华南理工大学《高等数学》试卷A+答案

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华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

华南理工大学高等数学统考试卷上2007期中答案.

姓名学号学院专业座位号( 密封线内不答题……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________ ________…华南理工大学期中考试2007-2008学年第一学期《高等数学》期中试卷简单答案一. 解答下列各题 (每小题6分,共36分1. 当时，无穷小量与是等价无穷小，求常数.解2.指出函数的间断点，并判断它们的类型.解为跳跃间断点.3. 求过坐标原点且与曲线相切的切线方程.解或4. 设函数, 求.解.5. 设函数由所确定，求.解.6. 设函数由方程确定，求在处的值.解在处的值为.二. 解答下列各题(每小题8分,共24分7. 求极限．解.８．（Ａ）求函数的极值．解极小值，极大值.（Ｂ）已知，求使成立的被积函数．解.９. 设，（１）讨论在处的可导性，（２）讨论在处的连续性．解在处的不连续.三. (本题１０分１０（Ａ）．当时，证明不等式成立．证明设，在连续，可导.，，于是在单调增加，，从而在单调增加，.１０（Ｂ）．设在上连续，证明：存在，使．证明设，在上连续，且，.由闭区间上连续函数的零值定理知存在，使.四. (本题１０分１１（Ａ）. 曲线在点处的切线和法线分别与轴交于点和点，求常数的值，使三角形的面积最小．解为最小.１１（Ｂ）设函数由方程所确定，求．解，.五. (本题１０分１２（Ａ）讨论曲线与的交点的个数．解设，当，无实根，没交点.当，有唯一实根，一个交点当，，有两个实根，两个交点１２（Ｂ）（1）设，求的表达式；解（2）求不定积分．解六. (本题10分１３（Ａ）设在上有界且可导，证明方程至少有一个实根．解设，在可导，.由在上有界知，.若在上，则，对任意的实数.若在上不恒等于零，不妨设，可知在上必有最大值，最大值点为.１３（Ｂ）设函数在上连续，且，证明存在一点，使．证明在上连续，有最值，，，，由介值定理知存在一点，使．。

华南理工大学高等数学统考试卷下

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《高等数学（下）》试卷A15分，每小题3分）若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是（））(),z f x y =在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在；曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（））0； (B) 1； (C)12； (D)不存在已知曲面()22:10z x yz ∑=--≥，则222dS ∑=（））2π； (B) π； (C) 1； (D)12π 已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=，则（））L 在∏内； (B) L 与∏平行，但L 不在∏内；L 与∏垂直； (D) L 与∏不垂直，L 与∏不平行（斜交）、用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y = （） (A) 2ax ；（B ）2ax bx c ++；（C ）2()x ax bx c ++；（D ）22()x ax bx c ++（本大题共15分，每小题3本分）. arctanxz y=，则dz = . 曲线L 为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分L⎰的值等于３. 交换积分次序后，ln 1(,)e x dx f x y dy =⎰⎰４. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)-沿方向{}2,1l =的方向导数为 5. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的法线方程是三、（本题7分）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域四、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面0,1z z ==所围成的闭区域五、（本题7分）计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()221z x y z =+≤的上侧六、（本题7分）计算()()3133xy xy Lye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点(),0a -沿椭圆y =-(),0a 的一段曲线七、（本题6分）设函数()22220,0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，证明：1、(),f x y 在点()0,0处偏导数存在，2、(),f x y 在点()0,0处不可微八、（本题7分）设,,y z xf xy f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂九、（本题7分）设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数()321111321nn x x x n +-++-++的收敛域及其和函数解：收敛域[1,1]-上()()321111321nn S x x x x n +=-++-++()()()21,00,arctan 1S x S S x x x '===+ 十二、（非化工类做，本题7分）设函数()f x 以2π为周期，它在[,]ππ-上的表达式为()1,00,0,,1,0x f x x x πππ<<⎧⎪=±⎨⎪--<<⎩求()f x 的Fourier 级数及其和函数在x π=-处的值解：()021120,sin n n n a b nxdx n πππ⎡⎤--⎣⎦===⎰ ()f x 的Fourier 级数为411sin sin 3sin 535x x x π⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦和函数在x π=-处的值为0十一、（化工类做，本题7分）已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和212:123y z L x +--== 证明：12//L L ，并求由1L 和2L 所确定的平面方程十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分()2Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ连续可导，且()00ϕ=，计算()()()1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰一1B 2D3B 4B5B二122ydx xdyx y-+21e - 310(,)ye e dyf x y dx ⎰4 5-512,021x y z --== 三解：2221458y y I dy xydx +-==⎰⎰四、解：11201,.22DI z dz or d zdz πππσ===⎰⎰⎰⎰五、解：32xyD I dv dxdy πΩ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰六、解：4(31)22aaDI dxdy x dx ab a π-=++=+⎰⎰⎰七、解：()()()0,00,00,0lim0x x f x f f x →-==,()()()00,0,00,0lim 0y y f y f f y→-==,0,00,0limx y f x y f x f y∆→∆→∆∆-∆-∆22200lim()x y x yx y ∆→∆→∆∆=∆+∆极限不存在故不可微八解：22212111222,2z z y x f f xf x yf f y y x x ∂∂'''''''=+=+-∂∂∂ 九、解：()()1x xx e p x e -=，求10xx e y y e-'+=得x x e y ce -+=从而通解为xx e x y ce e -+=+十解：设切点()000,,x y z ，切平面方程为0002221xx yy zz a b c++=，四面体体积为2220006a b c V x y z =令2222221x y z F xyz a b c λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭2200x y z x F yz a F F F λλ⎧=+=⎪⎨⎪===⎩()000,,x y z =⎝⎭ 十一、证：{}{}121,2,3,1,2,3s s =--=-，故12//L L由这两条直线所确定的平面方程为210x y +-=十二解：()()22,,xy y x x x ϕϕ'==()()()1,120,012xy dx y x dy ϕ+=⎰1.产品成本是指为制造一定数量、一定种类的产品而发生的以货币表现的（）。

