2021届广东省新高考适应性测试卷数学(一)
广东省深圳市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
广东省深圳市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.2．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ） A ．6B ．3C ．93222D ．93222+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】 解：曲线21y x =--O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A【解析】【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+ 【答案】A【解析】 由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为2131143423423834233V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+ 故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）AB．C ．2 D+1【答案】B【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率.【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=， 联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b c=，整理得()()22229550c a c a --=， 则22519c a =<（舍去），225c a =，ce a ∴==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.6．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【详解】 由101x x+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12ln ln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C.【点睛】 本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．7．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）A ．B ．C ．25-D ．25【答案】A【解析】【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解【详解】 由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，故()21OB =u u u v ，向量OA u u u v 在向量OB uuu v 上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u v u u u v . 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8．设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22-+ 【答案】B【解析】【分析】易得2i 1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A【解析】【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．10．函数1()1xx e f x e +=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x x x x x x ee ef x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.11．已知α322sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13- D ．49- 【答案】C 【解析】【分析】322sin αα=可得3cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为23cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos α=所以221cos22cos1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 12．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++rr rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r r a b c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r 即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市2021届新高考一诊数学试题含解析
广东省揭阳市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数2(1)i i +的模为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+，∴复数2(1)i i +=故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．3．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。
2021年高三广州一模后联合适应性考试(数学理)
2021年高三广州一模后联合适应性考试（数学理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===⋃=则 （ ） A ．B ．DC ．D.2．已知函数，若，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4.函数的图象的大致形状是 （ ）5. 设A 1、A 2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点，使得，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、6在直三棱柱中，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为 和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D.7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.05628.任意、，定义运算，则的A.最小值为B.最小值为C.最大值为D.最大值为二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 若框图（图1）所给程序运行的结果，那么 判断框中可以填入的关于的判断条件是_ ____．10. 已知定义域为的函数满足①，②，若成等差数列，则的值为 ．11.若对一切R ，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 .12.设O 点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 .13.记集合，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第xx 个数是 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，，为的中点，的延长线交⊙O 于点，则线段的长为_______.15．（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程，直角坐标系中的点M 的坐标为（0，2），P 为曲线C 上任意一点，则的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题12分）已知()2312sin 2cos 3cos sin 322+⎪⎭⎫⎝⎛-+-=πωωωωx x x x x f （其中）的最小正周期为. (1) 求的单调递增区间;(2) 在中,分别是角的对边,已知求角.17.（本小题满分12分）在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,……7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.18.（本小题14分） 如图2,在四面体中,且(1)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值; (2)求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题14分） 在平面直角坐标系xoy 中，给定三点， 点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC距离的等比中项。
新课标全国1卷2021-2021年普通高考适应性考试数学试卷含答案
普通高考适应性考试(kǎoshì)数学（新课标全国(quán ɡuó)Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷(shìjuàn)分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生(kǎoshēng)务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答(huídá)第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若复数的实部与虚部相等，则实数 A（A）（B）1 （C）（D）2（2）已知只有一个子集，则的取值范围是B（A）（B）（C）（D）不存在（3）在如图所示的流程图中，若输入的a，b，c值分别是2，4，5，则输出的A（A）1（B）2（C）lg2（D）10（4）命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是C（A）有些(yǒuxiē)相互垂直的两直线相交（B）有些不相互垂直(chuízhí)的两直线不相交（C）任意相互垂直(chuízhí)的两直线相交（D）任意相互垂直的两直线(zhíxiàn)不相交（5）已知函数(hánshù)为奇函数，且在上单调递增，则以下结论正确的是D （A）函数为偶函数，且在上单调递增（B）函数)f为奇函数，且在)0,(x(-∞上单调递增（C）函数为奇函数，且在),0(+∞上单调递增（D）函数)f为偶函数，且在)(x,0(+∞上单调递增（6）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心为D（A）（B）（C）（D）（7）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为B（A）（B）（C）（D）3（8）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？A（A）9日（B）8日（C）16日（D）12日（9）某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h. 若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为B（A）24万元（B）22万元（C）18万元（D）16万元（10）如图所示为某几何体的三视图，其体积为，则该几何体的表面积为D（A）（B）（C）（D）（11）在平面(píngmiàn)直角坐标系中有不共线(ɡònɡ xiàn)三点,,.实数(shìshù)满足(mǎnzú)，则以为起点(qǐdiǎn)的向量的终点连线一定过点C（A）（B）（C）（D）（12）已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，且两个图象恰有三个不同的交点，则实数的值为C（A）（B）1 （C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
