汉明码最佳码距轮廓的研究
汉明码编码实验报告详细解释
汉明码的实现详细实验报告一、实验目的1、掌握线性分组码的编码原理2、掌握汉明码编码方法3、了解编码对误码性能的改善二、实验内容1、自行设置汉明码的参数，生成矩阵，计算所设计出的汉明码；写出产生（3，1）汉明码的生成矩阵，给出生成码的源程序，并给出运行结果。
2、利用encode库函数实现汉明编码；3、搭建一个通信仿真模块，并给出运行结果，分析汉明码对通信性能的影响；4、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。
三、实验原理（一）、汉明码的介绍汉明码是1951年由汉明（R.W.Hamming）提出的能纠正单个错误的线性分组码。
它性能良好，既具有较高的可靠性，又具有较高的传输效率，而且编译码电路较为简单，易于工程实现，因此汉明码在发现后不久，就得到了广泛的应用。
我们的目的是要寻找一个能纠正单个错误，且信息传输率（即码率r=k/n ）最大的线性分组码。
我们已经知道，具有纠正单个错误能力的线性分组码的最小距离应为 3,即要求其H 矩阵中至少任意两列 线性无关。
要做到这一点，只要H 矩阵满足“两无”一一无相同的列, 无全零列就可以了。
（n,k ）线性分组码的H 矩阵是一个⑴-"n 訂n 阶矩阵，这里 r =n —k 是校验元的数目。
显然，r 个校验元能组成2r 列互不相同的r 重 矢量，其中非全零矢量有2r -1个。
如果用这2r -1个非全零矢量作为H 矩阵的全部列，即令H 矩阵的列数n =2「一1，则此H 矩阵的各列均不 相同，且无全零列，由此可构造一个纠正单个错误的（n ，k ）线性分 组码同时，2r -1是n 所能取的最大值，因为如果n 2r -1，那么H 矩 阵的n 列中必会出现相同的两列，这样就不能满足对 H 矩阵的要求。
而由于n =2 -1是门所能取的最大值，也就意味着码率 R 取得了最大 值，即这样设计出来的码是符合我们的要求的，这样的码就是汉明码 定义 若H 矩阵的列是由非全零且互不相同的所有二进制r 重矢量组成，则由此得到的线性分组码，称为 GF （2）上的（2r -1, 2r -1-r ）汉 明码。
汉明码原理和校验
汉明码编码原理和校验方法当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。
用于数据传送，能检测所有一位和双位差错并纠正所有一位差错的二进制代码。
汉明码的编码原理是：在n位有效信息位中增加k为检验码，形成一个n+k位的编码，然后把编码中的每一位分配到k个奇偶校验组中。
每一组只包含以为校验码，组内按照奇偶校验码的规则求出该组的校验位。
在汉明校验码中，有效信息位的位数n与校验位数K满足下列关系： 2^K-1>=n+k.1. 校验码的编码方法（1）确定有效信息位与校验码在编码中的位置设最终形成的n+k位汉明校验码为Hn+k….H2H1,各位的位号按照从右到左的顺序依次为1,2，…，n+k，则每一个检验码Pi所在的位号是2^（i-1），i=1,2,…,k。
有效信息位按照原排列顺序依次安排在其他位置上。
假如有七位有效信息位X7X6X5X4X3X2X1=1001101，n=7，可以得出k=4，这样得到的汉明码就是11位，四个校验码P4P3P2P1对应的位号分别是8，4,2,1（即2^3，2^2，2^1，2^0）.11位汉明码的编码顺序为：位号 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 编码 X7 X6 X5 P4 X4 X3 X2 P3 X1 P2 P1 (2)将n+k位汉明码中的每一位分到k个奇偶组中。
对于编码中的任何一位Hm依次从右向左的顺序查看其Mk-1…M1M0的每一位Mj（j=0,1,…,k-1），如果该位为“1”，则将Hm分到第j组.（如：位号是11可表示成二进制1011，第零位一位三位都是1，所以此编码应排在第0组第1组第3组）把11~1写成4位二进制的形式，分组结果如下：位号 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 二进制1011 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 编码 X7 X6 X5 P4 X4 X3 X2 P3 X1 P2 P1 第0组X7 X5 X4 X2 X1 P1 第1组X7 X6 X4 X3 X1 P2第2组 X4 X3 X2 P3第3组X7 X6 X5 P4（3）根据分组结果，每一组按照奇或偶校验求出校验位，形成汉明校验码。
