必修对数函数的运算法则全
对数函数加减运算法则公式
对数函数加减运算法则公式好的，以下是为您生成的文章：咱们今天来好好聊聊对数函数的加减运算法则公式，这玩意儿在数学里可重要着呢！先给您讲讲对数函数的基本概念哈。
就说对数函数y = logₐx ，其中a 是底数，x 是真数。
这底数 a 得大于 0 且不等于 1 ，真数 x 也得大于0 。
您可别嫌我啰嗦，把这些基础弄清楚了，后面理解运算法则就容易多啦。
那咱们进入正题，说说对数函数的加减运算法则。
logₐM + logₐN = logₐ(MN) ，这就好比把两个数的对数加起来，就等于这两个数相乘的对数。
举个例子吧，比如说 log₂4 + log₂8 ，咱们先分别算出 log₂4 = 2 ，log₂8 = 3 ，那按照这个法则，log₂4 + log₂8 就等于 log₂(4×8) =log₂32 = 5 。
再看这个法则logₐM - logₐN = logₐ(M/N) ，这就是说两个数的对数相减，等于这两个数相除的对数。
我给您讲个我曾经遇到的事儿，有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学特别较真儿，就问我：“老师，这法则到底咋用啊？”我就给他举了个例子，我说假如你有 8 个苹果，要平均分给 4 个人，那每人能分到几个？这就是 8÷4 = 2 嘛。
那换成对数函数，log₂8 - log₂4 就等于 log₂(8÷4) = log₂2 = 1 。
这么一解释，那同学恍然大悟。
咱们接着说哈，在运用这些法则的时候，一定要注意底数得相同。
要是底数不同，那得先想办法把底数变成相同的，这就可能要用到换底公式啦。
还有啊，有时候题目里给的不是对数的形式，而是指数的形式，那您就得灵活转换。
比如说 a^m = N ，那logₐN = m 。
这就像变魔术一样，换个形式，问题可能就迎刃而解啦。
总之，对数函数的加减运算法则公式虽然看起来有点复杂，但只要您多做几道题，多琢磨琢磨，肯定能掌握得牢牢的。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快！相信您在数学的海洋里，也能凭借这些法则乘风破浪，勇往直前！。
对数的运算法则
对数的运算法则
. 用口诀法记忆对数的运算法则
（1）乘除变加减，指数提到前：
log a M·N＝log a M＋log a N
log a M/N ＝log a M－log a N
log a Mn＝nlog a M
（2）底真倒变，对数不变；
底真互换，对数倒变；
底真同方，对数一样。
（3）底是正数不为1（在log a N ＝b中，a＞0，a≠1），底的对数等于1（log a a＝1），
1的对数等于零（log a 1＝0），
零和负数无对数（在log a N＝b中，Ｎ＞０）。
【附】
１．用口诀法记忆实数的绝对值
“正”本身，“负”相反，“０”为圈。
２.用口诀法记忆有理数的加减运算规则
. 同号相加一边倒；
异号相加“大”减“小”，
符号跟着“大”的跑。
3.用口诀法记忆因式分解的常用方法
首先提取公因式，
其次考虑用公式，
十字相乘排第三，
分组分解排第四，
几法若都行不通，
拆项添项试一试。
4.用口诀法记忆数学中三角函数的诱导公式
奇变偶不变，
符号看象限。
5.用口诀法记忆负指数幂的运算法则
底倒指反幂不变：a-p ＝ 1/ap （a≠0，p为正整数）。
对数函数的运算与性质
对数函数的运算与性质对数函数是数学中常见的一类函数，具有独特的运算性质和特点。
本文将探讨对数函数的运算规则、性质以及其在实际应用中的重要意义。
一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意实数x>0和正实数a (a ≠ 1)，称满足a^x = y的x为以a为底y的对数，记作x=log_a y。
对数函数有以下基本运算性质：1. 对数与指数的互为反函数关系：log_a a^x = x，a^log_a y = y。
2. 对数的运算法则：log_a (xy) = log_a x + log_a y，log_a (x/y) =log_a x - log_a y，log_a x^m = mlog_a x。
3. 对数函数的定义域和值域：对数函数log_a x的定义域是x>0，值域是实数集。
4. 对数函数的图像特点：不同底数的对数函数在x轴的正半轴上有不同的图像特点。
以e为底的自然对数函数y=lnx是单调递增函数，底数大于1的对数函数是增函数，底数在0和1之间的对数函数是减函数。
二、对数函数的运算法则1. 对数的乘方法则：log_a x^p = plog_a x。
其中，对于底数相同的对数函数，指数相加等于原来两个数的乘积的对数。
例如，log_a (x^2y^3) = 2 log_a x + 3 log_a y。
2. 对数的换底公式：log_a x = log_b x / log_b a。
该公式用于将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
例如，log_3 2 = log_10 2 / log_10 3。
3. 对数的消去法则：如果log_a x = log_a y，则x=y。
该法则用于解方程时，当两个对数底相同时，如果其对数相等，那么其底数也相等。
三、对数函数的应用对数函数在实际应用中有广泛的用途，以下介绍几个常见的应用领域：1. 科学计算与统计学：对数函数可以简化复杂计算和数据分析过程，特别适用于大数据的处理和处理结果的可视化呈现。
对数函数运算法则
对数函数运算法则对数函数是指以固定底数为基的函数，常用的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
