北邮工程数学作业
工程数学第四次作业
工程数学第四次作业随着工程的复杂性和综合性日益增长，工程数学成为了工程师必备的重要工具。
本次作业的主题为“线性代数与矩阵运算”。
线性代数是工程数学的一个重要分支，它研究的是向量空间及线性变换。
在工程领域，线性代数被广泛应用于计算机图形学、机器学习、物理建模和经济学等领域。
通过对线性代数的学习，工程师可以更好地理解和分析工程问题，提高解决问题的效率和质量。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是向量空间中的一种特殊元素。
矩阵的运算是工程数学中的基本运算之一，它可以表示物体之间的相对位置和运动状态。
在工程中，矩阵被广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、机器人学和控制系统等领域。
通过对矩阵的学习，工程师可以更好地理解和分析工程问题，提高解决问题的效率和质量。
本次作业的任务是完成一份关于线性代数与矩阵运算的试卷。
试卷包括了填空题、选择题和计算题等多种题型，涵盖了线性代数与矩阵运算的基本概念和基本运算。
完成本次作业需要学生掌握线性代数与矩阵运算的基本概念和基本运算，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
通过本次作业，学生可以更好地理解和掌握线性代数与矩阵运算的基本概念和基本运算，提高解决实际问题的能力。
本次作业还可以帮助学生培养良好的学习习惯和思维方式，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
工程数学第四次作业是关于线性代数与矩阵运算的一次重要实践。
通过本次作业，学生可以更好地理解和掌握工程数学的基本概念和基本方法，提高解决实际问题的能力。
本次作业还可以帮助学生培养良好的学习习惯和思维方式，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
第四次中东战争中东战争是指在中东地区发生的多次军事冲突和战争，其中第四次中东战争是指1973年埃及和叙利亚等国家与以色列之间爆发的一场大规模战争。
这场战争的爆发原因和战场情况以及战争的影响和后果都值得我们深入探讨。
在第四次中东战争爆发前，中东地区已经存在着紧张的政治和军事局势。
以色列和埃及、叙利亚等国家之间长期存在着领土争端和民族矛盾，这是导致战争爆发的重要原因之一。
北邮工程数学作业1-4
一、判断题（共5道小题，共50.0分）1.设A、B都为n阶矩阵，则．A.正确B.错误知识点: 阶段作业一学生答案:[B;]得分: [10] 试题分值:10.0提示:2.3.设A、B都为n阶矩阵，若AB = 0，则|A| = 0或|B| = 0．A.正确B.错误知识点: 阶段作业一学生答案:[A;]得分: [10] 试题分值:10.0提示:4.5.设A为n阶矩阵，则必有．A.正确B.错误知识点: 阶段作业一学生答案:[A;]得分: [10] 试题分值:10.0提示:6.7.设A为n阶矩阵，若k是不为零常数，则必有| kA| = k| A|．A.正确B.错误知识点: 阶段作业一学生答案:[B;]得分: [10] 试题分值:10.0提示:8.9.设A为5阶矩阵，若k是不为零常数，则必有．A.正确B.错误知识点: 阶段作业一学生答案:[A;]得分: [10] 试题分值:10.0提示:10.二、单项选择题（共5道小题，共50.0分）1.(错误)设A为m×n矩阵，如果Rank (A) = r （< min( m, n)），则（ B ）．A.A有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零． XXB.A有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零．C.A的所有r阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零．D.A的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零．知识点: 阶段作业一学生答案:[A;]不对标准 B得分: [0] 试题分值:10.0提示:2.(错误)如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（）．A.XXXXXXXXXXB.XXXXXXXXXXXXXXXXC.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXD.知识点: 阶段作业一学生答案:[C;] 标准 D得分: [0] 试题分值:10.0提示:3.(错误)当k = ( )时，矩阵不可逆．A. 4B. 2C.D.0知识点: 阶段作业一学生答案:[B;] 标准 C得分: [0] 试题分10.0提示:4.(错误)当ad - cb =1时，=（ B ）．A.B.C.D.知识点: 阶段作业一学生答案:[A;] B得分: [0] 试题分值:10.0提示:5.A为3阶矩阵且| A| =3，则 |-2A| =（）．A.-24B.-8C.-6D.24知识点: 阶段作业一学生答案:[A;]得分: [10] 试题分10.0提示:第二次作业一、判断题（共5道小题，共50.0分）1.若线性方程组的系数矩阵A满足Rank(A) < n，则此方程组有非零解．A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A得分: [10] 试题分值:10.0提示:2.3.若是非齐次线性方程组的两个解，则也是它的解．A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:B得分: [10]值:10.0提示:4.5.任何一个齐次线性方程组都有解．A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A得分: [10] 试题分值:10.0提示:6.7.任何一个齐次线性方程组都有基础解系，它的解都可由其基础解系线性表示．A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:B得分: [10] 试题分值:10.0提示:8.9.若存在使式子成立，则向量组线性无关．A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:B得分: [10] 试题分值:10.0提示:10.二、单项选择题（共5道小题，共50.0分）1.设A为n阶矩阵，，如果| A | ≠0，则齐次线性方程组AX = 0（）．A.无解B.有非零解C.仅有零解D.不能确定是否有非零解知识点: 阶段作业二学生答案: [C;]标准答案:C得分: [10] 试题分值:10.0提示:2.3.设向量组，，，则当实数k =( )时，，，是线性相关的．A.-2或3B.2或-3C.2或3D.-2或-3知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A得分: [10] 试题分值:10.0提示:4.5.设向量,,,,则向量可由向量线性表示的表达式为( )．A.B.C.D.知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:B得分: [10] 试题分值:10.0提示:6.7.设向量,,,,则向量可由向量线性表示的表达式为( )．A.B.C.D.知识点: 阶段作业二学生答案: [D;]标准答案:D得分: [10] 试题分值:10.0提示:8.9.向量组(m 2)线性无关的充分必要条件是（）．A.中至少有一个向量可以用其余向量线性表示．B.中有一个零向量．C.中的所有向量都可以用其余向量线性表示．D.中每一个向量都不能用其余向量线性表示．知识点: 阶段作业二学生答案: [D;]标准答案:D得分: [10] 试题分值:10.0提示:10.第三次作业：一、判断题（共5道小题，共50.0分）1.一口袋中装有6个球，球上分别标有数字-3，-3，1，1，1，2。
20101010《工程数学II—统计学》作业题
《工程数学II—统计学》作业题1. 随机事件与概率(1) 某市有50%的住户订日报，65%的住户订晚报，85%的住户至少订这两种报纸中的一种，试求同时订这两种报纸的住户所占的百分比。
(2) 有三个袋子，甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有2个白球2个黑球，丙袋中有4个白球5个黑球，今任取一个袋子并从该袋中任取2个球，试计算这两个球均为白球的概率。
