数学物理方法期末考试试题-2006
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题一、单项选择题（每小题2分)1．齐次边界条件的本征函数是_______。
A） B）C） D)2．描述无源空间静电势满足的方程是________.A) 波动方程 B）热传导方程C) Poisson方程 D)Laplace方程3．半径为R的圆形膜，边缘固定,其定解问题是其解的形式为，下列哪一个结论是错误的______。
A）B)圆形膜固有振动模式是和C）是零阶Bessel函数的第m个零点。
D)满足方程4．是下列哪一个方程的解_________。
A） B）C） D)5．根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。
A) B)C） D）二、填空题（每题3分）1．定解问题用本征函数发展开求解时，关于T（t）满足的方程是：__________ 2．Legendre多项式的x的值域是____________。
Bessel函数的x的值域是______________________.3．一圆柱体内的定解问题为1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________;相应方程的解为___________________________；2）关于z满足的方程是_______________________________________；4．计算积分5．计算积分三、（10分)长为的弦，两端固定，初始位移为，初始速度为4x，写出此物理问题的定解问题。
四、(10分）定解问题,若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题五、（10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题六、（15分)用分离变量法求解定解问题计算积分七、（15分）有一半径为R的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为，试求圆盘上稳定的温度分布.八、（15分）设有一半径为R的球壳，其球壳的电位分布，写出球外的电位满足的定解问题，并求球外的电位分布参考公式（1）柱坐标中Laplace算符的表达式（2)Legendre多项式（3)Legendre多项式的递推公式（4）Legendre多项式的正交关系（5)整数阶Bessel函数（6）Bessel函数的递推关系。
某大学2006期末大学物理试题及答案_secret
一填空题 (共30分>1．(本题3分> 质量为的物体，初速极小，在外力作用下从原点起沿轴正向运动，所受外力方向沿轴正向，大小为。
物体从原点运动到坐标为点的过程中所受外力冲量的大小为 .2．(本题5分> 一维保守力的势能曲线如图所示，则总能量为的粒子的运动范围为；在时，粒子的动能最大；时，粒子的动能最小。
3．(本题3分> 长为、质量为的均质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴转动，转动惯量为，开始时杆竖直下垂，如图所示。
现有一质量为的子弹以水平速度射入杆上点，并嵌在杆中.，则子弹qKQ8bVqDLI射入后瞬间杆的角速度 .4．(本题3分><1）在速度情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。
<1）在速度情况下粒子的动能等于它的静止能量。
5．(本题5分> 若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度为，若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的电场强度分布为 .qKQ8bVqDLI6．(本题5分> 一个绕有500匝导线的平均周长50cm的细螺绕环，铁芯的相对磁导率为600，载有0.3A电流时, 铁芯中的磁感应强度B的大小为；铁芯中的磁场强度H 的大小为。
<）qKQ8bVqDLI 7．(本题3分> 一个半径为、面密度为的均匀带电圆盘，以角速度绕过圆心且垂直盘面的轴线旋转；今将其放入磁感应强度为的均匀外磁场中，的方向垂直于轴线。
在距盘心为处取一宽度为的圆环，则该带电圆环qKQ8bVqDLI相当的电流为，该电流所受磁力矩的大小为，圆qKQ8bVqDLI盘所受合力矩的大小为。
8．(本题3分>一长直导线旁有一长为，宽为的矩形线圈，线圈与导线共面，如图所示. 长直导线通有稳恒电流，则距长直导线为处的点的磁感应强度qKQ8bVqDLI为；线圈与导线的互感系数为 .二选择题 (每题3分，共30分>1．一质点沿轴运动，其速度与时间的关系为：，当时，质点位于处，则质点的运动方程为(A> (B> 。
数学物理方法
《 数学物理方法 》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。
1．z 为复数，则（ ）。
A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。
2．下列积分不为零的是（ ）。
A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。
3．下列方程是波动方程的是（ ）。
A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。
4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。
A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。
5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。
A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。
6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（ ）。
A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。
7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。
A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。
8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）。
A 分离变量 解单变量本征值问题 得单变量解得分离变量解； B 分离变量 得单变量解 解单变量本征值问题 得分离变量解； C 解单变量本征值问题 得单变量解 分离变量 得分离变量解； D 解单变量本征值问题 分离变量 得单变量解 得分离变量解。
9．下列表述中不正确的是（ ）。
A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。
数学物理方法期末考试模拟题
