21花边有多宽1
(巨睿)北师大版九年级数学(上)第二章第一节花边有多宽 教学设计——长武县昭仁中学 巨睿
0) 例题：1、课本 P43 随堂练习 2 2 2、把方程(3x+2) ＝4(x-3) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、 一次项系数和常数项. 3、4、5 幻灯片出示 本节教材选自北师大版九年级数学上册第二章第一节第一课时内容，本节课有 两课时。 这一课时主要是通过丰富的实例，如“花边有多宽”、“梯子下滑”等问题， 让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。在建 立了一元二次方程的模型思想之后，基于过的学习心理规律，学生自然会产生探求 解的欲望，从而顺利过渡到第二课时。 本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归 纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中 已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习， 应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效模型。
∣m∣+1
2 2
2
学生独立完成 后，小组内交流
垫。 设计巩固 三是让学
学生做完 后老师指 导学生小 组展示。 出示幻灯 片 §
解错点。分 小组派代表展 示。其他小组纠 正或补充。 解一元二 次方的典 型特征。 拓展延伸 的设计是 为了达到 对学有余 力同学的 一个再提 高，让他 们能利用 方程的形 式和定义 解决数学 问题。 激发学生 的兴趣和 归纳本节 课 的 收 获，形成 知 识 体 系。
8分
点标注化 对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意 学生容易漏掉的二次项系数不为 0 的要点，给出 简 的 结 一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数 果。 x 的整式方程，并且都可以化为 ax bx c 0
2
让学生仔 细观察积 极讨论这 三个方程 有什么共 同点，然 后引导学 生交流归 纳并深层 次理解这 些方程的 特点，老 师板书。
贵州省六盘水市第十三中学九年级数学上册 2.1 花边有多宽导学案(无答案) 北师大版
花边有多宽3、观察下面等式：
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六盘水市第十三中学数学导学案
主要设计者：夏榕九年级数学备课组组长：最终审核人：
集体备课人及执行人：徐燕尚强华陈丽夏榕邓伦君聂国华肖荷张元彦童英红———————————————————————————————————
六盘水市第十三中学数学导学案主要设计者：夏榕九年级数学备课组组长：最终审核人：
集体备课人及执行人：徐燕尚强华陈丽夏榕邓伦君聂国华肖荷张元彦童英红姓名——————————班级————————————家长签字—————————————
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六盘水市第十三中学数学导学案
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%BC%9A2.1花边有多宽(共2课时)教案(北师...
2.1花边有多宽（一）教学目标：知识与技能目标：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．过程与方法目标：1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念情感态度与价值观目标：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．重点、难点、关键：1．重点：（1）掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
（2）培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力。
2．难点：（1）用配方法解一元二次方程。
（2）一元二次方程教学过程：生活实例1观察：挂图显示出生活中丰富多彩的花边图案：有长方形，有圆形，有正方形，有椭圆形等（课前收集）；在课本图2一二的长方形花边上．问：这块四周建有宽度相等的底边的地毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？通过上述丰富的实例，为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助。
问：连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和？问：上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程：1．（8一2x）（5一2x）=182．x2+(x+1)2+(x+2)2=（x+3）2+(x+4)23．(x+6)2+72=102议一议：上述三个方程有什么共同特点？问：有大小两个圆形花坛，小四花坛面积比大花坛面积少10m，小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m，设大花坛周长为x，借你列出关于x的方程。
随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：本节课首先通过丰富的实例。
观察、归纳出一元二次方程的有关概念，体会方程的模型思想。
要掌握的概念（二）一元二次方程定义（2）一元二次方程一般式：（3）二次项、一次项、常数项的有关概念。
注意：任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式。
作业：课本习题2．11、22.1花边有多宽（二）教学目标：知识与技能目标：1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
2.1花边有多宽之一元二次方程解的估算(2)
本节课，你都学习了哪些知识？ 你是通过怎样的途径或方法学习这些知识的
你还有什么问题没有解决吗？
（8-2x）（5-2x）=18 花边到底有多宽，以你目前的知识，能解决吗
让我们共同进步！
课堂练习 课本P46随堂练习 ．五个连续整数，前三个数的平 方和等于后两个数的平方和，你 能求出这五个整数分别是多少吗?
