极坐标(第一课时)
极坐标 课件
失分警示：若不说明点的象限扣1分.
故点(2，2)的极坐标为2
2，π4.
(4 分)
③ρ＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，tan θ＝－31＝－ 3， 因为点(－1， 3)在第二象限，所以 θ＝23π， 故点(－1， 3)的极坐标为2，23π.(6 分) (2)①x＝2cos π4＝ 2，y＝2sin π4＝ 2，故点2，π4的 直角坐标是( 2， 2)．(8 分) ② x ＝ 4cos－π3＝ 2 ， y ＝ 4sin－π3＝ － 2 3 ， 故 点 4，－π3的直角坐标是(2，－2 3)．(10 分)
为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
所以 A(5，0)，B2，π6 ，C4，π2 ，D5，3π 4 .
(2) 与 极 坐 标 2，π6 相 同 的 点 可 以 表 示 为
2，π6 ＋2kπ(k∈Z)，只有2，161π不合适． 答案：(1)(5，0) 2，π6 4，π2 5，3π 4
(2)极坐标与直角坐标的区别与联系．
比较项 直角坐标
极坐标
区别
点与直角坐标 由于终边相同的角有无数个，
是“一对一” 即点的极角不唯一．因此点与
的关系
极坐标是“一对多”的关系
直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意 联系
一点的位置的，它们都是一对有序的实数
3.直角坐标和极坐标的互化 互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标 系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合；③两种坐 标系取相同的长度单位． 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正 半轴作为极轴，且两种坐标系中的长度单位相同，设平 面内任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ， θ)．
类型 2 极坐标系中的对称问题和距离问题(互动探 究)
极坐标系课件(上课)
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)都可以作 为它的极坐标.
里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。 几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
教学目标：
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系 的结构（ 建立极坐标系的四要素）；
2、已知一点的极坐标会在极坐标系中 描点，以及已知点能写出它的极坐标。
3、理解广义极坐标系下点的极坐标 （ρ，θ）与点之间的多对一的对应 关系；
极坐标系(上课)ppt课件
极坐标是（ ，）。从图 1—14可以得出他们之
间的关系：y
0
x
M
y Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x c o ， y s sin①
2x2y2 ， tan y(x0)
x
②
y
0x
M
y
Nx
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
勒中尉只说了句：“别紧张，是本土来的B-17轰炸机。”
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点39分，22英
里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
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题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
G 5
3
3
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想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
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三、探究点的极坐标的多种表达式
如图：OM的长度为2， 请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
M
思：这些极坐标之间有何异同？
X
本题点极M径的相极同坐，标不统同一的表是达极式角：(2,2k),(kZ)
思 这 就考些是：极说这角它些的们极始是角边终有相边何同相( 关，同2,2 系终的k？边角也。相同4)4。(,k也Z)
极坐标系(第一课时)
远东二中导学稿★ 高二数学选修4-4 ★ 总计第2期§2极坐标系 (第一课时)主备: 李建章 审核： 审批： 班级： 学习小组： 学生姓名:【学习目标】1. 掌握极坐标系的概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2. 体会在极坐标系中和平面直角坐标系中刻画点的位置的方法的区别.3.会进行极坐标和直角坐标的互化.【学习重点】1.理解极坐标系的概念.2.能进行极坐标和直角坐标的互化.【学习难点】理解极坐标系的概念.【自主预习】1．应知应会（1）极坐标系：_____________________________________.(2) 极径：___________________________________________.极角：___________________________________________.极坐标：___________________________记作______________.(3)极坐标),(θρ化为直角坐标),(y x 的关系式为：_______________________.直角坐标),(y x 化为极坐标),(θρ的关系式为：_________________________.2.预习自测在极坐标中描出下列各点： )3,3(πA ,)6,3(πB ,)2,3(πC ,),3(πD ,)23,3(πE【探究活动】：探究活动一：在极坐标中描点例1．在极坐标中描出下列各点： A(2,)6πB(6,-1200) C(-1,)3π D(4,- )43πE(2.5,1800) )0,4(F探究活动二：极坐标化为直角坐标例2.把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)A(4, )4π (2)B(2, )34π (3)C(-7,)π (4)D(-5, )6π (5)E(-2,- )6π探究活动三：直角坐标化为极坐标例3.把下列点的直角坐标化成极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标： A(-1,-1) B(4,-43) C(3,1) D(0,4)【达标测评】：1. 在极坐标中描出下列各点：)6,2(π-A ,)6,1(π-B ,)6,3(πC ,)6,5.4(πD2.把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)A(3, )43π (2)B(4, )314π【课堂小结】：【今日作业】1. 把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)C(-5,)6π (2)D(-3, )π-2.把下列点的直角坐标化成极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标： (1)(2,23) (2)(-2,-23) (3)A(-3, )1- (4)B(2, 6-)。
100959_极坐标系(第一课时)_芮伟兴
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置.这种用方向 距离表示平面上一点 方向和 的位置.这种用方向和距离表示平面上一点 的位置的思想,就是极坐标的基本思想. 的位置的思想,就是极坐标的基本思想.
学习目标
1,理解极坐标的概念,弄清极坐标系的结构 ,理解极坐标的概念, 建立极坐标系的四要素); ( 建立极坐标系的四要素); 2,理解广义极坐标系下点的极坐标(ρ,θ) ,理解广义极坐标系下点的极坐标( , ) 与点之间的多对一的对应关系; 与点之间的多对一的对应关系; 3,已知一点的极坐标会在极坐标系中描点, ,已知一点的极坐标会在极坐标系中描点, 以及已知点能写出它的极坐标. 以及已知点能写出它的极坐标.