华南理工大学网络教育专科-高等数学B(下)第二学期

华南理工大学网络教育专科高等数学B(下）第二学期（单选题) 函数定义域为（ )(A ）（B ）（C ）(D ）答题:A.B.C 。

D. （已提交）参考答案：D 问题解析：2。

（单选题）函数定义域为（）（A) （B ）（C ）（D ）答题:A.B 。

C.D. （已提交）参考答案：B 问题解析:3.（单选题)（A ）（B ）（C ）（D ）答题：A 。

B 。

C.D 。

(已提交)参考答案：A 问题解析：4。

(单选题)(A ）（B ）(C)（D ）答题：A 。

B.C.D. （已提交）参考答案：C 问题解析：5。

(单选题）（A）（B）（C） (D)答题： A. B. C。

D. （已提交）参考答案：A问题解析：6.(单选题)(A）（B）0 （C） (D）答题： A。

B. C. D. (已提交）参考答案:C问题解析：7。

（单选题)（A）（B)（C）（D）答题： A。

B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.（单选题)（A) (B）（C）（D）答题： A。

B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：9。

（单选题），则（A）（B）（C）（D）答题: A. B. C. D。

（已提交）参考答案：B问题解析：10.（单选题）若，则（A）（B） (C)（D）答题： A。

B. C。

D. (已提交)参考答案:A问题解析：11.(单选题）若，则（A） (B）（C)（D）答题： A. B。

C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：12。

(单选题) 若，则(A)（B) （C）（D）答题： A. B。

C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：13.(单选题）若，则(A） (B） (C）（D)答题: A。

B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：14.（单选题) 若，则（A） (B）（C） (D）答题： A. B。

