数学物理方法期末考试试题典型汇总
北京师范大学《数学物理方法》2019-2020学年第一学期期末试卷
北京师范大学《数学物理方法》2019-2020学年第一学期期末试卷2019-2020 学年期末试卷数学物理方法专业：物理学考试时间：120 分钟总分：100 分部分一：选择题（每题 5 分，共 30 分）在数学物理方法中，Green 函数的定义式为：A) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 - k_0^2)B) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 + k_0^2)C) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 - k_0^2 + iε)D) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 + k_0^2 - iε)5 分Legendre 方程的通解为：A) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^nB) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 + 1)^nC) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^(n+1)D) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 + 1)^(n+1)5 分在球坐标系中，Laplacian 算符的表达式为：A) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (2 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2B) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (1 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2C) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (3 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2D) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (4 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^25 分在数学物理方法中，Sturm-Liouville 问题的通解为：A) y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)B) y(x) = c_1 y_1(x) - c_2 y_2(x)C) y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)D) y(x) = c_1 y_1(x) - c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)在球坐标系中，spherical harmonics Y_lm(θ, φ) 的定义式为：A) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l + 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(imφ)B) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l + 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(-imφ)C) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l - 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(imφ)D) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l - 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(-imφ)5 分在数学物理方法中，Bessel 函数的递归关系式为：A) J_n(x) = (x / 2) * (J_(n-1)(x) - J_(n+1)(x))B) J_n(x) = (x / 2) * (J_(n-1)(x) + J_(n+1)(x))C) J_n(x) = (2 / x) * (J_(n-1)(x) - J_(n+1)(x))D) J_n(x) = (2 / x) * (J_(n-1)(x) + J_(n+1)(x))5 分部分二：计算题（每题 20 分，共 60 分）证明 Legendre 方程的通解为 P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^n。
数学物理方法(4)--期末考试试卷(1)答案
w(z) = ck zk k =0
（2）系数递推公式。将 w(z) 代入方程，得：
� �
k (k - 1)ck zk-2 - ck zk+1 = 0
k =2
k =0
2c2 + [(k + 2)(k + 1)ck+2 - ck-1]zk = 0
k =1
c2 = 0,
ck +2
=
(k
+
-
4)L6 �5 �3 �2 c0
(b) 用 c1 表示 c3k+1
c3k +1
=
c3k -2 3k(3k + 1)
=
1 3k (3k+ Nhomakorabea1)(3k
-
c3k -5 2)(3k
-
3)
=
(3k
+ 1)3k(3k
-
1 2)(3k
-
3)L7
�6 �4 �3 c1
因 c2 = 0 ，故 c5 = c8 = L = 0
=
-d
'(x)
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得分 评阅人 三、计算题：（共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
1．试用级数解法求解在 z0 = 0 邻域内 w''-zw = 0 的解，其初始条件为 w(0) = 1, w'(0) = 0 。 解：（1）解的形式。系数 p(z) = 0, q(z) = -z 在 z0 = 0 解析， z0 是方程的常点，所以解的形式为：
（1）
l=0
两边对 x 求导，得t(1 -
2xt
+
数学物理方法期末考试模拟题
数学物理方法期末考试复习题1．复数1z =-z =_________________________________ 2．复数1iz e+=的三角表示为z =_________________________________3．由方程10z e +=可解得z =____________________ 4．由方程3z i =可解得z =____________________ 5．计算ln(1)-=____________________ 6．计算3(1)i -=____________________7．解析函数()f z 的实部22(,)u x y x y =-，则其导函数()f z '=____________________ 8．解析函数()f z 的虚部(,)2v x y y xy =-+，则其导函数()f z '=____________________ 9．沿着折线1i +到2i +，再到24i +的曲线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________10．沿1i +到24i +的直线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________11．级数01(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为____________________ 12．级数(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为__________13．级数0!nn z n ∞=∑的收敛区域为____________________14．级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛区域为____________________15．判断奇点的类型：0z =是函数1()f z z z =+的 16．判断奇点的类型：0z =是函数sin ()zf z z =的17．判断奇点的类型：0z =是函数2sin ()zf z z=的18．判断奇点的类型：0z =是函数3cos 1)(z zz f -=的19．函数1()f z z z=+，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =_______；Res[(),]f z ∞=_____20．函数21()(1)f z z z =-，在0，1，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =__________；Res[(),1]f z =__________；Res[(),]f z ∞=__________21．函数241()ze f z z -=，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =________；Res[(),]f z ∞=______22．以0z =为中心展开()21()1f z z =-为泰勒级数：___________________________23．以0z =为中心展开()21()1f z z =+为泰勒级数：___________________________24．以0z =为中心展开()zf z e =为泰勒级数：___________________________ 25．以0z =为中心展开()ln(1)f z z =+为泰勒级数：___________________________ 26．计算积分：=-⎰∞∞-dx x e x )1(2δ27．计算积分：⎰+∞∞-=dk e ikx π2128．已知π=Γ)21(，则=+Γ)21(n 29．已知1)1(=Γ，则=+Γ)1(n 30．11()l P x dx -=⎰31．11()()lk P x P x dx -=⎰32．2)(x x f =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________ 33．3()f x x =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________34．勒让德多项式的生成函数(,)t x ψ= 35．厄米多项式的生成函数(,)t q ψ= 36．贝塞尔函数的生成函数(,)t z ψ= 37．计算拉普拉斯变换：[]sin t t =____________________ 38．计算拉普拉斯变换：[]cos t t =____________________39．计算拉普拉斯变换：t te α-⎡⎤=⎣⎦____________________40．计算拉普拉斯变换：[]sin ()t ωτ-=____________________41．