一题多解优化数学思维
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-精品文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种不同方法去解决同一道题，更重要的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求不同答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广阔思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x= 时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。
培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。
“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。
数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。
一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。
这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。
教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。
2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。
采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。
它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。
“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。
二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。
放飞思维,培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示
放飞思维，培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。
”这句诗蕴含的哲理是同一事物从不同角度审视可以得到不同感觉。
同样,对于一道数学试题而言,“一题多解”是从不同角度、通过不同方法去思考问题、分析问题和解决问题，把数学知识的“联”与思维方式的“变”有机结合起来,培养学生的创造性思维。
郝老师点评：方法一至方法四通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“三线八角”模型，灵活运用平行线的性质与判定，对于所学的知识融会贯通，重视建构知识间的纵横联系，形成了系统的数学知识网络。
郝老师点评：方法五通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“拐点”模型，抓住了数学问题的个性特征，寻找它与其他熟悉知识的联系,找到出人意料的新奇解法,视野更加开阔，思维更加活跃，思维多元化逐渐形成，而这常常是创新能力的起点。
郝老师点评：方法七与方法八，灵活运用知识，灵活转换角度，综合运用平行线的性质与判定和三角形的内角和为180°的知识解题，敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大体现了学生的创造性思维，它是数学解题的魅力所在。
同学们通过用多种方法解决一道题,感受颇多!初中数学，特别是几何部分，往往不只有一种解法。
一题多解，也就由此产生。
有人会说，一道题能解出来就好了，为什么还要研究其他的解法呢？这不是浪费时间吗？是的，从不同的思维角度探索一道题其他的解法，确实会消耗我们的时间。
但我们在思考一题多解的过程中，可以获得新的解题思路，锻炼自己的思维，是自己的思维具有开拓性，也有助于理解与运用多个知识点，达到了复习与巩固的目的。
七年级1班崔宸豪，七年级3班张文皓，孟凡博“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，自从学习了平面几何证明，我更加体会到了这句诗的真正意义。
一题多解，顾名思义，就是一道题可以有好几种做出答案的方法。
这样做有什么好处呢？最直观的，如果用两种以上方法解出同一个答案，那证明这道题你一定百分之百正确率了，增强了自信心。
一题多解培养学生创新思维能力
一题多解培养学生创新思维能力摘要：一题多解，为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