(3) 将a, b, b, i, i, l, o, p, r, t, y这11个字母随机地排成一排，试计算恰好排成单词probability的概率。
(4) 若事件A, B, C相互独立，且P(A) = 0.25，P(B) = 0.50，P(C) = 0.40，试计算事件A、B、C至少有一个发生的概率。
(5) 从6名候选人甲、乙、丙、丁、戊、己中选出四名委员，试计算甲、乙中最多有一人被选中的概率。
(6) 若10件产品中有4件次品，从中任取两件，发现有一件次品，试计算另一件也是次品的概率。
(7) 某型号的高射炮，每发炮弹击中飞机的概率0.6。
若每门高炮同时各射击一发炮弹，问至少要配备多少门炮，才能保证击落飞机的概率在99%以上？(8) 假设有两箱同种零件，第一箱装50件，其中有10件是一等品；第二箱装30件，其中有18件一等品。
现任取一箱，从中先后取出两个零件(不放回)，试求：1.先取出的零件是一等品的概率p；2.在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的仍然是一等品的概率q；3.第一次取出的是一等品，第二次取出的不是一等品的概率r。
(9) 一个系统由A、B、C、D、E五个独立元件组成，其连接方式如下图所示。
元件B 、C 、D 正常工作的概率为p ，元件A 、E 正常工作的概率为q 。
求：1. 系统正常工作的概率；2. 在系统正常工作的条件下，元件B 、C 、D 中只有一个正常工作的概率。
(10) 某商店将一种电子元件的包装做如下安排：每包装10个，甲类包每包办个次品，乙类包每包2个次品，丙类包每包4个次品。
2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务(1-5)试题与答案解析
2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务（1-5）试题与答案解析（红色标注为正确答案）工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A）．A. B. －1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（C）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（A）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（C）．A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（B）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D）．A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5×4 矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则．⒍设均为3阶矩阵，且，则-72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则-3 ．⒏若为正交矩阵，则0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则．（三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．⒉设，求．⒊已知，求满足方程中的．⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴；⑵；⑶．⒍求矩阵的秩．（四）证明题（每小题4分，共12分）⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．⒏若是阶方阵，且，试证或．⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122 ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量（二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= 1 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是 ．⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为 ．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,,3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。
工程数学形成性考核册答案_带题目[1]
![工程数学形成性考核册答案_带题目[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/dd5fb62510a6f524ccbf85f6.png)
【工程数学】形成性考核册答案工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章 矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=（D ）． A. 4 B. －4 C. 6 D. －6⒉若000100002001001a a =，则a=（A ）． A. 12 B. －1 C. -12D. 1⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A B A B +=+---111B. ()A B B A--=11C. ()A B A B +=+---111D. ()A B A B---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. A B n A B = C. k A k A = D. -=-k Ak An() ⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则A B 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵 D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则A B ≠0 ⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C ）． A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325 C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）． A.A ≠0 B.A ≠0 C. A *≠0 D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()A C B '=-1（D ）． A. ()'---BA C 111B. '--B C A 11C. A C B ---'111() D. ()BC A---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. ()A B A A B B +=++2222 B. ()A B B B A B +=+2C. ()221111A B C C B A ----= D. ()22A B C C B A '=''' （二）填空题（每小题2分，共20分）⒈21140001---= 7 ． ⒉---11111111x 是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． ⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积A C B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵． ⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且AB ==-3，则-=2A B 72 ． ⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ． ⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = 0 ． ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ． （三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷AB +5；⑸A B ；⑹()A BC '．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求A C B C +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中的X ． 解： 32A X B-= ∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X⒋写出4阶行列式1020143602533110-- 中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．答案：0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥． 解：（1）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-91929292919292929110001000191929203132032311002120112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000000111000111011011011010111000011100011101101111112211100111000111011011111102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴3)(=A R（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A ，试证AA +'是对称矩阵． 证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ AA +'是对称矩阵 ⒏若A 是n 阶方阵，且A AI '=，试证A =1或-1． 证明： A 是n 阶方阵，且A AI '= 12==='='I A A A A AA =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵． 证明： A 是正交矩阵∴ A A '=-1)()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）． A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）． A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组． A. αα12, B. ααα123,, C. ααα124,, D. α1 ⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A=秩()A -1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组ααα12,,, s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ ）成立．Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B 的特征值Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分)⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 12120+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ． ⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s的秩与矩阵[]ααα12,,, s的秩 相同 ． ⒎设线性方程组A X =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．⒏设线性方程组A X b =有解，X 0是它的一个特解，且A X =0的基础解系为X X 12,，则A X b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x xx x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210009039270188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100010100100102000131004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x２．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解 当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解３．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中 βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解 β不能由向量321,,ααα线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,, 解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关５．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系． 解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ，得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ ６．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x xx x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =，24k x =，这里1k ，2k 为任意常数，得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x７．试证：任一４维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一４维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解． 证明：设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解，即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(B AX =有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9．设λ是可逆矩阵Ａ的特征值，且0≠λ，试证：λ1是矩阵1-A 的特征值．证明： λ是可逆矩阵Ａ的特征值∴ 存在向量ξ，使λξξ=Aξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A Iξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值 10．用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型． 解：42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++=222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=，4232x x x y +-=，23x y =，44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=工程数学作业（第三次）(满分100分)第4章 随机事件与概率（一）单项选择题⒈AB ,为两个事件，则（ B ）成立． A. ()A B B A +-= B. ()A B B A +-⊂ C. ()A B B A -+= D. ()A B B A -+⊂⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．