1.3三角函数的诱导公式教案[1]
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)
三角函数的诱导公式教案 A教学目标一、知识与技能1．理解诱导公式的推导过程；2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．~二、过程与方法的轴对称性以及关于原点利用三角函数线，从单位圆关于x轴、y轴、直线y xO的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．教学关键：五组诱导公式的探究．~教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；2. 强调记忆规律，加强公式的记忆；3. 通过对例题的学习，完成学习目标．教学准备#教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生准备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入新课我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢例如，能否从单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢二、主题探究，合作交流提出问题①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何】②它们与单位圆的交点的位置关系如何师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为研究对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2 (x，y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：α角的终边与角α的终边位置关系如何师生互动：让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．}α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何师生互动：讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．【我们可以用下面一段话来概括公式一～四：α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．提出问题终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导．讨论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角π2α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π2α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(π2α)=y，sin(π2α)=x．从而得到公式五：cos(π2α)=sinα，sin(π2α)=cosα．<提出问题能否用已有公式得出π2+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式师生互动：教师点拨学生将π2+α转化为π (π2α)，从而利用公式四和公式五达到我们的目的．因为π2+α可以转化为π (π2α)，所以求π2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：sin (π2+α)=cos α， cos(π2+α)=-sin α．提出问题你能概括一下公式五、六吗师生互动：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括． #讨论结果：2π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创新，应用提高例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225°；（2）sin11π3；（3）sin(16π3-)；（4）cos(-2 040°)． 解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-； ·（2）sin11π3=sin(4ππ3-)=-sin π3=23-；（3）sin(16π3-)=-sin 16π3=-sin(5π+π3)=-(-sin π3)=23；（4）cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-． 点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法． 例2 化简0cos(180)sin(360).sin(180)cos(180)αααα︒++︒---︒-~解：sin(180)sin[(180)]αα--︒=-+︒ sin(180)(sin )sin ααα=-+︒=--=cos(180)cos[(180)]cos(180)cos .αααα-︒-=-︒+=︒+=-所以，原式cos sin 1.sin (cos )αααα-==-例3 证明：（1）sin(3π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=-sin α． 证明：（1）sin(3π2-α)=sin[π+(π2-α)]=-sin(π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=cos[π+(π2-α)]=-cos(π2-α)=-sin α．点评：由公式五及六推得3π2±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到212+k π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用． }例4 化简π11πsin(2π)cos(π)cos()cos()22.9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin()2a a a a a a a a -++-----+解：原式=π(sin )(cos )(sin )cos[5π()]2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin[4()]2a a a a a a a a π---+----+++ =2πsin cos [cos()]2π(cos )sin [(sin )]sin()2a a a a a a a ------+=aa cos sin -=-tan a ．四、小结①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值； ③运用诱导公式进行简单的三角化简． 课堂作业|1．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( ) A ．sin2B A +=-cos 2CB ．sin(2A +2B )=-cos2C C ．sin(A +B )=-sin CD ．sin(A +B )=sin C2．如果f (sin x )=cos x ，那么f (-cos x )等于( )A ．sin xB ．cos xC ．-sin xD ．-cos x 3．计算下列各式的值：（1）sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°； （2）tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．\4．化简：sin(540)tan(270)cos(270).cos(180)tan(810)sin(360)a a a a a a •---︒-+--参考答案： 1．D 2．A 3．（1）2；（2）-1． 4．-tan a ．教案 B—教学目标一、知识与技能 1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式. |3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想. 教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题． 教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法． 