数学物理方法期末考试复习题1．复数1z =-z =_________________________________ 2．复数1iz e+=的三角表示为z =_________________________________3．由方程10z e +=可解得z =____________________ 4．由方程3z i =可解得z =____________________ 5．计算ln(1)-=____________________ 6．计算3(1)i -=____________________7．解析函数()f z 的实部22(,)u x y x y =-，则其导函数()f z '=____________________ 8．解析函数()f z 的虚部(,)2v x y y xy =-+，则其导函数()f z '=____________________ 9．沿着折线1i +到2i +，再到24i +的曲线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________10．沿1i +到24i +的直线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________11．级数01(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为____________________ 12．级数(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为__________13．级数0!nn z n ∞=∑的收敛区域为____________________14．级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛区域为____________________15．判断奇点的类型：0z =是函数1()f z z z =+的 16．判断奇点的类型：0z =是函数sin ()zf z z =的17．判断奇点的类型：0z =是函数2sin ()zf z z=的18．判断奇点的类型：0z =是函数3cos 1)(z zz f -=的19．函数1()f z z z=+，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =_______；Res[(),]f z ∞=_____20．函数21()(1)f z z z =-，在0，1，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =__________；Res[(),1]f z =__________；Res[(),]f z ∞=__________21．函数241()ze f z z -=，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =________；Res[(),]f z ∞=______22．以0z =为中心展开()21()1f z z =-为泰勒级数：___________________________23．以0z =为中心展开()21()1f z z =+为泰勒级数：___________________________24．以0z =为中心展开()zf z e =为泰勒级数：___________________________ 25．以0z =为中心展开()ln(1)f z z =+为泰勒级数：___________________________ 26．计算积分：=-⎰∞∞-dx x e x )1(2δ27．计算积分：⎰+∞∞-=dk e ikx π2128．已知π=Γ)21(，则=+Γ)21(n 29．已知1)1(=Γ，则=+Γ)1(n 30．11()l P x dx -=⎰31．11()()lk P x P x dx -=⎰32．2)(x x f =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________ 33．3()f x x =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________34．勒让德多项式的生成函数(,)t x ψ= 35．厄米多项式的生成函数(,)t q ψ= 36．贝塞尔函数的生成函数(,)t z ψ= 37．计算拉普拉斯变换：[]sin t t =____________________ 38．计算拉普拉斯变换：[]cos t t =____________________39．计算拉普拉斯变换：t te α-⎡⎤=⎣⎦____________________40．计算拉普拉斯变换：[]sin ()t ωτ-=____________________41．计算拉普拉斯变换：[]cos ()t ωτ-=____________________42．计算拉普拉斯逆变换：1222(1)(1)1p p ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦⎣⎦－_____________________43．计算拉普拉斯逆变换：121(2)(1)p p ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦－_____________________ 44．计算拉普拉斯卷积：sin t t ⊗=____________________45．计算拉普拉斯卷积：cos t t ⊗=____________________ 46．计算拉普拉斯卷积：sin sin t t ⊗=____________________ 47．计算拉普拉斯卷积：cos cos t t ⊗=____________________48．利用行波法解2(,0)(,0)()(,0)()tt xxt u a u x t u x x u x x ϕψ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________49．利用行波法解22(,0)(,0)sin (,0)tt xxt u a u x t u x x u x x ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________ 50．利用行波法解23(,0)(,0)(,0)tt xxt u a u x t u x xu x x⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________二、 解答题1．设(,)4u x y xy y =--。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
数学物理方法期末考试卷与解答
《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案姓名: 学号:题号 一 二 三 四 五 六 七八 总分 得分注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f eF xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件x y x v yy x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）高数帮帮数帮高数帮高f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