二元(7,4)汉明码的编译码分析与实验研究
设计(论文)题目：二元（7,4）汉明码的编译码分析与实验研究摘要汉明码（Hamming Code）在电信领域内属于线性分组码，或者可以称为线性调试码。
它是以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名的。
汉明码在传输信息序列时插入校验码，当计算机存储或传输数据时，或者在信道传输的过程中，可能会产生误码，即信息错位，以检测并纠正一个比特错误。
由于汉明编码简单，它们被广泛应用于实际传输中。
本文主要涉及二元（7,4）汉明码的编码、译码及实现，以及信息论与编码的相关知识。
对于二元（7,4）汉明码C，其校验矩阵为H，汉明距离d（C）=3的充要条件是校验矩阵H的任意2个列矢量线性无关，且任意3个列向量是线性相关。
监督矩阵H生成的码是（7,4,3）码。
所以接下来问题是构建监督矩阵H和生成矩阵G，找出编码器和译码器输入和输出对应的逻辑关系，画出汉明码的编码电路图和译码电路图，通过VHDL语言实现汉明码的编码过程和译码过程，观察仿真波形，来观察实验结果。
关键字：二元（7,4）汉明码；生成矩阵；监督矩阵；编码；译码；AbstractHamming code field belongs to the linear block codes in the telecommunications, or you could be called linear debugging code. It is the inventor, Richard Wesley Hamming named after. Hamming code inserted into the check code in information transmission sequence, when the computer refers for data storage,or in the process of channel transmission. it may produce error, namely the informational burst-error, and Hamming Code could detect and correct errors one bit. Due to its simple hamming coding, they are widely used in the actual transmission.This paper mainly relates to binary (7, 4) hamming code about coding, decoding and realization, as well as the related knowledge of Information Theory and Coding. For binary (7, 4) hamming code called C, its supervision matrix of the H, hamming distance d (C) = 3 of any two of the sufficient and necessary condition is checking matrix H column vector linearly independent, and arbitrary three column vector is linearly dependent. Supervision of matrix H generated code is (7, 3) code. So the next problem is to build the generator matrix G and supervision matrix H, generate the encoder and decoder ,inputs and outputs corresponding logical relationship, as well as,draw the circuit diagram of hamming code encoding and decoding circuit diagram, using VHDL language realization of hamming code encoding and decoding process, observing the simulation waveform and the result of the experiment.Keywords：binary (7, 4) hamming code ;generator matrix;supervision matrix;encoding ;decoding ;引言汉明码是最早提出来的用于纠错的编码，它是一类可以纠正一位错误的高效的线性分组码。
