2017年春季学期新版青岛版八年级数学下学期7.8、实数、实数运算典例精析素材
2017年春季新版青岛版八年级数学下学期第七章、实数单元复习教案5
本部分教材是由传统教科书中的勾股定理和数的开方两部分内容整合 教材 分析 而成。围绕数的扩充和勾股定理两个主题，通过勾股定理的发现、无理数的 由来、勾股定理的验证、勾股数组等史料和趣题，充分体现了勾股定理和实 数的文化价值。 学生在七年级上学期经历了从非负有理数（自然数和正分数）到有理数 的扩充，在此基础上学习了有理数的运算，并在有理数的范围内研究了整式 与分式的加、减、乘、除、乘方运算，以及一元一次方程及一元一次方程组 学情 等内容。本章在有理数的基础上，通过研究平方、立方运算的逆运算以及由 分析 勾股定理已知两边求第三边的需要，引入新的运算——开平方和开立方运 算，以及由开方运算产生的新数——无理数，将数的范围扩充到了实数，从 而便于学生接受和学习。 认知目标（1）了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示一 个数的算术平方根、平方根、立方根、进一步增强学生的符号意识。 （2）探索勾股定理及其逆定理，体会无理数的产生过程，会用勾股定 理及其逆定理解决一些简单的实际问题。 （3）了解无理数和实数的概念，了解实数与数 轴 上的点的一一对应、 教学 有序实数对与直角坐标系中的点的一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 目标 （4）当一个数的平方根或立方根是无理数时，能用有理数估计它的 大 致范围，并能按精确度的要求写出它的不足近似值和过剩近似值。 感情目标 通过勾股定理和无理数产生过程的史料介绍，感受数学文化的丰富内 涵，体验数与形之间深刻的内在联系。 重点：算术平方根、平方根的意义，勾股定理及其逆定理，无理数和实数的 教学重难点 概念。 难点:算术平方根、平方根之间的区别与联系，无理数、实数概念的建立。 教学准备 教学课时 多媒体投影、小黑板 一课时 教学过程
)
（2）3x －27＝0.
2
八年级数学下册 7.8 实数 走进《实数》素材 青岛版
走进《实数》本单元的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法，实数的概念等。
求求数的平方根、立方根是初中数学中最基本的运算之一,也是学习过程中的重点。
现将知识要点解读如下，供参考：1．平方根：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫二次方根)。
特别提醒:由平方根的概念可以得到，如果a x =2，那么x 就是a 的平方根,记作a ±,读作正负根号a .所以，求一个数a 的平方根，就是把平方之后等于a 的数都找出来,从而确定a 的平方根。
例如,932=，9)3(2=-，所以9的平方根有两个，它们是3±。
2．平方根的性质：(1）一个正数有两个平方根，他们是互为相反数；（2）0有一个平方根，它是0本身；（3)负数没有平方根。
特别提醒：判断一个数有没有平方根或有几个平方根，要根据平方根的性质来确定，例1．下列各数有没有平方根?如果有，求出它的平方根；如果没有,说明理由.（1)4925-；（2）0；（3）2)1.1(-。
解析：（1）4925-是负数，它没有平方根；（2)0只有一个平方根，它是0；（3）2)1.1(-=1。
21，所以2)1.1(-是正数，它有两个平方根,分别是1.1±。
点评：求一个数的平方根，就是把所有平方之后等于这个数的那么数全部找出来，而判断一个数是不是另一个数平方根，只要检查这个数平方后是否等于另一个数，二者含义不同，要求不一样,切勿混淆。
3．算术平方根：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根. 特别提醒：算术平方根a 具有双重非负性:①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数。
也就是说，正数的算术平方根是一个正数,0的算术平方根是0，负数没有平方根，也就没有算术平方根。