C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：15。

华南理工大学高等数学习题册第9章详细答案

解： Γ 是
1
原式 =
1
⎣(1 + t ) + 2 (1 + 2t ) + 3 (1 + t + 1+ 2t − 1) ⎤ ⎦ dt ∫⎡
0 1
= ∫ ( 6 + 14t ) dt = ( 6t + 7t 2 ) = 13
0 0
(3)
∫
Γ
ydx − xdy + dz ，其中 Γ 是圆柱螺线 x = 2cost , y = 2sin t, z = 3 t 从 t = 0 到
院系
班级
姓名
作业编号
第九章
1．计算
曲线积分与曲面积分
2
作业 13 对弧长的曲线积分
Ñ ∫ L x d s ，其中 L 为直线 y = x 及抛物线 y = x
所围成的区域的整个边界．
解： L 可以分解为 L1 : y = x, y′ = 1, x ∈ [0,1] 及 L2 : y = x 2 , y′ = 2 x, x ∈ [0,1]
0 2π
⎛ a2 + b2 ⎞ ⎛ ab sin 2t a 2 + b 2 ⎞ = ∫ ⎜ ab cos 2t − sin 2t ⎟ dt = ⎜ + cos 2t ⎟ = 0 2 2 4 ⎠ ⎝ ⎠0 0 ⎝
(2)
2π
∫
Γ
xdx + ydy + ( x + y − 1) dz ，其中 Γ 是从点 (1,1,1) 到点 ( 2, 3, 4) 的一段直线； x −1 y −1 z −1 = = , x = 1 + t , y = 1+ 2t , z = 1+ 3t ,t : 0 → 1 2 − 1 3 − 1 4 −1

