数理方程试题
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
数理方程T
一．填空1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: 。
2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xx t u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w 。
3.方程0=xyu 的通解为 。
4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为 问题。
5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 。
二、选择题.1. 偏微分方程02222=-∂∂+∂∂+∂∂ru xux u rx t u σ,(0,>σr 均为常数)是 ( )A. 线性抛物方程;B. 双曲方程;C. 拟线性方程;D. 非线性方程.2. 固有值问题⎩⎨⎧='='<<=+''0)(,0)0(0,0ππλX X x X X 的固有函数系为( ) A.{}∞=0cos n nx ; B. {}∞=1sin n nx ; C. {}∞=1cos ,sin ,1n nx nx ; D. {}∞=1cos ,sin ,1n x n x n ππ.3.由数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<-∞+=∂∂=>+∞<<-∞∂∂=∂∂==x x t u u t x x ut u t t ,11,00,,2002222确定的弦振动位移在特征线0=-t x 上的位移值为 ( ) A. 0.5arctan2t; B. arctan2t; C. 4π; D. 0.三.解答题：1.设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2.利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x lx t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3.求出线性方程 254=++++y x yy xy xx u u u u u 的特征线。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
数理方程6
4、用分离变量法求解定解问题
ut a 2u xx , 0 x l, t 0 u |x 0 0, ux |x l 0 u | ( x) t 0
得到的级数形式的解 u ( x, t )
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
a e
n 1 n
[
1
1 ] （s 3） ( s 1)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ A、只有三维波存在“无后效现象” B、只有二维波存在“无后效现象” C、三维波出现“弥散现象” D、二维波出现“惠更斯原理” 5、下列对拉普拉斯变换的式子错误的是（ ） A、 L[sin wt ] =
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
7、下列说法错误的是（ ） A、强极小函数一定是弱极小函数 B、弱相等意义下
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3v v ( x v) xv 2 f ( x, y, z ) 是( 3 x z
B、二阶 C、 三阶
(ax) a ( x)
(a 0)
)偏微分方程 C 、 )型偏微分方程
六、 （13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
2 x R, t 0 utt a u xx u |t 0 x , ut |t 0 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
u M0
1 4 a 2
udS
a
五、 （14 分）用本征函数展开法求解定解问题
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解：设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得：)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=，at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得：21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设u e v ct -=代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
数理方程习题综合
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。
解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得 v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。
进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。
试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。
用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。
由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。
下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。
作用在这段弧上的力有张力和外力。
可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx xx ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。
于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。
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2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为 ；4．当 时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。
二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。
课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。
3．柯西问题2222220(,0)cos ,(,0)sin y u u ux x y y u x x u x x⎧∂∂∂+-=⎪∂∂∂∂⎨⎪==⎩的特征方程为：（ ） )A 22()2()0dx dxdy dy +-=； )B 22()2()0dx dxdy dy --=； )C 22()2()0dy dxdy dx +-=； )D 22()2()0dy dxdy dx --=。