学法与教学用具 ！学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板． 教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知 1. 诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何 /（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标． （3）任意角α与180α+呢结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=； sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角； -②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-．用弧度制可表示如下：2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何从而得出应先研究α-；（2）任意角α与α-的终边位置关系如何^结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=． 说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. sin(180)α-=$cos(180)α-=说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-． 用弧度制可表示如下：sin(πsin αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）．》4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系．结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2的终边与角α的终边关于直线y =x 对称，角π2的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ；sin(π2) = x ， cos(π2) = y ．从而得到诱导公式五：sin(π2) = cos ， cos(π2) = sin ．由于π2+ =π-(π2)，由公式四及五可得~公式六sin(π2+) = cos ， cos(π2+) = sin ．公式五和公式六可以概括如下：π2±的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式. 三、例题讲解#例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-2=-． （2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos66=+= ππcos(π)cos 66=+=-2=-． 例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值.解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ．解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-．②当21,n k k =+∈Z 时，原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值． 解：因为2πππ()33αα-=-+， 所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m.由于π2π63α<<所以2ππ032α<-<于是2πsin()3α-21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21-- 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。
1.3三角函数的诱导公式(一)
课题：1.3 三角函数的诱导公式(一)教学目的：1．通过本节内容的教学，使学生掌握180o+ ，- ，180o- ，360o－角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“ ”、“ 2 ”、“ ”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y 轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，，2 角的终边与角的终边关于x 轴对称，所以、、、2 各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即R ，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长2度单位而得到的．在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键．教学过程：一、复习引入：诱导公式一: sin( k 360 ) sincos( k 360 ) costan( k 360 ) tan (其中k Z )用弧度制可写成sin( 2k ) sin cos( 2k ) costan( 2k ) tan (其中 k Z ) 诱导公式(一)的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o ― 360o 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在 0o ― 360o 内找出与角 终边相同的角， 再把它写成诱导公式 (一) 的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为 f ( 2k ) f ( )(k Z ) 的形式，其特征是：等号两边是 同名函数，且符号都为正 由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今 后学习函数的周期性打下基础3． 运用 公式 时，注 意“ 弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成sin(80 2k ) sin80 ，cos( k 360 ) cos 是不对的． 3二、讲解新课： 公式二 ：用弧度制可表示如下：sin(180 ) cos(180 ) tan(180 ) 它刻画了角 180o+ 与角 的关系，这个关系是：以角 的角的正弦值 (或余弦值) 是一对相反数．这是因为若设 线，即 180o+ 角的终边与单位圆的交点必为P ′(-x ，-y) 弦函数的定义，即可得 sin =y ， cos =x, sin(180 o+ )=-y, 所以 :sin(180 o+ 公式三 ： sin( ) cos( ) tan( )-sin-cos tan 与角 的正弦值 (或余弦值) 的终边与单位圆交于点sin =y ， cos(180 o+ )=-x,)=-sin ，cos(180 o+ )=-cos-sincosP( x ， y) ，则角 终边的反向延长 如图 4-5-1 )．由正弦函数、余tan 它说明角 - 与角 的正弦值互为相反数，而它们的余 弦值相等．这是因为，若没 的终边与单位圆交于点 P(x ，y) ，则角- 的终边与单位圆的交点必为 P ′(x ，-y) (如图 4-5-2 )．由正弦函数、余弦函数的定义，即可 得 sin =y ， cos =x, sin(- )=-y, cos(- )=x, 所以： sin(- )= -sin ,cos(- )= cos α 公式二、 三 的获得主要借助于单位圆及正弦函数、 余弦函数的定义． 确定点 P ′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图根据点 P 的坐标准确地1 中，点 P ′与点P 关P ′公式四 ： 用弧度制可表示如下：sin( ) -sin cos( ) -cos tan( ) tan 的正弦值(或余弦值)之间 终边的反向延长线为终边 P(x,y)P ′ (，x-y)(4-5-2)于原点对称，而在图 2中，点 P ′与点P 关于 x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出 的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．