温 州
课时小结 本节课我们通过解决实际问题，探 索了一元二次方程的解或近似解， 并了解了近似计算的重要思想—— “夹逼”思想．
温 州
课后作业 (一)课本P51习题2．2 ： l、2 (二)1．预习内容：P:53—P55
0 0.5 1 1.5 2 2.5
11
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？ 还有其他求解方法吗？与同伴交流。
(8—2x)(5—2x)＝18， 即2x2一13x十11＝0． （ 注:x>o ） 8—2x＞o， 5—2x＞0． 从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9 因此，地毯花边宽x=1米. 或，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3， 则8―2x=6，x=1
我们定义一元二次方程：
只含有一个未知数x，并且都可以化为 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）形式的整 式方程，这样的方程叫做一元二次方程。 其中，我们把ax2+bx+c=0称为一元二次方程的一 般形式，其中 ax2 叫二次项，a是二次项系数 ； bx叫一次项， b是一次项系数；c叫常数项。
一元二次方程的解的估算
创设现实情境，引入新课 前面我们通过实例建立了一元二次方 程，并通过观察归纳出一元二次方程 的有关概念，大家回忆一下。
什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？ 一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数，a≠0 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数 及常数项。 （1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―3x2=0
北师大版数学九上2-1花边有多宽教学设计
如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的 学 的 过 程 中 总 顶端距地面的垂直距离为 8m．如果梯子的顶端下滑 结 出 一 元 二 次 1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 方程的概念。 二 是通过不同的
8
由勾股定理可得，滑动前梯子底端
情境， 让学生先 独立思考， 然后
m
距墙________m, 如果设梯子底端滑动 x m, 那么滑动 合作学习， 最后 后梯子底端距墙_________________________m_.根据 是 师 生 共 同 分 题意，可得方程________________. 议一议： 上述三个方程有什么共同特点？ 一元二次方程定义： 三、随堂练习，巩固所学 1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理 由。 （1）x2-y=1 (2) 1/x2-3=2 (3)2x+x2=3 (4)(x-1)(x2+x+1)=(x2-2x+1)(x-1) (5)(a-1)x2+x=1 (6)3x-1=0 (7) (5x+2)(3x-7)=15x
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那 过 设 置 生 活 中 么 后 面 四 个 数 一 次 可 表 示 为 的情境， 提高学
________,________,________,_________. 根 据 题 生的兴趣， 从而 意，可得方程_________________________. 情境问题三： 使学生愿意学， 乐于学， 并且在
2
析得出一元二 次方程的概念
本环节严抠方 程的概念， 通过 学生的判断， 加 深对一元二次 方程概念的理 解，其次，通过 动手， 加强学生
2、 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
《2.1花边有多宽(1)》学案doc
13《2.1花边有多宽(1)》课前预习1.如果代数式7x -3与 互为倒数，则x= .2.用两根长为12cm 的铁丝分别围成一个正方形和一个长和宽之比为2:1的长方形,则正方形面积为 , 长方形面积为 .3.当m= 时,方程3(x+1)=5m -2的解为x=-5.4.如果12y+(n -1) y 2=3是关于y 的一元一次方程,则n= .5.一个矩形的花园,面积为50 m 2，宽比长少5 m,若设矩形花园的宽为x m,则长为 m,根据题意,可得方程 .典例分析例1：下列方程哪个是关于x 的一元二次方程 ( ) A. ax 2+bx+c ＝0 B.k 2+5k+6＝0C. 3x 3+2x －1＝0D. (m 2 +3)x 2+4x －2＝0例2：指出下列方程中,是一元二次方程的是 .(填入序号即可) ①5x 2+1=0 ②3x 2+x1+1=0 ③4x 2=ax (其中a 为常数) ④2x 3+3x =0 ⑤2315x + =2x ⑥22()x x +=2x ⑦｜x 2+2x ｜=4. ⑧ x 2+3x+1= x 2[点拨]一元二次方程是只含有一个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程例3：按要求填写下表:已知方程 一般形式二次项 二次项系数 一次项一次项系数常数项(1) x 2+5x=50 (2) ３y 2=18 (3) (2y －1) (3y +2)=2－y 2 (4) (x －1) (x －５)＝９ (5) (2x +3)2=4(3x －1)2(6)－ax 2+ax+bx 2－mx ＝７ （其中a 、m 、b 为常数，且a ≠b ）[点拨]将一元二次方程化成一般形式是做好本题的关键,寻求各项及其系数时, ①是注意项与系数的区别;②是系数前面的符号.基础训练一、选择题1．(兰州)下列方程中是一元二次方程的是（ ）Ａ．210x +=Ｂ．21y x +=Ｃ．210x +=Ｄ．211x x+= 2. 一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是 ( )A. 7x 2,2x ,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x ,0. 3. 若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是( ) A. 2 B. －2 C. 0 D. 不等于2 二、填空题4. 将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为 .5. 方程5x 2=2(x +2)的二次项是__________，一次项是__________，常数项是 .6.（三明）若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为 . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. 判定下列方程是否一元二次方程,并说明理由.①x 2+2xy －y 2=0 ②3x +x1=0 ③x 2=1 ④ (3+ x )2=4 ⑤5132+x =－9x ⑥(x 2－3)x +1= x 3+3x ⑦ x 2－x +1= x 28. 把方程(4－x )2=6x －5化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数及常数项.拓展延伸一、选择题1． 已知x 2+3x+5的值为9，则代数式3x 2+9x-2 的值为( )A.4B.6C.8D.102. (连云港)为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）Ａ．225003600x =Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x +=Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++=3.若a x 2-5x+3＝０是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解是（ ） A ．a >-2 B ．a ≤-2 C ．a >-2 且a ≠0 D ．a >2 二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4. 方程x m -1-3mx +m -2=0是关于x 的一元二次方程，则此一元二次方程是 .5. （大连课改）大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为 ．6. 一元二次方程2 x 2+(a +8)x-(2a -3)＝０的二次项系数，一次项系数及常数项之和为5，则a= . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7.一个面积为60m 2的矩形花园，它的长比宽多11m ，花园的长和宽各是多少？设宽为x 米，请列出方程并化为一般式。
初三(九年级)数学一元二次方程应用题专项练习(带答案)
