分数裂项题库教师版
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
1-2-2-1分数裂项.教师版.doc
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 知识点拨教学目标分数裂项计算1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂项.题库教师版
裂 项 常规分数裂项示例：⑴ ()11111n n n n =-++； ⑵()1111n n k k n n k ⎛⎫=⨯- ⎪++⎝⎭； ⑶ ()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦； ⑷ ()()()()()()()()1111123312123n n n n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥++++++++⎢⎥⎣⎦； 常规整数裂项示例：⑸ []1(1)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n n n +=⨯++--+； ⑹ 11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+++=++L ； ⑺ []1(1)(2)()(1)(2)(1)(1)(1)()2n n n n k n n n n k n n n n k k +++=++++--+++L L L【例1】 已知2(1)|2|0a ab -+-=，试求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++L 1(2004)(2004)a b +++L 的值． 【考点】有理数综合运算【难度】4级【题型】解答【关键词】2008年，第十三届“华杯赛”决赛，裂项，非负数性质的综合应用【解析】∵2(1)|2|0a ab -+-=，且2(1)0a -≥，20ab -≥．∴1020a ab -=⎧⎨-=⎩解得1a =，2b =． ∴ 原式111112233420052006=+⨯++⨯⨯⨯⨯L 111111112233420052006=-+-+-+-L 12005120062006=-=． 【答案】20052006【例2】 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，┅┅ ① 计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ． ② 探究1111......122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（用含有n 的式子表示） ③ 若 1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735，求n 的值． 【考点】有理数综合运算【难度】4级【关键词】2008年，广东湛江中考，裂项，规律探索 【解析】① 56．② 1n n +．③ 17n =； 【答案】① 56．② 1n n +．③ 17n = 【例3】 观察下列各式：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯，1111()57257=-⨯，…，根据观察计算： 1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+L ．（n 为正整数） 【考点】有理数综合运算【难度】4级【题型】填空 【关键词】2009年，肇庆中考，裂项，规律探索【解析】略【答案】21n n + 【例4】 计算：11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯L 【考点】有理数综合运算 【难度】4级 【题型】计算 【关键词】裂项 【解析】原式11111115511(1)56611515655656=-+-++-=⨯=L 【答案】1156【例5】 计算：22222211111121314151981991++++++------L 【考点】有理数综合运算【难度】5级 【题型】计算 【关键词】裂项，应用公式【解析】原式11111(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)=+++++-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+L 111111()()13359799244698100=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L 11111129949146512199221002009919800⨯⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ 【答案】1465119800【例6】 试求算式1111(1223)()(19202021)()122319202021⨯+⨯+++⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯L 的整数部分． 【考点】有理数综合运算【难度】5级 【题型】计算 【关键词】裂项 【解析】2111112222[(1)(1)][]2()22(1)(1)111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n -+++=⋅⋅+=+=++--+-+-+-+ 22411n n =+--+ 原式222222222212(4)(4)(4)41979132419211220211021=+-++-+++-=⨯++--=--L 可见所求整数部分为78． 【答案】78 【例7】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= ． 【考点】有理数综合运算【难度】5级 【题型】计算【关键词】裂项【解析】原式11111282446681618⎛⎫=++++⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭L 1111111128224461618⎛⎫=⨯-+-++-⨯ ⎪⎝⎭L 1164218⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭4289= 【答案】4289【例8】 计算：1511914117111234567892612203042567290-+--+-+-． 【考点】有理数综合运算【难度】6级【题型】计算 【关键词】2006年，希望杯2试，裂项 【解析】1111111111335577992612203042567290⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++---++--++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111111111335577992612203042567290⎛⎫=-+--+-+-++++----- ⎪⎝⎭11111111191223344556677889910⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎣⎦4183951010⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭． 【答案】8310-【例9】1434629814219425432239848215356399143195255323399483+++++++++ 【考点】有理数综合运算 【难度】6级 【题型】计算 【关键词】我爱数学夏令营，裂项【解析】原式111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)15356399399483=-+-+-+-++-+-L 1111115910()10()935572123232369=-+++=-⨯-=⨯⨯⨯L 【答案】59969【例10】 计算：2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----⨯++++++++++L L L 【考点】有理数综合运算【难度】6级 【题型】计算【关键词】裂项【解析】注意到每一项分母两个因子的差恰好等于分子，因此考虑拆项；经过尝试，发现有2111(12)12=-⨯++，311(12)(123)12123=-++++++…，所以 原式111111212123⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭11129912100⎛⎫-- ⎪++++++⎝⎭L L L 11121005050==+++L 【答案】15050【例11】 计算：23993!4!100!