4．无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
特别提醒：理解无理数的概念要抓住两个要素，一是无限，二是不循环，两者缺一不可。
例如3。
青岛版数学八年级下册7.8《实数(1)》参考教案
实数〔1〕教学目标：1、了解实数的概念及分类，会说出一个实数的相反数和绝对值.2、知道实数与数轴上点之间的一一对应关系.教学重点、难点：重点：实数的概念及分类.难点：理解实数与数轴上的点一一对应.教学过程：一、创设情境，引入新课1、在本章以前，我们曾先后学习了哪些数？数的范围是怎样逐步扩大的？回忆一下，与同学交流.学生答复：自然数、小数、负数、分数、有理数…本章在引入无理数以后，数的范围又进一步得到了补充.2、你会把实数加以分类吗？你所确定的分类标准时什么？按你确定的分类标准进展一次分类后，还能再确定另一个指标作为标准，把其中的每一类再进一步分类吗？二、合作交流，探究新知1、实数的概念有理数和无理数统称为实数.2、实数的分类①正数可视为有限小数，如3可视为3.0.如果先按照是否有限小数和循环小数，可将实数分为有理数和无理数，然后再按照正、负还可继续进展分类：②如果先按照数的正、负、零，可将实数分为三类，然后再按照是否有理数将正实数和负实数继续进展分类：3、检查一下，在上面的两种分类中，有没有重复和遗漏？学生讨论交流，然后作出答复.例题讲解：例1 以下各数哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是正数？哪些是负数？1、把有理数扩大到实数以后，相反数、绝对值的意义也同样适用.即如果a是一个实数，那么-a表示a的相反数，实数a的绝对值记作︱a︱，正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.①什么叫相反数？只有相加为零的不同的两个数叫互为相反数，零的相反数是零。
这个概念适合实2-2与a的相反数是_____,实数〔a+b〕的相反数是_____,实数〔a-b〕的相反数是_______.②什么叫绝对值?数轴上一个数表示的点离开原点的距离叫这个数的绝对值。
这个概念也适合实数。
如：2=2-2=2、考考你：你能分别说出√5，π，-√3，的相反数和绝对值吗？学生交流答复：√5：相反数-√5；绝对值√5.π：相反数-π；绝对值π.-√3：相反数√3；绝对值√3.：相反数-；绝对值.例题求以下各数的相反数和绝对值：〔1〕π-4；〔2〕√23-3.解：〔1〕因为π-2＜0，所以π-4的相反数是4-π，绝对值是︱π-2︱=4-π.〔2〕因为23＞9，所以√23＞3，所以√23-3＞0.所以√23-3的相反数是3-√23，绝对值是︱√23-3︱=√23-3.2、实数与数轴上的点的关系我们知道所有的有理数可以用数轴上的点来表示，无理数可不可以用数轴上的点来表示呢？〔1〕怎样用数轴上的点来表示π?方法：把半径等于12的圆放到数轴上，圆上一点A与原点重合，圆沿着数轴滚动一周，点A的终点表示π〔做一个教具演示〕A321〔28、？方法：我们知道边长为2的正方形的对角线8、，因此，以0为圆心，以边长为2的正方形的对角线长为半径作弧与数轴的交点就是8、〔教师示范〕总结：其实每一个实数数都可以用数轴上的点来表示，因此数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。
初中数学青岛八年级下7.8实数(3)
知识讲解
实数和有理数一样也可以进行 加、减、乘、除、乘方运算，而且 有理数的运算法则与运算律对实数 仍然适用。
例如： 2 3 3 2 乘法交换律
3 2 1 3 2 1 3
2
2
乘法结合律
2 2 3 2 2 3 2 5 2
合并同类项法则
(2) 9 2 (4 3)
(结果保留4个有效数字)
解： 9 2(4 3) = 9 8 2 3 = 1 2 3
练习:
= - 2.464101615 ≈ - 2.464
1. 3 7 2 7 (结果保留3个有效数字) 2. 9 2 ( 5 2) (精确到0.01)
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除， 最后算加减。如果遇到括号， 则 先进行括号里的运算.