1.对数函数的定义：假设a是一个正数且a≠1，那么对于任意一个正数x，a的对数函数定义为：logₐ(x) = y ，其中 a^y = x。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为指数。
2.对数函数的主要性质：性质1：对数函数的定义域和值域常用对数函数log₁₀(x)：定义域：(0，+∞)值域：(-∞，+∞)自然对数函数ln(x)：定义域：(0，+∞)值域：(-∞，+∞)性质2：对数函数的对数关系对于任意的正数a，b以及正整数m，n，有如下对数关系：(1) logₐ(a*b) = logₐ(a) + logₐ(b)(2) logₐ(a/b) = logₐ(a) - logₐ(b)(3) logₐ(a^m) = m * logₐ(a)(4) logₐ(a^n) = n * logₐ(a)性质3：对数函数的换底公式logₐ(b) = logᵦ(b) / logᵦ(a)常用的换底公式：(1) logₐ(b) = logᵦ(b) / logᵦ(a) = ln(b) / ln(a)(2) logₐ(b) = (logc(b) / logc(a))性质4：对数函数的性质(1)对数函数是单调递增函数，当底数大于1时，递增性体现在定义域上，当底数小于1时，递增性体现在定义域的补集上。
(2) 对数函数在x轴上有一个特殊点x=1，对于常用对数函数log₁₀(x)，有log₁₀(1) = 0，对于自然对数函数ln(x)，有ln(1) = 0。
3.对数函数的应用：(1)对数函数在数学中的应用包括解方程、化简复杂式子以及处理与指数相关的问题。
(2)在经济学、生物学、物理学、化学等科学领域中，对数函数被广泛应用于模型的建立、数据的处理以及分析中。
(3)在工程学中，对数函数常用于描述信号的强度、放大倍数等参数。
(4)对数函数还被应用于金融领域，如货币的增长、股票的涨幅等问题。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是数学中的一种重要函数。
它主要由幂函数的逆运算演变而来，可以描述幂函数的指数部分。
对数函数的定义如下：对于任意的正实数 a 和正实数 x，我们将 b 称为以 a 为底 x 的对数，记作 logₐ(x) = b，如果且仅如果 a^b = x。
在实际问题中，对数函数常被用于解决各种指数增长和指数衰减的问题。
我们先来看一下对数函数的基本特性。
1.对数函数的定义域是正实数集，即x∈(0,+∞)。
2.对数函数的值域是全部实数集，即y∈(-∞,+∞)。
3. 对数函数的图像是由直线 y = x 和平行于 x 轴的直线 y =logₐx 组成。
当a>1时，对数函数是增函数；当0<a<1时，对数函数是减函数。
4.对数函数的性质：(a) logₐ(xy) = logₐx + logₐy(b) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(c) logₐ(x^n) = nlogₐx(d) logₐ(1/x) = -logₐx(e) logₐ1 = 0(f) logₐa = 1(g) log₁₀x = loga(x)/loga(10)下面我们来看一些常见的对数函数运算公式。
1. 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)，其中 c 是任意的正实数。
2. 对数的乘法运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy3. 对数的除法运算公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy4. 对数的幂运算公式：logₐ(x^n) = nlogₐx5. 对数的倒数运算公式：logₐ(1/x) = -logₐx6. 底数为 10 的对数与底数为 a 的对数的转换关系：log₁₀x = loga(x) / loga(10)7. 自然对数和常用对数的转换关系：logₑx = ln(x) / ln(ₑ10)8. 对数函数与指数函数的逆运算关系：a^logₐx = x有了以上的对数函数运算公式，在解决实际问题中，我们可以更方便地进行计算和分析。
对数函数计算全
§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 (1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)②log a MN＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．2．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____.1．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，7) B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞)2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg24．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.136．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.1357．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 8．log (2－1)(2＋1)＝________.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 365.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．2．