华南理工大学成人高等教育

华南理工大学成人高等教育《高等数学》作业复习题（专科）（理工类专科各专业适用）第一章函数与极限一、选择题1、函数11y x =-的定义域是[ ]． A 、[2,1)(1,2]- ， B 、[2,2]-，C 、[2,1)(1,2]- ，D 、(1,2]．2、函数sin(32)y x =-的定义域是[ ]．A 、2[0,)3，B 、2(,)3+∞，C 、(2,3)，D 、(,)-∞+∞．3、设函数()20320x x f x x x <⎧=⎨>⎩，－，，则()1f -为[ ]． A 、 2, B 、 -2, C 、0, D 、1．4、下列函数中，[ ]是奇函数.A 、31y x =-，B 、2cos x y e x x =-，C 、1cosy x x=， D 、x x y cos sin +=．5、下列函数中, [ ]是周期函数.A 、1sin y x =+，B 、cos y x x =，C 、2cos y x =，D 、2sin y x =．二、填空题1、方程函数]1,(,)1(2-∞∈-=x x y 的反函数为_________．2、极限2lim 34n n n →∞=+________. 3、极限10lim ln[(1)]xx x →+= .4、极限1lim sin x x x→∞=________. 5、函数2(1)x y x =+的间断点是 . 三、计算题 1、求下列数列的极限：（1）212lim()n n n→∞-；（2）21lim1n n n →∞++；（3）n →∞；（4）lim 2n n→∞；（5）n →∞．2、求下列函数的极限:(1) 323lim(28)x x x →+-；(2) 0lim()xx e x →+；(3) 0lim x x →（4）224lim 2x x x →--；(5) 2221lim 23x x x x x →∞+-++；（6）lim x →+∞．3、利用两个重要极限求下列极限：(1) 0tan 2lim x xx →；(2) 201cos lim x xx →-；(3) 2lim(1)xx x →∞+；（4）21lim 1x x x +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（5）1lim(12)x x x →+．4、当0x →时，下列哪个函数是比x 的高阶无穷小？哪个函数是x 的等价无穷小.（1） 2()x x =α，（2）()sin x x =α．5、讨论下列分段函数在分段点的连续性：(1) ()31,110,1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩；（2）sin ,0()0,0x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．参考答案：一.选择题1-5 ADBCD ．二、填空题1、1y =[0,)x ∈+∞,2、23，3、1，4、0，5、1x =-．三、计算题1、（1）0；（2）0；（3）0；（4）12；(5)0．2、(1) 1；(2) 1 ；（4）4；（5）12，（6） 0．3、(1) 2；（2）12；（3）2e ；（4）e ；（5）2e ．4、()2x o x =；故函数()sin x x α=是x 的等价无穷小即sin x x . 5、（1）1x =为间断点；（2）0x =为连续点．第二章导数与微分一、选择题1、若函数)(x f 在某点可导，则函数在该点（）．A 、极限不一定存在，B 、不一定连续，C 、一定连续，D 、不可微.2、设0(2)(0)lim1,h f h f h→-=则(0)f '=（）. A 、2, B 、12, C 、1, D 、0. 3、设(0)2f '=，则0()(0)lim 2h f h f h→-（）. A 、2, B 、12, C 、1, D 、0. 4、函数y x =在点0x = 处（）；A 、连续，B 、可导，C 、不一定可导，D 、间断.5、设A xx f x =→)(lim 0，其中0)0(=f ，则A 可表示为（）. A 、)(x f ， B 、0， C 、)(x f '， D 、)0(f '.二、填空题1、方程函数2ln 2sin y e x =++，则()f x '=_________．2、极曲线x y e =在点(0,1)处的切线方程是 .3、设2ln y x =，则dy = .4、设曲线21y x =+在点M 的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________.5、设23(1)y x =-，则'y = .三、计算题1、求下列函数的导数： (1)；(2) 2(sin(12))y x =-；(3)3sin 2x y e x -=；（4）.2、方程23ln y x y =+确定了y 是x 的函数()y y x =，求函数的导数y '.3、参数方程1sin cos x t y t t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y y x =，求函数的导数y '．4、设x y xe =，求,,y y y '''''' 及(4)y．参考答案：一.选择题1-5 CACAD ．二、填空题1、cos x ,2、1y x =+，3、2x ，4、()1,2，5、226(1)x x -．三、计算题1、（1）213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）()()4sin 12cos 12x x ---；（3）333sin 22cos 2x x e x e x ---+；（4）()2222x x x e +． 2、22321yx y y '=-． 3、1sin cos dy t dx t+=-． 4、(4)(1),(2),(3),(4)x x x x y x e y x e y x e y x e ''''''=+=+=+=+.第三章中值定理与导数应用一、选择题1、函数2y x =的单调增加的区间是（）.A 、()+∞∞-,’B 、(]0,∞-，C 、[)+∞,0，D 、[)+∞-,1.2、函数x y e =的图形在()+∞∞-,（）.A 、下凹，B 、上凹，C 、有拐点，D 、有垂直渐近线.3、如果00()0,()0f x f x '''=>，则（）.A 、0()f x 是函数()f x 的极小值，B 、0()f x 是函数()f x 的极大值，C 、0()f x 不是函数()f x 的极值，D 、不能判定0()f x 是否为函数()f x 的极值. 4、函数ln y x =的单调区间是( ). A 、 [2,)-+∞， B 、 (0,)+∞， C 、 [1,)-+∞，D 、 (1,)-+∞. 5、函数3y x =在点0x = 处（）.A 、取得最小值，B 、导数为零，C 、取得极大值，D 、间断.二、填空题1、3y x =的驻点是_________．2、函数sin y x x =+单调增加的区间是 .3、当1x =时，函数221y x px =++取得极值，则常数p = .4、函数2()f x x =在闭区间[2,1]-上的最大值点为x =5、曲线31x y x =-的渐近线为 .三、计算题1、求下列函数的极限: (1) 2123lim 1x x x x→+--； (2) 201lim sinx x e x x →--； (3) 011lim()sin x x x →-；(4) 30lim sin x x x x →-.2、求下列函数的极值.