式将初等函数展成幂级数——间接展开法。

［难点］级数的敛散性的判定，将函数展成幂级数。

(八) 多元函数
［重点］空间解析几何简介，偏导数概念，全微分概念，多元复合函数的求导法则，隐函数求导法则，二重积分的计算。

［难点］一元函数极限的计算，多元复合函数的求导法则、隐函数求导法则的运用，二元函数的极值，二重积分化为累次积分的积分上、下限。

(九) 微分方程与差分方程
［重点］微分方程的解和初始条件，可分离变量的一阶微分方程的解法，一阶线性微分方程的解法，二阶常系数线性微分方程的解法。

一阶差分方程，一阶和二阶常系数线性差分方程。

［难点］常数变易法，微分方程的建立，可降阶微分方程的求解。

五、课程的学时分配
略
六、教材和主要参考书
《经济数学——微积分》赵树?主编中国人民大学出版社
《高等数学》下、下册同济大学编〈第四版〉、〈第五版〉
《高等数学(同济四版)考点精析与习题全解》黄清谷主编
《高等数学习题集》同济大学编
《高等数学(一) 微积分》高汝熹武汉大学出版社1992年版
七、说明
1教学要求以本大纲重点内容为主要要求；
2根据专业要求需要，或根据课时量适当增补一些内容(以同济大学《高等数学》为参照)；3打*号为选学内容，有些可选有些可不选。