汉明码实验报告
Information Theory and Coding*名：**学号：**********班级：信息0704指导老师：**一、实验题目：Hamming Error Correction Code二、实验背景：当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。
与其他的错误校验码类似，汉明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。
利用一个以上的校验位，汉明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。
在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。
通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错。
但这种方法比简单重传协议的成本要高。
汉明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。
In telecommunication, a Hamming code is a linear error-correcting code named after its inventor, Richard Hamming. Hamming codes can detect up to two simultaneous bit errors, and correct single-bit errors; thus, reliable communication is possible when the Hamming distance between the transmitted and received bit patterns is less than or equal to one. By contrast, the simple parity code cannot correct errors, and can only detect an odd number of errors.In mathematical terms, Hamming codes are a class of binary linear codes. For each integer m > 2 there is a code with parameters: [2m − 1,2m − m − 1,3]. The parity-check matrix of a Hamming code is constructed by listing all columns of length m that are pairwise independent.Because of the simplicity of Hamming codes, they are widely used in computer memory (RAM). In particular, a single-error-correcting and double-error-detecting variant commonly referred to as SECDED汉明码输入输出演示纠错码的生成Hamming(7,4) cod eHamming(11,7) cod e纠错能力：设数据位数为m，校验位数为k，则总编码位数为n，n＝m+k，有Hamming不等式：对于这个不等式可以理解为：由于n位码长中有一位出错，可能产生n个不正确的代码（错误位也可能发生在校验位），所以加上k位校验后，就需要定位昭m+k（＝n）个状态。
基于simulink的(7,4)汉明吗的编码与译码讲解