（1）)1(3x x y -=；(2)3(1)y x =-；(3)y x ；3、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值.(1)2()32f x x x =-+，在[10,10]-上；(2)8434+-=x x y , ]1,1[-∈x .四、证明：当 0x >时，112x +>参考答案：一.选择题1-5 CAABB ．二、填空题1、0x = ,2、(.)-∞+∞，3、1p =-，4、2x =-，5、1x =．三、计算题1、（1）4；（2）12；（3）0；（4）6． 2、（1）函数的极大值为333327(1)444256y ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）该函数没有极值；（3）函数的极小值为()222y e e e---==. 3、（1）函数最大值为132，函数最小值为0.25-；（2）最大值为13，函数最小值为5．第四章不定积分一、选择题1、若()f x 是()g x 的一个原函数,则下列选项正确的是( )．A 、d ()(())d f x g x C x =+ ；B 、d g()(())d x f xC x=+； C 、()d ()f x x g x =⎰； D 、g()d ()x x f x =⎰．2、已知()f x 是2x 的一个原函数，且()10ln 2f =，则()f x =( ） A 、2ln 2x c +； B 、2ln 2x； C 、2ln 2x c +； D 、2ln 2x． 3、若()d ()f x x F x C =+⎰，则(2)d f x x ⎰＝（）A 、(2)F x C + ；B 、 2()F xC +；C 、 1(2)2F x C +；D 、1()2F x C +． 4、sin d d x x dx x ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰=( ) A 、sin x x； B 、 cos x x ； C 、sin x C x +； D 、cos x C x +． 5、d(arccos )x =⎰( )A 、arccos x C +；B 、 arccos x ；C 、arccos d x x ；D 、C +．二、填空题1、设12(),()F x F x 是()f x 的两个不同的原函数，且()0f x ≠，则12()()F x F x -= ．()d f x x ＝；()d f x x '⎰＝． 3、 '(1)d f x x +⎰＝．4、若()d ()f x x F x C =+⎰，则2()d xf x x ⎰＝． 5、若2()d e x f x x C =+⎰，则()f x ＝．三、计算题1、用第一换元法求下列不定积分:(1) 2(21)d x x +⎰;(2)222d (2)x x x +⎰;(3) 34d 1x x x+⎰;(4) x ;(5) d ln xx x ⎰;(6) 3sin d x x ⎰．2、用第二换元法求下列不定积分:（1）x ；(2)x；(3)．3、用分部积分法求下列不定积分:(1) ln d x x x ⎰；(2) 1e d x x x +⎰；(3)cos d 3x x x ⎰．4、已知f (x )的一个原函数为x x sin ，计算'()xf x dx ⎰．．参考答案：一.选择题1-5 BBCAA ．二、填空题1、 C ；2、(),()f x f x C +， 3、(1)f x C ++；4、 21()2F x C +；5、22x e ．三、计算题 1、(1)31(21)6x C ++; (2) 212C x -++;(3) 41ln(1)C 4x ++; (4) arcsin 3x C +;(5) ln ln x C +;(6) 31cos cos 3x x C -+．2、(1)322(1)3x x C --++；(2) 4C x-+；(3) 1arcsin x C x x-+++． 3、(1)2211ln 24x x x C -+； (2) 11e e x x x C ++-+；(3)3sin 9cos 33x x x C ++ ． 4、C xx x dx x xf +-=⎰sin 2cos )('.第六章定积分及其应用一、选择题1、设()f x 连续，则1100()d ()d f x x f t t -=⎰⎰( )． A 、等于0 ； B 、大于0； C 、小于0； D 、不确定．2、设0()sin xf x t dt =⎰，则'2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ( ).A 、不存在;B 、 -1;C 、 0;D 、 1.3、11x -=⎰ ( ).A 、 0;B 、 4π;C 、 2π;D 、 π.4、若()f x 在[0,1]上连续，则10d ()d d f x x x ⎰＝( )．A 、 ()f x ；B 、 (1)(0)f f -；C 、 1； D、 0．5、设()f x 连续，则0d ()d tf x x ⎰＝( )．A 、 ()d f x x ；B 、 (t)d f t ；C 、 '()f x ；D 、 ()f t ．二、填空题1、20d()d x t x ⎰＝．2、设0(1)d xy t t t =-⎰，则'(1)y = ．3、 00sin d lim x x ttt x →⎰＝．4、根据定积分的几何意义知1x -=⎰__________.5、 11(sin )d x x x -+=⎰ ．三、计算题1、已知sin ,22(),22x x f x x x ππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨ππ⎪-<≤π⎪⎩ 求2()d f x x ππ-⎰．2、计算311d x x --⎰．3、求()dx x f ⎰-11，其中()21,10e ,01x x x f x x ---≤<⎧=⎨≤≤⎩．4、用换元法计算下列定积分:(1)0x ⎰；(2)81x ⎰；(3) 21x ⎰；(4) 1202sin d x x x ⎰．5、用分部积分法计算下列定积分:（1）π0(21)sin d x x x +⎰；(2)120e d x x x ⎰；(3) 20e sin d x x x π⎰．6、求由e x y =,e,0y x ==所围成平面图形的面积.7、求由1y x =，,2y x x ==所围成的图形的面积.8、求a 值，使抛物线2y x =与直线x a =及1,0x a y =+=所围成的平面图形面积最小．9、求由3,2,0y x x y ===所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积.10、求由sin (0),0y xx y =≤≤π=所围成的图形绕x 旋转一周所得旋转体的体积．参考答案：一.选择题1-5 ADCDB ．二、填空题1、2；2、０；3、15、 0．三、计算题 1、28π． 2、4．3、11e --- ．4、(1) 13；(2)35ln 22；(3)；(4) 1cos1-．5、（1）22+π； (2)21(e 1)4+； (3) 21(e 1)2π+. 6、1．7、3ln 22-． 8、12a =-． 9、1287π． 10、2π2．。