+++=L 【考点】有理数综合运算【难度】6级 【题型】计算【关键词】裂项【解析】原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L L 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯L 112100!=- 【答案】112100!-【例12】计算：1113992111111 1(1)(1)(1)(1)(1) 2232399+++++++++LL【考点】有理数综合运算【难度】6级【题型】计算【关键词】裂项【解析】原式11113992433434534100 2232342399=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯LL222223344599100=++++⨯⨯⨯⨯L11492()210050=⨯-=【答案】4950【例13】计算：1111111123456192011111 11201219131814171516-+-+-++-=++++⨯⨯⨯⨯⨯L________．【考点】有理数综合运算【难度】6级【题型】计算【关键词】裂项【解析】原式1111111122320241820131******** 3111201219131814171516⎛⎫++++-⨯++++⎪⎝⎭=⎛⎫⨯++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭L L1111111123202910111201219131814171516 3111201219131814171516⎛⎫++++-++++⎪⎝⎭=+++++⎛⎫⨯++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭L L11111122011111111111 3111201219131814171516+++=⎛⎫⨯+++++++++⎪⎝⎭L1131=31=【答案】31【例14】求证：1111131335(21)(21)2n n+++<⨯⨯-+L≤（n为正整数）【考点】有理数综合运算【难度】6级【题型】计算【关键词】2007~2008年，北京四中期中考试附加题，裂项【解析】当1n=时，原不等式为111≤<，显然成立；当1n >时，10(21)(21)n n >-+，故11111335(21)(21)3n n +++>⨯⨯-+L ． 于是可知，11111335(21)(21)3n n +++>⨯⨯-+L 得证． 又111111111(1)1335(21)(21)23352121n n n n +++=-+-++-⨯⨯-+-+L L 111(1)2212n =-<+，故1111131335(21)(21)2n n ≤+++<⨯⨯-+L 成立． 【答案】见解析【例15】 已知11111115111941(1)110099N k k =+++++++++-L L ，求[N ]的值. 【考点】有理数综合运算【难度】6级 【题型】计算 【关键词】裂项 【解析】一方面，我们有111111111511192941(1)110099N k k =+++++++++>+-L L 另一方面，我们又有 11111111511192941(1)110099N k k =++++++++++-L L 1111111126122030(1)99100k k <+++++++++-⨯L L 111111122399100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122100=-<，从而 1<N <2，故[]1N =. 【答案】1【例16】 计算：111111*********(2008)2006220071n n ⎡⎤++++++⎢⎥⨯⨯⨯-⨯⨯⎣⎦L L 2007111120081200622005(2007)20061n n ⎡⎤-+++++=⎢⎥⨯⨯⨯-⨯⎣⎦L L 【考点】有理数综合运算【难度】6级【题型】计算 【关键词】2008年，迎春杯高年级组复试，裂项 【解析】原式111111*********(2008)2006220071200711112008200820081200622005(2007)20061n n n n ⎧⎡⎤⎪++++++⎨⎢⎥⨯⨯⨯-⨯⨯⎪⎣⎦⎩⎫⎡⎤⎪-+++++⨯÷⎬⎢⎥⨯⨯⨯-⨯⎪⎣⎦⎭L L L L =2008200820082008200820081200722006(2008)2006220071200720072007200720081200622005(2007)20061n n n n ⎡⎤=++++++÷⎢⎥⨯⨯⨯-⨯⨯⎣⎦⎡⎤-+++++÷⎢⎥⨯⨯⨯-⨯⎣⎦L L L L 111111111120082007220062008200622007111111111120082006220052007200522006n n n n ⎡⎤=+++++++++++÷⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-+++++++++++÷⎢⎥-⎣⎦L L L L 1112008200720072015028⎛⎫=+÷= ⎪⎝⎭【答案】12015028【例17】 计算：1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，裂项【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以 原式()()()222112299=++++++L()()222129129=+++++++L L 119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L 这一结论． 常见的裂项都是分式的裂项，此处则是整式的裂项．从中还可以得出：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L ． 【答案】330【例18】 计算：12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算【关键词】裂项【解析】()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式 11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 12970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++L ． 【答案】2970【例19】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=L【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算【关键词】裂项【解析】记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L ，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了． 12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦L33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++L L221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例20】 计算：11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=L ________【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算【关键词】裂项【解析】观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-L L ， 可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++-L 2009!