分数裂项计算
分数裂项变形
裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两 抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
练习： 1 1 1 L
1
135 35 7 5 79
2001 2003 2005
【巩固】 4 4 ......
4
4
135 35 7
。
18
54
108
180
270
11 2 1 3 1 4 1 L 20 1
例 4： 2 6 12 20
420
【巩固】计算： 1 1 2 2 4 2 6 15 35 77
____。
1 1 1 1
1
例 5： 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6
6 7 8 9 7 8 9 10
【巩固】 3 3 ......
3
1 23 4 23 45
17 1819 20
5 7 L 19
．
例 6： 1 2 3 2 3 4
8 9 10
【巩固】计算：1155（ 5 7 L 17 19 ）
234 345
8 9 10 9 10 11
练习： 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） a b a b 1 1 （2） a2 b2 a2 b2 a b
ab ab ab b a
ab ab ab b a
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为
分数计算技巧 裂项
2、
⑵ 公式： 1 分数裂和: a b
(1 a
1 b
)
1 差值
⑴ 特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和.
⑵ 公式： a b 1 1 ab a b
抵消
【今日讲题】 例2, 例3, 例5, 超常大挑战
【讲题心得】 _______________________________________________ ______________________________________.
【巩固】(★★)计算:
10
1
11
1 11
12
......
59
1
60
1
【例2】(★★★)
1 1
3
3
1
5
5
1
7
7
1
9
9
1 11
_____
【拓展】(★★★☆)
4 1
4
4
4
7
7
4 10
49
4
52
_____
【拓展】(★★★)
⑴ 计算:
1 24
【例4】(★★★★) ⑴ 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90
⑵ 1 1 5 7 9 11 13 15 17 19 2 6 12 20 30 42 56 72 90
4
1
6
1 68
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
1、分数的裂项(裂差)
华数知识点点击破
陈拓老师讲义
例5. 计算： 1
1 1 1 1 _________； 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100
n n 1 ，尽量不要约去分母中的 2，分母就是分数裂项的敏感 2 数列：12，23，34，46，„„，可以直接裂项了。 1 1 1 1 1 【解答】原式 2 100 101 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 1 101 200 101 【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则 可以找不到规律。
【分析】整体共 99 个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式。 1 1 1 1 1 1 1 1 【解答】原式 1 2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 100
99 100
【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！
【分析】分母先使用公式：123n
例6. 计算：
12 22 22 32 32 42 20152 20162 =__________； 1 2 23 3 4 2015 2016 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带 分数，以便，整数部分和小数部分分别计算。 1 1 1 1 【解答】原式 2 （共 2015 项） 2 2 2 23 3 4 2015 2016 1 2 1 1 1 1 2 2015 2015 2016 1 2 2 3 3 4 1 4030 1 2016 2015 4030 2016
裂项法在分数计算中的应用
裂项法在分数计算中的应用裂项法是分数运算中常用的简便方法之一，而且运用裂项法往往会使繁杂的分数计算简单化，所以掌握裂项法的解题要求和思想是十分重要的。
裂项法的原理：我们在进行分数计算使运用了BA B A B A B A A B B A 11,11，我们将此运算逆向思维，则可以得到BA B A B A B A B A A B 11,11 。
即当一个分数的分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差或和，则我们可以将这个分数写成两个分数的和或差。
裂项法的原理比较简单，但是分数计算中所涉及到的题型的变化和其他数学思想的渗入、结合，使有些问题变得复杂、棘手。
下面就有关于裂项法所涉及到的一些题型和变化进行一番探索。
例1、计算200520041431321211 分析：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以将每一个分数分裂成两分数的差，即111)1(1 n n n n 20052004200511200512004131212111 解：原式 小结：通过以上的介绍可以看到在分数计算中，有的计算如果运用通分等思想，由于题目过于复杂，不容易计算，而使用裂项法就使解题变得十分的简单。
111111131212111)1(1321211 n n n n n n n 例2、计算561542133011209127311 分析：此题好象不符合裂项法的要求，但是我们仔细分析，发现分母上的 ,5420,4312 ，而分子恰好是这两个正整数的和：3+4=7，4+5=9，…，所以可以运用裂项法的原理来解。
)8171()7161()6151()5141()4131(311 解：原式 87811 例3、计算200520032752532312 分析：此题是分数运用裂项法计算的最基本的变化，但是从题中可以看出，此种类型的题目还是没有脱离裂项法的基本题型：分母是两个正整数的乘积，分子是这两个正整数的差。
分母裂项拆分万能公式
分母裂项拆分万能公式分母裂项拆分是高中数学中的一个重要知识点，也是求解有理式的关键技巧之一。
分母裂项拆分能够将一个复杂的分式化简为若干个简单的分式之和或之差，方便我们进行进一步的计算和分析。