引言在实际信道中传输数字信号时，由于信道特性不理想及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免的的会产生错码，影响通信质量。
为了使数字通信系统达到一定的误比特率指标，首先应合理设计基带信号，选择合适的调制方式、解调方式，采用均衡，提高发信功率等，但如果误比特率指标仍不能满足要求，则必须采用信道编码。
信道编码也称差错控制编码或纠错编码，它是提高数字通信系统可靠的重要方法。
1948年，香农在他的开创性论文《通信的数学理论》中首次阐明了在有扰信道中实现可靠通信的方法，提出了著名的有扰信道编码定理，奠定了纠错编码的基石。
如今的纠错编码已有几十年的历史，从早期的线性分组码，BCH码，到后来的RS码、卷积码，级联码、Turbo码；从原来的代数译码，到后来的门限译码、软判决译码，到Viterbi译码等；从注重数学模型、理论研究，到注重纠错编码的使用化问题，并且通过计算机仿真、搜索好码。
无论是从编码方法、译码方法还有研究方法上，纠错编码研究都取得了长足的发展，并广泛应用于各种通信系统。
如今，纠错编码技术已开始渗透带很多领域，如移动通信中大量利用纠错编码，计算机通信系统中也大量应用纠错编码。
汉明码是1950年由Hamming首先构造的，他是一个能够纠正单个错误的线性分组码，即SEC（Sing Error Correcting）码，它不仅性能好，而且编译电路非常简单，易于实现。
从20世纪50年代问世以来，在提高系统可靠性方面获得了广泛的应用。
最先用于磁芯存储器，60年代初用于大型计算机，70年代在MOS存储器得到应用，后来在中小型计算机中普遍采用，目前常用在RFID系统中多位错误的纠正。
汉明码是在原编码的基础上附加一部分代码，使其满足纠错码的条件，原编码我们可将它称为信息码，附加码称为校验码(又可称为监督码或冗余码)。
汉明码的最小码间距为3，所以只能够检测到2个错误或纠正1个错误，编码效率最高。
它属于线性分组码，由于线性码的编码和译码容易实现，至今仍是应用最广泛的一类码。
电力设备视频监控画面分析中的视觉噪声的影响研究
生视觉噪声 ； 也 就是我们熟知 的雪花 ， 而这些不 经 过预处理的噪声对 图像特征提取会产生较大干扰 ， 甚至失真。因此 电力设备监视 画面的 图像特征 分
２ ０ １ ３ 年４ 月２ ２日收到 西安外 事学 院 自 然科学专项 （ ２ ０ １ ３ Ｘ Ｋ ２ ０ ７ ） 资助 作者简介 ： 盂 晓丽 （ １ ９ ７ ８ 一） ， 女， 汉族 ， 硕 士研 究生 ， 讲 师。研 究方 向： 计算机应用 ， 人工智 能。Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ： ｍ ｅ ｎ ｇ ｘ ｌ １ ４ ０ ６ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｎ ｒ 。
１ 电力视频监控视觉噪声的影响分析
视觉 噪声 的产 生 具 有 偶 发性 等特 点 ， 具 有 不 可 预 测 的特点 ； 因此 只 能 通 过统 计 学 原 理 来 分 析 其 规 律 。电力 系 统 视 频 噪声 产 生 的原 因 可 能 有 监 控 现 场 不够 明亮 、 亮度不够均匀 ， 或 者 电 路 元 件 之 间 的
王
灿， 高 杨 ．汉明码最佳码距轮廓 的研究 ．山东农 业大 学
Ａ Ｎｅ ｗ Ｗ ａ ｔ ｅ ｒ ｍａ ｒ ｋ ｉ ｎｇ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ Ｉ ｍａ ｇ ｅ ｓ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｃｏ ｘ Ｆｒ ａ ｍｅ ｗｏ ｒ ｋ ａ ｎ ｄ Ｔｒ ｅ ｌ ｌ ｉ ｓ Ｃｏ ｄ ｅ
ＹＵＡＮ Ｚｈ ｉ ． ｍｉ ｎ ｌ －， ＣＨＥＮ Ｌｉ ． ｙ ｕ ｎ
果 比较研 究， 得 出小波软 阈值算法能 比较好地处理 电力设 备视 频监控 画面 的高斯噪声 和混合 噪声这 一实用 的工程 结论。针 对小波去噪算法对于细线缆等轮廓线较细的设备 ， 以及 阴影较深 的设备 的噪 声背景处 理效果 较差 ， 轮廓 线断裂 显著等 问题 ， 提 出可利用 巳知轮廓线对小波算法的软阈值 进行启发式修 正 ， 修补 轮廓 线断裂缺 陷的解决方案。 关键词 电力设备视频监控 视觉噪声 小波去噪算法 文献标志码 Ａ 中图法 分类 号 Ｔ Ｎ ９ １ １ ． ７ ３ Ｔ Ｎ ３ ９ １ ． ４ １ ；