=【答案】2009! 【例21】 设234922221335579799S =++++⨯⨯⨯⨯L ，248122235799T =++++L ，求S T -的值． 【考点】有理数综合运算【难度】5级【关键词】五羊杯，裂项 【解析】234922484822221122222213355797991335579799S =++++=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯L L ， 所以有492199S T =+-，进而可得：492199S T -=-． 【答案】492199- 【例22】 计算：222222221223342008200912233420082009++++++++⨯⨯⨯⨯L 【考点】有理数综合运算【难度】5级 【题型】计算 【关键词】裂项【解析】原式222222213220082009()()()121223232008200920082009=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 1324354200920082223344520082009=++++++++++L 2008200820082401620092009=⨯+= 【答案】200840162009【例23】 计算：1131351397()()()244666989898++++++++++=L L 【考点】有理数综合运算【难度】5级 【题型】计算【关键词】裂项【解析】原式115049(12349)612.5222⨯=⨯++++=⨯=L 【答案】612.5【例24】 计算：36579111357612203042++++++ 【考点】有理数综合运算【难度】5级 【题型】计算 【关键词】第3届，祖冲之杯邀请赛，人大附中入学测试，裂项 【解析】原式361111111111572334455667⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 311611111111555772443366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11114=+++=【答案】4【例25】 计算：123791117253571220283042+++++++= 【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算 【关键词】裂项 【解析】原式12311111121133573445475667=++++++++++++ 11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334= 【答案】334【例26】 计算：35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算 【关键词】裂项 【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 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计算：123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】有理数综合运算 【难度】5级【题型】计算【关键词】裂项【解析】式子中每一项的分母都是若干个连续整数连乘的积，分子则是这些整数中的最后一个与第一个的差，所以可以直接裂项． 原式13141516171121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯115040=-50395040= 【答案】50395040【例32】 计算：222222227191111991 (7191111991)++++++++---- 【考点】有理数综合运算【难度】6级【题型】计算 【关键词】裂项 【解析】原式222247122221117191111991----E55555F 个＝(++...+)+(+++...+) 22224768810101298100⨯⨯⨯⨯=+(+++...+) 1111111147474768810101298100300=+(-+-+-+...+-)= 【答案】4747300【例33】 计算：122399100⨯+⨯++⨯L【考点】有理数综合运算【难度】5级【题型】计算【关键词】裂项【解析】原式1[(123012)(234123)(991001019899100)]=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯L1991001013333003=⨯⨯⨯=． 【答案】333300【例34】 计算：1111120102638272330314151119120123124+++++++++= 【考点】有理数综合运算 【难度】6级【题型】计算 【关键词】南京市迎春杯数学竞赛，裂项 【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111112337434=++++++127= 【答案】127。
1-2-2-1-分数裂项.教师版
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：分数裂项计算教学目标知识点拨常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数乘法裂项练习题
分数乘法裂项练习题一、填空题1. 计算分数乘法时，分子相乘的积作为新分数的______，分母相乘的积作为新分数的______。
2. 如果一个分数的分子与分母同时乘以同一个数，这个分数的值将______。
3. 一个分数乘以1/2，相当于将原分数的值______。
4. 计算分数乘法时，如果分子和分母有公因数，可以先进行约分，这样做的目的是______。
5. 一个分数乘以另一个分数，结果为1/3，那么这两个分数的乘积是______。
二、选择题1. 计算下列分数乘法：1/4 × 3/5，结果为（）A. 3/20B. 1/4C. 1/5D. 3/42. 以下哪个分数乘以1/3的结果为1/9？（）A. 1/3B. 3/9C. 1/27D. 9/273. 一个分数的分子是2，分母是3，这个分数乘以2/3，结果为（）A. 2/3B. 4/9C. 1/3D. 1/94. 如果一个分数的分子不变，分母乘以2，那么这个分数的值将（）A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法确定5. 计算下列分数乘法：5/6 × 1/2，结果为（）A. 5/12B. 1/6C. 5/3D. 2/3三、计算题1. 计算：2/3 × 4/52. 计算：1/6 × 2/33. 计算：3/7 × 5/84. 计算：7/9 × 2/55. 计算：8/15 × 3/4四、应用题1. 一个长方形的长是4/5米，宽是3/4米，求这个长方形的面积。
2. 一个班级有40名学生，其中1/5的学生参加了数学竞赛，求参加数学竞赛的学生人数。
3. 一个工人每小时可以完成3/4个任务，他工作了2小时，求他总共完成了多少个任务。
4. 一个果园里有1/3的苹果树，剩下的是梨树。
如果果园里总共有120棵树，求苹果树和梨树各有多少棵。
5. 一个水池的容积是1/2立方米，如果每小时向水池中注水1/4立方米，求需要多少小时才能将水池注满。
分数裂项相消练习题
分数裂项相消练习题一、选择题1. 下列哪一项不是分数裂项法的典型特点？A. 将分数拆分为更小的分数B. 将分数相加得到整数C. 简化复杂分数的计算D. 通过裂项消除公共项2. 在分数裂项相消中，如果两个分数的分母相同，我们可以通过什么来简化计算？A. 直接相加B. 直接相减C. 裂项相消D. 通分二、填空题3. 给定分数 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)，使用分数裂项法，我们可以得到 \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \) 和 \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)，然后通过______来简化计算。
