参数函数的单调区间
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。
通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。
而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。
设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。
下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。
一、函数的单调性：1.1单调递增：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
3.3.1 函数的单调性与导数
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结篇一一、增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
二、单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。
一、指数函数的定义指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。
二、指数函数的性质1、曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）2、曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）一、对数与对数函数定义1、对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
2、对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
二、方法点拨在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。
一、幂函数定义形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
二、性质幂函数不经过第三象限，如果该函数的指数的分子n是偶数，而分母m是任意整数，则y0,图像在第一；二象限。
这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类深圳南头中学袁作生d―、根据判别式A = -4ac讨论」例1-已知函数/（x）= ?+ar:+x+l（a e^）?求的单调区间.期解：f（Q = 3/+2ec+l,判别式A = ^-4o£=4（£f2-3）,屮（1＞当"昉或X W时，则在（f 壬戸）和（壬戸严）上,卩/（力是増函数；/在（土竺半三几r（z）＜0, 是軀熱P⑵当-击＜*少时，则对所有x^R f /Xx）＞O J HE是（y,h）上的増国数卅⑶当“士曲时，则对所有英g f（（x）＞O f八0是CQ+功上的増函数・心题型归纳总结：求导后是二&函数的形式，iBB翔g尹昌拭AM'-4*大于o,小于0』等于0讨论,筑习1：（11年广东文〉设＞0,讨论函数f（x）=ki x-i-a（l-a）x2 -2（l~a）x的单调性•“+J二、根据判二次函数根的大小讨论屮例壬已^函数/（x）= （jr+^-3^+3^x〔*迓且卫工扌片求门＞）的单调区间1解：广（血二［++3+2挑一2^+4旬-菱，厂（© = 0得丸二丄衍或上=住一2*2（1）当卫〉亍时，则-2a＜a-2,在（一芯-站）和@一2+功上，广（工）＞0, /（工）是増函数』在（一九卫-2）上，f\x）＜0 ,门＞）是减函数；斗2（2）3^＜y 时，则垃一2 c—2s 在（Y 冲一2）和（一如+ 功上，f\x）＞ 0, 是増函数；在@-2厂2动上，f f（x）＜ 0 ,才仗）杲减函数；+题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间■屮练习W三、根据定义域的隐含条件讨论卩例3：已知函数恵对耳咔―d （a eA）,求O）的单调区间.4 解：炖丄畑叽卩X⑴当必D时，/（x） = l-^>0,在①+x）上』f\x） > 0, 是增函数―X（2）当“>0日寸，令f\沪丄一^ = 0.得"丄，dX £7在（0丄）上，r（x）>0, 是增函数；在（二皿）上》/^）<0, f（x）是减国数，屮a a即増区间为（0.1）?减区间为（丄=炖）.存题型归纳总结：定龙域有限制时，粘义域与不等式解集的交集为分类标准讨论祕练习3 + d四、转化为二次函数讨论2例3：已知M/（x）=]nx-ax+ —-1 求门»的单调区间・，x 2解: f\x)二丄—a+ 口，1~~— (x > 0) 令g(x) = —x+l—a f JC>0^(1)当口 = 0 时』f\x)-*在（1「+功上，f\x） > o, f（x）是増函数；4x x x在（0.1）±, r（x）<o,几力是减函数，"⑵当"寺时，宫（力[几八力―—2 2 2x在（Q+血杲减函如心（耳当0<垃<1时，丄一1",在他1）和（丄一匕他）上，胃仗）>0,广（为<0,"2 a a在（i丄-1）上，巩©<o, rw>o^ a所的递减区间为（Q1）和（--1.-K0）；递増区间为（1丄-D,』zr nM- M-（4）当a<0fl 寸，--l<0,在（0J）±, g（x） > 0 . 卩a在（l：+x）上，g（x）<0?广（功>2m/w的递减区间为递増区间対©1)—题型归纳总结；求导舷s复杂^转化为二次圈数的讨论问题，求单调区间* 练习*+J五、多次求导求单调区间d例5；已知函数/(x) = xhx-Ax>l),求几巧的单调区间.屮解：y F(^ = l + lnx-3x; (x > 1),令二f (力二1+】口工一3/，屮『S二丄_ 6工」6云，因为工>1时宮。
含参数的函数单调区间的求法浅析
例１ ： 求函数 ） ＝ ÷ 一 ２ ａ ｘ 。 ＋ ２ ｘ ＋ １ 的 单调区间．
Ｊ
解： ‘ ． ‘ ／ （ ）＝ 一 ４ 似＋ ２ ， △＝ １ ６ ａ 一 ８
摘 要： 求函数 ， ， ＝ ， （ ） 的单调区间， 事实上就是在其定义域的范围内解不等式， （ ） ＞ Ｏ或， （ ） ＜ ０ 。而含参数的函数的单调 区 间就 涉及到舍参 不等式， （ ） ＞ Ｏ 或， （ ） ＜ Ｏ的分类讨论 问题 。常遇到的分类标准有哪些呢？笔者下面通过几道例题予以说明。 关键词 ： 参数 ； 函数 ； 单调 区间
『 二
，
２ 、 当口 ＝ Ｏ时 ， ‘ ． ‘ ， （ ）＝ ３ ｘ ≥Ｏ ， 则函数， （ ） 的单 增 区 间 为 （一 ∞ ， ＋∞） ； 不 等 式 一 ４ 似＋ ２ ＞ Ｏ的 解集为 （－ 一 ∞， ２ ａ 一￣ ， ， ４ 口 一 ２ ） Ｕ（ ２ ａ ３ 、 当口 ＞ ０时 ， 。 ＜ ： ， 函数 ， （ ） 的单增区间为 （ 一ａ Ｏ， ０ ） 和
语 数外学 习
Ｎｏ ． ０ ９． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ ｒ ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
含 参 数 的 函数 单调 区 间的 求 法 浅 析
张 红
（ 巴彦淖 尔市杭锦 后旗奋斗 中学， 内蒙古 巴彦 淖尔 ０ １ ５ ４ ０ ０ ）
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参数函数的单调区间
参数函数是指函数中含有一个参数，这个参数可以取多个不同的值，从而函数的值也会发生相应的变化。
而函数的单调性是指在定义域上，函数值随着自变量变化的趋势。
对于参数函数的单调性，我们可以分为三种情况来讨论：
第一种情况是参数函数的单调递增。
当参数函数的自变量增大时，函数值也随之增大。
例如，考虑函数$f(x) = ax$，其中$a$为常数。
当$a>0$时，函数
$f(x)$随着$x$的增大而增大；当$a<0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而减小。
所以函数$f(x) = ax$的单调递增区间为$x>0$；
第二种情况是参数函数的单调递减。
当参数函数的自变量增大时，函数值会随之减小。
例如，考虑函数$f(x) = -\frac{1}{x}$，其中$x$为正数。
当$x$增大时，函数$f(x)$会变得更小。
所以函数$f(x) = -\frac{1}{x}$的单调递减区间为$x>0$；
第三种情况是参数函数的单调性与参数相关。
在这种情况下，函数的单调性会随着参数的取值不同而变化。
例如，考虑函数$f(x) = bx^2$，其中$b$为常数。
当$b>0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而增大；当$b<0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而减小。
所以函数$f(x) = bx^2$的单调性依赖于参数$b$的取值。
综上所述，参数函数的单调性可以分为三种情况：单调递增、单调递减和与参数相关。
其中单调递增的区间为自变量取值大于一些特定值的范
围，单调递减的区间为自变量取值小于一些特定值的范围，与参数相关的单调性则是根据参数的取值范围来确定。