人教B版(理科数学)8.7抛物线名师精编单元测试
高考数学人教版理科一轮复习课件：8-7 抛物线
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】 由抛物线 y2＝4x 知 F(1,0)，故可设直线 l1 的方程 为 y＝k(x－1)，直线 l1 的方程与 y2＝4x 联立并消去 y，整理得 k2x2 －(2k2＋4)x＋k2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2＋k42，x1·x2 ＝kk22＝1，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋k42，同理 l2 的方程为 y＝－1k(x －1)，与 y2＝4x 联立可得|DE|＝4＋4k2.∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋k42＝ 8＋4(k2＋k12)≥8＋4×2＝16.当 k＝±1 时取等号．故选 A.
(1)已知椭圆y52＋x2＝1 与抛物线 x2＝ay 有相同的焦点 F，O 为原点， 点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|
的最小值为( A )
A．2 13 B．4 2 C．3 13 D．4 6 (2)(2019·保定模拟)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在
1.应用抛物线定义的两个关键点,1由抛物线定义，把抛物线上点 到焦点距离与到准线距离相互转化.
2注意灵活运用抛物线上一点 Px0，y0到焦点 F 的距离|PF|＝|x0| ＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点 位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
定是抛物线．( × )
(2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( × )
(3) 若 一 抛 物 线 过 点 P( － 2,3) ， 其 标 准 方 程 可 写 为 y2 ＝
2018届人教B版(理科数学) 抛物线专题 单元测试
抛物线专题[基础达标](35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是 ()A.=1B.=1C.=1D.=1D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1，0)，而A中椭圆的半焦距c=，B中椭圆的半焦距c==2，C中双曲线的半焦距c=，D中双曲线的半焦距c==1，且焦点在x轴上，满足题意.2C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=() A.1 B.2 C.3 D.4A【解析】∵x2=2y，∴y'=x，∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B，∵x2=2y的焦点F，准线方程为y=-，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()A.3B.C.6D.6A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=±x 所围成的三角形的面积等于×2×3=3.4C：y2=4x的焦点为F，直线y=(x-1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点.若=m，则实数m的值为()A.B.C.2 D.3D【解析】如图，联立抛物线与直线方程，得解得x A=3，x B=，∵所给直线经过抛物线的焦点F，且其准线为x=-1，∴A点到准线的距离为4，B点到准线的距离为，根据抛物线定义可有|AF|=3|FB|，结合已知条件=m，可得m=3.5F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q，与C交于点P，则点P的坐标为()A.(1，2)B.(2，2)C.(3，2)D.(4，4)D【解析】由题意，得抛物线的准线方程为x=-1，F(1，0).设E(-1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|=|FQ|，即y-，解得y=4，所以k EF==-2，k PQ=，所以直线PQ的方程为y-(x+1)，即x-2y+4=0.由解得即点P的坐标为(4，4).二、填空题(每小题5分，共20分)6.若抛物线y2=4x上的两点A，B到焦点的距离之和为6，则线段AB的中点到y 轴的距离为.2【解析】由|AF|+|BF|=x A+x B+p=x A+x B+2=6，得x A+x B=4，则AB的中点横坐标为=2，即线段AB的中点到y轴的距离是2.7F1，F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为.x=-2【解析】将双曲线方程化为标准方程得=1，抛物线的准线为x=-2a，联立得x=3a，即点P的横坐标为3a.而由得|PF2|=6-a，∴|PF2|=3a+2a=6-a，解得a=1.∴抛物线的准线方程为x=-2.8.若抛物线C1：y2=4x与抛物线C2：x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3，则抛物线C2的方程为.x2=y【解析】由点A到抛物线C 1的焦点的距离为3，得x A+1=3，解得A点坐标为(2，2)，代入x2=2py(p>0)，得p=，所以抛物线C的方程为x2=y.9F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=2，则弦AB的中点到准线的距离为.【解析】设||=2m，||=m，m>0，由已知可得x A=2m-1，x B=m-1，则=2，解得m=.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为.三、解答题(共25分)10.(12分)如图，直线l与抛物线y2=x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与x轴相交于点M，且y1y2=-1.(1)求证：M点的坐标为(1，0)；(2)求证：OA⊥OB；(3)求△AOB的面积的最小值.【解析】(1)设M点的坐标为(x0，0)，直线l的方程为x=my+x0，代入y2=x得y2-my-x0=0，①∵y1，y2是此方程的两根，∴y1y2=-x0，∴x0=-y1y2=1，即M点的坐标为(1，0).(2)∵y1y2=-1，∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0，∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m，y1y2=-1，且|OM|=x0=1，于是S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1，∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1.11.(13分=1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.(1)求抛物线C的方程；(2)过M(-1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程.【解析】(1)双曲线的离心率e=，又a>0，∴a=1，双曲线的上顶点为(0，1)，又p>0，∴抛物线的焦点为(0，1)，∴抛物线方程为x2=4y.(2)由题知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k(x+1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y=x2，∴y'=x，∴切线l1，l2的斜率分别为，当l1⊥l2时，=-1，∴x1x2=-4，由得x2-4kx-4k=0，∴Δ=(-4k)2-4(-4k)>0，∴k<-1或k>0.①由x1x2=-4k=-4，∴k=1，满足①，即直线l的方程为x-y+1=0.[高考冲关](20分钟45分)1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段F A的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为()A.(0，±2)B.(0，2)C.(0，±4)D.(0，4)A【解析】由题意可得x B=，又点B到抛物线准线的距离为，所以，解得p=，抛物线方程为y2=2x，又因为x=，所以y B=±1，y A=±2，故A(0，±2).2.(5分C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=()A.B.C.3 D.6B【解析】设Q在x轴上方且到准线l的距离为d，则|QF|=d.∵=3，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为-=-.又F(2，0)，∴直线PF的方程为y=-(x-2)，与y2=8x联立可解得x=或x=6(舍去).故|QF|=d=-(-2)=.3.(5分)过曲线C1：=1(a>0，b>0)的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px(p>0)于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为() A.B.-1 C.+1 D.D【解析】设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c，0).因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2，因为|OM|=a，所以|NF2|=2a，又NF2⊥NF1，|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得x+c=2a，则x=2a-c，过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2)，得e2-e-1=0，解得e=(负值舍去).4.(5分M是抛物线y2=2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的位置关系是.相切【解析】如图，准线l与x轴交点为N，过MF的中点A作准线l的垂线AE，垂足为点E，交y轴于点B，过点M作准线l的垂线MD，垂足为点D，交y轴于点C，则|MD|=|MF|，|ON|=|OF|，∴|AB|=，∴这个圆与y轴相切.5.(5分A，B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，且A，B 位于x轴异侧，若=5，同时抛物线C的焦点F到直线AB的距离为2，则△AOB的面积为.，y1)，B(x2，y2)，则x1=，x2=，直线AB的斜率20【解析】设A(xk AB==x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=5，由A，B位于x轴异侧，得y1y2=-20(舍去正数4)，则直线AB的方程为y-y1=(x-x1)，化简得y=(x-5)，则直线AB恒过点(5，0)，又由抛物线C的焦点F(1，0)到直线AB的距离为2，得AB的倾斜角为30°或150°，不妨设为30°，则，得+y2=4，则|y1-y2|==8，所以△AOB的面积y1为×5×8=20.6.(10分)已知点P为抛物线y2=4x上的动点，点Q在y轴上，且PQ⊥y轴，A(2，a)，求PQ+P A的最小值.【解析】点A(2，a)可能在抛物线内部，也可能在抛物线的外部，所以要分类讨论.①当|a|≤2时，点A(2，a)在抛物线内部(包含边界)，直接过点A向y轴作垂线，与抛物线的交点即为PQ+P A最小时的点P，此时(PQ+P A)min=2；②当|a|>2时，点A(2，a)在抛物线外部，由抛物线的定义知PQ=PF-1，得PQ+P A=PF+P A-1，则A，P，F三点共线时，PQ+P A取得最小值，即(PQ+P A)min=|AF|-1=-1.7.(10分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|=|FD|.当点A 的横坐标为3时，△ADF为正三角形.(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于点G，∴A(3，)，F，|AF|=3+.当点D在焦点F的右侧时，如图所示.∴|FD|=|AF|=3+.∵△ADF为正三角形，∴|FG|=|FD|=.又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-，∴3-，∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当点D在焦点F的左侧时，|FD|=|AF|=3+，此时点D在x轴负半轴，不成立，应舍去.∴C的方程为y2=4x.(2)设A(x1，y1)，|FD|=|AF|=x1+1，∴D(x1+2，0)，∴k AB=-.由直线l1∥l，可设直线l1的方程为y=-x+m，联立方程消去x得y1y2+8y-8m=0.①由l1和C有且只有一个公共点，得Δ=64+32y1m=0，∴y1m=-2，这时方程①的解为y=2m，代入y=-x+m得x=m2，∴E(m2，2m).点A的坐标可化为，直线AE方程为y-2m=(x-m2)，即y-2m=(x-m2)，∴y=x-+2m，∴y=x-，∴y=(x-1)，∴直线AE过定点(1，0).。