A. A B =∅B. A B U= C. A B =∅且A B U = D. A 与B 互为对立事件⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）．A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯.. 4. 对于事件AB ,，命题（C ）是正确的．A. 如果A B ,互不相容，则AB ,互不相容B. 如果A B ⊂，则A B ⊂C. 如果A B ,对立，则AB ,对立D. 如果A B ,相容，则AB ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.3)1(p - B. 31p - C. )1(3p - D. )1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2 7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b ab ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰ B. x f x x ab()d ⎰ C.f xx a b()d ⎰ D. f x x()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．A. f x x x ()s i n ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它B. f x x x ()s i n ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它 C. f x x x ()s i n ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()s i n,,=<<⎧⎨⎩00π其它 9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （ D ）．A. F a F b ()()-B. Fxx a b()d ⎰ C. fa fb ()()- D. f xx ab()d ⎰ 10.设X 为随机变量，E XD X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． A. Y X =+σμB. Y X =-σμC. Y X =-μσD. Y X =-μσ2（二）填空题⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2． 2.已知P AP B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P A B (= 0.3 ． 3.A B ,为两个事件，且BA ⊂，则P A B ()+=()A P ． 4. 已知P A B P A B P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．6. 已知P AP B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()=0.3 ．7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ． 9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)XY 的 协方差 ． （三）解答题 1.设A B C ,,为三个事件，试用A B C ,,的运算分别表示下列事件： ⑴ A B C ,,中至少有一个发生； ⑵ A B C ,,中只有一个发生； ⑶ A B C ,,中至多有一个发生； ⑷ A B C ,,中至少有两个发生； ⑸ A B C ,,中不多于两个发生； ⑹ A B C ,,中只有C 发生． 解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；⑵ 2球中至少有1红球．解:设A =“2球恰好同色”，B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解：设=i A “第i 道工序出正品”（i=1,2）9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布． 解：P X P ==)1(P P X P )1()2(-== P P X P 2)1()3(-== …………P P k X P k 1)1()(--== …………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(3216.设随机变量X 的概率分布为012345601015020301201003.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253．解：87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P 7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它 试求P X P X (),()≤<<12142． 解：412)()21(210221021====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16152)()241(1412141241====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它，求E X D X(),()． 解：32322)()(1031==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x xf X E 21422)()(10410222==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D9. 设)6.0,1(~2N X ，计算⑴P X (..)0218<<；⑵P X ()>0． 解：8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P10.设X XX n 12,,, 是独立同分布的随机变量，已知E XD X (),()112==μσ，设X n X i i n==∑11，求E X D X (),()． 解：)]()()([1)(1)1()(21211n n ni i X E X E X E nX X X E n X nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= μμ==n n 1)]()()([1)(1)1()(2122121n n n i i X D X D X D n X X X D n X n D X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=22211σσn n n=⋅=工程数学作业（第四次）第6章 统计推断（一）单项选择题⒈设x x x n12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1 B. x 1+μ C. x 122σ D. μx 1 ⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计．A. m a x {,,}xxx 123B. 1212()x x + C. 212x x - D. x x x 123--（二）填空题1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．4．设x x x n12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量n x U /0σμ-=．5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．