4. 计算 \( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} \)，首先需要进行______，然后通过裂项相消法，可以得到 \( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} =\frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20} \)。
三、计算题5. 计算下列分数的和：\( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \)6. 计算下列分数的差：\( \frac{3}{8} - \frac{2}{5} \)四、应用题7. 一个班级有48名学生，其中1/3是男生，1/4是女生，剩余的是其他类别。
如果班级中的女生人数是男生的1/2，求班级中男生和女生的人数。
8. 一个工厂有三种类型的机器，A型机器占总数的1/4，B型机器占总数的1/5，剩下的是C型机器。
如果工厂共有120台机器，求A型、B 型和C型机器各有多少台。
五、解答题9. 解释分数裂项法的基本原理，并给出一个例子说明如何使用这种方法来简化分数的加法或减法。
10. 给出一个分数裂项相消的复杂问题，并详细解答，展示你的解题步骤。
六、创新题11. 设计一个分数裂项相消的练习题，要求包含至少三个分数的加法或减法，并且需要使用到分数裂项法来简化计算。
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本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：分数裂项计算教学目标知识点拨常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【巩固】2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯L【例 2】1111 11212312100 ++++++++++L LL公式的变式1 1221+++=⨯-…n n n()当n分别取1，2，3，……，100时，就有1 12 12 1122 231 1232 341 12342 451 121002 100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯…例题精讲111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101求和公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯L【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭L【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= 方法一：=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128 =12×(12−14+⋯+114−116+116−118)×128方法二： =[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128 =16×(2+2+2+2+2+2+2+2) =16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9) =16×2×(1−12+12−13+⋯+18−19)【巩固】 11111111612203042567290+++++++=_______【巩固】 11111113610152128++++++= 一项隔一项来拆项 =1+12×(1−13)+16+13×(12−15)+115+14×(13−17)+128 【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ =12−(12−13)−⋯(19−110)【巩固】 11111104088154238++++= 。
【例 5】74.50.1611111813153563 13 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++=⎪⎝⎭-⨯&【例 6】计算：11111123420261220420+++++L=(1+2+⋯+20)+(1−12+12−13+⋯+120−121)【巩固】计算：11111 200820092010201120121854108180270++++= 。
【巩固】计算：1122426153577++++=____。
【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900+++++++=L．=1−12+1−16+⋯+1−19900=99−(12+16+⋯+19900)【例 7】111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】计算：111 1232349899100 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L=14×(11×3−13×5+12×4−14×6+⋯+120×22−122×24)【巩固】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L=1−11×2×3+1−22×3×4+1−33×4×5+⋯1−9999×100×101【例 8】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=13×(11×2×3−12×3×4+⋯+17×8×9−18×9×10)【例 9】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L．=2+31×2×3+3+42×3×4+⋯+9+108×9×10【例 10】123456 121231234123451234561234567 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1−11×2+31×2×3−11×2×3+41×2×3×4−11×2×3×4+⋯+71×2×3×4×5×6×7−11×2×3×4×5×6×7【巩固】计算：23993!4!100!+++=L .【例 11】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++LL L=2×12×(1−11+2)+3×13(11+2−11+2+3)+⋯+50×150×(11+2+⋯+49−11+2+⋯+50【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310) ----⨯++⨯++++++⨯++++LL L （）【例 12】56677889910 56677889910 +++++ -+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】36579111357612203042++++++=35+67+56+3+43×4+4+54×5+5+65×6+6+76×7【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++==13+34+25+57+78+4+54×5+3+73×7+3+83×8+5+7+75×7【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【巩固】111112010263827 2330314151119120123124+++++++++10=17−726=30−438=41−327=31−4【巩固】计算：5791113151719 1612203042567290 -+-+-+-+【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算。