激发学生学习数学兴趣，形成较强的求知欲，从而提高学生的数学素养。
关键词：数学一题多解；课堂教学；培养创造；学习兴趣；思维能力数学教学质量与学生学习数学的积极性成正比，如何调动学生学习数学的积极性已成为数学教学研究的紧迫任务，笔者认为，培养学习兴趣是调动学生学习数学积极性的最有效方法之一。
数学中的解题，是学习数学、熟练掌握和灵活运用数学知识的一项非常重要的实践活动。
通过解题实践，可以逐渐培养学生学习数学的兴趣和提高解题的能力。
但是过多、盲目的解题，不仅不会促进学生思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生产生疲劳，兴趣降低，窒息学生的智慧；只有通过对典型例题和解题方法的挖掘，才能使知识不断向横、纵两个方向发展，才能激发学生的发现欲和创造欲，在原有的基础上，有所发现，有所突破，有所创新，从而达到培养学生创造性思维能力的目的。
在数学的教育教学中，选好一道例题，通过一题多思，一题多解，一题多讲的活动，可以巩固学生的知识，训练学生的思维，开拓学生的视野。
利用多角度去看一道题，强化思维的连贯性，知识的衔接，能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题，培养学生对数学知识活学活用能力有着重要的帮助。
思维的广阔性是思维能力的重要前提，它是指善于全面地观察问题，运用多方面的知识经验寻求解题的方法，使解题涉及的知识和方法延伸到数学的各个分支，力求沟通它们之间的联系。
进行典型例题的剖析，一题多解，无疑是激发学生的兴趣、开拓学生的思路、培养学生的创造思维能力和多种应变能力的一种十分有效的方法。
为了养成学生广范围、多角度、突破常规地认识事物和解决问题的习惯。
一道平面几何问题，而我们却可以用代数的方法给于证明。
谈小学数学教学中的一题多解教学
谈小学数学教学中的一题多解教学一题多解教学是近年来数学教育领域中热议的话题之一。
在小学数学教学中，一题多解教学的实施可以拓展学生的思维，以及启发学生对于问题的思考和解决方式，同时也有助于提高学生的数学能力和解决问题的能力。
本文将着重探讨小学数学教学中一题多解教学的实施方式和效果。
一题多解教学是指，在教学过程中，给学生提供一道题目，鼓励学生通过不同的思路和方法，得到多个正确的解答。
而不是只让学生死记硬背某种标准答案。
这种教学方式能够激发学生的兴趣，提高学生的学习热情，同时也有助于增强学生的计算思维和解决问题的能力。
在小学数学教学中，实施一题多解教学的方式有很多种。
以下是几种常见的实施方式：1.交流对比法：教师分组让学生分别采用不同的方式解题，随后在班级上进行交流和对比，从中寻找共性和差异。
2.探究差异法：教师提出多个正确的解答，然后向学生让他们发现和分析这些答案的异同点，激发思考多种解题方式的动力。
3.引导发掘法：教师可以在讲授新知识时加入多种解题思路，鼓励学生自主发掘不同解题思路的可行性和适用性。
一题多解教学的实施可以带来很多好处。
首先，此方式可以拓展学生的思维，促进学生发现数学问题的不同解决方式。
其次，这种教学方法可以激发学生的学习兴趣，使学生对数学问题更加感兴趣。
同样的，学生也可以更好地理解问题，和学习和掌握新知识。
此外，学生通过这种方法更容易记住重要的思路和方法，以便他们在以后解决新的数学问题时更加熟练。
举例来说，比如今天的一道小学数学题是：34-23=？采用一题多解教学的方式：1.学生A：34-23=115.学生E：(30+4)-((20+2)-2)=11通过以上学生不同的解答，不仅提高了学生的计算能力，也让他们学会了多种不同的解题方式。
总之，一题多解教学是一种多方面创新的教育方法，可以极大地拓展学生的思维和想象力，增强学生解决问题的能力，提高学生的数学能力和独立思考能力。
希望今后教育工作者可以在教学实践中尝试商榷和实施这一方法，以培养更多具有全面发展目标的学生，为未来做出更多的准备。
初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力-教育文档
初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力数学是逻辑性极强的一门学科，从解题开始到得出答案，每一步的过程都需要经过层层的计算和推导,因此，学好数学从另一方面来说就是学好了一种思维能力和思维方法。
为了培养好中学生的创新思维,教师应从解题方面着手，强化学生一题多解的能力和水平，鼓励他们用发散式的思维解决同一道数学题,同时积极配合并解答学生在解题过程中提出的问题与困惑，帮助中学生营造一个活跃轻松的课堂环境,让他们能够尽自己最大的能力收集并处理不同的数学难题.1。
数学是创新教育的基础课程创新是促进一切事物进步发展的前提条件，创新教育是在新课改的标准下培养学生拥有创新精神和创新能力的新式教育,中学生创新能力的形成一般基于多种知识的学习与能力的培养，这种可检验中学生是否具有综合学习的能力。
