北邮数学物理方法18-19期末试题B
北邮工程数学期末试卷B卷答案
《工程数学》期末考试试题（B 卷）
可能用到的公式
，各递推公式中
一、 填空题（每空 4 分，共 20 分）
1、
0.
2、已知
，则可求出z的主值为
.
3、复数
，当
时，其幅角的主值
.
4、
=
.
5、Legendre方程
分，共 20 分）
上，将函数
广义Fourier级数。
设：
而
按Legendre多项式展开为
，
，
解得： 所以：
八、（10 分）求解下列定解问题
得到： 而： 所以： 得：
所以：
1、试将复数
，
化为指数形式。
综上，指数形式为
2、 果是，求其导函数。
令
是否在z平面上解析？如
，则： ，
满足柯西-黎曼条件，所以是解析的。
3、将函数 级数。
在圆环
内展开为罗朗
4、求积分：
令
，则
，
。
，所以：
而 ，所以 所以：
三、（10分）求
在孤立奇点处的留数。
四、（10 分）利用分离变量法解下列定解问题：
分离变量得：
， 可知只有
则 ，代入初始条件：
，所以：
代入原方程，解得 所以 由初始条件，则：
综上：
五、（10分）将方程 的标准形式。
，
化为Sturm-Liouville方程
则：
即： 六、（10分）在第一类齐次边界条件下，把定义在
按零阶Bessel函数展开成级数。
上的函数
设：
则：
所以：
七、（10分）在
18-19高数A上试题解答北邮
0
0
0
x
于是
f (x)0 f (t)dt ln(1 x)
从而
2
0
f
(x)
x 0
f
(t)dt
dx
2
ln(1 x)dx
0
得
1
2
2
f (t)dt 3ln 3 2
20
所求平均值为
1
2
f (x)dx
6 l n 3
4
20
2
n
k
n
(2) x | sin x |dx
x | sin x |dx
y (c1 c2 x)e4x
(1) 对非齐次方程 y 8y 16 y e4x , 因为 4 是 2 重特征值,
所以可设其特解为 y1*
Ax2e4x ,
代入上述方程解得 A
1
.
2
y1*
1 2
x 2e4 x
从而
(2) y 8y 16 y 16x2 8x , 因为 0 不是特征根, 可设其特解
x2
2
其中 lim (x) 0 . x0
1
lim
x0
ln(1
x) x
a
sin
x
lim
x0
5 2
b
(x)
x
0
由洛比达法则. 得
1 a cos x
lim 1 x
0 a 1
(2)
x0
1
由(1), 得
5 2
b
lim
x0
ln(1
x) x2
sin
x
lim
x0
1 1
x 2x
cos
x
大学物理试卷参考答案(对应北京邮电大学版)
物理试卷参考答案1解：理想气体分子的能量RT i E 2υ=平动动能 3=t 5.373930031.823=⨯⨯=t E J 转动动能 2=r249330031.822=⨯⨯=r E内能5=i 5.623230031.825=⨯⨯=i E J 2解： ∵ xv v t x x v t v ad d d d d d d d ===分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v3.解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d +=积分，得 12234c t t v ++=由题知，0=t,00=v ,∴01=c故 2234t t v +=又因为 2234d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t,50=x ,∴52=c故 521232++=t t x所以s 10=t 时m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v4. )由题知，0=t时，00=φ，t t =时 3,0,20πφ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωφt 5)222υυ+=u 52202=+=υυu m/s=4.47υυθ00)90tan(=-2142== 6）由图知，0=t时，0,2<-=P P v A y ，∴34πφ-=P (P 点的位相应落后于0点，故取负值) ∴P 点振动方程为)3410cos(1.0ππ-=t y p∵ πππ34|3)10(100-=+-=t x t ∴解得 67.135==x m Y=-1/2M 7) 解： bt v tsv -==0d dRbt v R v a b tva n 202)(d d -==-==τ则 240222)(R bt v b a a a n-+=+=τ8）又 11x k F A∆= 22x k F B ∆=Mg F F B A ==弹性势能之比为12222211121212k kx k x k E E p p =∆∆=二．填空题答案1）解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MV mv mgR +=又下滑过程，动量守恒，以m ,M 为系统则在m 脱离M 瞬间，水平方向有0=-MV mv联立，以上两式，得()M m MgRv +=22）正比3）v v nf d )(：表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数密度 4)⎰21d )(v v v v Nf ：表示分布在21~v v 区间内的分子数5) 卡诺热机效率121T T -=η%7010003001=-=η6）W E Q+∆=7) E=1/2KA 2 8）书P144 三．计算题解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l+=将上式对时间t 求导，得tss t l l dd 2d d 2= 题1-4图根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，∴ ts v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳即 θcos d d d d 00v v s lt l s l t s v ==-=-=船或 sv s h s lv v 02/1220)(+==船将船v 再对t 求导，即得船的加速度322d d sv h t v a ==船2）解：由题图(a)，∵0=t时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a由题4-8图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x 01=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+= 3）解: (1)射入的过程对O 轴的角动量守恒ωθ2000)(sin R m m v m R +=∴ Rm m v m )(sin 000+=θω(2)020*********sin 21])(sin ][)[(210m m m v m R m m v m R m m E E k k +=++=θθ4）解：由abc 过程可求出b 态和a 态的内能之差 W E Q+∆=224126350=-=-=∆W Q E Jabd过程，系统作功42=WJ26642224=+=+∆=W E Q J 系统吸收热量ba 过程，外界对系统作功84-=A J30884224-=--=+∆=W E Q J 系统放热5）解：(1)从图上可得分布函数表达式⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤≤=≤≤=)2(0)()2()()0(/)(00000v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v Na v v Nv av v f )(v f 满足归一化条件，但这里纵坐标是)(v Nf 而不是)(v f 故曲线下的总面积为N，(2)由归一化条件可得⎰⎰==+0002032d d v v v v N a Nv a N v v avN(3)可通过面积计算 N v v a N 31)5.12(00=-=∆(4) N 个粒子平均速率⎰⎰⎰⎰+===∞∞00202d d d )(1d )(v v v v av v v av v v vNf Nv v vf v02020911)2331(1v av av N v =+=(5)05.0v 到01v 区间内粒子平均速率⎰⎰==0005.0115.0d d v v v v NNv N N N Nv v ⎰⎰==00005.05.00211d d )(v v v v v Nv av N N v v vf N N 2471)243(1d 12103003015.002100av N v av v av N v v av N v v v =-==⎰ 05.0v 到01v 区间内粒子数N av v v a a N 4183)5.0)(5.0(210001==-+=9767020v N av v ==6）解: (1)如题5-11图(a)，则波动方程为])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b)，则波动方程为])(cos[0φω++=uxt A y(2) 如题5-11图(a)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω+-=ubt A A Q如题5-11图(b)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω++=ubt A A Q。