2011年华南理工大学考研试题 (单考)高等数学答案

A. ；B. ；C. ；D.
解：对式子的x求导，则有，故而我们有
选C
（6）下列积分发散的是
A. ；B. ；C. ；D.
解：选A
，
但是由于
和不存在。所以A发散
B.
C. ，所以
所以
D.
（7）
A.不存在；B. 3；C. 6：D. 0
解：
选B
（8）级数为
A.绝对收敛；B.条件收敛；C.收敛性与b无关；D.发散
解：
绝对收敛，而条件收敛
所以条件收敛。
选B
（9）曲线与直线（）所围成的图形的面积情况为
A. 时，面积最大；B. 时，面积最小
C. 时，面积最大；B. 时，面积最小
解：
，而。
这个题目有问题
（10）设曲线为圆周，取顺时针，则
A. 0；B. ；C. ；D.
解：令，。记
（因为D关于x=0对称，且被积函数关于x为奇函数，所积分等于零）
A. 6/11; B. 5/10; C. 5/11; D. 4/11
解：若有r只铜螺母，则取得铜螺母的概率是；则
；故选C
二、解答
（13）（14ຫໍສະໝຸດ 设函数由确定，求，，；则
而
所以
（15）计算，其中是由曲线及直线围成的平面区域
解：
（16）求幂级数的和函数，并求的和
解：令，则
即。
令，则
i)试确定b；
ii)求边缘概率密度
iii)求函数的分布密度
解：i)
所以
ii)当时，
。
因而时，的边缘概率密度
当时，
。
因而当时，的边缘概率密度

华南理工大学高等数学统考试卷下1994

1994高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（12分）1．与三点)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -决定的平面垂直的单位向量=︒a2．设1:22=+y x L 正向一周，则⎰=Lx dy e 2答：2,0x e Q P ==22x xe yPx Q =∂∂-∂∂ 3．级数∑∞=12)!()!2(n n x n n 的收敛半径=R 41二、计算下列各题（本大题分4小题，共21分）1．计算二次积分⎰⎰πθ022dr r d解 ππθπ383203022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d2．设L 是连结点)0,3(),1,2(),0,1(C B A 的折线，计算曲线积分()⎰+Lds y x 22解 1,010121:-=--=--x y y x AB x y y x BC -=--=--3,101232: 3．求微分方程2=+x dydx满足0)1(=y 的的特解解,2dy x dx-=- y e x c c y x -=---=-)2(,ln )2ln( 将1,0==y x 代入得1,1-==-c c ；特解：y e x --=24．设)(2u f x z =，而xyu =，其中)(u f 二阶可导，求y x z ∂∂∂2三、证明下列各题（共10分）1．求证：()()b a b a b a⨯=+⨯-2)(证明：()()()()a b a b a b a a b b -⨯+=-⨯+-⨯2．设)(1x y 与)(2x y 函数都是方程)()()()(21x Q y x P y x P y x P =+'+''的解，试证明函数)()(21x y x y -是其对应的齐次方程的解。

证明：由已知11121()()()()P x y P x y Px y Q x '''++=两式相减()()()12112212()()()0P x y y P x y y P x y y '''-+-+-=即)()(21x y x y -满足12()()()0P x y P x y Px y '''++=，是对应的齐次方程的解四、根据题目要求解答下列各题（共10分）1．写出方程x y y y =-'-''32的待定特解的形式。