4．关于贝塞尔函数的递推公式，下列结论正确的是：（ ）)A 1[()]()n n n n d x J x x J x dx --+=-； )B 1[()]()nn n n d x J x x J x dx --+=； )C 1[()]()n n n n d x J x x J x dx ---=-； )D 1[()]()n n n n dx J x x J x dx---=。
5．已知5()n nn x C P x ∞==∑，其中)(x P n 为n 次勒让德多项式，则2C=（ ）)A 1； )B 52； )C 0； )D 52。
三．试解下列各题（每小题10分，共50分）1．试用分离变量法写出下列定解问题的特征值问题（10分）222(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)()(0)u u a t x t x u ut t t x x u x f x x πππ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪=<<⎪⎪⎩2．求下列柯西问题的解（10分）222222230,,0(,0)3,(,0)0,u u ux y x x y y u u x x x x y ⎧∂∂∂+-=-∞<<∞>⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<∞⎪∂⎩3．试求一个函数的代换将下列方程和边界条件同时齐次化（10分）22222000,0,00,,0(),()x x l t t u ua A x l t t x u u B t u u x x t ϕψ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩4．证明：ρπ1ln 21=u 是二维拉普拉斯方程的解（称为基本解），其中2020)()(y y x x -+-=ρ，并求出圆域内的格林函数（10分）5．已知0y >，化方程22220u uy x y∂∂+=∂∂为标准形式（10分）四．求解下列方程组带初始条件的柯西问题（10分）0000sin cos t t u t x u t x u x x ρρρ==∂∂⎧+=⎪∂∂⎪∂∂⎪+=⎨∂∂⎪=⎪⎪=⎩五．列出下列波动方程混合问题的显式差分格式（取2.0,2.0=∆=∆t x ）（10分）22220100,01,00(),()x x t t u ux t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2013-20141 数学物理方程（B ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1. 已知波动方程的初值问题（柯西问题）22222(,)(,0)(,0)0u u a f x t t x u u x x t ⎧∂∂-=⎪⎪∂∂⎨∂⎪==⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初值问题222220(,)(,)0,(,)(,)()W Wa t x t x W W x x f x t t τττττ⎧∂∂-=>-∞<<∞⎪⎪∂∂⎨∂⎪==>⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则=),(t x u 就是原问题的解。
2. 如果()f x 及()f x '都是可以进行傅里叶变换的，而且当||x →∞时，()0f x →，则成立()f x '的傅里叶变换[]()F f x '= 。
3. 偏微分方程22222340u u u x x y y∂∂∂--=∂∂∂∂的特征方程为 ；特征方向为 。
4. 当0,0≠≠y x 时，方程22222220u u x y x y∂∂+=∂∂类型为 。
5. 作未知函数的线性变换 可将方程组(1sin )200uu v x x t x xv u t ∂∂∂⎧++++=⎪⎪∂∂∂⎨∂⎪+=⎪∂⎩化为对角型方程组。
二．单项选择题：（每小题3分，共15分） 1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第二类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。
课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x ut t u l t t t x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂⎪==>⎨∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。
3．柯西问题2222220(,0)cos ,(,0)sin y u u ux x y y u x x u x x⎧∂∂∂--=⎪∂∂∂∂⎨⎪==⎩的特征方程为：（ ） )A 22()2()0dx dxdy dy +-=； )B 22()2()0dx dxdy dy --=； )C 22()2()0dy dxdy dx +-=； )D 22()2()0dy dxdy dx --=。
4．关于贝塞尔函数的递推公式，下列结论正确的是：（ ）)A 1[()]()n n n n d x J x x J x dx +=-； )B 1[()]()nn n n d x J x x J x dx +=； )C 1[()]()n n n n d x J x x J x dx -=-； )D 1[()]()n n n n dx J x x J x dx-=。
5．已知3()n nn x C P x ∞==∑，其中)(x P n 为n 次勒让德多项式，则2C=（ ）)A 0； )B 52； )C 1； )D 52。
三．试解下列各题（每小题10分，共50分）1.试用分离变量法写出下列定解问题的特征值问题（10分）22222(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(),(,0)()(0)u u a t x l t x u ut l t t x x u u x f x x g x x l t ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩2.求下列柯西问题的解（10分）2222220043030y y u u u x x y y u x u y ==⎧∂∂∂++=⎪∂∂∂∂⎪⎪=⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩3.试求一个函数的代换将下列方程和边界条件同时齐次化（10分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂=+∂∂=∂∂====)(),(1,0000222222x t u x u x u u x x u a t u t t l x x ψϕ 4.验证ρπ1ln 21=u 是二维拉普拉斯方程的解（称为基本解），其中2020)()(y y x x -+-=ρ，并求出上半平面0y ≥的格林函数（10分）5.0x >已知，化方程22220u ux x y∂∂-=∂∂为标准形式（10分）四．求一阶方程带初始条件的柯西问题的解（10分）0()t u u u t x u x ϕ=∂∂⎧+=⎪∂∂⎨⎪=⎩五．列出下列热传导方程混合问题的差分格式（取0.2,0.02x t ∆=∆=）（10分）2201000sin x x t u ut x u u u x π===⎧∂∂-=⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩。