数学物理方法期末试题A 答案和评分标准
数学物理方法试题(卷)
数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。
数学物理方法考试及答案
数学物理方法考试及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在复变函数中，下列哪个选项是柯西积分定理的表述？A. 沿闭曲线的积分为零B. 沿直线的积分为零C. 沿曲线的积分与路径无关D. 沿曲线的积分与函数的解析性无关答案：A2. 傅里叶级数中，函数f(x)的傅里叶级数表示为：A. f(x) = a0 + Σ[an cos(nωx) + bn sin(nωx)]B. f(x) = Σ[an cos(nωx) + bn sin(nωx)]C. f(x) = a0 + Σ[an sin(nωx) + bn cos(nωx)]D. f(x) = Σ[an cos(nωx) + bn cos(nωx)]答案：A3. 在波动方程中，波速v与介质的密度ρ和弹性模量E的关系是：A. v = √(E/ρ)B. v = √(ρ/E)C. v = E/ρD. v = ρ/E答案：A4. 格林函数G(x, x')满足下列哪个微分方程？A. L[G(x, x')] = δ(x - x')B. L[G(x, x')] = 0C. L[G(x, x')] = 1D. L[G(x, x')] = x - x'答案：A5. 拉普拉斯变换的线性性质表述为：A. L{af(x) + bg(x)} = aL{f(x)} + bL{g(x)}B. L{af(x) + bg(x)} = aL{f(x)} - bL{g(x)}C. L{af(x) + bg(x)} = aL{f(x)} + bL{g(x)} + cD. L{af(x) + bg(x)} = aL{f(x)} - bL{g(x)} + c答案：A6. 贝塞尔函数J_n(x)是下列哪个微分方程的解？A. Bessel方程B. Legendre方程C. Mathieu方程D. Schrödinger方程答案：A7. 以下哪个选项是亥姆霍兹方程的表述？A. ∇²u + k²u = 0B. ∇²u + k²u = f(x, y, z)C. ∇²u - k²u = 0D. ∇²u - k²u = f(x, y, z)答案：A8. 以下哪个选项是波动方程的表述？A. ∂²u/∂t² = c²∇²uB. ∂²u/∂t² = -c²∇²uC. ∂²u/∂t² = c²∇uD. ∂²u/∂t² = -c²∇u答案：A9. 以下哪个选项是热传导方程的表述？A. ∂u/∂t = α∇²uB. ∂u/∂t = -α∇²uC. ∂u/∂t = α∇uD. ∂u/∂t = -α∇u答案：A10. 在复变函数中，下列哪个选项是解析函数的柯西-黎曼条件？A. ∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = -∂v/∂y 和∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = ∂v/∂xD. ∂u/∂x = -∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = e^(-x^2)的傅里叶变换是 ________。
数学物理方法期末试题A
装订线北京师范大学2007 ～2008 学年第二学期期末考试试卷（A卷）院（系）：管理学院专业：管理科学年级： 2006级注意：请将所有答案写在答题纸上；除第一题外其余各题均要求写出必要的求解步骤。
一、填空题（每小题5分，共40分。
）1、矩形脉冲()rect(/2)f t h t T=的复数形式的傅里叶变换为。
其中，矩形函数1,(||1/2)rect()0,(||1/2)xxx<⎧=⎨>⎩。
2、利用行波法（达朗贝尔公式）求解无限长弦振动问题的基本思想是。
3、扇形区域内的拉普拉斯方程22222110,()u u uαϕβρρρρϕ∂∂∂++=<<∂∂∂，利用分离变量法求解，令(,)()()u Rρϕρϕ=Φ，可得到本征值问题()()0,()0,()0,ϕλϕαβ''Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ=⎩，其本征解为。
4、利用冲量定理法求解弦的受迫振动问题，其物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用力引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。
根据这一思想，单位长弦所受外力(,)f x tρ可以用δ函数表示出来，即(,)f x tρ=。
5、长为l的柱形管，一端封闭，另一端开放。
管外空气中含有某种气体，其浓度为u，向管内扩散。
求解该气体在管内的扩散情况（初始浓度为零）。
该定解问题为。
6、球坐标系下的拉普拉斯方程为2222222111sin0sin sinu u urr r r r rθθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，利用分离变量法求解，令(,,)()()()u r R rθϕθϕ=ΘΦ，则其通解形式为。
7、在圆形域内求解0u∆=，使之满足边界条件|cosu uρρϕ==，则u=。
8、定解问题()22000,(/|0,||,|0tt xxx x tt x lt t tu a u a Yu YSu mumgu x uYSρ====-===+==-=0，将上述定解问题分离变数，相应的本征值问题为。
数学物理方法期末考试卷与解答
华南师范大学信息光电子科技学院2008-2009年(一)学期末考试试卷光电工程系《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！ 可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f e F xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件xy x v y y x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）du (x,y ) =u x (x,y )d x + u y (x,y )dy = cos x ch y dx + sin x sh y dy=d (sin x ch y ) f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
数学物理方法A-