2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案
保密★启用前2018-2019学年第一学期期末考试《高等数学BⅠ》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)nn n →∞+=（ B ）.（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1e2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）123. 设0()()()d xF x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线221e 1e−−+=−x x y （ D ）.（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()d ()tf t t f t '=⎰（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C6. 使不等式1sin d ln xtt x t>⎰成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π(1,)2（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比2e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求d d x yx== 2− .9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 221d x x x −−=⎰116． 11. 121e d x x x−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22149x y +=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222149x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分10分）求函数3sin ()xf x x xπ=−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)x xf x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是lim ()lim(1)(1)x x xf x x x x →→π==π−+， 4分1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →−→−→−ππππ=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →→→ππππ===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）14.（本题满分10分）设cos sin ,sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求224d d t y x π=.【解】由题意，得4d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t yt x t t t t t t t x π='−−+===='+−++ 5分222324d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t yx t x t t x π==⋅==π10分15.（本题满分10分）求x ． 【解】设tan ,,22x t x ππ=−<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2cos d sin tt t=⎰2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分C =+. 10分16．（本题满分10分）求函数3226187y x x x =−−−的极值.【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分17.（本题满分10分）求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.【解】（1） 1S x =⎰2分432121433x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分 （2） 解法1： 412y V x =π⎰ 7分4521412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分解法2： 24132d y V y y =π−π−π⎰ 7分1245=π 10分18.（本题满分8分）求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面方程．【解1】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=， 即2=，由此解得0λ=或43λ=−. 6分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 5 页 （共 5 页）将0λ=或43λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为40207120x z x y z −+=++−=，. 8分 【解2】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=即2=，由此解得34λ=−. 6分 将34λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为207120x y z ++−=. 7分另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分19.（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.【证】 构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分 因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.则原结论成立． 6分。
大学物理期末复习题精选(北京邮电大学第4版)
习题11.1选择题(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r的端点处，其速度大小为(A)dtdr(B)dt r d(C)dt r d || (D) 22)()(dtdy dt dx +[答案：D](2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2/2s m a -=，则一秒钟后质点的速度(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。
[答案：D](3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为(A)tRt R ππ2,2 (B) t R π2,0(C) 0,0 (D) 0,2tRπ [答案：B]1.2填空题(1) 一质点，以1-⋅s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。
[答案： 10m ； 5πm](2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。
[答案： 23m·s -1 ]1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：(1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。
1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？（1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。
给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。
（x 单位为m ，t 单位为s ）解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。
加速度又是位移对时间的两阶导数。
大学物理学答案(北京邮电大学第3版)赵近芳等编著#(精选.)