2018届人教B版 抛物线 单元测试
第七节抛物线A组基础题组1.(2015辽宁沈阳质量监测一,4)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )A.(0,a)B.(a,0)C.D.2.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是( )A.2B.C.D.3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-24.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.5.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.6.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .7.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.8.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.9.(2015辽宁大连双基测试,20)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,直线l2:x=-2交x轴于点Q.(1)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;(2)点P为抛物线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB交直线l2于M,N两点,²=2,求抛物线C的方程.10.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.B组提升题组11.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )A. B.3 C. D.212.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A. B.1 C. D.13.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)14.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为.15.(2016陕西商洛月考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5.(1)求抛物线的标准方程;(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与抛物线交于B,C两点,且满足²=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.答案全解全析A组基础题组1.C 将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),所以焦点坐标为,所以选C.2.C 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,所以x1+x2=3,所以点C的横坐标是=.3.C由题可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.4.D 易知直线AB的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.S△OAB=|OF|²|y1-y2|=³==.故选D.5.D 易知p=4,直线AB的斜率存在,设其为k,将抛物线方程y2=8x与直线AB的方程y-3=k(x+2)联立,消去x整理得ky2-8y+16k+24=0,由题意知Δ=64-4k(16k+24)=0,解得k=-2或k=.因为直线与抛物线相切于第一象限,故舍去k=-2,故k=,可得B(8,8),又F(2,0),故k BF==,故选D.6.答案2解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,解得p=2.7.答案2解析建立坐标系如图所示.则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).∵点(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±.∴水位下降1米后,水面宽为2米.8.答案解析由题意得k AB=tan 60°=,焦点F的坐标为(1,0),∴直线AB的方程为y-0=(x-1),即y=(x-1),由y=(x-1)与抛物线方程y2=4x联立解得x=或x=3,则由题意知x A=3.则由抛物线的定义可知|AF|=3+1=4.又|OF|=1,∠AFO=120°,∴S△OAF=|AF|²|OF|²sin 120°=³4³1³=.9.解析(1)设直线l1的方程为x=my+2,点A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x,得y2-2pmy-4p=0,所以y1+y2=2pm,y1y2=-4p.所以k1+k2=+=+===0.(2)设点P(x0,y0),则直线PA:y-y1=(x-x1),当x=-2时,可得y=,即y M=,同理,y N=.因为²=2,所以4+y N y M=2,即²=-2,所以=-2,所以=-2,所以p=,故抛物线C的方程为y2=x.10.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在且大于零,故可设直线PA的方程为y=k(x-t)(k>0),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D,点B的坐标为(x0,y0)(x0>0),由题意知点B,O关于直线PD对称,又因为P(t,0),D(0,1),所以直线PD的方程为y=-x+1,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)可知|A P|=t²,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离d=. 设△PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|²d=.B组提升题组11.B ∵=4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即=.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.12.C 设线段AB的中点为C,如图,过A、B、C向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1、B1、C1,CC1交y轴于C0.由抛物线定义可知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|,易得|CC0|=|CC1|-|C1C0|=(|AA1|+|BB1|)-|C1C0|=-=,故选C.13.C 由题意知直线l不垂直于x轴.当直线l的倾斜角α<时,如图,过A作AA1垂直准线于A1,过B作BB1垂直准线于B1.设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,则|AF|=|AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2,易知△AB2B∽△BB1C,∴=,则有=,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直线l的倾斜角α=.当倾斜角α>时,由对称性可知α=π.∴直线l的倾斜角α=或π.又F(1,0),∴直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.14.答案y2=3x解析如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K, 则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|=,即p=,∴抛物线的方程为y2=3x.15.解析(1)∵点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5,∴4+=5,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.(2)存在.理由:由题意可设直线l的方程为x=k(y-1)(k≠0),代入抛物线方程,整理得y2-4ky+4k=0,则Δ=16k2-16k>0⇒k<0或k>1,设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=4k,由²=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,则有(k2+1)²4k-k2²4k+k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),∴直线l存在,其方程为x+4y-4=0.16.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.由已知|AF|=3,得2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨取A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,则点F到直线GA,GB的距离相等.故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨取A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以r==,点F到直线GB的距离d===r.这说明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.。
(2021年整理)抛物线练习题(含答案)