实数的近似运算
练习
3、计算
15 2
解：原式=2 (9 2 5 4) = 2 (5 2 5)
= 10 2 2 5
= 10 4 5
=18.94427191≈18.94
巩固练习
1.
1 43 83
1
2
27 3
2.化简：2×（ 5 2）—2×（ 5 2)
3、 3 64— 0 — 1
4
4、 3 2(1 3)
小结
关于实数的计算，以后还会深入 学习，现在应知道的是： 1，实数内可以加减乘除乘方远 算；运算律仍成立。 2，实数和数轴上的点一一对应； 3，求近似值可用四舍五入法， 如题目没有要求 3 2 可作为 最后结果。
巩固练习
1、 |1 2 | | 2 3 |
青岛初中数学八下《7.8实数》word教案
7.8 实数（1）教学目标：1、了解实数的概念及分类，会说出一个实数的相反数和绝对值2、知道实数与数轴上点之间的一一对应关系教学重点、难点：重点：实数的概念及分类难点：理解实数与数轴上的点一一对应教学过程：一、创设情境，引入新课在本章以前，我们曾先后学习了哪些数？数的范围是怎样逐步扩充的？回忆一下，与同学交流学生回答：自然数、小数、负数、分数、有理数…本章在引入无理数以后，数的范围又进一步得到了补充2、你会把实数加以分类吗？你所确定的分类标准时什么？按你确定的分类标准进行一次分类后，还能再确定另一个指标作为标准，把其中的每一类再进一步分类码？二、合作交流，探究新知1、实数的概念有理数和无理数统称为实数2、实数的分类①正数可视为有限小数，如3可视为3.0.如果先按照是否有限小数和循环小数，可将实数分为有理数和无理数，然后再按照正、负还可继续进行分类：②如果先按照数的正、负、零，可将实数分为三类，然后再按照是否有理数将正实数和负实数继续进行分类：3、检查一下，在上面的两种分类中，有没有重复和遗漏？学生讨论交流，然后作出回答数轴上一个数表示的点离开原点的距离叫这个数的绝对值。
这个概念也适合实数。
2、实数与数轴上的点的关系我们知道所有的有理数可以用数轴上的点来表示，其实无理数也可以用数轴上的点来表示。
三、课堂练习，巩固提高P 73 练习题1、2、3四、反思小结，拓展提高这节课内容比较杂，你认为重点要掌握什么？1、实数的概念以及实数的相反数与绝对值.2、实数与数轴上的点的一一对应关系.五、作业；必做：P77 习题7.8第1---5题选作：P77 习题7.8第6、7。
八年级数学下册第7章实数7.8实数教案新版青岛版
年级科目
课题
7.8 实数
课型
新授
主备人
审核人
总课
时数
授课时间
教学
目标
1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；
2、学会比较两个实数的大小；
了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；进行实数运算时，根据问题的要求取其近似值，将其转化为有理数进行计算；
加法交换律：a十b=b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c＝a（bc）
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
例2、计算下列各式的值：
（1）（＋）－；（2）3＋2
例3计算：
（1）十(精确到0.01)
（2）3＋2（保留三个有效数字
四、归纳总结，提升能力
像例1(1)，即可以将，1.4的大小比较转化为，的大小比较；也可以先求出的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。
运算律在实数范围内依然适用。
教学反思：
3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。
重点
难点
考点
易错点
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解
实数与数轴上的点一一对应关系
本课时的内容多以选择题的形式呈现