中学生创新思维能力的培养主要包括对他们的学习意识、学习精神、学习思维以及学习技巧和方法这几个方面.中学阶段是学生思维最活跃的时期，同时也是学习能力与理解能力最好的时期，这些为培养中学生学习数学的创新思维打下了良好的基础,能够让他们在数学的学习中收到事半功倍的效果.而数学作为一门应用范围十分广泛并且作为能够培养学生创新思维与解决问题能力的逻辑性极强的基础课程，在培养中学生创新能力方面有着得天独厚的条件和优势。
因此，我们要在对中学生教授数学课程的同时,把培养学生的创新能力放在最关键的位置，更好的适应社会发展以及新课标改革的需要。
除此之外，在整体的中学生数学教学过程中应将一题多解的教学模式作为切入点,通过培养学生强化一题多解的能力和水平提升他们的创新思维能力。
2。
通过一题多解培养学生创新思维能力2.1 注重选题与课堂气氛。
一题多解的数学题可以培养中学生用发散式的思维解决问题，教师应在教学之初选择一些具有代表性的数学题，这些数学题既要包括大部分知识点，而且难度不能太高或太低，否则会打击学生学习数学的积极性或让学生觉得没有挑战性，因此教师在选择题型方面要十分仔细，尽可能的通过选题激发中学生的学习热情和潜力。
中考数学一题多解技巧
中考数学一题多解技巧
中考数学中，一题多解是考察学生思维能力的重要方式。
掌握一题多解的技巧，不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以提高他们的思维能力和解决问题的能力。
以下是一些关于一题多解的技巧：
1. 深入理解题目：首先，需要对题目进行深入的理解。
明确题目给出的条件、问题以及各种已知信息和未知信息。
2. 探索多种可能：在理解了题目之后，尝试从不同的角度去思考问题。
例如，可以尝试使用不同的定理、公式或者方法来解答同一道题目。
3. 总结规律：对于同一道题目，如果能够找到多种解法，那么可以尝试总结这些解法的共同点和不同点。
这样可以帮助你更好地理解题目的本质，并且能够掌握更多的数学知识和方法。
4. 举一反三：在掌握了多种解法之后，可以尝试将这些方法应用到其他类似的题目中去，做到举一反三。
这样可以进一步提高自己的数学思维能力。
5. 不断练习：要真正掌握一题多解的技巧，需要不断地进行练习。
在练习中不断尝试新的方法，挑战自己的思维。
同时，也要注意总结经验和教训，不断提高自己的解题能力。
掌握一题多解的技巧需要一定的时间和精力，但只要不断努力，就一定能够取得好的效果。
怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化”
怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化”现代教育的基本理念是“以学生的发展为本”，既要面向全体，又要尊崇差异。
在数学教学中，教师要促进学生的全面发展，就要尊崇学生的个性，不搞一刀切，要创造促进每个学生得到长足发展的数学教育。
因此，针对过去计算教学中往往只有一种算法的弊端，在新课程中提出了“算法多样化”。
比如人教版小学数学实验教材一年级下册“20以内退位减法”，教材提示了用“破十法”“想加算减”“点数”“持续减”等方法都可以。
因此这些算法对一年级学生而言，很难说孰优孰劣，学生完全可以按自己的经验采用和选择例外的方法进行计算，教师不对各种算法进行评价，要尊崇学生自主的选择，保护学生自主发现的积极性，提倡和鼓励算法多样化。
“一题多解”与“算法多样化”是有区别的。
一般来说“一题多解”是面向个体，尤其是中等以上水平的学生，遇到同一道题可有多种思路多种解法，目的是发展学生思维的灵活性。
而“算法多样化”是面向群体，每人可以用自己最喜欢或最能理解的一种算法，同时在算法多样化时，通过交流、评价可以吸取别人的优势或改变自己原有的算法。
因此，在教学中不应要求学生对同一题说出几种算法，减轻学生不必要的负担。
但是数学是讲究“最优化”的，数学中“算法最优化”的含义是要求寻找最简便、最简易、速度快的方法。
这一点，教师在课堂教学中要十分明确，要负责任地引导学生去比较、去评价，并使学生掌握那些公认的最佳的、最优的、最基本的算法。
曾经看到一些计算课，讨论一道计算题，出现了十多种算法，教师还一个劲地催问：还有什么方法？占用了大量的课堂教学时间，直到临下课时才说：可以用自己喜欢的方法计算。
结果班级一些思维慢的学生搞得眼花缭乱、无所适从，最终也不知道哪个方法最佳。
这种教学效益是不是太低了？1/ 1。
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一题多解优化数学思维1 引言数学是思维的体操，学习数学，离不开思维。
思维是人脑对事物本质和事物之间规律性概括的间接的反映。
数学的抽象性决定了单单依靠感觉、知觉或表象是难以认识的，数学只有通过思维才能深刻理解，牢固掌握。