汉明码
d0≥e+1
0 1 e 2 3 0
d0≥2t+1
1 2 t t 3 4 5
A
B
A
B
d0=3 （a）
t 12 e 3 t 4
d0=5 （b） B d0=4 （c）
A
d0≥e+t+1 (e>t)
码距与纠错能力的关系
汉明码中校验位与信息位的排列次序
1
信息 码 校验 码 汉明 码
2
3
d1
4
C3
5
6
7
8
C4
汉明码的奇偶校验分组
1
1组 2组 3组 4组
2
3 d1
4
5 d2
6
7 d4
8
9 d5
10 11 12 13 d7 d6 d7 d8 d9 d9
14 15
d10
C1 C2 d1 C3 d2 C1 C2 d1 C3 d2
d3 d4 C4 d5 d6 d7 d8 d9 d3 d4 d3 d4
d11 d11
9
10 11 12 13 14 15 16 17
d10 d11 d12
d2 d3 d4
d5 d6 d7 d8 d9
C1 C2
C5
d13 d4 C4 d5 d6 d7 d8 d9
C5
d12
汉明码本质上是一种奇偶校验码，是一种包含多重奇偶校 验的更一般类型的奇偶校验码。基本的汉明码能纠一位错， 所以又称SEC码（Single Error Correcting Codes）.
传送0101，求其汉明码（偶校验）。如果 传送后，接收端得到0100111，述其纠 错过程。
五、汉明码
hammin(汉明)码编码规则
hammin(汉明)码编码规则计算机汉明码编码规则若编成的海明码为Hm，Hm-1…H2H1，则海明码的编码规律为：(1)校验位分布：在m位的海明码中，各校验位Pi分布在位号为2^(i-1)的位置，即校验位的位置分别为1，2，4，8，…，其余为数据位；数据位按原来的顺序关系排列。
如有效信息码为…D5D4D3D2D1，则编成的海明码为…D5P4D4D3D2P3D1P2P1。
(2)校验关系：校验关系指海明码的每一位Hi要有多个校验位校验，其关系是被校验位的位号为校验位的位号之和。
如D1(位号为3)要由P2(位号为2) 与P1(位号为1)两个校验位校验，D2(位号为5)要由P3(位号为4)与P1两个校验位校验，D3(位号为6)要由P2与P3两个校验位校验，D4(位号为7)要由P1，P2，P3三个校验位校验，……。
这样安排的目的是希望校验的结果能正确反映出出错位的位号。
(3)在增大合法码的码距时，使所有码的码距尽量均匀增大，以保证对所有码的校验能力平衡提高。
汉明距离在一个码组集合中，任意两个码字之间对应位上码元取值不同的位的数目定义为这两个码字之间的汉明距离。
即d(x,y)=∑x[i]⊕y[i]，这里i=0,1,..n-1，x,y都是n位的编码，⊕表示异或例如，(00)与(01)的距离是1，(110)和(101)的距离是2。
在一个码组集合中，任意两个编码之间汉明距离的最小值称为这个码组的最小汉明距离。
最小汉明距离越大，码组越具有抗干扰能力。
下面我们用d表示码组的最小汉明距离。
1。
当码组用于检测错误时，设可检测e个位的错误，则d >=e + 1设有两个距离为d的码字A和B，如果A出现了e个错误，则A变成了以A为圆心，e位半径的球体表面的码字。
为了能够准确地分辨出这些码字既不是A也不是B，那么A 误码后变成的球面上的点与B至少应该有一位距离（如果B在球面上或在球面内部则无法分辨出到底B是不是A的错误码），即A与B之间的最小距离d >= e+1。
通信原理（陈启兴版）第9章课后习题答案
a.监督子仅与错误图样有关，而与发送的具体码字无关； b.若S =0，则判断没有错码出现，它表明接收的码字是一个许用码字，当然如果错码超过了纠错能力，也无法检测出错码。若S≠0,判断有错码出现; c.在纠错能力范围内，不同的错误图样具有不同的监督子，监督子是H 阵中“与错误码元相对应”的各列之和。对于纠一位错码的监督矩阵，监督子就是H 阵中与错误码元位置对应的各列。 (3) 汉明码 汉明码是能够纠正单个错误而且编码效率高的线性分组码。关于线性分组码的分析方法全部适用于汉明码。 一般说来，如果希望用r 个监督码元构造的(n ,k )线性分组码能够纠正一位错码，则要求 21r n -≥ (9-7) 汉明码满足条件 21r n -= (9-8) 汉明码的监督矩阵H 的列是由所有非零的互不相同的(n-k )重二元序列组成。如果码字中哪一位发生错误，其伴随式就是H 中该列的列矢量。 