sin(180 ) sin sin( ) sin cos(180 ) -cos cos( ) -cos tan(180 ) tantan( ) tan 公式五 ：sin(360 ) -sin sin(2 ) -sin cos(360 ) cos cos(2 ) cos tan( 360 ) tantan(2 ) tan这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式 五可由公式一、 三推出）， 体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式 的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为： +k ·360o （k ∈ Z ）， - ，180o ± ， 360o- 的三角函数值，等于 的同名函 数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把 指 原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个⋯⋯符号”是指 名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号， 略），而这个符号是把任意角 中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角 三、讲解范例：（2）sin4 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题． 求解时，只须设法将所给角分解成 180o+ 或（ π + ）， 为锐角即可．3解：( 1) cos210 o=cos(180 o+30o)= － cos30o=－；2 41） sin （ － ） ；（2）cos （ －60o ） －sin （ －210o ）3分析： 本题是诱导公式二、 三的巩固性练习题． 求解时一般先用诱导公式三把负角的正 弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．43解：( 1) sin( －)= － sin( )=sin = ；3 3 3 22)原式 =cos60 o+sin(180 o+30o)=cos60 o － sin30例3．化简 sin(1440 ) cos( 1080 ) cos( 180 )sin( 180 )分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公 式中角的形式，是看成锐角”是 的同 正号可省 视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话 α看成锐角．建议通过实例分析说明．例 1． 下列三角函数值：1) cos210 o ； 2) sin 5 =sin(424)= －sin 4=－ 22例 2． 求下列各式的值：o=1－ 1=022解决问题的关键．分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导 公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把 sin （2 π－ ）化成－ sin , 再用同 角三角函数的平方关系即可．1事实上，已知条件即 cos = ，于是2因此选 A四、课堂练习1．求下式的值： 2sin( －1110o) －sin960 o+ 2cos( 225 ) cos( 210 )答案： － 2提示：原式 =2sin( －30o)+sin60 o － 2 cos45 cos30 =－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用． 使用方法：供课堂练习用． 评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面 有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果， 表明在利用诱导公式一、 二、三求解三角 函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简 sin （ －2）+cos （ －2－π） ·tan （2 － 4π ）所得的结果是（）（A ）2sin2（B ）0 （C ） －2sin2 （D ） －1答案： C 选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用． 使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此 外还出现了如 “sin （ －2） ”这样的学生较为陌生的三角函数值， 求解时若只计算一次便获得 准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结 通过本节课的教学， 我们获得了诱导公式． 值得注意的是公式右端符号的确定． 在 运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中， 我们又一次使用了转化的数学思想． 通过进行 角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性． 六、布置作业：1．求下列三角函数值：5 19（1） sin； （2） cos ；（3） sin （ 240 ） ； （4） cos （ 1665 ）462．化简：sin 3( ) cos(5 ) tan(2 ) cos 3( 2 )sin(3 )tan 3(4 )例4． 已知 cos( π + )= －1， 33< <2π，则2 2nqin （2 π－ ） 的值是（）（A ）3 13(B)(C) －22 2(D) ± 32sin(2 解π－ )= －sin53)324) 222．提示：原式 = sin 3( cos )tansin sin 23． 2 2 ．提示：原式 ==－sin cos cos 时，原式 =－ 2 =2 2 45cos4补充题：sin 915 cos( 225 ) sin10651．已知 sin( ) 13 ，，则 cos( 2 ) 的值是2 2cos 2 cos2 2cos 2cos3．当时， 4sin[ (2k 1) ] sin[ (2k 1) ]sin( 2k )cos( 2k ) (k z) 的值是作业的答案与提示：．化简：2sin ( ) cos( )costan(2 )cos 3( )４．设 f (θ)= 2cos 3 sin 2(2 ) 2cos( ) 1，求 f ( ) 的值．23 2 2 cos 2 (7 ) cos( ) 补充题的答案与提示： 2 提示：原式 = sin15 cos45 sin15 =－2２． sin α 提示：原式 = sin2 ( cos )3 cos ＝sin tan ( cos 3 ) ３． 2 2 1232 提示：已知条件即 sin 13，故 cos( 2 ) cos( ) cos 1 sin 222 3４． 1 提示： f ( ) 2cos 3 sin 22 2cos 1 2 2 2cos 2 cos 2cos 3(1 cos 2) 2cos 1 2cos 3 cos22cos1．( 1)－ 222)－ 32=1cos 3 sin tan 3．求值：2cos (2cos2cos 2)cos22cos cos 2七、板书设计 (略)八、课后记：。
1.3 三角函数的诱导公式(1) 教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.3 三角函数的诱导公式（1）一、教学目标：知识与技能：（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．过程与方法：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．情感、态度与价值观（1）由诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．二．重点难点重点：诱导公式的推导及应用。
难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
三、教材与学情分析1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
-y)四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题 1、初中我们已经会求锐角的三角函数值。