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错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A.错误! B．－错误! C．8 D．－84．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．125．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离D．以上答案都有可能6．过点F(0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（)A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y7．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A．20 B．8 C．22 D．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A．2错误! B.错误! C。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(二)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲3．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12,24+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.评卷人得分三、解答题4．（汇编年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 5．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；（2）当3arctan 4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.OyxMF1F26．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的短轴长的取值范围．7．已知圆1F ：16)1(22=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。
高考数学总复习(人教版)：8-6抛物线
8-6抛物线 基础巩固强化1.动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，而|PM |即为P 到直线x ＋y －4＝0的距离∴动点P 的轨迹为过点M 垂直于直线x ＋y －4＝0的直线．故选A.2．(2012·山东苍山县期末)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1[答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝4，2m ＝12.∴⎩⎨⎧m 2＝16，n 2＝12.故选B.3．(文)(2011·陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x[答案] C[解析] 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y 2＝8x .故选C.(理)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 1的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A. 4．(2012·厦门市质检)抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32 C ．2D.52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2，∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．(文)(2011·石家庄模拟)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16 B.116 C ．4 D.14[答案] B [解析]由⎩⎨⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y .得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝14，y D ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)． ∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5， ∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B.(理)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF |＝|CM |，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF |，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．6．(文)(2012·山西四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x[答案] B[解析] 设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎨⎧m ＋2＝5，n 2＝8m .由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1.由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±3x ，选B.(理)(2012·辽宁文，12)已知P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P 、Q 的横坐标分别为4、－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8[答案] C[解析] 本题考查了导数的几何意义． 由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)． ∵点P 、Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2.∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x .∴过点P 的切线斜率为k 1＝4，切线方程为y ＝4x －8， 又∵过点Q 的切线斜率为k 2＝－2，∴过点Q 的切线为y ＝－2x －2，联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A 的纵坐标为－4.[点评] 注意对抛物线方程的整理，化为二次函数形式，然后利用导数求切线方程．7．(文)(2011·烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m 时，测量水面宽为8m ，当水面上升12m 后，水面的宽度是________m.[答案] 4 3 [解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A ，由题意可知A (4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，设水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为43m.(理)(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水位下降1m 后，水面宽________m.[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．如图建立坐标系设方程x 2＝－2py (p >0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6， 所以水面宽26m.[点评] 抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．8．(文)抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．[答案] y 2＝－45x[解析] 由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)， ∴抛物线方程为y 2＝－45x .(理)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.9．(2012·银川一中三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－1[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，消去x 得，y 2－2py －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，由条件知，y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.10．已知动圆过定点P (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，若OA ⊥OB ，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)设圆心M (x ，y )．由题意知点M 到点P 的距离等于点M 到直线x ＝－1的距离， 故点M 的轨迹C 是以P (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．∴轨迹C 的方程是y 2＝4x .(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．代入C 的方程并整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2. 故y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b ) ＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4bk .由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k 2＋4bk ＝0， 解得b ＝－4k 或b ＝0(舍去)．此时，直线AB 的方程为：y ＝kx －4k ， 即y ＝k (x －4)．此时直线AB 过定点(4,0)．当直线AB 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 可知A 、B 两点的坐标分别是(4，－4)、(4,4)．此时直线AB 也过定点(4,0)． 综上所述，直线AB 恒过定点(4,0).能力拓展提升11.(文)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1 D.5＋2[答案] C[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.(理)(2012·安徽理，9)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322 D ．2 2 [答案] C[解析] 设∠AFx ＝θ(0<θ<π2)，|BF |＝m ；由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cos θ，∴cos θ＝13，又m ＝2－m cos θ⇔m ＝21＋cos θ＝32， △AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322.故选C.[点评] 也可以先由定义和|AF |＝3求得A 点坐标(2,22)，得出AF 的方程y ＝22(x －1)，再解方程组求得AF 与抛物线的另一交点B (12，－2)，然后求面积．12．