数学思维是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，有表现出它自己的特性，这种特性是由数学学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。
在数学中最能锻炼思维的莫过于“一题多解”。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解从不同角度出发，展开联想，进行思考，努力挖掘出问题中丰富的内涵，寻求问题的不同解法，学会举一反三，力争在多思和多解中领悟真谛，得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
2 什么是一题多解所谓“一题多解”，即教师对同一个数学问题从不同角度引导和启发学生进行思考，进而在所学知识范围内提出不同的构想和解法。
一题多解是指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得；从而达到一题多用既善于利用渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；使学生能够多题一用既对同类数学问题的归纳，并进而构建数学模型。
就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。
在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。
在日常课堂教学过程中，教师应有意识地对一些典型例题开展“一题多解”活动，这样不仅可以激发学生自己解决问题的热情，突出了学生在课堂教学中的主体地位，而且对提高学生的思维品质，培养能力是十分有益的。
3 一题多解对数学思维品质的锻炼学习数学，离不开思维。
数和形的种种内在联系和相互关系，特别是它们的本质属性与科学规律。
单单依靠感觉，知觉或表象是难以认识的，只有通过思维才能深刻理解，牢固掌握。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解从不同角度出发,展开联想,进行思考,努力挖掘出问题中丰富的内涵,寻求问题的不同解法, 学会举一反三,力争在多思和多解中领悟真谛,得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
开阔学生的思路，发展学生的智力，让学生从多角度去探索同一问题，培养学生的数学思维能力，优化学生的思维品质。
3.1一题多解对数学思维品质的锻炼现代数学教学，把发展学生的思维提高到了应有的地位。
苏联学者B.A.奥加涅相等认为：“区别于传统教学，现代教学的特点在于力求控制教学过程已促进学生思维发展。
”数学思维是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，又表现出自己的特性，这种特性是由数序学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。
众所周知，在数学活动乃至一般的实践活动中，谁都希望自己又较强的思维能力，这个主要取决于一个人的思维品质。
思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律性，又表现出个性差异，这种个性差异体现在个体思维活动中的智力特征就是思维品质，有时也称思维的智力品质。
由于数学本身及其研究方法的特点决定着数学思维具有自己的一些特点，这些特点就数学思维来说就是重要的思维品质。
这些思维品质就是深刻性、广阔性、灵活性、创新性。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解，有利于加强学生的思维训练 ，教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
一题多解从不同角度出发,展开联想,进行思考,努力挖掘出问题中丰富的内涵,寻求问题的不同解法,学会举一反三,力争在多思和多解中领悟真谛,得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
3.1.1一题多解对思维深刻性的锻炼思维的深刻性经常地被称之为分清实质的能力。
这种能力表现为能洞察所研究的每一事实的实质及这些事实指尖的相互关系；能从研究的材料（已知条件、解法及结果）中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况；能组合各种具体模式等。
我们认识一个事物（例如函数）总是受到两方面的制约，一方面是受对象本身所制约，这是一条很窄的渠道；而另一方面受反映对象的背景所制约，这是一条很宽的渠道（如函数可以是公式给出的，图像给出的，语言给出的，一个式子给出的，多个式子给出的，连续给出的，间断地给出的等等），如果反映对象的背景材料不全面，那么必影响对对象的深刻认识。
所以这种很宽的渠道往往是无意识地在起作用的。