2、和30°、45°、60°终边相同的角如何表示？本节我们将研究任意角三角函数值之间的某中关系，以及如何求任意角的三角函数值。
三角函数的诱导公式教学设计
教案：1.3 三角函数的诱导公式（一）一、教学三维目标（一）知识与技能1.借助单位圆，推导、识记和应用诱导公式；2.理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数值，并进行简单三角函数式的化简。
（二）过程与方法1.通过诱导公式的推导，分析公式的结构特征，使学生体验和理解数形结合、从特殊到一般的数学思想方法；2.通过习题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力，使学生体验和理解转化与化归的数学思想方法。
（三）情感态度与价值观培养学生主动探索，勇于发现的科学精神，并在课程中渗透数形结合、从特殊到一般以及把未知转化为已知的转化与化归的数学思想方法。
二、教学重难点（一）教学重点1. 诱导公式的探究，利用诱导公式进行简单三角函数式的求值和化简；2.利用四组诱导公式会进行简单的化简与证明。
（二）教学难点发现圆的对称性与任意角终边坐标的联系，及诱导公式的合理运用。
三、教学过程（一）、温故知新1、三角函数的定义：设点P(x,y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点，则022>+==y x OP r ，定义 角α的余弦r x =αcos ，角α的正弦r y =αsin ， 角α的正切特别地，当点P(x,y)为角α的终边与单位圆的交点，即1==OP r 时，有角α的余弦角α的正弦角α的正切2、三角函数在各个象限的符号αcos αsin αtan3、角α与角α的终边相同的角的三角函数值之间的关系公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等。
通过公式一，我们就可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题，转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题. x =αcos y =αsin x y =αtan xy =αtan Zk k k k ∈=⋅+=⋅+=⋅+,tan )2tan(,sin )2sin(,cos )2cos(απααπααπαO x x xO O + + + + + + - - - - - -(二)、热身小试求下列各三角函数值：);38sin()1(ππ+ .319cos )2(π（四）、合作探究 变式、求 产生认知冲突，从而进行探究探究1: 角π+α与角α的三角函数值之间的联系。
三角函数的诱导公式教案
1.3三角函数的诱导公式贾斐三维目标1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时教学过程导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,于90°到360°(2能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究提出问题由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得90°到360°的角β能否与锐角α相联系通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180 βββa a a提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何②它们与单位圆的交点的位置关系如何③任意角α与180°+α呢活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tan α.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么②-α角的终边与角α的终边位置关系如何活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°).活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-;(2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π) =-(-sin 3π)=23; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′= 2;(2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23.例2 2007全国高考,1cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23- 答案:C变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+ =70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--. 例3 化简co s315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+---- =)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+---- =θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边. 所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3.解答:1.(1)-cos 94π;(2)-sin1;(3)-sin 5π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)21;(2)21;(3) 8;(4)23 .点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin 2αcosα;(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题 A 组2、3、4.。
1.3三角函数的诱导公式教案
1．3三角函数的诱导公式(第1课时)抚松六中 唐 玲一．教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用。
承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容。
同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉。
这些构成了学生的知识基础。
诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想。
二.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
三.教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式。
π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。
教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。
四.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件五.教学过程导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途. sin(α+2k π) = sin α，cos(α+2k π) = cos α， (k ∈Z ) (公式一)tan(α+2k π) = tan α。
高中数学 1.3-1三角函数的诱导公式教案 新人教A版必修3