21广东新高考适应性测试1
21广东新高考适应性测试1一.单选题:每小题5分.1.已知复数z=41−i ;则z-i|=( )A.√2 B.√3 C.2 D.√52.已知集合A={x|1<x<2},B={x|y=√ m −x 2 },若A ∩B=A,则m 的取值范围是( )A.(0,1] B.(1,4] C.[1,+∞) D.[4,+∞)3.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺.问受粟儿何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”(古制1丈=10尺.1斛≈1.62立方尺,圆周率π≈3),则该圆柱形容器大约能放米( ) A.900斛 B.2700斛 C.3600斛 D.10800斛4.在一项调查中有两个变量x 和y,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图,则选项中适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A.y=a+bxB.y=c+d √xC.y=m+nx 2D.y=p+qc x(q>0)5.曲线y=xlnx 在点M(e,e)处的切线方程为( )A.y=2x+e B.y=2x-e C.y=x+e D.y=x-e6.(1-x)(1+x)3的展开式中,x 3的系数为( )A.2 B.-2 C.3 D.-37.若cos(α-π4)=cos2α.则sin2α=( )A.-1 B.12 C.-1或12 D.-12或14 8.若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y 无关,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-4]B.[-4,6]C. (-∞,-4]∪[6,+∞)D.[6,+∞)二.多选题:每小题5分,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知抛物线y 2=2px(p>0)上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和2√2,则p 的值可以是( )A.2 B.6 C.4 D.810.函数f(x)=Acos(ωx+ψ)(A>0,ω>0,|ψ|<π2)的部分图像如图,则f(x)=( ) A.12cos(2πx+ π3) B. 12cos(2πx+ π6) C.- 12sin(2πx+ π3) D.- 12sin(2πx- π3) 11.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则( )A.某学生从中选3门,共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法12.设三个函数y=2x +x-2,y=log 2x+x-2和y=x 3-3x 2+3x-1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则有( )A.x 1x 2<x 3 B.x 1x 2>x 3 C.x 1+x 2<2x 3 D.x 1+x 2≥2x 3三.填空题:每小题5分.13.已知函数f(x)={2x +2,x >0x 2,x ≤0 ,若f(a)=4,则a=_________. 14.已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|b ⃗ |=5,|a ⃗ +b ⃗ |=4,|a ⃗ -b ⃗ |=6,则向量a ⃗ 在向量b⃗ 方向上的投影为__________. 15.已知直线y=a 与双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C 的左、右顶点分别为A 1,A 2,若|PA 2|=√52|A 1A 2|,则双曲线c 的离心率为__________.16.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1}的棱长为a,动点P 在对角线BD 1上,过点P 作垂直于BD 1的平面γ.记这样得到的 截面多边形(含三角形)的周长为y,设BP=x.则当x ∈[√33a,2√33a]时,函数y=f(x)的值域为______________. 四.解答题17.(10分)在①sinA−sinCb = sinA−sinBa+c ,②2cosC=acosB+bcosA 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,___________.(1)求角C;(2)若c=√5,a+b=√11,求△ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=8,且满足S n =2(n−1)a n n +2(n ∈N *).(1)求证数列{a n n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(2n−1)a n n ,求数列{b n }的前n 项和T n .19.(12分)如图,E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A,B 的点,矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆0所在的平面,且AB=2AD=2.(1)证明:EA ⊥EC;(2)若异面直线AE 和DC 所成的角为π6,求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率为12,且各题回答正确与否相互之间没有影响,若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.(1)求至少回答对一个问题的概率;(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列;(3)求这位挑战者闯关成功的概率，21.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,短轴长为2√3,A,B 在惴圆C 上,且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,△ABF 1的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l,过原点0作0P ⊥l 于点P,求△OMP 的面积的最大值。
广东省广州市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
广东省广州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<„ D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．4．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A BC D 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即2222c a -=，因为1ce a=>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 6．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 7．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.8．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A．2B1 C．3- D1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得22223412a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222223441442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题12．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省阳江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