5. 循环码 在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码(cyclic code)。它是在严密的代数学理论基础上建立起来的。这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且检纠错的能力较强。循环码除了具有线性码的一般性 质外，还具有循环性。循环性是指任一码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。 (1) 码多项式 在代数编码理论中，为了便于计算，通常用多项式去描述循环码，它把码组 中各码元当作是一个多项式(poly-nomial)的系数，即把一个长度为n 的码组表示成 121210()n n n n T x a x a x a x a ----=++++ (9-9) 在循环码中，若T (x )是一个长为n 的许用码组，则x i ﹒T (x )在按模x n +1运算下，也是该编码中的一个许用码组，即若 ） （模)1()()(+'≡?n i x x T x T x (9-10) 则T '(x )也是该编码中的一个许用码组。 (2) 生成多项式 在一个(n , k )循环码中，有一个且仅有一个次数为(n-k )的多项式： 111()11n k n k n k g x x a x a x -----=?+++ (9-11) 称此g (x )为该循环码的生成多项式。g (x )表示该循环码的前(k -1)位皆为“0”的码组。g (x )有如下性质： a. g (x )是一个常数项为1，最高次数为(n -k )次，且是x n +1的一个因式。 b. 所有码多项式T (x )都可被g (x )整除，而且任意一个次数不大于(k -1)的多项式乘g (x )都是码多项式。 (3) 生成矩阵G 在循环码中，一个(n , k )码有2k 个不同的码组。若用g (x )表示其中前(k -1)位皆为“0”的码组，则g (x )，xg (x )，x 2g (x )，?，x k-1g (x )都是码组，而且这k 个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此 循环码的生成矩阵G 。一旦确定了g (x )，则整个(n , k )循环码就被确定了。 因此，循环码的生成矩阵G 可以写成 12()()()()()k k x g x x g x x xg x g x --?????? ? ?=???????? G (9-12) 由于上面的生成矩阵不是标准阵，这样编码得到的码字一般不是系统码。 (4) 系统循环码的编码思路 a. 用信息码元的多项式m (x )表示信息码元。 b. 用x n - k 乘m (x ),得到 x n - k m (x )。 c. 用g (x )除x n - k m (x )，得到商Q (x )和余式r (x )，即 ()()()()() n k x m x r x Q x g x g x -=+ (9-13) d. 编出的码组()T x 为 ()()()n k T x x m x r x -=+ (9-14) (5) 循环码的译码 接收端可以将接收码组R (x )用原生成多项式g (x )去除。当传输中未发生错误 时，接收码组与发送码组相同，即R (x ) = T (x )，故接收码组R (x )必定能被g (x )整除；若码组在传输中发生错误，则R (x ) ≠ T (x )，R (x )被g (x )除时可能除不尽而有余项，从而发现错误。 纠正错码相对复杂。因此，原则上纠错可按下述步骤进行： a. 用生成多项式g (x )除接收码组R (x )，得出余式r (x )。 b. 按余式r (x )，用查表的方法或通过某种计算得到错误图样E (x )；例如，通过计算校正子S 和表中的关系，就可以确定错码的位置。 c. 从R(x )中减去E (x )，便得到已经纠正错码的原发送码组T (x )。 6. 卷积码 卷积码是指把信源输出的信息序列，以k 个信息码元划分为一组，通过编码器输出长为n (≥k )的码段。与线性分组码不同的是：卷积码的子码中(n -k )个监督码不仅与本组的信息码元有关，而且也与其前 m 组的信息码元有关。一般用(n ,k ,m )表示，其中m 为编码存储器，它表示输入信息在编码器中需存储的单位时间。编码效率R =k /n 。 