2.1 对数与对数运算(一)自学导引 1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝52．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( ) A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝63．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 54．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．3105．2·log 25＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．25 5C ．2＋52D ．1＋52二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．10．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.对数与对数运算(二)自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c.。
对数函数的运算法则
loa N gq
∴ M∙N=aq+p
pqlo a M •N glo a M g lo a Ng
练习：证明 ② loa M gNloa M gloa N g
2、应用举例：
例1、用 loaxg, lo表ayg,示l下oazg列各式：
xy
x2 y
(1 ) log z a
( 2 ) log 3 z a
(2 )log 74 8 lo1g 2 1 lo4g 1 2
2
2 22
知识回顾1） ：公 （式
① lo( a M g•N )loa M g loa N g ② loa M gNloa M gloa N g
③ loa M gnnloa M g(nR)
aloga N N
(2)公式的作用:
化简；求值；证明。
解：
xy
(1) log z log(xy) logz
a
a
a
logx logy logz
a
a
a
x2 y
(2) log3z logx2 ylo3gz
a
a
a
loxg 2logylo3gz aa a
2lo x g1loyg1loxg a 2 a3 a
练习：用对数的法则计 算下列各式。来自（1）log解 ： (2 l)2 g 原 l2 g (5 l式 1 g ) 0 l5 g 2 (l2 ) g 2 lg 2 (l5 g 1 ) 2 l5 g (lg2)2lg2lg5lg22lg10 2 (lg2)2lg2（ 1lg2） lg22（ 1lg2）
2
练习：计算
(1l)g252lg8lg5lg20(l2g)2 3
二、对数运算法则 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
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一.教学内容：
对数运算、对数函数
二.重点、难点：
1.对数运算
（1）x N a =log N a x =⇔
（2）01log =a
（3）1log =a a
（4）N a N a =log
（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅
（6）N M N
M a a a log log log -= （7）M x M a x a log log ⋅=
（8）a M M b b a log /log log =
（9）b x
y b a y a x log log = （10）1log log =⋅a b b a
2.对数函数x y a log =，0>a 且1≠a
定义域 （+∞,0）
值域 R
单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a
奇偶性 非奇非偶
过定点 （1，0）
图象 x y a log =与x y a 1log =关于x 轴对称
【典型例题】
[例1]求值
（1）=7log 3)9
1(； （2）=-++4log 20log 2
3log 2log 151515
15； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626； （4）=⋅81log 16log 329；
（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384；
（6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：
（1）原式49
1733)3(27log 7log 27log 22333=
====---- （2）原式115log 15==
（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=
（4）原式5
8)3log 54()2log 24(23=⋅= （5）原式8
15)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=
[例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 55
15=
0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0⇒log 2
1(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301. 同理可得y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301. ∵310>215>56，由幂函数y ＝x 301
在(0，+∞)上递增知，y>x>z.