思维的深刻性，不仅表现在审题时能很快发现和抓住问题的特征，挖掘出隐含条件，从而迅速确立解题的策略，而且还表现在解题后不满足于“一题一法” 而是深刻领会解题的实质，掌握其一般规律。
例 ：正实数y x ,满足128=+y x 。
求y x t +=的最小值面对这道题，我们学生一般用消元法减少其中的变量来处理解法一 探究命题的等价形式问题中有三个变量t y x ,,，可以通过变形消去一个变量，将函数的最值问题转化为二次方程有实数解的问题。
128=+y x 82-=⇒x xy 代入y x t +=化简得(*)08)6(2=++-t x t x ， 方程(*)有实数解084)6(2≥⨯-+=∆⇔t t ，解得18)(2≥≤t t 或舍。
检验：当),8(12(*)1821+∞∈===x x t 的解为时，方程。
由此可知：18,612min =⎩⎨⎧==t y x 时。
解法二 变换问题的角度，所求y x t +=的最小值中t 是关于两个变量y x ,的表达式，而y x ,满足条件式128=+y x ，引导学生把t 转化为x （或y ）的函数，进一步启发学生如何求函数的最值。
简解如下： 128=+y x ⇒ )8(82>-=x x x yy x t +=82-+=x x x 816)8(2-+-+=x x x8162-++=x x 108168+-+-=x x 1810816)8(2=+-⋅-≥x x当且仅当8168-=-x x 即6,12==y x 时，18min =t 解法三 观察给定条件式的结构特点，联想三角恒等式。
课堂教学过程中，学生发现条件式128=+y x 与三角恒等式1cos sin 22=+αα的结构形式上有相似之处，教师引导学生利用变换将问题转化为三角形式，并提醒学生注意三角变换中角的范围。
令)20( cos 2sin 822πααα<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x ， 则⎪⎩⎪⎨⎧==αα22sec 2csc 8y xy x t +=αα22sec 2csc 8+=αα222810tg ctg ++=αα2228210tg ctg ⋅+≥=18 当且仅当αα2228tg ctg =即22=αtg 时（进一步可得出对应的y x ,的值），18min =t解法一于解法二采用常规解法，通过采取消元的方法使的原方程变得简单易解，不过计算量相对就比较复杂，在解题的时候相对要求较强得到计算能力。
而解法三通过观察给定条件式的结构特点，联想三角恒等式1cos sin 22=+αα，挖掘出隐含条件，发现问题的特征更简洁更准确的给出解答，整个解题过程简单明了，计算简单。
通过对比可知分析题目时，不能老把思维停在问题的表面上，二要深入洞察问题的实质，揭示问题的本质特征，从而更好的锻炼到思维的深刻性，优化了解题的效果。
3.1.2一题多解对思维广阔性的锻炼思维的广阔性是指思路宽广，善于多方探求。
不但能研究问题的本身，而且又能研究有关的其它问题。
任何一个事物总不会都像一个球，从每个角度看都是一种形状而无变化；任何一个事物也总不会都像一张白纸，看上去永远是一个平面而无层次。
应当提倡立体思维，也就是多角度，多层次地思维。
在数学学习中，应该要求学生既把握数学问题的整体，抓住他的基本特征，有要求不忽略重要的细节和特殊的因素，放开思路进行思考，解决问题。
不过思维的广阔性也是以丰富知识经验为依据的。
数学教学中可引导学生从各方面联系，寻求多种解决问题的方法。
对于同一道题目，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出不同的解法。
通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养思维的广阔性。
例 ：求函数y=3cos 3cos x x-+ 的值域 解法一由3cos3cosxyx-=+得：cos x =3(1)1yy-+。
1coxs≤，3(1)11yy-∴≤+，解得：123y≤≤。
即所求函数的值域为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
解法二由3cos3cosxyx-=+，得：613cosyx=-++cos1x≤，23cos4x∴≤+≤，36323cos x∴≤≤+，161223cos x∴≤-+≤+。
即所求函数的值域为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解法三设tan2xt=，由221tan2cos1tan2xxx-=+，得：2224tan222tan2xyx-=+，即222442tyt+=+，可化为：()224420y t y-+-=，由判别式可得：()()24420y y=---≥，解得：122y≤≤，即所求函数的值域为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。