求数列通项的几种基本方法(带答案)

数列通项公式的常见求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}n a 的通项公

式.

解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴912

3a a a =，

即)8()2(112

1d a a d a +=+d a d 12

=⇒

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵2

55a S = ∴211)4(2

4

55d a d a +=⋅⨯+

…………② 由①②得：531=

a ，5

3=d ∴n n a n 5

353)1(53=⨯-+=

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、累加法（()n f a a n n +=+1型） 2、已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。 解：由条件知：1

1

1)1(112

1+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得 )1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-=-n

n a n 1

231121-=-+=∴

3、已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

4、已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则

三、累乘法（n n a n f a )(1=+型） 5、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。 解：由条件知

1

1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-⋅⋅⋅⋅n n a a a a a a a a n

n 1

433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，n a n 32=∴ 6、设数列｛a n ｝是首项为1的正项数列，且),3,2,1(0112

21⋅⋅⋅==⋅+-+++n a a na a n n n n n ）（，求它的通

项公式。

四、利用求和公式求通项公式

7.（2015新课标）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．

解：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得

111

1n n

S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则

11(1)n S n n =---=-，所以1n S n

=-． 8、已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足()11log 2+=+n S n ，求数列{}n a 的通项公式。

9、已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥

①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++

+-+

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以1

3

22212

2

!

[(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

⋅⋅⋅

⋅=-⋅⋅⨯=

③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，

代入③得!13452

n n a n =⋅⋅⋅⋅

⋅=

。所以，{}n a 的通项公式为!

.2n n a =

10.（2015山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n

n S =+.

（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .

11、已知数列{a n }的各项均为正数，且)(21n

n n a n

a S +=，求a n