━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 装 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 订 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 线 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━防灾科技学院2011 ~ 2012 学年 第 二 学期期末考试《数学物理方法》试卷 (A) 使用班级1050111/112/113 答题时间120分钟一、填空题（本大题共5 小题，每题 4分，共20 分。
）1． 函数)(z f 在闭单连通区域B 上解析，l 为B 的边界线，α为B 内的任一点，则有柯西公式=)(a f ； 2．,)(dz z I nl⎰-=α )(为整数n ，其中l 为闭合曲线，则=I ；3．如果0z 是)(z f 的奇点, 且在圆环域R z z <-<00上的洛朗展开式为)(z f kmk k z z a )(0-=∑∞-=， 则0z 是)(z f 的 ；4.周期函数)(x f 为奇函数，则)(x f 的傅里叶级数计算公式为 ；5.=*)()()()(2121t f t f t f t f 的卷积与 。
二、计算题（本大题共 1 小题，共 10 分。
）已知解析函数)(z f 的虚部为y e y x v x sin ),(=，求)(z f 的实部),(y x u 和该解析函数。
━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 装 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 订 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 线 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━三、计算证明题（本大题共 1小题，共 12分。
）已知函数，22),(t tx ex t -=ψ将x 作为参数，t 为复变数，表示为回路积分。
）试应用柯西公式将（0n 1=∂∂t nt ψ，并借以证明变数代换）对回路积分进行积分（z -x 2=ξ。
22)1(0n x nn x nt ne dxd et -=-=∂∂ψ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 装 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 订 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ 线 ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━四、计算题（本大题共1 小题，共 12 分。
数学物理方法(11)--期末考试试卷(5)
得分 评阅人 四、计算题：（共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）
1. 试求有限波列 的傅里叶变换（式中为常量）。
f
(t)Leabharlann =� cosf%2n(0n)0t 0
y '' y '1 = 3e-y2yt((;pt)y)(0) = y '(0) = 0
2．已知常微分方程及初条件为：。试对该方程进行拉普拉斯变换，并求未知函数的像函数。
3．若半径为 a 的球面上电势分布为，求该球内、球外无电荷空间中的电势分布。
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华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 数理方程 课程编号 47010004 任课教师 吴少平
题型 分值 得分
问答题 填空题 证明题 计算题 计算题
12 14 6 14 54
总分 100
得分 评阅人 一、问答题：（共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分）
ux (0,ut) = 0
1．在一维定解问题中，第二类齐次边界条件为。若代表位移，则该边界条件的物理意义为
u
；若代表温度，则该边界条件的物理意义为
。
2．积分
I =
1 -1
PlP(P2x0l1)(5Px(2x)01)5
南昌大学～学第二学期数学物理方法期末考试试题A卷
南昌大学～学第二学期数学物理方法期末考试试题A卷
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南昌大学 2018～2018 学年第二学期期末考试试卷
已知，辐角。
幂级数
为的单极点，则为
泛定方程分离变数后三个变量满足的方程分别为。
______。
下列二阶线形微分方程中，的形式为标准形式。
为的。
若洛朗展开级数中存在的负幂项，则展开中心
和在
的泰勒展开直接求出
求函数的奇点所在的位置，然后计算积分
已知，首先将看作常数，求的拉普拉斯变换函数
换函数，最后对反演计算。
注意此题中满足
未计算及其反演，而直接用留数定理计算
其中。
试用分离变数或其它方法找到方程的一个特解；
利用达朗贝尔公式求解，之后确定
满足下
试给出所满足的数学物理定解问题；
试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解；
根据求出虚部
申明：
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数学物理方法期末考试大题
2、 求解热传导问题
ut a 2u xx A sin t u x |x 0 0, u |x l 0 u | x t 0
3、 两端固定弦在点 x0 受谐变力 f t f0 sin t 作用而振动，求解振动情况。[提示： 外加力的线密度可表示为 f x, t f 0 sin t x x0 ]
4、 均匀的薄板占据区域 0 x a ， 0 y b 。边界上的温度
u |x 0 0 ， u |x a 0 ， u | y 0 u0 ， lim u 0
y
求解板的稳定温度分布。
三、非齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 长为 l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力 f 0 sin 2 x l cos t ，初始位 移为 sin x l ，初始速度为零，求解杆的纵振动。
4、 求解细杆导热问题。杆长 l ，初始温度均匀为 u0 ，两端分别保持温度 u1 和 u2 。