[例3]若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=⋅)(log 21)(21n a a a b b b n 。
解：由已知λ11a b =，λλn n a b a b == 22
∴λ)()(11n n a a b b =
∴λ=)(log 21)(1n a a b b b n
[例4]图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为10
1,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（） A.101,53,34,3 B.53,101,34,3 C.101,53,3,34 D.5
3,101,3,34 答案：A
[例5]求下列函数定义域
（1）)]lg[lg(lg x y =
（2）)43lg(2--=x x y
（3）)1(log 2
1-=x y
解：
（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴1lg >x ∴),10(+∞∈x
（2）0432>--x x ),4()1,(+∞⋃--∞∈x
（3）110≤-<x ]2,1(∈x
[例6]求下列函数的增区间
（1）1log 2-=x y
（2）)82(log 22
1--=x x y
解：
（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,(
∴)(x f y =在（+∞,1）↑
（2）↓=t y 2
1log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(
∴)(x f y =在↑--∞)2,(
[例7]研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
解：（1）x x x x ≥=>+221∴012>-+x x ∴定义域为R
（2）R x ∈),0(12+∞∈-+x x ∴R y ∈为值域
（3）)1(log )](1)([log )(2222x x x x x f ++=--+-=- ∴奇函数
（4）),0(+∞∈x 时，x
x x x y ++=-+=11log )1(log 2222 ↓++=x
x t 112t y 2log =↑∴)(x f y =在),0(+∞上↓ ∵奇函数∴)(x f y =为R 上↓
[例8]已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。
解：
（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+
（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++= 综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+
[例9]函数)34(log )(22++==kx kx x f y
（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。
（2）若值域为R ，求k 的取值范围。
解：
（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈
4300121602<<⇒⎩
⎨⎧<-=∆>k k k k ∴)43,0[∈k （2）⎩
⎨⎧≥-=∆>0121602k k k ),43[+∞∈⇒k 【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.求值：
（1）=-2log 5)125
1(； （2）=+-+8
lg 5.0lg 215lg 4lg ； （3）=+-)2log 3(log )6)(log 6(log 3232；
（4）=-+++6lg 26lg )6(lg 3lg 2lg 62。
2.正实数y x ,满足z y x 643==
（1）求证：y
x z 2111=- （2）比较y y x 6,4,3的大小关系
3.已知a =2log 3，b =2log 5试用b a ,表示90log 30
4.),1(d x ∈，x a d 2log =，2log x b d =，)(log log x c d d =，
试比较c b a ,,大小关系。
5.若12>>>a b a ，则b a a
b b a a b b a log ,log ,log ,log 的大小关系是。
6.1>>m n ，试比较n m log 与n m 2log 2的大小关系。
7.研究函数)1(log )(-==x a a x f y （0>a 且1≠a ）的定义域及单调性。
【试题答案】
1.
（1）8558log )2log (355==--
（2）原式1lg
lg 22
== （3）2)2log 3(log )2log 1)(3log 1(3232=+-++
（4）16lg 16lg )16(lg 3lg 2lg 2=-+=-++
2.
（1）令010643>===k z y x ∴6
lg 4lg 3lg k z k y k x === 2lg 124lg 21k
k y ==∴成立 （2）k k k y x =-=-4lg 43lg 3434
lg 3lg 3lg 44lg 3⋅-⋅ ∴z y x 643<< 3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5log 13log 122b
a
4.x x a d d log log ⋅=x b d log 2⋅=∵)1,0(log ∈x d
∴c a b >>>0 5.0log 1log <-=b b a a a )2
1,0(0log 1log ∈>-=a a b b b )1,21(log ∈a b )2,1(log ∈b a ∴b
a a
b a b a b b a log log log log >>> 6.m n m n n n m m 22222log 1log 1log log 2log log ++-=-0)
log 1(log log log 2222>+-=m m m n 7.
（1）)1,0(∈a 01a a x =>∴定义域为)0,(-∞↓=t y a log ↓-=1x a t ∴↑=)(x f y
（2）),1(+∞∈a 01a a x =>∴定义域为),0(+∞
↑=t y a log ↑-=1x a t ∴↑=)(x f y。