（三）解答题1．设对总体X 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值x 和样本方差s 2．解： 6.336101101101=⨯==∑=i i x x878.29.2591)(110121012=⨯=--=∑=i i x x s2．设总体X 的概率密度函数为fx x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ． 解：提示教材第214页例3矩估计：,121)1()(110∑⎰===++=+=ni i x n x dx x x X E θθθθxx --=112ˆθ 最大似然估计：θθθθθ)()1()1();,,,(21121n n i ni n x x x x x x x L +=+==0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==ni i ni i x nd L d x n L θθθθ，1ln ˆ1--=∑=ni ixnθ3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ225=.；⑵σ2未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间．解： 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ5122=--==∑=i i x x s σ （1）当σ225=.时，由1－α＝0.95，975.021)(=-=Φαλ 查表得：96.1=λ故所求置信区间为：]4.111,6.108[],[=+-n x n x σλσλ（2）当2σ未知时，用2s 替代2σ，查t (4, 0.05 ) ，得 776.2=λ故所求置信区间为：]7.111,3.108[],[=+-nsx n sx λλ4．设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立． 解：237.0162.343|10/42017||/|||0=⨯=-=-=nx U σμ，由975.021)(=-=Φαλ ，查表得：96.1=λ因为 237.0||=U > 1.96 ，所以拒绝0H5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=005.）． 解：由已知条件可求得：0125.20=x 0671.02=s 1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20||/|||0==-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0即用新材料做的零件平均长度没有变化。
(完整版)工程数学(概率)综合练习题整理
北京邮电大学高等函授教育、远程教育《工程数学》综合练习题通信工程、计算机科学与技术专业（本科）《概率论与随机过程》部分一、设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 运算关系表示下列事件：1． A 发生，B 与C 不发生：_______________________ 2． A 、B 、C 中至少有一个发生：___________________ 3． A 、B 、C 中至少有两个发生：___________________ 4． A 、B 、C 中不多于一个发生。
_____________________ 二、填空1． 设A 、B 为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===B P A P B A P Y ，则（1）=)(B A P ___________， （2）=)(B A P __________;2．若事件A 发生必导致事件B 发生，且==)(,4.0)(A B P A P 则____,=)(AB P ____; 3．若A 、B 为任意两随机事件，若)(),(),(AB P B P A P 已知，则=)(B A P Y ______________，=)(A P _______________;4． 设有三事件A 1、A 2、A 3相互独立，发生的概率分别为1p 、2p 、3p ，则这三事件中至少有一个发生的概率为__________________,这三事件中至少有一个不发生的概率为_______;5． 若随机变量X ～B （5，0.3）,则P ｛X =3｝=___________________________,P ｛X ≥4｝=__________________________________________; 6． 设随机变量X ～B ),(p n ，且EX =2.4,DX =1.44,则X 的分布列为{}==k X P __________________________________________, {}==3X P __________________________________________;7．已知随机变量X 的概率密度函数为),(221)(8)1(2∞-∞=--x e x f π则EX =______，DX =______，X 的分布函数=)(x F __________________;8．设X ～N （1.5,4）,则P ｛︱X ︱＜3｝＝_________________;(已知)9878.)25.2(,7734.0)75.0(=Φ=Φ9．若X ～N （==-)(,22222Y E eY e x则），且，μμσμ___________;10．设随机变量X 的概率密度为=⎩⎨⎧≤>=-k x x ke x f x 则常数0,00,)(3_________。
工程数学作业第一次满分
工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章 矩阵（一）单项选择题（每题2分，共20分）⒈设a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=（ ）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若000100002001001a a=，则a =（ ）．A.12 B. －1 C. -12D. 1 ⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（ ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系对旳旳是（ ）． A. A BAB +=+---111 B. ()AB BA --=11C. ()A B A B +=+---111 D. ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式对旳旳是（ ）． A. A B A B +=+ B. AB n A B =C. kA k A =D. -=-kA k A n()⒍下列结论对旳旳是（ ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥旳伴随矩阵为（ ）． A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B.--⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325 C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆旳充足必要条件是（ ）．A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（ ）．A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立旳是（ ）． A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '='''（二）填空题（每题2分，共20分）⒈21014001---= ． ⒉---11111111x 是有关x 旳一种一次多项式，则该多项式一次项旳系数是 ． ⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''故意义，则C 为 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015．⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''= ． ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB ．⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = ． ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥旳秩为 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=- ．（三）解答题（每题8分，共48分）⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '．⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中旳X ． ⒋写出4阶行列式1020143602533110--中元素a a 4142,旳代数余子式，并求其值． ⒌用初等行变换求下列矩阵旳逆矩阵：⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥．⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥旳秩．（四）证明题（每题4分，共12分）⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1． ⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵．工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪旳解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（ ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（ ）． A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,旳秩为（ ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（ ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一种线性方程组旳系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组对应旳齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ ）． A. 也许无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎如下结论对旳旳是（ ）．A. 方程个数不不小于未知量个数旳线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数旳线性方程组一定有唯一解C. 方程个数不小于未知量个数旳线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性有关，则向量组内（ ）可被该向量组内其他向量线性表出．A. 至少有一种向量B. 没有一种向量C. 至多有一种向量D. 任何一种向量（二）填空题(每题2分，共16分)⒈当λ= 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,旳秩是 ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=旳系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 解，且系数列向量ααα123,,是线性 旳．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,旳极大线性无关组是 ． ⒍向量组ααα12,,, s 旳秩与矩阵[]ααα12,,, s 旳秩 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关旳解向量有 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它旳一种特解，且AX =0旳基础解系为X X 12,，则AX b =旳通解为 ．（三）解答题(第1小题9分，其他每题11分) 1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 3．计算下列向量组旳秩，并且（1）判断该向量组与否线性有关；（2）求出该向量组旳一种极大无关组。
国开形成性考核00490《工程数学(本)》形考作业(5)试题及答案
国开形成性考核《工程数学（本）》形考作业（5）试题及答案（课程ID: 00490,整套相同，如遇顺序不同，Ctrl+F查找，祝同学们取得优异成绩！）解答题（第1・9题，每题8分，共72分；第10-13题，每题7分，共28 分）题目：1、1.求下列线性方程组的全部解.x x— 5x2 + 2旳一3& = 11-3工1 + 毛一4X3+2X4 = -5-X1-9X2-4X4 = 172.设45为两个事件, 试用文字表示下列各个事件的含义,(2) AB；A- B I题目:2、(4) (5) AB i(6) -45 +AB. +3X2 + 6x, —x4 = -1解：(1)4♦屋表示事件A与事件B至少有f 发生，(2)〃表示事件A与事件B同时发生，(3)4"表示専件A发生但事件B不发生，(4)A-AB = AB表示専件A发生同时事件B不发生，(5)苏=页厅表示事件A不发生同时事件B也不发生，(6)AB^AB "口-〃表示事件A发生或事件B发生,但两事件不同时发生。
题目:3^3.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率:(1)2球恰好同色I ■(2)2球中至少有1红球解：(1)2球恰好同色的概率为衆=0_4；(2)2球中至少有1红球的概率为畚=0。
题目：44.设有100个酿圆零件，其中95个长度合格，92个直径合格，87个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：“(1)该产品是合格品的概率；3(2)若巳知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；(3)若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率.解:设长度合格为A事件，直径合格为B事件，则长度直径都合格为AB事件，根据题意有P(A)=0.95,P(B)=0.92,P(AB)=0.87.(1)该产品是合格品的概率为興〃)=嵩=0"(2)已知该产品直径合格，则该产岛是合格品的概率为公"*)=穹詈=岛=旨(3)已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为汽8。