(文)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[答案] B[解析] 由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0， ∴直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4， 与y 轴交点A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2. ∴S △OAF ＝12·|OA |·|OF |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝a 216＝4. ∴a 2＝64，a ＝±8.故y 2＝±8x .故选B.(理)(2011·山东文，9)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 由题意可知|FM |>p ＝4，又|FM |＝y 0＋2，∴y 0>2，故选C.13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是________．[答案] 19[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x .把M (1，m )代入y 2＝16x 得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19. 14．(文)已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(理)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1、B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCM ＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.15．(文)(2011·韶关月考)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .(理)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， 由⎩⎨⎧ y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y .得x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.16．(文)(2012·东北三校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1的焦点在x 轴上，右顶点A 为抛物线y 2＝16x 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点Q (－2，0)，若斜率为22的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，求QM →·QN →的最小值．[解析] (1)抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，故椭圆C 中a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝22x ＋b .由⎩⎨⎧ x 216＋y 22＝1，y ＝22x ＋b .消去y 整理得，5x 2＋82bx ＋(8b 2－16)＝0，因为动直线l 与椭圆C 交于不同的两点，所以Δ＝128b 2－20(8b 2－16)>0，解得－10<b <10.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－825b ，x 1x 2＝8b 2－165，y 1y 2＝(22x 1＋b )(22x 2＋b )＝12x 1x 2＋2b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－85.因为QM →＝(x 1＋2，y 1)，QN →＝(x 2＋2，y 2)，所以QM →·QN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2＝9b 2－16b －145. 因为－10<b <10，所以当b ＝89时，QM →·QN →取得最小值，其最小值为95×(89)2－165×89－145＝－389.(理)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连接CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 21＋y 21＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 21＋2x 1x 2＋x 22，4y 2＝y 21＋2y 1y 2＋y 22，故4x 2＋4y 2＝(x 21＋y 21)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)，①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0，∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1， 代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎨⎧ y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4.得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．1．(2011·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3[答案] C[解析]设抛物线上点A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 2)，且y 1≠y 2，焦点F (p 2，0)，由|AF |＝|BF |得，(y 21－y 22)(y 21＋y 22＋2p 24p 2)＝0， ∵y 1≠y 2，∴y 1＝－y 2.∴A 、B 关于x 轴对称．过点F 作直线y ＝33(x －p 2)，y ＝－33(x －p 2)分别与抛物线有2个交点．∴等边三角形有△AFB 和△A ′FB ′，2个，故选C.2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn m ＋n等于( ) A.12aB.14a C ．2a D.a 4[答案] B[解析] 特例法．取通径AB ，则m ＝n ＝12a ，故mn m ＋n ＝14a . 3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3B ．2 C. 5D. 6 [答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得x 2±b a x ＋1＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±b a 2－4＝0⇒b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.4．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12[答案] A[解析] 如图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NP |＝|NF |＝32·|MN |.在Rt △NMP 中，sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32⇒∠NMP ＝π3⇒∠NMF ＝π6，故选A.5．若直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0是抛物线C 的焦点，则“弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ”是“直线l 经过点F ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C [解析] 由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AF |＋|BF |＝|AB |，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p 是直线l 经过点F 的充要条件．6.(2011·福建文，18)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y .得x 2－4x －4b ＝0，(*)∵直线l 与抛物线相切，∴△＝(－4)2－4×(－4b )＝0，∴b ＝－1.(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1)．∵圆A与抛物线准线y＝－1相切，∴r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.。
高考数学 8-7抛物线配套试题 理 新人教B版
【优化探究】（教师用书）2014高考数学总复习 8-7抛物线配套试题理 新人教B 版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .答案：D2．(2013年长沙模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案：C3．(2013年郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2解析：由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12， ∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4. 答案：B4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，由FA →＋FB →＋FC →＝0，可取FB →＝(－1,0)，此时，FA →＋FC →＝(1,0)，注意到对称性，可令A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6.于是，可得|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋ 6 2＋1＝5＋1＝6.选B. 答案：B5．(2012年高考安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2解析：利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解． 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2. 将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8， 由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22 x －1 ，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝ 12×1×|22＋2|＝32 2.故选C. 答案：C 二、填空题6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2. 答案：27．(2013年南京模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 解析：如图，过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF ＝||NH ＝32|MN |， ∴cos ∠MNH ＝32， ∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.答案：π68．已知点A (2,0)，B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时点P 的坐标是________．解析： 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y 则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．