类似于线性分组码，卷积码的输入序列A =[…a k-2 a k-1 a k a k+1…]，输出序列0:10:20:31:11:21:32:12:22:3[,,,,,,,,,]C c c c c c c c c c =，监督矩阵H ∞和生成矩阵G ∞具有下列关系 ,0,0T T T C MG H C G H ∞∞∞∞==?= (9-15) 卷积码可以采用解析表示法，即采用码的生成矩阵、监督矩阵和码的多项式 来计算分析。此外，由于卷积码的特点，还可以采用图形表示法来研究，即从树状图、网格图和状态图的观点进行研究。 卷积码的译码方法主要有三种：序列译码、大数逻辑解码(门限译码)和概率解码(最大似然译码)。 9.1.2 难点 本章的难点主要有汉明码的特点及检验接收码组B 是否出错的方法。
通信原理设计报告(7,4)汉明码的编解码设计
设一发送码组A=[ ]，在传输的过程中可能发生误码。接受码组B=[ ]，收发码组之差定义为错误图样E。
E=B-A(式3.3.1)
其中，E=[ ],令S= ,称为校正子（伴随式）。
(式3.3.2)
可见：校正子S与错误图样E之间由确定的线性变换关系。
（7，4）汉明码的校正子和错误图样之间的对应关系如表2所示。
第1章设计要求
1、采用VHDL语言输入法进行设计；
2、根据（7，4）汉明码的编解码原理，确定编解码器具体设计方案；
3、画出（7，4）汉明码的编解码的程序设计流程图；
4、编写VHDL源程序、调试及仿真时序波形。
第2章QuartusⅡ软件介绍
●QuartusⅡ软件
QuartusⅡ是Altera公司推出的CPLD/FPGA的开发工具，QuartusⅡ提供了完全集成且于电路结构无关的开发环境，具有数字逻辑设计的全部特性。
表2(7,4)汉明码S与E对应关系
错误码位
错误图样E
校正子S
错误位置C
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1
0
0 0 0 0 0 1 0
0 1 0
1
0 0 0 0 1 0 0
1 0 0
2
0 0 0 1 0 0 0
0 1 1
3
0 0 1 0 0 0 0
1 0 1
4
0 1 0 0 0 0 0
1 1 0
5
1 0 0 0 0 0 0
现在以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为A=[ ， ]，前4位是信息元，后3位是监督元，可用下列线性方程组来描述该分组码产生监督元：
（式3.1）
显然，这3个方程是线性无关的。代入上述公式可得(7,4)码的全部码组，如表1所示。
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个最小码 距 。这些 子矩 阵的最小码 距组成 的 向量被 定义 为该线性 码 的码 距轮廓 。
为 了解 释定义方 便 ，首 先给 出如 下引理 。
引理 １ 一个码 字 的汉 明重量 （ 重 ）被 定义成非 零元 素的个数 。 码
引理 ２ 线性码 的最小码距 等于 它的所有 非零码 字 中最小 汉 明重 量 。 ｄ ｉ：ｍ ｎ ｛ ｅ ｈ ／＋ ） ，ｔ ∈Ｃ，ｌ ｏ ｉ ｗ ｉ ｔ（ ｔ ： ｏ ｇ ２ ｏ ， ｝ ＃ｔ ＝ｍｎ ｛ ｅ ｈ ） ∈Ｃ ≠０｝ ｉ ｗ ｉ ｔ（ ： ｇ ，
Ｗ ＡＮＧ ｎ ＧＡＯ ｎ Ｃａ ， Ｙａ ｇ
（． Ｓ ａｄｎ ｓｔｔ Ｏ ｏ ｅｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｓ ａｄｎ Ｊ ａ ２０ ０ ，Ｃ ｉ ； １ ｈｎ ｏｇＩ ｔｕｅ ｆ ｍｍ ｒｅＡ ｄＴ ｃｎ ｌ ， ｈｎ ｏｇ ｉ ｎ ５ １３ ｈｎ ｎｉ Ｃ ｇ ｎ ａ ２ Ｓ ａｄｎ ｏｔ Ｕ ｉ ｒ ｔ，Ｓ ａｄｎ ｉａ ２ ０ ３ ｈｎ ） ． ｈｎ ｏｇＹ ｕｈ ｎｖ ｓｙ ｈｎ ｏｇＪ ｎ ５ １ ，Ｃ ｉａ ｅｉ ｎ ０
１ 最佳码距轮廓的概念
１ ．１ 码距轮廓 的定义
线性Ｇ啪） （ 线性组 合得 到 ，任意 ｋ 线性无关 的码字 也都 个
可以组成 一个生成矩 阵 。而对 于一 个生成矩 阵来说 ，每减少 一行将 生成 一个子矩 阵 ，而每个子矩 阵都有
关键词 ：汉明码 ；最佳 码距轮廓 ；生成矩 阵；电线通信
中图 分 类号 ：Ｔ ９４ Ｎ １ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ ２ ２ （０ ０ ｏ ０ ８ Ｏ ００— ３ ４ ２ １ ） ３— ３ ４一 ２