2006级大学物理(I)期末试卷A卷
2006级大学物理（I ）期末试卷A 卷学院： 班级:_____________ 姓名:序号:_____________ 日期: 2007 年 6 月 24 日一、选择题（共30分）1．（本题3分）（0686）某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？(A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．(C) 北偏西30°． (D) 西偏南30°． ［ ］2．（本题3分）（0338）质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是 (A)kmg . (B) k g 2 . (C) gk . (D) gk . ［ ］3．（本题3分）（0048）水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F 如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角θ 应满足(A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ．(C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ． ［ ］4．（本题3分）（0660）物体在恒力F 作用下作直线运动，在时间∆t 1内速度由0增加到v ，在时间∆t 2内速度由v 增加到2 v ，设F 在∆t 1内作的功是W 1，冲量是I 1，在∆t 2内作的功是W 2，冲量是I 2．那么，(A) W 1 = W 2，I 2 > I 1． (B) W 1 = W 2，I 2 < I 1．(C) W 1 < W 2，I 2 = I 1． (D) W 1 > W 2，I 2 = I 1． ［ ］5．（本题3分）（4014）温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能ε和平均平动动能w 有如下关系：(A) ε和w 都相等． (B) ε相等，而w 不相等．(C) w 相等，而ε不相等． (D) ε和w 都不相等． ［ ］6．（本题3分）（4586）一定量某理想气体所经历的循环过程是：从初态(V 0,T 0)开始，先经绝热膨胀使其体积增大1倍，再经等体升温回复到初态温度T 0，最后经等温过程使其体积回复为V 0，则气体在此循环过程中．(A) 对外作的净功为正值． (B) 对外作的净功为负值．(C) 内能增加了． (D) 从外界净吸的热量为正值． ［ ］7．（本题3分）（5185）用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v ～t ）关系曲线如图所示,则振动的初相位为(A) π/6. (B) π/3.(C) π/2. (D) 2π/3. (E) 5π/6. ［ ］8．（本题3分）（3087）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是(A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零．(C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． ［ ］21--9．（本题3分）（3162）在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若A 、B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为(A) 1.5 λ． (B) 1.5 λ/ n ．(C) 1.5 n λ． (D) 3 λ． ［ ］10．（本题3分）（5325）两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃慢慢地向上平移，则干涉条纹(A) 向棱边方向平移，条纹间隔变小．(B) 向棱边方向平移，条纹间隔变大．(C) 向棱边方向平移，条纹间隔不变．(D) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔不变．(E) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔变小． ［ ］二、填空题（共30分）11．（本题3分）（0735）二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 时，它们之间万有引力所做的功为____________．12．（本题3分）（0173）湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔人质量为60 kg ．如果他在船上向船头走了 4.0米，但相对于湖底只移动了 3.0米，(水对船的阻力略去不计)，则小船的质量为____________________．13．（本题3分）（4666） 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v ∆为一固定的速率区间，则速率在 v 到 v ＋v ∆范围内的分子数占分子总数的百分率随气体的温度升高而__________(增加、降低或保持不变)．14．（本题3分）（4563）设容器内盛有质量为M 1和质量为M 2的两种不同单原子分子理想气体，并处于平衡态，其内能均为E ．则此两种气体分子的平均速率之比为 ．15．（本题3分）（3032） 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示．两简谐振动的最大速率之比为_________________．16．（本题3分）（3034） 已知两个简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位超前_______．17．（本题3分）（3318）f (v )x (cm)一弦上的驻波表达式为 t x y 1500cos 15cos 100.22-⨯= (SI)．形成该驻波的两个反向传播的行波的波速为__________________．18．（本题3分）（3190）一个平凸透镜的顶点和一平板玻璃接触，用单色光垂直照射，观察反射光形成的牛顿环，测得中央暗斑外第k 个暗环半径为r 1．现将透镜和玻璃板之间的空气换成某种液体(其折射率小于玻璃的折射率)，第k 个暗环的半径变为r 2，由此可知该液体的折射率为____________________．19．（本题3分）（3731）波长为λ=550 nm (1nm=10-9m )的单色光垂直入射于光栅常数d =2×10-4 cm 的平面衍射光栅上，可能观察到光谱线的最高级次为第________________级．20．（本题3分）（3640）自然光以布儒斯特角i 0从第一种介质(折射率为n 1)入射到第二种介质(折射率为n 2)内，则tg i 0＝______________．三、计算题（共40分）21．（本题10分）（0780）两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘的半径r '＝2r ，质量 m '＝2m ．