答案：(0,0)9．(2012年高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽____________m.解析：用数形结合法．建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m.答案：2 6 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．解析：根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0.∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.11．(2013年厦门模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．12．(能力提升)如图，过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P (0，m )(m >0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点．(1)设点P 满足AP →＝λPB →(λ为实数)，证明：QP →⊥(QA →－λQB →)；(2)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A ，B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．解析：(1)依题意，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程x 2＝4y ，得：x 2－4kx －4m ＝0.①设A ，B 两点的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，所以，x 1x 2＝－4m .由点P 满足AP →＝λPB →(λ为实数，λ≠－1)，得x 1＋λx 21＋λ＝0，即λ＝－x 1x 2.又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是(0，－m )，从而QP →＝(0,2m )． QA →－λ·QB →＝(x 1，y 1＋m )－λ(x 2，y 2＋m )＝(x 1－λx 2，y 1－λy 2＋(1－λ)m )．QP →·(QA →－λQB →)＝2m []y 1－λy 2＋ 1－λ m＝2m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 214＋x 1x 2·x 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1x 2m ＝2m (x 1＋x 2)·x 1x 2＋4m4x 2＝2m (x 1＋x 2)·－4m ＋4m4x 2＝0，所以QP →⊥(QA →－λQB →)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋12＝0，x 2＝4y ，得点A ，B 的坐标分别是(6,9)，(－4,4)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，y ′＝12x ，所以，抛物线x 2＝4y 在点A 处切线的斜率为y ′|x ＝6＝3. 设圆C 的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧b －9a －6＝－13，a －6 2＋b －9 2＝ a ＋4 2＋ b －4 2，解得：a ＝－32，b ＝232，r 2＝(a ＋4)2＋(b －4)2＝1252.所以，圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2322＝1252.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年聊城模拟)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43解析：∵FA →＝－4FB →，∴|FA →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，如图所示，点A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，过A 作BB 1的垂线，交线段B 1B 的延长线于点M ，则|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t .又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝|AB |2－|BM |2＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43.由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.答案：D2．(2013年郑州质检)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.答案：2。
安徽省高考数学一轮复习 8.7抛物线课后自测 理
安徽省2015届高考数学一轮复习 8.7抛物线课后自测 理(见学生用书第339页)A 组 基础训练一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】 因为椭圆x 26＋y22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4. 【答案】 D2．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74【解析】 ∵|AF|＋|BF|＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.【答案】 C3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【解析】 由题意，直线l 的方程为x ＝－2，焦点F 为(2,0)， 设A 点的坐标为(－2，n)，则n －0－2－2＝－3，解得n ＝43，又PA ⊥l ，由(43)2＝8x ，得x ＝6. ∴|PF|＝x ＋p2＝8.【答案】 B4．(2013·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3【解析】 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x.而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p·p2＝3，可得p ＝2. 【答案】 C5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y【解析】 ∵双曲线C 1：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y. 【答案】 D 二、填空题6．双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．【解析】 双曲线的左焦点坐标为(－ 3＋p 216，0)，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴－3＋p 216＝－p 2，∴p 2＝16，又p ＞0，则p ＝4. 【答案】 47．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________． 【解析】 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离．故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y.【答案】 x 2＝12y8．(2013·皖西四校第二次联考)已知点A 是抛物线C 1：y 2＝4x 与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为2，则双曲线C 2的离心率等于________．【解析】 依题可知抛物线C 1的准线方程为x ＝－1，由点A 到抛物线C 1的准线的距离为2，可得A(1，±2)，不妨取A(1,2)，代入双曲线的渐近线方程x a －y b ＝0，可得b a ＝2，故e ＝ca＝a 2＋b2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 【答案】 5三、解答题图8－7－29．如图8－7－2所示，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0， 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2. 将其代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A(2,1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．(2014·郑州调研)已知过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9，∴p ＝4， 从而抛物线方程是y 2＝8x.(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.B 组 能力提升1．(2014·福州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴圆心到准线x ＝－p2的距离等于外接圆的半径．由圆的面积S ＝9π，得半径r ＝3， ∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4. 【答案】 B2．(2014·西安质检)如图8－7－3所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图8－7－3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)．将点A(2，－2)坐标代入 x 2＝－2py ，得p ＝1. 于是x 2＝－2y.当水面下降1 m ，得D(x 0，－3)，(x 0>0)， 将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m. 【答案】 2 6图8－7－43．(2013·浙江高考)已知抛物线C 的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN|的最小值．【解】 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py(p>0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN|＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4x 1＋x 2＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t≠0，则k ＝t ＋34. 当t>0时，|MN|＝2 225t 2＋6t＋1>2 2. 当t<0时，|MN|＝2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN|的最小值是85 2.。
3.3 抛物线(精练)(原卷版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