计算拉普拉斯变换：[]cos ()t ωτ-=____________________42．计算拉普拉斯逆变换：1222(1)(1)1p p ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦⎣⎦－_____________________43．计算拉普拉斯逆变换：121(2)(1)p p ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦－_____________________ 44．计算拉普拉斯卷积：sin t t ⊗=____________________45．计算拉普拉斯卷积：cos t t ⊗=____________________ 46．计算拉普拉斯卷积：sin sin t t ⊗=____________________ 47．计算拉普拉斯卷积：cos cos t t ⊗=____________________48．利用行波法解2(,0)(,0)()(,0)()tt xxt u a u x t u x x u x x ϕψ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________49．利用行波法解22(,0)(,0)sin (,0)tt xxt u a u x t u x x u x x ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________ 50．利用行波法解23(,0)(,0)(,0)tt xxt u a u x t u x xu x x⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________二、 解答题1．设(,)4u x y xy y =--。
数学物理方法(10)--期末考试试卷(4)答案
k 2
k 0
� w( z )
2c2 +
ﾥ
[(k + 2)(k +1)ck+2 - ck-1]zk
0
k 1
将代入方程
c2 0c,3ckkk+23kk((ck33kkk--+-33-12c)1)k-()1k + 1)
即亦即
c3k
c3k -3 3k(3k -1)
1 3k (3k
-1)
代换，有
f1
t -
e- pt dt
0
f1
e- p + d
0
f1 e-p d
0
f2
第e- p d1
页F(1共p F23 p页 )
f (x) lim
n e -nx2
n
3. 试证明：是函数的一种表达式。
答： 函数的傅里叶变换：，又称为的像函数；
F -1 G
f
xGfx21
G eixd
-
函数的傅里叶逆变换：，又称为的像原函数。
专业：
院（系）：
得分 评阅人 二、证明题：（共 3 题，每题 9 分，共 27 分）
1. 已知，试证明： （）
证明：将对 r 求导
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx< 1)
(l +1)Pl+1(x) - (2l +l 1ﾥ)1xPl (x) + lPl-1(x) 0
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx
ﾥ l0
Pl (x)rl
( x < 1)
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
数学物理方法试题汇总
12届真题1． 求下列各小题（2*5=10分）：（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<； （2）给出序列(1/)sin 6n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。
2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：（1）320Re izdz +⎰，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；（2）11,==⎰积分路径由z=1出发的。
3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：（1）241x dx x +∞-∞+⎰； （2）3||1zz e dz z =⎰。
4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。
5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y∂∂-=-∂∂（15分）。
6．利用分离变量法求解：（20分）2222000(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====⎧∂∂-=-⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞⎧∂∂-=>>⎪∂∂⎪⎪=>⎨⎪=>⎪⎪⎩有界，2005级一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
数学物理方法期末考试卷与解答
《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案姓名: 学号:题号 一 二 三 四 五 六 七八 总分 得分注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f eF xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件x y x v yy x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）高数帮帮数帮高数帮高f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
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Mathematical methods for physics
一、 单项选择题（每小题2分）
1．齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。
A)Λ3,2,1 sin =n nx B) Λ,2,1,0 cos =n nx C)Λ2,1,0 )21sin(=+n x n D) Λ2,1,0 )2
1cos(=+n x n 2．描述无源空间静电势满足的方程是________。
A) 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson 方程 D)Laplace 方程
3．半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====∇-∂∂===)(|
),(|0|0),(),(0t 02222ρψρϕρρρt t R u u u t u a t t u
其解的形式为∑∞
==100)()(),(m m
m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。
A) )()()()(20222
t T k a t T dt
d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m
和)cos(0t ak m C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。
D ）)()(00ρρm
m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m ρρρ 4．)(5x P 是下列哪一个方程的解_________。
A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x
B ）0252)1(2=+'-''-y y x y x
C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x
D ）052)1(2=+'-''-y y x y x
5．根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。
A ）)(2)()(120x J x J x J '=-
B ）)()()(1
11x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J =
- D ）)(2)()(120x J x
x J x J '=+ 二、 填空题（每题3分）
1． 定解问题⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====><<=-====0 ,00
,0)0,0( sin cos 0002t t t l x x x x xx tt u u u u t l x t l x A u a u ωπ用本征函数发展开求解时，关于T(t)满足的方程是：
2． Legendre 多项式)(x P l 的x 的值域是______________________。
Bessel 函数)(x J n 的x 的值域是______________________。
3． 一圆柱体内的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∆===)
( ),(0 ,0210ρρρρf u f u u a u h z z a
1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________;
相应方程的解为___________________________;
2）关于z 满足的方程是_______________________________________;
4． 计算积分
⎰-11)(dx x xP l 5． 计算积分⎰a dx x xJ 0
0)( 三、 （10分）长为l 的弦，两端固定，初始位移为21x +，初始速度为4x ，写出此物理
问题的定解问题。
四、 （10分）定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<=-===0
0 ,)0 ,0( ,000t l x x xx t u u t u t l x Du u ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题
五、 （10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin ||)0,(040
0 六、 （15分）用分离变量法求解定解问题
计算积分⎰-+=1
11)()(dx x P x xP I l l 七、 （15分）有一半径为R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为
ϕϕρρ2cos 2|),(==R u ，试求圆盘上稳定的温度分布),(ϕρu 。
八、 （15分）设有一半径为R 的球壳，其球壳的电位分布θ2cos |==R r u ，写出球外的
电位满足的定解问题，并求球外的电位分布参考公式
（1）柱坐标中Laplace算符的表达式
（2） Legendre多项式
（3） Legendre多项式的递推公式
（4） Legendre多项式的正交关系
（5）整数阶Bessel函数
（6） Bessel函数的递推关系。