四、球函数（12 分） 1、一空心圆球区域，内半径为 r1 ，外半径为 r2 ，内球面上有恒定电势 u0 ，外球面上电势保 持为 u1 cos 2 ， u0 、 u1 均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。
数学物理方法期末考试大题数学物理方法判断题数学物理方法数学物理方法复习数学物理方法教材数学物理方法试卷数学物理方法课件数学物理方法pdf数学物理方法试题数学物理方法答案
一、拉普拉斯变换（8 分） 1、求积分 I t
0
cos tx dx x2 a2
二、齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 求解细杆导热问题，杆长 l ，b 为常数，两端保持为零度，初始温度分布
数学物理方法试卷与答案
数学物理方法试卷与答案《数学物理方法》试卷一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（）nfA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是_______________ut00,utt02co某,0某______________________.2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为________________________________________________________.3．二阶常微分方程y''(某)1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y__________某44某_______________________________________________.4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________.5．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某2J3(某)_______________________________________.2三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某l某某0u某,utt00,0某l.t02四、（10分）用行波法求解下列问题2u2u2u320,y0,某,22某yy某u2u3某,0,某.y0yy0五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：u2u2,0某2,t0,t某u某0u某20,t0,ut0in某,0某2.3六、（15分）用格林函数法求解下定解问题2u2u某2y20,y0,uf(某),某.y0七、（10分）将函数f某某在区间[0，1]上展成Beel函数系{J1(m(1)某)}m1的级数，其中m(1)为Beel函数J1(某)的正零点，m1,2,.42022—2022学年第二学期《数学物理方法》试卷B答案一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（B）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（D）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（C）fnA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（B）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（D）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.5D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是(2intco某).ut00,utt02co某,0某2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为(a(某,y)(dy)22b(某,y)d某dyc(某,y)(d某)20).3．二阶常微分方程y''(某)或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ln1（）.r1），三维拉普拉斯方程的基本解为r1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y（J某44某1(某)3225．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某23J3(某)（221221din某(in某co某)某()()）.某某某d某某三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某某l某0u某,utt00,0某l.t06解：第一步：分离变量(4分)设u(某,t)某(某)T(t)，代入方程可得某''(某)T''(某)某(某)T(t)a某(某)T(t)某(某)a2T(某)''2''此式中，左端是关于某的函数，右端是关于t的函数。
数学物理方法(8)--期末考试试卷(3)答案
（2）对称性与通解形式。由于轴对称性，通解为
ﾱ u(R,q )
=
ﾱ l=0
( Al Rl
+
Bl R l +1
)Pl (cosq )
（3）由边界条件和边值关系定系数。
由，得，即
ﾱ ﾱ u(R,q )
ﾱ
=u(R(,qA)l R=l
l=0
+lBﾱ=0lRBA=l+ll0R1 )lPPll((ccoossqq))
f
(z)
=
sin z2
z
2．函数在有限远处的奇点是什么？其奇点属于什么类型？
答：z ＝ 0，是一阶极点。
L n i2 = 2L n i
3．等式 是否成立？为什么？ 答：不成立。因为：
L n i2 = L n(-1) = ln | -1| +iArg(-1) = ip (2k +1), k = 0, ﾱ1, ﾱ2,L
-l
-l
ﾱ I =
l -l
ei
(
kn
-km
)
d
m=ﾱeni(k
n
- e -km )l
-i(
i(kn - km
kn
)
-
km
)l
I
=
[
cos(kn
-
km )l
+ i sin(kn
-
km )l]
i(kn
- [ cos(kn
- km )
- km )l
- i sin(kn
- km )l ]
故关系得证。
=
2i sin(kn - km )l i(kn - km )
-
sin( x)