A.(-ρ,θ) -
B.(-ρ,-θ) - -
π
C.(-ρ,θ+π) - +
D.(-ρ,π-θ) - -
3.在极坐标系中 与点 -8, 在极坐标系中,与点 )关于极点对称的点 在极坐标系中 与点(- 关于极点对称的点 6 (A ) 的一个坐标是 5π π ) A.(8, B. (8, - ) 6 6 5π π C. (-8, - ) D.(-8, - - ) 6 6
P M O P O
X
X
M
练习: 练习:写出点 6, ) ( , 的负极径的极坐标
6 π 11 π :(-6, (-6,- +π) 答:(- , +π) 或(- ,- ) ) 6 6
π
负极径小结:极径变为负, 负极径小结:极径变为负,极角增加 π . 特别强调:一般情况下(若不作特别说明时), 特别强调:一般情况下(若不作特别说明时), 认为ρ 因为负极径只在极少数情况用. 认为ρ ≥ 0 .因为负极径只在极少数情况用.
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程 第一课时 坐标系
第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析 直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心(1，0)，半径r ＝1， 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析 根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析 设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， 所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ， 将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ） ＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ， 得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)； 当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形， 所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9， 即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3， 则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。
极坐标系 课件
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
极坐标系
建构数学
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
极坐标PPT优秀课件
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
极坐标ppt课件
在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点 的圆的方程为________．
解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB＝2 2＝sinθ－ρ 90°，化简得 ρ＝－2 2cosθ.
答案：ρ＝－2 2cosθ
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ， ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后 解决较为方便．
在极坐பைடு நூலகம்系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方 程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x ＋4y＋a＝0.
由题设，知圆心(1,0)到直线的距离为1，即有
【分析】 依条件利用公式x＝ρcosθ，y ＝ρsinθ化为直角坐标方程后求解．
【解】 (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1.
从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当 θ＝π2时，ρ＝233， 所以 N233，π2.
解法二：将极坐标化为直角坐标，点 A1，π2的直角坐标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0，
若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足．
过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x，
联立方程xx＋－yy＝＋01＝0
，得 B 点坐标为－12，12，
再化为极坐标为 22，34π.
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
极坐标系 课件
约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x y
cos sin
，或
2 tan
x2
y2， y. x
5. ① ② ③两种坐标系的单位长度相同.
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
(4,0)
2，π 4
3，π 2
(2)回答下列问题： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？
答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多 值性引起
极坐标系
1．极坐标系的建立 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．
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0.当 0, 2 时,平面上的点 除极点外
就与极坐标(ρ, θ)建立了一一对应的关系.
你能从中体会极坐标与直角坐标在 刻画点的位置时的区别吗？
平面直角坐标系 极坐标系
定位方式
横坐标、纵坐标
角度和距 离 点与极坐标不一 一对应 极点，极轴 圆与射线相交定点
点与坐标
点与坐标一一对 应 原点，x，y轴 两线相交定点
某同学在教学楼A处， （1）他向东偏北60 °
D实验楼
C图
书
方向走120m后到达什
E
办 么位置？该位置唯一 公 确定吗？ 楼
（2）如果有人打听 类比建立平面直角坐标系
馆
的过程，怎样建立用距离与角 体育馆和办公楼的 度确定平面上点的位置的坐标 位置，他应如何描述？ 系？
A 教 学 楼
60m
图1
B 体 育 馆
外在形式 本质
能力提升 已知两点P(5, 5 ), Q(2, ), 求线段PQ的长度
变：
5 把P点坐标改为P(5, ), 求线段PQ的长度 1 3
4
4
写出P 关于极点 1 的对称点P2的坐标.
P2
Q O
P 3
12
6
写出P 关于极轴 1 的对称点P3的坐标.
x
P
P1
小结
1.极坐标系的建立（四要素）
一般地，不作特殊说明时，≥0， 可取任意 实数。
在思考题1中，建 立适当的极坐标系，写 出图中点A,B,C,D,E 的极坐标。
E
D实验楼
C图
书
馆
60° 60° （O） A 60m 教 学 图1 楼 B x 体 育 馆
解：以A为极点， AB所在的射线为 极轴（单位长度 为1m),建立极坐标系。
办 公 楼
2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
可以。
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内 唯一 确定一点M。 (2)给定平面内一点M，它的极坐标(（,） ( R) 不是唯一 的. 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)
都可以作为它的极坐标.
k Z
极坐标系所在平面内的点与极坐标 不能建立一一对应关系.
第一课时
慈溪市龙山中学
杨维亚
一、新课引入
海葵中心位于浙江温州以东约290公里的东海海面上
在以上问题中，位置的确定是用什 么来刻画的？ 距离与方向 在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
二、新课讲解
思考 图1是某校园的平面示意图
所在的位置。它们有什么关系？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考
不唯一 (2) 若不唯一，那有多少种表示方法？ 有无数种
(1) 平面上一点的极坐标是否唯一？ (3) 坐标不唯一是由谁引起的？ （4）这些极角有何关系？
极角
它们是终边相同的角
( , 2k ),(k Z )
（5）同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
例
如图2，在极坐标系中，写出点 A, B, C, D 的极坐标，并标出点 E (2, ), F (4, 3 ), G(3.5, 5 ) 所在 6 4 3 的位置。
B F E A D G C 图2
6
12
x
3.极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
在极坐标中，标出点 A(4, 6 ), B(4, 6 2 ), C (4, 6 4 ), D(4, 6 2 )
1.极坐标系的建立 在平面内取一个定点O，叫极点。 从极点O引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位、一个角度单位 （通常取弧度）及它的正方向（通常取逆
时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
O
O
x
2．极坐标系内点的极坐标的规定
设M是平面上的任一点， 极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ； 以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做 点M的极角，记为θ. 有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标， 记作M(ρ，θ)．