3.3抛物线（精练）1．（2023春·陕西西安）已知()1,2P -为抛物线()2:20C y px p =->上一点，则C 的焦点坐标为（）．A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,0-2．（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）A ．78B ．1516C ．34D ．03．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知直线l 与抛物线C ，则“l 与C 只有一个公共点”是“l 与C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023春·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）已知抛物线方程24y x =，过点()1,2P 的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）抛物线22y x =的焦点为F ，点()1,1A ，P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值为（）A ．32B ．3C ．2D 6．（2023·河北沧州·统考三模）设P 为抛物线C ：24y x =上的动点，()2,4A 关于P 的对称点为B ，记P 到直线1,3x x =-=-的距离分别1d ，2d ，则12d d AB ++的最小值为（）A ．2B ．2C2D 27．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若2,60AF DAF ∠== ，则抛物线C 的方程为（）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x=D ．2y x=8．（2023·全国·高三专题练习）抛物线()2:20C y px p =>的焦点是F ，点A 是该抛物线上一点，O 是坐标原点，AOF 的外接圆的圆心在C 上，且该圆周长等于6π，则p 的值是（）A ．6B ．4C ．3D ．29．（2023·全国·高三专题练习）设点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线AB ，垂足为B ，射线AF 交准线l 于点C ，若2AB =，BC =，则抛物线的方程为（）A ．2y x =B ．22y x=C ．24y x=D ．212y x =10．（2023春·四川成都）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST ），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST 模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，若直线l 过点()1,0P ，且8AB =，则抛物线C 的准线方程是（）A ．=3y -B ．=2y -C ．32y =-D ．1y =-12．（2023秋·高二课时练习）直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k （）A ．2或－2B ．2或－1C ．2D ．313．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线2:4G y x =，直线 l 交该抛物线于,A B 两点．若线段 AB 的中点坐标为()3,2，则直线l 斜率为（）A ．12B ．14C ．1D ．214．（2023·重庆渝中）（多选）已知抛物线C 的焦点在直线230x y ++=上，则抛物线C 的标准方程为（）A ．212y x=B ．212y x=-C ．26x y=-D ．26x y=15．（2023春·广西河池·高二统考期末）（多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 在直线:l y kx k =-上，直线l 与抛物线交于点,A B （O 为坐标原点），则下列说法中正确的是（）A ．2p =B ．准线方程为2x =-C ．以线段AB 为直径的圆与C 的准线相切D ．直线OA OB ､的斜率之积为定值16．（2023春·江西九江·高二校考期末）（多选）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列结论中正确的是（）A ．124x x =B ．128y y =C ．k 的取值范围是()1,1-D ．2k =时，以AB 为直径的圆经过点F 17．（2023春·陕西安康·高二校考期中）已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ的最小值.18．（2023秋·高二单元测试）已知P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为．19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是抛物线C 上一动点，Q 是曲线2282160x y x y +--+=上一动点，则PF PQ +的最小值为．20．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m ，若行车道总宽度为7.2m ，则车辆通过隧道时的限制高度为m.21．（2023春·安徽·高二统考期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，满足AB 4=的直线l 有且仅有一条，则p =．22．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，过点()0,2P -作C 的一条切线，切点为Q ，则FPQ △的面积为23．（2023·高二课时练习）已知点P 是曲线21y x =+上任意一点，()2,0A ，连接P A 并延长至Q ，使得2AQ PA =，求动点Q 的轨迹方程．24．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，F 到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过动点(),0A a 作抛物线C 的切线AB （斜率不为0），切点为B ，求线段AB 的中点D 的轨迹方程.25．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为()2,0F .(1)求p ；(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，若16AB =求直线方程.1．（2023·福建三明）设抛物线焦点为F ，准线与对称轴交于点E ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，对称轴上一点C 满足3CA BE = ，若ACF △F 到抛物线准线的距离为（）A BC D 2．（2023春·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于,A B 两点，若3AF BF =，则k =（）A ．3B ．3±C D ．3．（2023·江西赣州）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，直线l 与该抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），以AB 为直径的圆E 与抛物线C 的准线相切于点D .若AD =，则点E 到y 轴的距离为（）A ．163B ．133C ．83D ．534．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆()()22124x y ++-=的一条通径与抛物线()220y px p =>的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p =（）A ．12B ．1C ．2D ．45．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A ，B ，M ，N 为抛物线24y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 互相垂直且相交于焦点F ，O 为坐标原点，若AOF 的面积为2，则四边形AMBN 的面积为（）A ．1009B ．509C ．6259D ．625186．（2023·河南·统考三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为:1l x =-，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，点P 在l 上的射影为P '，则下列结论错误的是（）A ．若125x x +=，则7PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则PM PP '+≥D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条7．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）已知直线()20y kx k =+>与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线交于点P ，若ABP 的面积为，则k =（）A ．1B CD ．28．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A ．200p =B ．Γ的准线方程为100y =C ．Γ的焦点坐标为()0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为39．（2022秋·江西南昌·高二校考期中）（多选）已知(1,)P t 是抛物线:C 24y x =内一动点，直线l 过点P 且与抛物线C 相交于,A B 两点，则下列说法正确的是（）A ．0=t 时，||AB 的最小值为4B ．t 的取值范围是(2,2)-C ．当点P 是弦AB 的中点时，直线AB 的斜率为2tD ．当点P 是弦AB 的中点时，x 轴上存在一定点Q ，都有||||QA QB =10．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A ，B 是抛物线C ：22y x =上两动点，F 为抛物线C 的焦点，则（）A ．直线AB 过焦点F 时，AB 最小值为4B ．直线AB 过焦点F 且倾斜角为60 时，83AB =C ．若AB 中点M 的横坐标为2，则AB 最大值为5D ．112AF BF+=11．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）已知动点M 1x =+，直线1l ：1y x =+，过点()1,0F 且方向向量为(的直线2l 与动点M 的轨迹交于A ，B 两点，则（）A ．动点M 的轨迹是一条抛物线B ．直线1l 与动点M 的轨迹只有一个交点C ．16AB =D ．16AF BF =【答案】CD12．（2023春·云南大理·高二统考期末）（多选）过抛物线2:2C y px =上一点()1,2A 作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为,M N ，则（）A ．C 的准线方程是=1x -B ．过C 的焦点的最短弦长为2C ．直线MN 过定点()5,2-D ．若直线MN 过点()1,1-，则AMN 的面积为2413．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）（多选）抛物线C ：26y x =，AB 是C 的焦点弦（）A ．点P 在C 的准线上，则PA PB ⋅的最小值为0B ．以AB 为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC ．若AB 的斜率k =ABO 的面积12S =D ．存在一个半径为94的定圆与以AB 为直径的圆都内切14．（2023春·云南临沧·高二校考期末）（多选）已知抛物线()2:20x py p Γ=>，过其准线上的点(),1T t -作Γ的两条切线，切点分别为A 、B ，下列说法正确的是（）A ．4p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．直线AB 过定点()0,115．