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第 1 页 共 19 页 06级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准 一、填空题（每小题5分，共40分。） 1、sinhT 2、通过振动方程求出通解，该通解中含有任意函数，然后通过初始条件来确定函数的形式，就得到达朗贝尔公式11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata。对于无限长弦振动问题，只需将初始位移()x和初始速度()x的函数形式代入达朗贝尔公式，就可得到满足初始条件的解。
3、222,()(1,2,)()()sinnnn本征值本征函数 4、0 (,)(,)()dtfxtfxt 5、220000,(0,)|0,|,|0txxxxxltuauxlaDuuuu 6、(1)00(,,)()(cos)(cossin)llmlllmmmlurArBrPCmDm 7、00cosu
8、0,(0)0,()()0XXmXXlXlS，或 20,(0)0,()()0XXmaXXlXlYS ， 物理问题：一根长为l的均匀杆，上端0x处固定在电梯天花板，杆身竖直，下端xl处挂着一个质量为m的物体。初始时电梯静止，随后电梯以重力加速度g下降，求解杆的纵振动。杆的自身重力忽略不计。
二、（20分） 解：设(,)uxt分离变量形式的解 (,)()()uxtTtXx 代入泛定方程及边界条件，得
2
0()()0()()0|0,|0xxlTtaTtXxXxXX
求解()Xx为本征值问题，其解为 222,(0,1,2,)()cosnnnlnnxXxl本征值
本征函数 第 2 页 共 19 页
将本征值代入()Tt的方程并求解，得 2222()enatlnnTtC
所以，有 2222
0(,)ecosnatlnnnxuxtCl
由初始条件，得 0102coscoscosnnnxxxCuulll
，可得10Cu，21Cu，0nC
最终解得 2222224012(,)ecosecosaa
ttllxxuxtuull
分离变量 试探解；()Xx的方程；边界条件；()Tt的方程 (4分) 本征值问题 n；()nXx；n的取值 (4分)
非本征值问题解()nTt (3分) 一般解 (3分) 定系数 (4分) 解式 (2分)
三、（20分） 解法一：傅里叶级数法 利用傅里叶级数法求解，相应齐次方程本征值问题的解 222,(1,2,3,)()sinnnnlnnxXxl本征值
本征函数 按照本征函数系{sin}nxl将所求的解展开为
1(,)()sinnnnxuxtTtl 代入泛定方程，有 22202
2[1(1)]sinnnnfnaTTtln
代入边界条件，有
00|0,|0ntntTT
求解得 022222
2[1(1)]()(sinsin)(/)nnflnatnaTttnannalll
最终得 第 3 页 共 19 页
0222222212[1(1)](,)(sinsin)sin(/)nnflnatnanxuxttnanallll
或022222220(21)(21)sinsin4(21)(,)sin(21)(21)/kkatkatflkxlluxtalkkal 相应其次方程本征值问题的解 (4分) 未知解按本征函数族展开 (2分)
代入方程和初始条件，得到()nTt的方程及初始条件 (6分)
()nTt的求解 (6分)
解式 (2分) 解法二：冲量定理法 利用冲量定理法求解，0(,)(,;)dtuxtvxt，其中(,;)vxt满足 200,|0,|0,|0,sin.ttxxxxltttvavvvvv
设(,;)vxt分离变量形式的解 (,;)(;)()vxtTtXx 本征值问题的解为 222,(1,2,)()sinnnnlnnxXxl本征值
本征函数 非本征值问题 222
20nnnTaTl
解为 ()()(;)()cos()sinnnnnatnatTtABll
则
1()()(,;)()cos()sinsinnnnnatnatnxvxtABlll
代入初始条件，得 0nA, 02[1(1)]()sinnnflBnan
于是有
02212[1(1)]()(,;)sinsinsinnnflnatnxvxtnall
则 第 4 页 共 19 页
02200
10222222212[1(1)]()(,)(,;)dsinsindsinsinsin2[1(1)]sin/nttnnnflnatnxuxtvxtnallnatnatflnxllnanall
冲量定理表述 (4分) (,;)vxt的求解 (12分)
u的解 (4分)
解法三：特解法 选择适当的(,)vxt，使其满足非齐次方程和齐次边界条件，即
200sin|0,|0ttxx
xxlvavftvv
取(,)vxt的分离变量形式 (,)()sinvxtXxt 代入(,)vxt的方程和边界条件，得
2022()()(0)0,()0fXxXxaaXXl
求解得 02()cossinfxxXxABaa
代入边界条件 02(0)0fXA，02()cossin0fllXlABaa，
得 02
fA，02(1cos)sinfllBaa
则
02(,)cossinsinfxxvxtABtaa
令 (,)(,)(,)uxtvxtwxt 则(,)wxt的定解问题为
2000020,(0)|0,|0,|0,|cossinttxxxxltttwawxlwwfxxwwABaa
(,)wxt的通解为
1(,)cossinsinnnnnatnatnxwxtABlll
代入初始条件定系数，得 第 5 页 共 19 页
0nA 020
2
0222222
2cossinsind(1)(cossin)2[(1)1]/lnnnflxxnxBABxnalaalanllABAflllaanalnaln
又 02fA，02cossinfllABaa
所以，有 20002222222222222222[(1)1]/[(1)1][1(1)]///nnnnfffllanlBnalnalnlnanal
因此，有
0222222212[1(1)](,)sinsin/nnflnatnxwxtnanalll
综合起来，有 002222222212[1(1)](,)cossinsinsinsin/nnfflxxnatnxuxtABtaananalll
若进一步将(,)vxt按函数族sinnxl展开，即 021(,)cossinsinsinsinnnfxxnxvxtABtCtaal
其中展开系数 002222220
22[1(1)]cossinsind/nlnffxxnxCABxlaalnnal
则 022222221sinsin2[1(1)](,)sin/nnnatnatflnxlluxtnanall
特解法表述 (2分) (,)vxt的求解 (8分)
(,)wxt的求解 (8分)
u的解 (2分)
四、（20分）
解：这里()2pxx，()1qx，易得0x是方程的常点。 设