华南理工大学《高等数学》试卷A+答案

4分，共24分）

432x y x +，则(1,2)

d z

=3412dx dy +

cos sin x a t

y a t z ct

===在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c ==

2222

()(,)0,)0(,)0

x y xy x y y x y x y ⎧-≠⎪

=+⎨⎪=⎩

，则(0,)x f y =y -.

22x y +在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2P 方向的方向导数是

为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分

2

)d (4)d x x

x y +-=18π-

y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L

xy s =

⎰4

. 7分） 计算二重积分2

22e d x y D

xy σ⎰⎰，其中D 是由1,0y x x ===所

. 2

2x y xy e dx ------4’

’ 7分）计算三重积分⎰⎰⎰Ωd v z ，其中Ω是由22222

2

x y z z x y

⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定. 2

r rdr ⎰

-------4’

’

四．（本题7分）计算2222d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑

+-++⎰⎰，其中∑为半球

面z =.

补面0z =,取下侧,---------------------------1’ =1

22222x y z dv xy y zdxdy Ω

∑++-+⎰⎰⎰⎰⎰-------------3’

=2420

sin a

d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰---------------------2’

=5

25

a π-------------------------------------1’

五．（本题7分）计算(1)d x y S ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面221

()(01)2z x y z =+≤≤.

=

222

(x y x y +≤++⎰⎰

-------------4’

=20

d πθ⎰---------------------2’

=21)3

π

-----------------

六．（本题7分）求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值.

22222(1)F x y z x y z λ=-++++------------------2’

12000x y z F x F F λ=-=== ---------------------------------------3’

2221x y z ++=

122

(,,)3(max)333u -=---------------------------------1’ 122

(,,)3(min)333u --=-------------------------------1’

七．（本题7分）设(,)x z f x y =,f 具有连续二阶偏导数,求2,.z z

x x y ∂∂∂∂∂

''121

z f f x y

∂=+∂---------------------3’ 2''''

'1222231()z xyf xf yf x y y

∂=-++∂∂--------4’

八. （本题7分）求微分方程2(e )d d 0x y x x x y -+-=的通解.

1

'x y y xe x --

=------------------------1’ 由1

'0y y x -=解出y Cx =--------------3’

常数变易解出()x y x C e -=-------------3’

九.（本题8分）设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,'(0)1f f ==，且

2[()()]d ('())d 0xy x y f x y x f x x y y +-++=全微分方程，求()f x 及此全微分方程的

通解.

由x x P Q =得2''()()f x f x x +=-----------2’

2()2cos sin 2f x x x x =++-------------3’

通解22

2sin cos 22

x y y x y x xy c -+++=----3’

十. (非化工类做)（本题7分）求幂级数0

1n

n x n ∞

=+∑的收敛域及其和函数.

收敛域[1,1)------------2’

ln(1)

0()1

0x x S x x

x -⎧-

≠⎪=⎨⎪=⎩,[1,1)x ∈------5’ [1,1)-

十一. (非化工类做)（本题6分）将函数1()ln 1x

f x x

+=-展开成x 的幂级数.

()ln(1)ln(1)f x x x =+----------------2’ 0

((1)1)()1n n

n x f x n ∞

=-+=+∑---------------4’

十二. (非化工类做)（本题6分）证明在区间[,]ππ-上等式122

2

1

(1)cos 124n n x nx n π-∞

=-=-∑成立.

知道将2

4x 在[,]ππ-展开为Fourier 级数-------2’

22

00

2

46x a dx π

ππ

=

=⎰

-----------------2’ 21

2

(1)cos 4n n x a nxdx n

π

π

--=

=⎰

---------2’