（2023春·江苏常州·）（多选）已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（）A ．抛物线的准线方程为=1x -B ．直线AB 一定过抛物线的焦点C ．线段AB 长的最小值为D ．OP AB⊥16．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）已知点()1,0A -，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于P ，Q 两点，则（）A ．||||PA PF B ．APQ △的面积最小值为2C ．当||||PA PF 取到最大值时，直线AP 与C 相切D ．当||||PA PF 取到最大值时，1tan 2QAF =∠17．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）（多选）已知抛物线2:4C y x =，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AD l ⊥，垂足为D ，设()0,1E ，则（）A ．过E 点与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线恰有2条B ．已知曲线C 上的两点,M N 到点F 的距离之和为10，则线段MN 的中点的横坐标是4C ．AE AD +D ．AB 的最小值为4.18．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）（多选）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足为11,A B ，O 为坐标原点，(1,0)Q -，则（）A ．11A FB F⊥B ．若3AF =，则 AOF ∆的面积为C ．若M 为抛物线C 上的动点，则MFMQ 的取值范围为,12⎤⎥⎣⎦D ．若60AQB ∠= ，则直线AB 的倾斜角α的正弦值为319．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）（多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A 、B 两点，且AB 4=，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M 、N 两点，则下列说法中正确的是（）A ．2p =B ．111MF NF+=C ．存在某条直线l ，使得25MF NF +=D ．若点()2,2G ，则GFM △周长的最小值为320．（2023春·广东韶关·高二统考期末）（多选）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，以线段AB 为直径的圆P 交y 轴于M ，N 两点，过P 且与y 轴垂直的直线交抛物线于点H ，则（）A ．圆P 与抛物线的准线相切B ．存在一条直线l 使||||3AF BF ⋅=C ．对任意一条直线l 有||||HP HF =D ．MPN ∠有最大值，且最大值为23π21．（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）（多选）已知抛物线C ：22=y px 的焦点F 到准线l 的距离为2，则（）A ．抛物线为24y x =B ．若()2,3A ，B 为C 上的动点，则BA BF +的最小值为4C ．直线1y kx =+与抛物线C 相交所得弦长最短为4D ．若抛物线准线与y 轴交于点N ，点M 是抛物线上不同于其顶点的任意一点，t MN MF =，t ∈R ，则t 的最小值为222．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）（多选）已知过点()2,0的直线l 交抛物线2:4C y x =于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，P 点是线段AB 的中点，则下列说法正确的有（）A ．12y y 为定值－8B ．OAB S 的最小值为4C ．OA OB k k +的最小值为D ．P 点的轨迹方程为224y x =-23．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期末）（多选）抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线l 与x 轴相交于点K ，过点F 的直线与C 相交于A ，B 两点（A 点在第一象限），1AA l ⊥，1A 为垂足，1BB l ⊥，1B 为垂足，则下列说法正确的是（）A ．若以F 为圆心，FA 为半径的圆与l 相交于1A 和D ，则1A FA 是等边三角形B ．若点P 的坐标是()2,2，则PA AF +的最小值是4C ．1160A FB ∠=︒D ．两条直线AK ，BK 的斜率之和为定值24．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）写出一个与直线=1x -相切，且与圆()2221x y -+=外切的圆的方程.25．（2023春·浙江台州·高二统考期末）已知直线AB 与抛物线()220y px p =>及曲线1y x=-均相切，切点分别为,A B ，若AB =p =26．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A ，B ，M ，N 为抛物线24y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 互相垂直且相交于焦点F ，O 为坐标原点，若AOF 的面积为2，则四边形AMBN 的面积为．27．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知A 、B 是抛物线C ：24y x =上的两点，M 是线段AB 的中点，过点A 和B 分别作C 的切线1l 、2l ，交于点P (1)证明：PM y ⊥轴：(2)若点P 的坐标为()2,2-，求PAB 的面积.注：抛物线22y px =在点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+.28．（2023春·河南驻马店·高二统考阶段练习）已知圆O ：2216x y +=与y 轴相交于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过点B 作圆O 的切线1l ，P 是平面内一动点，过点P 作1l 的垂线，垂足为Q ，且()0PQ PA QA +⋅= ，记点P 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点A 且斜率不为0的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点D ，证明：ADMN 为定值.29．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知O 是平面直角坐标系的原点，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且OAB 的重心G 在曲线29620x y -+=上.(1)求抛物线C 的方程；(2)记曲线29620x y -+=与y 轴的交点为D ，且直线AB 与x 轴相交于点E ，弦AB 的中点为M ，求四边形DEMG 面积的最小值.30．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）在平面直角坐标系中，一个动点P 到定点()1,0F 的距离比它到0x =的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 过定点()2,1P -，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与轨迹C ：没有公共点；只有一个公共点；有两个公共点；有三个公共点.。
(聚焦典型)高三数学一轮复习《抛物线》理 新人教B版
[第51讲 抛物线](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2，0) B ．(－2，0) C ．(4，0) D ．(－4，0)2．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4)3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2，4)，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x4．[2013·西安质检] 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8能力提升5．[2013·石家庄质检] 已知抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．20B ．25C ．30D ．506．[2013·黄冈模拟] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．[2013·厦门质检] 抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2，22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32C ．2 D.528．[2013·四川卷] 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－210．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．图K51－111．[2013·陕西卷] 图K51－1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝12，则p 的值为________．13．[2013·重庆卷] 过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________． 14．(10分)[2013·广州调研] 设双曲线C 1的渐近线为y ＝±3x ，焦点在x 轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C 3：x 2＝2py (p >0是常数)的焦点F 在曲线C 2上．(1)求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程；(2)过点F 的直线l 交曲线C 3于点A ，B (A 在y 轴左侧)，若AF →＝13F ·B →，求直线l 的倾斜角．15．(13分)[2013·泉州质检] 已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离．(1)试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N (4，2)的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？难点突破16．(12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(五十一)【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，故选B.2．B [解析] 根据抛物线定义，圆心到焦点的距离等于其到准线的距离．3．A [解析] 设所求抛物线方程为y 2＝ax ，依题意42＝2a ⇒a ＝8，故所求为y 2＝8x .4．C [解析] 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，对称轴为x 轴，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且垂直于对称轴的直线为x ＝p 2，交抛物线于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p 两点，线段AB 的长为8，故2p ＝8⇒p ＝4.【能力提升】5．