大学物理学(北邮第三版) 习题及解答（全）习题一1-1 ｜r ∆｜与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v有无不同?其不同在哪里?试举例说明．解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r -=∆； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v tsd d . t rd d 只是速度在径向上的分量.∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t ˆrˆt r t d d d d d d r r r += 式中t rd d 就是速度径向上的分量，∴t r td d d d 与r 不同如题1-1图所示.题1-1图(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以t v t v t v d d d d d d ττ +=式中dt dv就是加速度的切向分量.(t tr d ˆd d ˆd τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t rd d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v =22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r+=，jt y i t x t r a jt y i t x t r v222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴故它们的模即为222222222222d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作22d d d d t r a trv ==其二，可能是将22d d d d t r tr 与误作速度与加速度的模。
北京邮电大学大学物理期末考试试卷(含答案)
北京邮电大学大学物理期末考试试卷(含答案)一、大学物理期末选择题复习 1．运动质点在某瞬时位于位矢r 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)dt r d ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确答案D2．如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ答案D3．一个电流元Idl 位于直角坐标系原点 ，电流沿z 轴方向，点P (x ，y ，z )的磁感强度沿x 轴的分量是： （ ）(A) 0(B) ()()2/32220/4/z y x Ixdl ++-πμ(C) ()()2/12220/4/z y x Ixdl ++-πμ(D)()()2220/4/z y x Ixdl ++-πμ答案B4．人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的（ ）(A) 动量不守恒，动能守恒(B) 动量守恒，动能不守恒(C) 对地心的角动量守恒，动能不守恒1、(D) 对地心的角动量不守恒，动能守恒答案C5．静电场中高斯面上各点的电场强度是由：（ ）(A) 高斯面内的电荷决定的 (B) 高斯面外的电荷决定的(C) 空间所有电荷决定的 (D) 高斯面内的电荷的代数和决定的答案C6．将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 答案A7．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： （ ）(A) 00,4QE U rπε== (B) 00,4Q E U R πε== (C) 200,44QQ E U rr πεπε== (D)200,44QQ E U r R πεπε==答案B8． 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）dr dt ；（2）dr dt ；（3）ds dt ；（4下列判断正确的是：（A ）只有（1）（2）正确 （B ）只有（2）正确（C ）只有（2）（3）正确 （D ）只有（3）（4）正确答案 D9． 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
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北京邮电大学2018-2019学年第一学期
《数学物理方法》期末试题（B ）
注意：本试卷共5 道大题。
答题时不必抄题，要注明题号，所有答案一律写在答题纸上，否则不计成绩。
一、 解答下列各题（每题6分，共36分）
1、 写出三类基本方程的最简单形式。
2、求解下列本征值问题的本征值和本征函数
()()()()()()
02,2ϕλϕϕπϕϕπϕ''Φ+Φ=⎧⎪⎨''Φ+=ΦΦ+=Φ⎪⎩3、将Bessel 方程
222()0x y xy x m y λ'''++-=
化成Sturm-Liouville 型方程，并指出其核函数和权函数。
4、用达朗贝尔公式求下列定解问题的解
()()()20,0,,0cos ,,0.
tt xx x t u a u x t u x x u x e ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩5、设()f x 在区间[-1,1]上的有界且连续，并设
()()()0Legendre n n n n f x f P x P x ∞
==∑其中是多项式
试证明 ()()11
212n n n f P x f x dx -+=
⎰. 6、已知Bessel 函数的递推公式1[()]()m m m m d x J x x J x dx -=，试计算30()x J x dx ⎰。
二、研究细杆上的热传导问题。
设杆上的初始温度是均匀的为0,u 然后保持杆的一端的温度为不变的0,u 而另一端则有强度为恒定的热流0q 进入，即求解定解问题 22200000,,,.x x x l t u u a t x q u u u k u u ===⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩ （25分）
三、 求解下列定解问题 ()222220001,0,0,,,0.b t t u u u a b t
u u u u f t ρρρρρρρ====⎧⎛⎫∂∂∂=+<<⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=<+∞⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩ （20分）
四、试证明微分方程221sin (1)0sin sin d d m l l d d θθθθθ⎡⎤Θ⎛⎫++-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
通过变换cos x θ=可以化成关联Legendre 方程
22
2(1)()2()(1)()01m x x x x l l x x ⎡⎤'''-Θ-Θ++-Θ=⎢⎥-⎣⎦ （8分） 五、在半径为a 的球内求解Laplace 方程的定解问题 200,3cos 21r r a u u u θ==⎧∇=⎨<+∞=+⎩ （11分）
坐标电子院。
答案就不上传了，毕竟每年试题相仿，上传了不太好。
这门课18级挂科率高达1/5，惨绝人寰，还是认真对待哈。