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一、判断题（共5道小题，共分）1.设A、B都为n阶矩阵，则．A.正确B.错误知识点:阶段作业一学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:2.3.设A、B都为n阶矩阵，若AB = 0，则|A| = 0或|B| = 0．A.正确B.错误知识点:阶段作业一学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:4.5.设A为n阶矩阵，则必有．A.正确B.错误知识点:阶段作业一学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:6.7.设A为n阶矩阵，若k是不为零常数，则必有| kA| = k| A|．A.正确B.错误知识点:阶段作业一学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:8.9.设A为5阶矩阵，若k是不为零常数，则必有．A.正确B.错误知识点:阶段作业一学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:10.二、单项选择题（共5道小题，共分）1.(错误)设A为m×n矩阵，如果Rank (A) = r （< min( m, n)），则（ B ）．A.A有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零． XXB.A有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零．C.A的所有r阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零．D.A的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零．知识点:阶段作业一学生答案:[A;]不对标准B得分:[0]试题分值:提示:2.(错误)如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（）．A.XXXXXXXXXXB.XXXXXXXXXXXXXXXXC.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXD.知识点:阶段作业一学生答案:[C;]标准D得分:[0]试题分值:提示:3.(错误)当k = ( )时，矩阵不可逆．A. 4B. 2C.D.0知识点:阶段作业一学生答案:[B;]标准C 得分:[0]试题分值:提示:4.(错误)当ad - cb =1时，=（ B ）．A.B.C.D.知识点:阶段作业一学生答案:[A;]B得分:[0]试题分值:提示:5.A为3阶矩阵且| A| =3，则 |-2A| =（）．A.-24B.-8C.-6D.24知识点:阶段作业一学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:第二次作业一、判断题（共5道小题，共分）1.若线性方程组的系数矩阵A满足Rank(A) < n，则此方程组有非零解．A.正确B.错误知识点:阶段作业二学生答案:[A;]标准答案:A得分:[10]试题分值:提示:2.3.若是非齐次线性方程组的两个解，则也是它的解．A.正确B.错误知识点:阶段作业二学生答案:[B;]标准答案:B得分:[10]试题分值:提示:4.5.任何一个齐次线性方程组都有解．A.正确B.错误知识点:阶段作业二学生答案:[A;]标准答案:A得分:[10]试题分值:提示:6.7.任何一个齐次线性方程组都有基础解系，它的解都可由其基础解系线性表示．A.正确B.错误知识点:阶段作业二学生答案:[B;]标准答案:B得分:[10]试题分值:提示:8.9.若存在使式子成立，则向量组线性无关．A.正确B.错误知识点:阶段作业二学生答案:[B;]标准答案:B得分:[10]试题分值:提示:10.二、单项选择题（共5道小题，共分）1.设A为n阶矩阵，，如果| A | ≠0，则齐次线性方程组AX = 0（）．A.无解B.有非零解C.仅有零解D.不能确定是否有非零解知识点:阶段作业二学生答案:[C;]标准答案:C得分:[10]试题分值:提示:2.3.设向量组，，，则当实数k =( )时，，，是线性相关的．A.-2或3B.2或-3C.2或3D.-2或-3知识点:阶段作业二学生答案:[A;]标准答案:A得分:[10]试题分值:提示:4.5.设向量,,,,则向量可由向量线性表示的表达式为( )．A.B.C.D.知识点:阶段作业二学生答案:[B;]标准答案:B得分:[10]试题分值:提示:6.7.设向量,,,,则向量可由向量线性表示的表达式为( )．A.B.C.D.知识点:阶段作业二学生答案:[D;]标准答案:D得分:[10]试题分值:提示:8.9.向量组(m 2)线性无关的充分必要条件是（）．A.中至少有一个向量可以用其余向量线性表示．B.中有一个零向量．C.中的所有向量都可以用其余向量线性表示．D.中每一个向量都不能用其余向量线性表示．知识点:阶段作业二学生答案:[D;]标准答案:D得分:[10]试题分值:提示:10.第三次作业：一、判断题（共5道小题，共分）1.一口袋中装有6个球，球上分别标有数字-3，-3，1，1，1，2。
从袋中任取一球，则球上所标数字的分布列为A.正确B.错误知识点:阶段作业三学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:2.一电路由A、B两个元件并联组成，A损坏的概率为，B损坏的概率为，它们中至少有一个损坏的概率为，则此电路不通的概率为．A.正确B.错误知识点:阶段作业三学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:3.4.设随机变量X的概率密度为，则常数k=．A.正确B.错误知识点:阶段作业三学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:5.6.某人打靶命中率为p，现重复射击5次，则P｛至少命中2次｝=．A.正确B.错误知识点:阶段作业三学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:7.8.设A、B为两事件，P（A∪B）=，P（A）= P（B）= ，则P (|)=．A.正确B.错误知识点:阶段作业三学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:9.二、单项选择题（共5道小题，共分）1.(错误)设，为标准正态分布的分布函数，则( D )．A.B.C.D.知识点:阶段作业三学生答案:[A;]标准D得分:[0]试题分值:提示:2.设随机变量X的概率密度为，则a=（）．A.B.C. 1D. 2知识点:阶段作业三学生答案:[C;]得分:[10]试题分值:提示:3.4.设A与B相互独立，且，则（）．A.B.C.D. 1知识点:阶段作业三学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:5.6.10件产品中有4件次品, 从中任取3件，则其中至少有1件次品的概率为( )．A.B.C.D.知识点:阶段作业三学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:7.8.(错误)设A与B对立，且P(A )≠ 0，P(B) ≠ 0，则（）．A.P(A∪B) = P(A)+ P(B)B.A =C.P(A B )≠ 0D.P(AB) = P(A) P(B)知识点:阶段作业三学生答案:[D;]标准A得分:[0]试题分值:提示:第四次作业：一、判断题（共5道小题，共分）1.设，则，．A.正确B.错误知识点:阶段作业四学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:2.3.设随机变量X与Y独立，则X与Y的相关系数．A.正确B.错误知识点:阶段作业四学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:4.5.设二维随机变量（X，Y）的分布列为则X与Y相互独立．A.正确B.错误知识点:阶段作业四学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:6.设(X，Y)的概率密度，则常数．A.正确B.错误知识点:阶段作业四学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:7.8.设（X，Y）的概率密度为，则X与Y相互独立．A.正确B.错误知识点:阶段作业四学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:9.二、单项选择题（共5道小题，共分）1.设随机变量X ～U［1，3］，则( )．A.B.C.D.知识点:阶段作业四学生答[A;]案:得分:[10]试题分值:提示:2.3.设（X，Y）的分布列为则E( X )，E( Y )分别为（）．A.，B.，C.，D.，知识点:阶段作业四学生答案:[A;]得分:[10]试题分值:提示:4.(错误)设X与Y均在区间[0，2]上服从均匀分布，则（）．A. 1B.C. 2D.知识点:阶段作业四学生答案:[B;]标准C得分:[0]试题分值:提示:5.设，如果，，则X的分布列（）．A.B.C.D.知识点:阶段作业四学生答案:[D;]得分:[10]试题分值:提示:6.7.已知（X，Y）的分布列为且知X与Y相互独立，则和分别为（）．A.B.C.D.知识点:阶段作业四学生答案:[B;]得分:[10]试题分值:提示:。