下面，我们将详细介绍分母裂项拆分的方法和相关公式：1. 一般形式的分数的分解对于一个形如$\\frac{P(x)}{Q(x)}$的分式，要进行分母裂项拆分，首先需要对分母进行因式分解，假设分母因式分解为$Q(x)=(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\\cdots (x-a_k)^{m_k}$，则原分式可以表示为：$$\\frac{P(x)}{Q(x)}=\\frac{A_1}{x-a_1}+\\frac{A_2}{(x-a_1)^2}+\\cdots+\\frac{A_{m_1}}{(x-a_1)^{m_1}}+\\frac{B_1}{x-a_2}+\\frac{B_2}{(x-a_2)^2}+\\cdots+\\frac{B_{m_2}}{(x-a_2)^{m_2}}+\\cdots+\\frac{C_1}{x-a_k}+\\frac{C_2}{(x-a_k)^2}+\\cdots+\\frac{C_{m_k}}{(x-a_k)^{m_k}}$$其中，$A_1,A_2,\\cdots,A_{m_1},B_1,B_2,\\cdots,B_{m_2},\\cdots,C_1,C_2,\\cdots ,C_{m_k}$为待求的系数。
2. 复杂分式的化简如果原分式的分母不能直接因式分解，可通过乘以一个合适的因式进行化简。
比如，对于一个分式$\\frac{P(x)}{Q(x)}$，如果恰好分母含有一个关于$x$的二次项$(ax^2+bx+c)$，可将其分子分母各乘以$(a^{-1}(bx+c)-x)$或$x-(a^{-1}(bx+c))$进行化简，然后再按照一般形式的分解方法进行裂项拆分即可。
3. 特殊情况的裂项拆分分子次数比分母次数低1的分式$\\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}$，可以直接用下述的公式进行裂项拆分：$$\\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\\frac{A}{x-a}+\\frac{B}{x-b}$$其中，$A,B$为待求的系数。
(完整版)六年级奥数-分数裂项(最新整理)
2
2
2
2
2
2
2
2
= 16 × ( +
+
+
+
+
+
+)
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 7×8 8×9
1 11
11
= 16 × 2 × (1 ‒ 2 + 2 ‒ 3 + … + 8 ‒ 9)
【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______ 6 12 20 30 42 56 72 90
【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
10 17 - 7 26 30 - 4
=
=
119 17 × 7 120 30 × 4
38 41 - 3 27 31 - 4
=
=
123 41 × 3 124 31 × 4
教师版
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【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 3 2 5 7 4+5 3+7 3+8 5+7+7 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 4×5 + 3×7 + 3×8 + 5×7
【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
23
1
25
【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008
分数裂项法解分数计算
法解分数计算SANY GROUP system office room [SANYUA16H-分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律.利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、"裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系.找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即丄形式的，这里我们把较小的数写在前axb面，即y那么有—=—(1-1)axb h-a a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：________! _______ _____________ ! ___________ 形式的我们有：n x (n +1) x (；? + 2) ' n x (” +1) x (?? + 2) x (n + 3) '_____ ! _____ =i[—! __________ !—]n x (n + l)x (n + 2) 2 n x (” +1) (n + \)(n + 2)________ ! ________ =1( ______ !_____ - ________ ! _______ jnx(n + \)x(n + 2)x(n + 3) 3 nx(n + l)x(n + 2) (n +1)x(n + 2)x(/? + 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数) 的，但是只要将X提取出来即可转化为分子都是1的运算。
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分数裂项计算
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
教学目标
知识点拨
（1）
11
a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
⨯⨯⨯
（2）
2222
a b a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
⨯⨯⨯
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】
11111
1223344556
++++=
⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【例2】
1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
1111
25
1335572325
⎛⎫
⨯++++=
⎪
⨯⨯⨯⨯
⎝⎭
【例3】1111 11212312100 ++++
++++++
例题精讲
【例4】计算：
11111111
()128 8244880120168224288
+++++++⨯=
【巩固】11111111 612203042567290
+++++++=______
【例5】计算：
1111 135357579200120032005 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例6】计算：
11111 20082009201020112012
1854108180270
++++= 。
【巩固】计算：
11111 123420 261220420 +++++
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