1.3三角函数的诱导公式教学目的：理解诱导公式的推导过程，培养学生的逻辑是思维能力和运算能力教学重点：公式的推导与应用教学难点：公式的灵活运用教学方法：启发式教具：多媒体教学过程：一问题提出1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？3.你能求sin750°和sin930°的值吗？4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题.知识探究（一）：π＋α的诱导公式思考1：210°角与30°角有何内在联系？思考2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？思考4：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考5：根据三角函数定义，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分别是什么？思考6：对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？公式二：思考7：该公式有什么特点，如何记忆？知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式：思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），则－α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考3：根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？公式三：思考4：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式四：思考5：如何根据三角函数定义推导公式四？思考6：公式三、四有什么特点，如何记忆？思考7：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？理论迁移例1 求下列各三角函数的值：例2 已知cos(π＋x )＝ 31 ，求下列各式的值： （1）cos(2π－x )；（2）cos(π－x ).cos2251)(311sin 2π)()316sin(-)3(π)cos(-2040)4(例3 化简：（1） ；（2）2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin （2π－α）=－sin α，sin （3π－α）=sin α等.小结作业1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin （2π－α）=－sin α， sin （3π－α）=sin α等.3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想.作业：P27练习：1，2，3，4.板书设计 三角函数的诱导公式1知识探究（一）：π＋α的诱导公式 例1 例22知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式： 例3 例4 )-cos(-180)180-sian(-)360sin()cos(180αααα ⋅+⋅+ tan585)cos(-350210sin cos190⋅-⋅)(。
1.3三角函数诱导公式(一)教学设计[修改版]
第一篇：1.3三角函数诱导公式(一)教学设计1．3三角函数的诱导公式（第一课时）[教学目标] 1）学习从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法，从而借助于单位圆推导诱导公式．2）能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简和恒等式的证明，并从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程．[重点、难点、疑点] 重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．疑点：运用诱导公式时符号的确定．[课时安排] 2课时第一课时，诱导公式二、三、四[教学设计] 引入新课：先让同学们思考单位圆的对称性并举出一些特殊的对称轴和对称中心，如轴，轴，，原点．这些对称性对三角函数的性质有什么影响呢？先思考阅读教科书第26页的“探究”．1、角的对称关系：给定一个角，发现：1）终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为；同样，让学生探究问题(2) ，(3)不难发现．2）终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为（或）；3）终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为：；4）终边与角的终边关于直线=对称的角可以表示为．2、三角函数的关系诱导公式二：以问题（1）为例，引导学生去思考，角的对称关系怎样得出三角函数的关系？角————终边与单位圆交点————————∴同理，，，∴诱导公式二：请同学们自己完成公式三、四的推导：诱导公式三：诱导公式四：让学生把探究诱导公式二、三、四的思想方法总结概括，引导学生得出：圆的对称性____________角的终边的对称性对称点的数量关系角的数量关系三角函数关系即诱导公式总结规律，引导学生记忆学过的四组公式，即：，，的三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把角看成锐角时的原函数的符号．P28 例1，例2．思考：诱导公式有什么作用？负角→正角大角→小角→锐角三角函数即所有的角的三角函数值都可转化成锐角三角函数来求．上述步骤体现了未知转化为已知的化归思想．P27例3 [练习] P301，2，3．通过对公式的应用，加深对公式的理解，并对学生所做练习进行点评．[小结]本节课我们学习了诱导公式二、三、四，并运用诱导公式求任意角的三角函数值及化简，在学习过程中逐步学习化归思想，要注意诱导公式中符号的确定．[作业] P33A组2，3，4．化简：1、2、第二篇：三角函数诱导公式(一)教学设计学科：数学年级：高一教材：学校：江苏省羊尖高级中学姓名：郭丽娟三角函数诱导公式（一）教学设计【主题释义】教师是教学活动中的参与者、组织者与引导者，课堂上必须留足学生活动的时间。
诱导公式教案完整版
1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）借助单位圆，推导出诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2.过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3.情感、态度与价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
二、教学重点、难点:1、重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。
2、难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。
三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：（一）复习引入师：问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？生：学生口述三角函数的单位圆定义：sin =y,cos =x,tan =xy (x ≠0) 师：问题2：试写出诱导公式（一），并说出诱导公式的结构特征；生：诱导公式一：()∂=∙+sin 2sin παk ；απαcos )2cos(=∙+k ；απαtan )2tan(=∙+k ； （其中Z k ∈）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值。
师：这节课咱们继续学习三角函数的诱导公式，看看今天的诱导公式是解决什么问题的。
1.3 三角函数的诱导公式(第1课时) 精品教案
1.1.1 诱导公式（一）
【课题】：诱导公式（一） 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与πα-，πα+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程； 二、过程与方法
1、理解诱导公式的推导方法；
2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；
3、培养学生化归、转化的能力； 三、情感态度与价值观
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径． 【教学重点】：理解并掌握诱导公式． 【教学难点】：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．。