无理数在数轴上的寻找方法
教 学 过 程
一、前置练习，积累知识
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？
青岛版八下数学7.8实数(第1课时)教学设计
青岛版八下数学7.8实数（第1课时）教学设计一. 教材分析青岛版八下数学7.8实数（第1课时）的教学内容主要包括实数的定义、性质和运算。
实数是数学中的基本概念，包括有理数和无理数。
本节课通过对实数的探讨，让学生理解实数的概念，掌握实数的性质和运算方法，为后续的数学学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的相关知识，对数的运算也有一定的了解。
但实数的概念和性质较为抽象，需要学生通过实例和活动来理解和掌握。
此外，学生可能对无理数的概念和性质较为陌生，需要教师进行讲解和引导。
三. 教学目标1.了解实数的概念，掌握实数的性质和运算方法。
2.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.实数的定义和分类。
2.实数的性质和运算方法。
3.学生对无理数的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握实数的概念和性质。
2.利用多媒体和实物模型，帮助学生直观地理解实数的概念和性质。
3.采用案例分析和练习巩固的方法，让学生掌握实数的运算方法。
4.小组讨论和展示，培养学生的合作和交流能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实数的相关资料和案例。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实数的实例，如身高、体重、温度等，引导学生思考实数的定义和特点。
提出问题：“你们认为实数是什么？实数有哪些特点？”2.呈现（10分钟）介绍实数的概念和性质，如实数的定义、分类、性质等。
通过实物模型和多媒体演示，让学生直观地理解实数的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生进行实数的运算练习，如加减乘除、乘方等。
教师引导学生注意运算规则，并及时解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分析实数的性质和运算方法。
每组选取一个实例，运用实数的性质和运算方法进行分析和解答。
5.拓展（10分钟）介绍无理数的概念和性质，如无理数的定义、无理数的性质等。
青岛版八下7.8《实数(1)》课件
a b
a+b
d c
-d-c a-d
c b
b-c
ad
（1）在实数1和2之间，有多少个整数？有多少个 分数？有多少个无理数？
（2）请你在1和2之间举出尽可能多的无理数，看 谁举得最多。
总结与回顾
这节课你有什么收获？
你对本节课的内容还有哪些疑问？
3之间7的个数依次加1)
22 2 、 4、 3.14、 7
-0.101001000100001、 .. 22 3.14、 0.23
无理数
7
2
5
整数
0、 - 2
正整数
0.373373337……
4
练习
判断下列说法是否正确：
） ） ） ） ）
1）无限小数都是无理数； ……………………（
2）无理数都是无限小数； …………………（
知识回顾
1、无理数：
无限不循环小数叫做无理数
2、有理数：
有限和无限循环小数属于有理数 或整数与分数统称为有理数
（1）到目前为止，你认识了哪些数？
负整数
分数 负数
零
有限小数
自 正整数 然 小数 数
有理数
负有理数
无限不循环小 数-无理数
（2）你会把实数加以分类吗？你所确定的分 类标准是什么？按你确定的标准进行一次分 类后，还能再确定另一个指标作为标准，把 其中的每一类再进一步分类吗？
重要结论
在实数范围内，相反数、倒 数、绝对值的意义和有理数范围内 的相反数、倒数、绝对值的意义完 全一样。
在数轴上作出 5 的对应点.