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量J ＝9mr 2 / 2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知r = 10 cm ．求：(1) 组合轮的角加速度β；(2) 当物体A 上升h ＝40 cm 时，组合轮的角速度ω．22．（本题10分）（4104） 一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知气体在状态A 的温度为T A ＝300 K ，求 (1) 气体在状态B 、C 的温度；(2) 各过程中气体对外所作的功； (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)．23．（本题10分）（3158）在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为)]/(2cos[1λνx t A y -π= 与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置．24．（本题10分）（3530）一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3 cm ，在光栅后放一焦距f=1 m 的凸透镜，现以λ=600 nm(1 nm =10-9 m)的单色平行光垂直照射光栅，求：(1) 透光缝a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大（亮纹）？p (Pa)V (m 3)100200300。
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一、单项选择题（每小题2分）
1． 齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。
A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )21sin(=+n x n D) 2,1,0 )2
1cos(=+n x n
2． 描述无源空间静电势满足的方程是________。
A) 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3． 半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====∇-∂∂===)
(| ),(|0|0),(),(0t 02222ρψρϕρρρt t R u u u t u a t t u
其解的形式为∑∞
==100)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。
A) )()()()(20222
t T k a t T dt
d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0t ak m
C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。
D ）)()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m
ρρρ 4． )(5x P 是下列哪一个方程的解_________。
A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x
B ）0252)1(2
=+'-''-y y x y x
C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x
D ）052)1(2=+'-''-y y x y x
5． 根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。
A ）)(2)()(1
20x J x J x J '=- B ）)()()(111x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J =- D ）)(2)()(120x J x
x J x J '=+
二、填空题（每题3分）
1． 定解问题⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====><<=-====0 ,00
,0)0,0( sin cos 0002t t t l x x x x xx tt u u u u t l x t l x A u a u ωπ用本征函数发展开求解时，关于T(t)满足的方程是：
2． Legendre 多项式)(x P l 的x 的值域是______________________。
Bessel 函数)(x J n 的x 的值域是______________________。
3． 一圆柱体内的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∆===)
( ),(0 ,0210ρρρρf u f u u a u h z z a
1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________; 相应方程的解为___________________________;
2）关于z 满足的方程是_______________________________________;
4． 计算积分
⎰-11)(dx x xP l 5． 计算积分⎰a dx x xJ 00)(
三、（10分）长为l 的弦，两端固定，初始位移为21x +，初始速度为4x ，写出此物理问题
的定解问题。
四、（10分）定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<=-===0
0 ,)0 ,0( ,000t l x x xx t u u t u t l x Du u ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题
五、（10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin ||)0,(040
0 六、（15分）用分离变量法求解定解问题
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====><<=-====0,4sin 0 ,0)0,0( 00002t t t l x x xx tt u x l u u u t l x u a u π 计算积分⎰-+=1
11)()(dx x P x xP I l l
七、（15分）有一半径为R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为
ϕϕρρ2cos 2|),(==R u ，试求圆盘上稳定的温度分布),(ϕρu 。
八、（15分）设有一半径为R 的球壳，其球壳的电位分布θ2cos |==R r u ，写出球外的电位满足的定解问题，并求球外的电位分布
参考公式
（1） 柱坐标中Laplace 算符的表达式
（2） Legendre 多项式
（3） Legendre 多项式的递推公式
（4） Legendre 多项式的正交关系
（5） 整数阶Bessel 函数
（6） Bessel 函数的递推关系。