一元二次方程应用题专项练习题（带答案）一、面积问题m的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少01、一个面积为120 2m的矩形若能，则矩形的02、有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 2长、宽各是多少{03、如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两m，条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 2道路的宽应为多少：04、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m2，道路应为多宽]05、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中m，那么花边有多宽央长方形图案的面积为18 2{~06、在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少【m的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个07、有一面积为54 2正方形，这个正方形的边长是多少{08、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.】09、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半￥二、体积问题,dm，求这个木箱的长和宽.10、长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 311、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.cm，求原铁皮的边长.已知盒子的容积是400 3`三、数的问题12、两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.13、三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少)14、有五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数.15、若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )]A. 11B. 15C. -15 D .±1516、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.…四、变化率问题（增长或减少）17、某公司前年缴税40万元，今年缴税万元，该公司缴税的年平均增长率为多少18、某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______.—19、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A. 200(1+x)2=1000B. 200+200×2x=1000C. 200+200×3x=1000D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=100020、某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%，该商场马上采取措施，改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到万元，求3、4月份月销售额的平均增长率.]五、利润问题21、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元22、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
九年级数学花边有多宽、配方法、公式法北师大版知识精讲
初三数学花边有多宽、配方法、公式法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 1. 花边有多宽 2. 配方法 3. 公式法二. 教学目标1、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法解简单的一元二次方程。
2、能够利用一元二次方程解简单的实际问题，初步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，并从中体会方程的模型思想。
三、重点及难点重点：1、一元二次方程的概念及其一般形式。
2、掌握配方法、公式法解一元二次方程的步骤。
难点：1、如何利用未知数取值法确定未知数的取值X 围。
2、解一元二次方程的过程。
四、课堂教学 ［知识要点］1、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫整式方程。
2、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
3、一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程。
4、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接 开平方法 。
例如：()264x += 解： 62x +=± ∴124,8x x =-=-5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
例如：2240x x --= 解：移项得：224x x -=两边都加上一次项系数一半的平方：22141x x -+=+即：()215x -=∴1x -=∴1211x x ==6、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
7、求根公式：对于一元二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠），当240b ac -≥时，它的根是2b x a-±=，即12b x a -+=，22b x a-=注意：当240b ac -=时，应把方程的根写成122bx x a==-的形式，说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根。
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课题 2.1、花边有多宽（一）课型新授课
教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点一元二次方程的概念
教学难点如何把实际问题转化为数学方程
学情分析本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。
通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效模型。
教学后记
教学内容及过程
教师活动学生活动引入新课
1、艺术设计
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？
2、趣味数学：
先观察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142
你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
3、梯子移动对“花边有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
对照图形(示意图)认真思考，找到各个元素的数量关系，比较顺利地把填空题补充完整。
长为8—2x。
宽为5—2x，根据题意可得方程(8—2x)(5—2x)＝18。
如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。
如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？ 问题①如果设花边的宽为x 米，那么地毯中央长方形图案的长为 米，宽为 米。
根据题意，可得方程 。
问题②如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。
根据题意，可得方程 。
问题③由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动xm ，那么滑动后梯子底端距墙 m 。
根据题意，可得方程 。
探索新知 三个方程化简后，教师可引导学生类比一元一次方程观察这三个的特点，然后进行汇总，归纳，学生容易漏掉二次项系数不为0的要点，教师可给予必要的引导。
具体处理方法如下： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： （8－2x ）(5－2x)=18 即2x 2
－ 13x ＋ 11 = 0 x 2＋(x ＋1) 2＋(x ＋2) 2=(x ＋3) 2＋(x ＋4) 2 即x 2
－ 8x － 20＝0 (x ＋6) 2＋72=10 2 即x 2
＋12 x －15 ＝0 引导学生观察上述三个方程有什么共同特点？（提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点，看看这些方程有什么特点。
） 对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为0
2
=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0。
（2）几种不同的表示形式：①ax 2
+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ②ax 2
+bx=0 (a ≠0,b ≠0,c=0) ③ax 2
+c=0 (a ≠0,b=0,c ≠0) ④ax 2
=0 (a ≠0,b=0,c=0) 正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的
兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。
对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯
子底端滑动的距离和
梯子顶端滑动的距离一样，都是1米，但不能充分说明。
观察三个方程的特点，但因为问题的指向性不是很明确，因此有些茫然。
得到启发，从未知数的个数、未知数的最高次数出发观察它
们的共性，容易看出它们都只有一个未知数，最高次数是2。
回答：都只含有一个未
知数，未知数的最高次数是2 继续观察三个方程的
特点，容易看出它们都是整式方程，把式子展开，经过移项、合并同类项等化成相似形式
的式子，经过交流学生认识得更加清楚。
回答：都是整式方程，并且都可以化成一个
二次加一个一次再加
一个常数的形式。
记下一元二次方程的
要点和定义。
掌握一般的一元二次
方程的形式和二次项。