2 1
-1
0
1
25
3
一个实数a
青岛版数学八年级下册7.8《实数》说课稿2
青岛版数学八年级下册7.8《实数》说课稿2一. 教材分析青岛版数学八年级下册7.8《实数》是学生在学习了有理数、无理数的相关知识后，进一步对实数进行系统学习的教材。
这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生对数学抽象概念的理解和掌握的重要阶段。
教材通过介绍实数的定义、性质以及实数与数轴的关系，使学生能够更好地理解实数的概念，并能够运用实数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了一定的数学基础，对有理数、无理数有一定的了解。
但实数作为一个抽象的概念，对于学生来说仍然具有一定的难度。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生从具体到抽象的过程，逐步理解实数的定义和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解实数的定义，掌握实数的基本性质，能够运用实数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究实数的性质，培养学生的观察、思考、推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的定义，实数的基本性质。
2.教学难点：实数与数轴的关系，实数的运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、数轴模型等辅助教学，使抽象的知识具体化、形象化。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数、无理数的相关知识，引导学生思考实数的定义，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍实数的定义，引导学生理解实数的概念。
3.探究实数的基本性质：引导学生通过小组合作学习，探究实数的基本性质，如：实数的加法、减法、乘法、除法等。
4.实数与数轴的关系：利用数轴模型，引导学生理解实数与数轴的关系，掌握数轴上的点与实数的对应关系。
5.巩固练习：出示一些有关实数的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生梳理知识点。
青岛版八年级下册 7.8实数(2)直角坐标系中的点与有序实数对课件 (共21张PPT)
三、解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E．
在Rt△CDE中，CD=2
∴CE=DE=
∴OE=OC+CE=2+ ∴点D坐标为（2+ ， ）．
菱形ABCD的面积为2 2
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必做题：课本78页10题 选做题：课本81页19题
制作单位：肥城市王庄镇初级中学 电教中心
时 间： 2019年3月
思考：用到了哪些数学知识？
跟踪训练 用坐标刻画简单图形
已知等腰直角三角形ABC的斜边AB的长为2. 在如图①②③所示的直角坐标系中，分别写出顶点 A，B，C的坐标；思考：下面哪个直角坐标系比较 合适？
典例提升 用坐标刻画简单图形
在直角坐标系中，已知点A（ 2 ， 3）
（1）分别指出与点A关于y轴对称的点B，关于x轴对称的
）关于x轴的对称点为
关于y轴的对称点为
2、如果点P(m－
, m＋ )在y轴上，则P的坐标是
3、已知点A（0， ），B( , 0 ),则A、B两点间的距离是
三、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°， 求点D的坐标．并求出菱形ABCD的面积。
一、选择题 1、C 2、D
二、1、( 3 , 2 ) ( －3, － 2 ) 2、（0， 2 ＋ 3）
数学 八年级下册 青岛版
7.8实数（2）
1、直角坐标系是如何构成的？ 2、直角坐标系中的点如何表示？ 3、各象限内点的坐标有什么特征？ 4、在给定的直角坐标系中有序有理数对 （a，b）能用几个点表示？
过去用有序数对（a，b）刻画平面内点的位置时，a，b仅限于有理数，因而 只能刻画平面内有理点的位置。
解：由图可知，顶点A，C的坐标
分标为（0,0）（-2,0）.
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实数运算典例精析
与实数有关的运算，是本章的一个难点，同学们学习时，应根据题目特点，灵活选用方法，以简化运算，现举例说明.
例1 化简：（1）1225312-+；
（2）).2
15(51÷⨯ 解：（1）1225312-+=5312212+-
=5312+-=-
（2）)2
15(51÷⨯=)25(51⨯⨯ =2)55
1(⨯⨯=1×.22= 点评：本例运算中充分运用结合律、交换律，使运算过程简化后再化简，显然比直接先化简每一个数，再计算要简便得多.
例2 化简：.3
1)273123(⨯+- 解：3
1)273123(⨯+- =312731312313⨯+⨯-⨯
=3321+-=.3
10 点评：本例若先算括号里面的数，再与外面的数相乘，则计算起来比较繁琐，而应用乘法分配律进行运算，则可以通过约分达到化繁为简的目的.
例3 化简： .)625)(625(2-+ 解：2)625)(625(-+=)625)(625)(625(--+ =)625)](625)(625[(--+
=（25-24）×.625)625(-=-
点评：本例运用结合律构造出平方差公式，从而简化运算过程.
例4 已知6的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2
-2b 的值. 解：因为4<6<9，所以964<<，即.362<< 所以6的整数部分为2，即a=2，而小数部分为b ，则.26-=
b 所以a 2-2b=22)26(2⨯--=4464)6(2-+-=.646-
点评：本例根据无理数的估算与实数的化简变形，解决问题的关键是确定a 与b 的值，先用估算法求出6的整数部分a 的值，再由a+b=6，求出b 的值.。