B [解析] 抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A ，B两点，则|AB |＝2p ，|AB |＝10，所以抛物线方程为y 2＝10x ，P 为抛物线的准线上一点，P到直线AB 的距离为p ＝5，则△ABP 的面积为12×10×5＝25.6．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5，所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．7．D [解析] 由点P (2，22)在此抛物线y 2＝mx 上，得m ＝4， ∴抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1，0)．又M 为线段PF 的中点，∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， ∴M 到抛物线的准线x ＝－1的距离为52.8．B [解析] 设方程为y 2＝2px ，准线为x ＝－p 2，而M 点到准线距离为3，可知－p2＝－1，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，当x ＝2时，可得y 0＝±22，∴|OM |＝22＋（22）2＝2 3.9．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.10.324 [解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点F ，A 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝324. 11．2 6 [解析] 本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1 m 时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝6，所以此时水面宽为2 6 m.12．1 [解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由AF →＝FB →得，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－t 22p ，－t ＝(－p ，y B )，由此得t 2＝3p 2，y B ＝－t .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，t ，则BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ＋p 2，2t ，BC →＝(0，2t )，所以BA →·BC→＝12得4t 2＝12，故p ＝1.13.56 [解析] 由抛物线方程可知p ＝1，焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，所以x 1＋x 2＝1312.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋14＝2x ，即k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2＝1312，所以k 2＝24，将k 2＝24代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，因为|AF |＜|BF |，所以解方程得x 1＝13，所以|AF |＝x 1＋p 2＝56.14．解：(1)双曲线C 1满足：⎩⎪⎨⎪⎧b 1a 1＝3，2a 1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，b 1＝32.则c 1＝a 21＋b 21＝1，于是曲线C 1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，曲线C 2是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)，由题意⎩⎨⎧2a 2＝22，a 22－b 22＝1，得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1，即C 2：x 22＋y 2＝1.依题意，曲线C 3：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，于是p 2＝1，所以p ＝2，曲线C 3：x 2＝4y .(2)由条件可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1.得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由AF →＝13FB →得－3x 1＝x 2，代入x 1＋x 2＝4k ，得x 1＝－2k ，x 2＝6k ，代入x 1x 2＝－4得k 2＝13，由于点A 在y 轴左侧，所以x 1＝－2k <0，即k >0，所以k ＝33，直线l 的倾斜角为π6. 15．解：(1)因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)方法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.①当直线m 的斜率不存在时，不合题意．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y －2＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(8k 2－4k ＋4)x ＋(2－4k )2＝0，(*) ∴x 1＋x 2＝8k 2－4k ＋4k2＝8，解得k ＝1. 此时，方程(*)为x 2－8x ＋4＝0，其判别式大于零， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.易判断直线m 不可能垂直y 轴，∴设直线m 的方程为x －4＝a (y －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝a （y －2），y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ay ＋8a －16＝0，∵Δ＝16(a －1)2＋48>0， ∴直线与轨迹C 必相交． 又y 1＋y 2＝4a ＝4，∴a ＝1. ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在轨迹C 上，∴有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，（1）y 22＝4x 2，（2）将(1)－(2)，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)．当x 1＝x 2时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，即直线AB 的斜率k ＝1， 注意到点N 在曲线C 的张口内(或：经检验，直线m 与轨迹C 相交)， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0. 【难点突破】16．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：（x －1）2＋y 2－x ＝1(x >0)．化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m ，0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0⇔（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。
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A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12 D ．7 3答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p 2＝2x 0，S △OAF ＝12·p 2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC→＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研)已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( )A ．2－55B ．25－1C ．1－2121 D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ→在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55.故选A.10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取 AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中 调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35， ∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎨⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin ∠A ′AB ＝p 2×45＝25p . ∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58，∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t .从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)， 直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝ x ＋12( ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4 2x 2＋(4 －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS→＝0，求|AB→|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程； (3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝ (x －1)，代入y 2＝4x 得： 2x 2－2( 2＋2)x ＋ 2＝0.由韦达定理⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝ (x A －1)＝2k .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的 换成－1k ，得B (1＋2 2，－2 )，∴|AB→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2 ＝4k 4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当 ＝±1 时取“＝”)， 所以，|AB →|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF→＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →， 即探求直线AB 是否过定点．由(2)知，直线AB 的方程为y ＋2 ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1(x －2 2－1)，整理得(1－ 2)y ＝ (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)，使得AF→＝λTB →－FT →.。