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4分，共24分）
432x y x +，则(1,2)
d z
=3412dx dy +
cos sin x a t
y a t z ct
===在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c ==
2222
()(,)0,)0(,)0
x y xy x y y x y x y ⎧-≠⎪
=+⎨⎪=⎩
，则(0,)x f y =y -.
22x y +在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2P 方向的方向导数是
为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分
2
)d (4)d x x
x y +-=18π-
y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L
xy s =
⎰4
. 7分）计算二重积分2
22e d x y D
xy σ⎰⎰，其中D 是由1,0y x x ===所
. 2
2x y xy e dx ------4’
’ 7分）计算三重积分⎰⎰⎰Ωd v z ，其中Ω是由22222
2
x y z z x y
⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定. 2
r rdr ⎰
-------4’
’
四．（本题7分）计算2222d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑
+-++⎰⎰，其中∑为半球
面z =.
补面0z =,取下侧,---------------------------1’ =1
22222x y z dv xy y zdxdy Ω
∑++-+⎰⎰⎰⎰⎰-------------3’
=2420
sin a
d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰---------------------2’
=5
25
a π-------------------------------------1’
五．（本题7分）计算(1)d x y S ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面221
()(01)2z x y z =+≤≤.
=
222
(x y x y +≤++⎰⎰
-------------4’
=20
d πθ⎰---------------------2’
=21)3
π
-----------------
六．（本题7分）求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值.
22222(1)F x y z x y z λ=-++++------------------2’
12000x y z F x F F λ=-=== ---------------------------------------3’
2221x y z ++=
122
(,,)3(max)333u -=---------------------------------1’ 122
(,,)3(min)333u --=-------------------------------1’
七．（本题7分）设(,)x z f x y =,f 具有连续二阶偏导数,求2,.z z
x x y ∂∂∂∂∂
''121
z f f x y
∂=+∂---------------------3’ 2''''
'1222231()z xyf xf yf x y y
∂=-++∂∂--------4’
八. （本题7分）求微分方程2(e )d d 0x y x x x y -+-=的通解.
1
'x y y xe x --
=------------------------1’ 由1
'0y y x -=解出y Cx =--------------3’
常数变易解出()x y x C e -=-------------3’
九.（本题8分）设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,'(0)1f f ==，且
2[()()]d ('())d 0xy x y f x y x f x x y y +-++=全微分方程，求()f x 及此全微分方程的
通解.
由x x P Q =得2''()()f x f x x +=-----------2’
2()2cos sin 2f x x x x =++-------------3’
通解22
2sin cos 22
x y y x y x xy c -+++=----3’
十. (非化工类做)（本题7分）求幂级数0
1n
n x n ∞
=+∑的收敛域及其和函数.
收敛域[1,1)------------2’
ln(1)
0()1
0x x S x x
x -⎧-
≠⎪=⎨⎪=⎩,[1,1)x ∈------5’ [1,1)-
十一. (非化工类做)（本题6分）将函数1()ln 1x
f x x
+=-展开成x 的幂级数.
()ln(1)ln(1)f x x x =+----------------2’ 0
((1)1)()1n n
n x f x n ∞
=-+=+∑---------------4’
十二. (非化工类做)（本题6分）证明在区间[,]ππ-上等式122
2
1
(1)cos 124n n x nx n π-∞
=-=-∑成立.
知道将2
4x 在[,]ππ-展开为Fourier 级数-------2’
22
00
2
46x a dx π
ππ
=
=⎰
-----------------2’ 21
2
(1)cos 4n n x a nxdx n
π
π
--=
=⎰
---------2’
十. (化工类做) （本题7分）在曲面22
122
z x y =+上求出切平面，使所得切平面与平面42210x y z ---=平行.
切点1
(,1,1)2
-------------5’
切平面方程210x y z ---=-----------2’
十一. (化工类做)（本题6分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中()x ϕ可导，求d z .
两边微分22'()xdx ydy dz dx dy dz ϕ+-=++--------------3’
(2')(2')1'
x dx y dy
dz ϕϕϕ-+-=
+--------------------------------3,
十二. (化工类做)（本题6分）
证明函数22
2222()sin 0(,)00
x y x y f x y x y ⎧++≠⎪
=⎨
⎪
+=⎩
在
原点(0,0)处可微，但偏导函数(,)x f x y 在点(0,0)处不连续.
用定义算出(0,0)0x f =,(0,0)0y f =------------------------1’
0→------------------------------------------2’
(,)2x f x y x =
在点(0,0)不连续------------------------------------------------------3’。