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1.3.1三角函数的诱导公式（一）一、教学目标：1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法与教学用具： （1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； （2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程：创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2[ππ内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos)3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。
那么它们的三角函数值有何关系呢？若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三）特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。
【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”； 【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
2、例题分析：例1 求下列三角函数值：（1）sin960； （2）43cos()6π-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角 函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值。
解：（1）sin960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）sin(18060)sin60=+=-（诱导公式二）2=-． （2）4343cos()cos 66ππ-=（诱导公式三） 77cos(6)cos 66πππ=+=（诱导公式一）cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式二）=方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为)0,360⎡⎣内的三角函数；③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
例2 化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--． 解：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅- 23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅- 2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=． 3 课堂练习：（1）．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππααB ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα（2）．已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin（ ）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-（3）．设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A ．33B ．－33 C ．3 D ．－3 （4）．当Z k ∈时，])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ+++++⋅-k k k k 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．与α取值有关（5）．设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且,5)2000(=f那么=)2004(f A ．1 B ．3 C ．5D ．7 （ ）（6）．已知,0cos 3sin =+αα则=+-ααααcos sin cos sin .4、课堂练习答案：（1）、D （2）、C （3）、C （4）、A （5）、C （6）、 25、作业：根据情况安排6 板书设计：三角函数的诱导公式（一）基本概念：例1 课堂练习例21.3.2三角函数诱导公式（二）【教材分析】《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。
这节是诱导公式（二）的推导，在诱导公式（一）的推导中用到了一次对称变换，这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合诱导公式（一）、（二）总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。
【教学目标】1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.【教学重点难点】教学重点：掌握απ±2角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路教学难点：απ±2角的正弦、余弦诱导公式的推导.【学情分析】学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。
但由于诱导公式多，学生记忆困难，应用时易错，应该渗透归纳总结的学习方法，让学生找规律，体现自主探究、共同参与的新课改理念。
【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“三角函数的诱导公式”，完成预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1课时 【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标 1.创设情境：问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的与、、的三角函数关系。
设置意图：利用几何画板的演示回顾旧知及公式推导过程中所涉及的重要思想方法（对称变换，数形结合）激发学生学习动机。
学生活动：结合几何画板的演示，学生回忆诱导公式(一)的推导过程，回答诱导公式(一) 的内容。
多媒体使用：几何画板；PPT问题2：如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关于y轴对称呢？设置意图：检验学生对两种对称变换的点的坐标的变化规律的掌握程度，为后面的教学作铺垫。
通过分析问题情境，提出本节课研究的问题。
学生活动：点P(a,b) 关于直线y=x的对称点Q的坐标为(b,a)；点P(a,b) 关于y轴的对称点R的坐标为(-a,b)。
2.探究新知：问题1：如图：设的终边与单位圆相交于点P，则P点坐标为，点P关于直线y=x 的轴对称点为M，则M点坐标为，点M关于y轴的对称点N，则N的坐标为，∠XON的大小与的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？设置意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出诱导公式，渗透对称变换思想和数形结合思想。
学生活动：学生看图口答P（，），M（，），N（-，），∠XON=N（，）（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价）多媒体使用：几何画板；PPT问题2：观察点N的坐标，你从中发现什么规律了？设置意图：让学生总结出公式=-，=三、例题分析例1 利用上面所学公式求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）解析：直接利用公式解决问题解：3sin120sin(3090)cos30=+==2cos135cos(4590)sin 45=+=-=- 2tantan()cot 3626ππππ=+=-=19193cos()cos cos(4)cos()sin 444424πππππππ-==+=+=-= 变式训练1：将下列三角函数化为到之间的三角函数：（1）（2）（3）思考：我们学习了的诱导公式，还知道的诱导公式，那么对于，又有怎样的诱导公式呢？设置意图：利用已学诱导公式推导新公式。