ＲＥＳ ＥＡＲＣＨ ｏＦ ＴＨＥ ＢＥＳ ＤＩ ＴＡＮＣＥ Ｔ Ｓ ＰＲｏＩＩ ’ ＬＥ ｏＮ ＨＡＭ Ｍ Ｉ ＮＧ ＣＯＤＥ
＝
Ｗｍ
（ 一最小码距 ；Ｗ 。一 小码重 ） ｄｉ ｍ 最
假设 Ｃ 的最小码距 为 ｄ ，生成 矩 阵为 Ｇ ） （ （ ，所有 非零 码字 最小 汉 明重 量为 Ｗ
收 稿 日期 ：２０ ０９—１ — ４ １ ２
生 成矩 阵 去
作者简介 ：王
ｃｒ ｃ ｎ ａ ａｉｔ．Ｔ ｅ ｅｔ ｎｍ ｓ ｏ ａａ ｉｔ ｅ ｈｎ ｅｉ Ｐ Ｃ（ ｏ ｅ ｎｓＣ ｍｍ ｎｃｔ ｎ ．Ｔ ｅｐ— ｏ ｅｔ ｇｃｐ ｂｌｙ ｈｎｔ ａ ｓ ｉ ｉｎｃｐ ｂ ｉ ｎ ａｃ Ｌ Ｐ ｗ ｒ ｉｅ ｏ ｕ ｉ ｉ ） ｈ ａ ｉ ｉ ｈ ｒ ｓ ｌｙ ｎ ｌ ａｏ
山东 农 业 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） ０ ０ １ （ ） ８ ３ ５ ，２ １ ，４ ３ ：３４— ８
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｏ ｇＡ ｒ ｕｔ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ （ ａ ｒ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒａ ｏ ａ ｄ ｎ ｇｉ ｌ ｒｌ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ） Ｓ ｃ ｕ ｅｉ ｕｌ ｅ
ｐ ｒｏ ｌ ｏ ｆｒ ｌ ｈ ｅ ｔｄ ｓａ ｅ ｐ ｏ ｌ ｆｔ ｅ Ｈａ ｅ ｎ ｙ ｃ ｎ ｉｌ ｓｔ ｅ ｂ ｓ ｉｔｎｃ ｒ ｆ ｅ ｏ ｈ ｍｍ ｉｇ ｃ ｄ ． Ｔ ｉ ｎ ｏ ｅ
Ｋｅ ｏ ｄ ：Ｈ ｍｍ ｎ ｏｅ ｂ ｓ ｄｓ ｎ ｅｐｏ ｌ；ｇｎｒｔ ａ ｘ ｐ ｗ ｒ ｉ ｓｃｍｍ ｎｃｔ ｎ（ Ｌ ） ｙｗ ｒ ｓ ａ ｉｇｃｄ ； ｅｔ ｉ ａｃ ｒ ｅ ｅ ｅａ ｒｍ ｔ ； ｏ ｅ ｎ ｏ ｕ ｉ ｉ Ｐ Ｃ ｔ ｉ ｆ ｏ ｉ ｒ ｌｅ ａｏ
汉 明码 最佳 码 距轮 廓 的研 究
王 灿 高 杨 ，
２ ０ ０ ５ １３ ２００ ） ５ １３
（ ．山东商业职业技术学院 信息技术学院，山东 济南 １ ２ ．山东省青年管理干部学 院，山东 济南
摘要 ：当线性码 生成矩阵减少一行后 ，剩下的子字码矩阵 的最小码距 也会相应增加 ，最 小码距增加代表着码
Ａｂｓｒ ｃ ： Ｗｈｅ ｏ ｏ ｈ ｅ ｅａ ｏ ｔｉ ｓ ｄ ｌｔ ｄ，ｔ ｅ ｍｉ ｍｕｍ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｈ ｕ ｃ ｄ ｅ ｙ ｅ ｉ － ｔａ ｔ ｎ ａ ｒ ｗ ｆｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｔｒｍａｒｘ ｉ ｅｅｅ ｈ ｎｉ ｄ ｓａ ｃ ｆｔ ｅ ｓ ｂ ｏ ｅ ｌｆ ｍａ ｂ ｎ ｔ ｃ ｅ ｓ ．Ｈｅ ｃ ｒａｅ ｎ ｅ，ｔ ｅ ｅＴ ｒ—ｃ ｒｅ ｔｎ ａ ａ ｉｉ ｆｔ ｅ ｃ ｄ ｎ ｒ ａ ｅ ．Ｉ ｕｓｓ ｓｅ ｏ Ｃ，ｔｅ ｓ ｎ ｅ ａ ｏ ｈ Ｉｏ ｏｒ ｃｉｇ ｃ ｐ ｂ ｌ ｙ ｏ ｈ ｏ ｅ ｉｃ ｅ ｓ ｓ ｎ ｂ ｙ ｔ ｍ ｆＰＬ ｔ ｈ ｅ ｄ ｒ ｈ ｓ ｔ ｓｏ ｅ ａｇ ｏ ｅ ｅ ａｏ ｔｉ ｔ ｈ ｅ ｔｄｓａ ｃ ｒｆｌ ．Ｉ ｈ ｏｌ ｗｉ ｇｕｓ ｒ ｈ ｙａ ｓ ａ ｅ ａｂ ｔｅ ｒｏ ｔｒ ｏ ｄ ｇ ｎ ｒ ｔｒｍａｒｘ ｗｉｈ ｔ ｅｂ ｓ ｉｔｎ ｅ ｐ ｏ ｅ ｎ ｔ ｅｆ ｌ ｉ ｏ ｎ ｅ ｓ，ｔ ｅ ｌｏ ｈ ｖ ｅｔ ｒｅ ｒ—
字 的纠 错 能 力也 增 加 。因 此 在 Ｐ Ｃ （ ｏ ｅ ｌ ｅ Ｃ ｍ ｕ ｉ ｔ ｎ 的 总线 系统 （ ｕ ｙｔ Ｌ Ｐｗ ｒｉ ｓ ｏ ｍ ｎ ａ ｏ ） ｎ ｃｉ Ｂ ｓＳｓ ｍ） 中 ，发 送 端 编码 时 ｅ
它 的生成矩阵应具有最佳码距轮廓 ，则总线系统 中的节点 （ 用户 ）会具 有最好 的纠错 能力 ，使 长距离电线传 输数字信号 的能力加强。本文只通过分析汉 明码的最佳码距轮廓 ，提出计算方法并得到结果。