广东省阳江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD 【答案】C 【解析】 【分析】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e ++≥=Q 11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.2．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)【答案】C 【解析】 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.4．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos 3α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.5．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.6．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.7．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，那么G 为ABC ∆的重心．8．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A BC ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 232222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12B ．16C ．20D ．8【解析】 【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.10．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.11．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．231,⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243c e a =>所以23e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.12．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31π-B ．34C ．3π D ．14【答案】A 【解析】 【分析】求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．【详解】满足条件的正ABC ∆如下图所示：其中正ABC ∆的面积为23443ABC S ∆== 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为21222S ππ=⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是31143P π==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2021届高三数学适应性考试试题 文(含解析)
广东省2021届高三数学适应性考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A. ()(),10,-∞-+∞B. (]2,4C. ()0,2D. (]1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）B. 13D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解． 详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根， 则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13． 故选：B ．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由330x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.如图是2021年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A. 与去年同期相比2021年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长B. 2021年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2021年第一季度五省GDP 情况图，知：在A 中, 与去年同期相比，2021年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，A 正确； 在B 中，2021年第一季度GDP 增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B 正确；在C 中，2021年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C 不正确；在D 中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2021年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D 正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A. 14n n a a b b --=B.14n n a a b b -=C.14n na ab b--=- D.14nnaabb-=-【答案】B【解析】【分析】由已知求得等比数列{b n}的通项公式，作比即可得到14nnaabb-=．【详解】∵等差数列{a n}的公差为2，数列{b n}是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)nnb b-=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n nn n nn nna aa a aa aab bb b---------⋅--===-=-=⋅--．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6.如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（）A.14B.16C.18D.116【答案】C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n个正方形的面积为112n-⎛⎫⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫=⎪⎝⎭. ∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝11818=，故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.在直角坐标系xOy中，抛物线2:4C y x=的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若60NFR∠=︒，则NR=（）A. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），准线x＝﹣1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60°，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题．8.已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（ ） A. 0OM BC •= B. 0OM AB •= C. //OM BC D. //OM AB【答案】D 【解析】 【分析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =， 即2（OA OB -）+120OM =， 可得AB =6OM ， 即OM ∥AB ，【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01xx e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）A. 8B. 4C. 285【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），设M （a ，0，b ），则1D M =（a ，﹣4，b ﹣4），CP =（﹣4，﹣4，2）， ∵D 1M ⊥CP ，∴1D M CP ⋅=-4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4． 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ 4525==． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴S △BCM 的最小值为S △QBC 1458542=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11.已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（ ）A. 513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B. 713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C. 212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k n ω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间． 【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=； 此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=， ∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+，0BD MN ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A.5 B.5 C.10 D.10 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D 点坐标，根据BD k ＝﹣3列方程得出a ，b 的关系，从而可得出双曲线的离心率． 【详解】直线MN 的方程为y 13=（x +t ）， 联立方程组()2222131y x t x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b 2﹣a 2）x 2﹣2a 2tx ﹣a 2t 2﹣9a 2b 2＝0， 设M （11,x y ），N （22,x y ），则由根与系数的关系可得：12x x + 22229a tb a=-， ∵2OD OM ON =+，∴D 为MN 的中点，∴D （2229a t b a-，()222339a t t b a +-）， ∵0BD MN ⋅=，∴BD ⊥MN ，∴k BD ＝﹣3，即()22222233939a t t b a a ttb a +-=---，化简可得222495a b a =-， 即b 2a =，∴e 225ca b a+===． 故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题。
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绝密★启用前
广东省2021届新高考适应性测试卷
数学（ 一 ）
本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上 ．
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上 对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1. 已知复数4
1i
z =
-，则|i |z -＝
A.
B. C ．2
D.
2. 已知集合{|12},{|A x x B x y =<<==，若A
B A =,则m 的取值范围是
A.(0,1]
B.(1,4]
C.[1，+∞)
D.[4,+∞)
3. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺， 深一丈八尺，问受粟儿何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈= 10尺，1斛≈1.62立方尺， 圆周率π≈3),则该圆柱形容器大约能放米 A. 900 斛
B.2 700斛
C.3 600斛
D.10 800斛
4. 在一项调查中有两个变量x 和y ,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，则选项中适宜作为y 关于的回归方程的函数类型是
A.y = a +bx
B.y = c +d x
C.y = m +nx 2
D.y = p +qc x (q >0)
5. 曲线y ＝ x l n x 在点M (e,e)处的切线方程为
A.y = 2x +e
B.y =2x -e
C.y = x +e
D.y =x -e 6. (1— x )(l+x )3的展开式中，x 3 的系数为
A.2
B. - 2
C.3
D. -3
7. 若πcos()cos 24
αα-=，则sin2α＝
A.-1
B.
12
C. -1或
12
D. -
12或14
8. 若对圆(x -1)2+(y -1)2＝ l 上任意一点P (x ,y ), ｜3x - 4y +a ｜+｜3x - 4y -9｜的取值与x ,y 无关，则实数a 的取值范围是
A ．(-∞，-4］ B.[ -4，6] C. (-∞，-4］U [6，＋∞） D. [6，＋∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一 点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是
A.2
B.6
C.4
D.8
10. 函数π
()cos()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><
的部分图像如图所示，则f (x ) ＝
A.
1πcos(2π)23x + B. 1πcos(2π)26x + C. 1πsin(2π)23x -+ D. 1πsin(2π)23
x --
11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御” “书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则 A.某学生从中选 3门，共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C.课程 “礼”“书”“数” 排在相邻三周，共有144种排法
D.课程“乐” 不排在第一周，课程“御” 不排在最后一周，共有504种排法 12. 设三个函数y = 2x +x -2,y = log 2x +x - 2和y = x 3- 3x 2+3x - l 的零点分别为x 1 ,x 2,x 3,则有
A ．x 1x 2<x 3 B. x 1x 2＞x 3
C. x 1+x 2=2x 3
D. x 1+x 2≥2x 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数222,0,
(),0,
x
x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩若f (a )=4，则a ＝ ．
14. 已知向量a ,b 满足｜b ｜ =5, ｜a +b ｜ =4, ｜a — b ｜=6,则向量a 在向量b 方 向上的投影为 ．
15. 已知直线y ＝a 与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线交于点P , 双曲线C 的左、
右顶点分别为A 1.A 2，若|PA 2|
=
2
A 1A 2| ，则双曲线C 的离心率为 ．
16. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点P 在对角线BD 1上，过点P 作垂直于BD 1的平面γ,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y ,设BP = x ,则当x 323[,]33
a a ∈时，函数y ＝f (x )的值域为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (10分) 在①
sin sin sin sin A C A B
b a c
--=
+，② 2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , ． (1)求角C;
(2)若5,11c a b =+=，求△ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=8，且满足2(1)2(*)n
n n a S n n
-=+∈N . (1)求证数列{
}n
a n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设(21)n
n n a b n
-=，求数列{b n }的前n 项和T n .
19. (12分）
如图， E 是以AB 为 直径的 半圆O 上异于A ,B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且AB ＝2AD ＝2． (1)证明：EA ⊥EC ;
(2)若异面直线AE 和DC 所成的角为π
6
，求平面DCE 与平面AEB 所 成的锐二面角的余弦值．
20. (12分）
某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得 10分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2
3
，回答第三个问题正确的概率为
1
2
，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
(1)求至少回答对一个问题的概率； (2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列； (3)求这位挑战者闯关成功的概率．
21. (12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,短轴长为 23，A ,B 在椭圆
C 上，且22AF BF +=0.△AEF 1的周长为 8. (1) 求椭圆C 的标准方程 ；
(2)过椭圆C 上的动点 M 作C 的切线l ,过原点O 作OP ⊥l 于点P ,求△OMP 的面积的最大值.
22. (12分）
设函数2
()e 4
x
x f x x =--． (1)证明：函数f (x )在区间(0,＋∞)内单调递增； (2)当x <0时，f (x )<a 恒成立，求整数a 的最小值．。