全国通用版2021版高考数学大一轮温习第九章概率第52讲几何概型优选学案20210508372

第52讲几何概型考纲要求考情分析命题趋势1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．2017·全国卷Ⅰ，42017·江苏卷，72016·全国卷Ⅱ，8几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力．分值：5分1．几何概型若是事件发生的概率只与组成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个特点一是__无穷性__，即在一次实验中，大体事件的个数是无穷的；二是__等可能性__，即每一个大体事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包括的大体事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“实验的大体事件所占的__总面积(整体积、总长度)__”之比来表示．3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__.4．随机模拟方式(1)利用计算机或其他方式进行的模拟实验，以便通过这个实验求出随机事件的概率的近似值的方式就是模拟方式．(2)用计算机或计算器模拟实验的方式为随机模拟方式．这个方式的大体步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并给予每一个随机数必然的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)随机模拟方式是以事件发生的频率估量概率．( √ )(2)相同环境下两次随机模拟取得的概率的估量值是相等的．( × )(3)几何概型中，每一个大体事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机缘相等．( √ )(4)在几何概型概念中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) 解析 (1)正确．由随机模拟方式及几何概型可知，该说法正确．(2)错误．虽然环境相同，可是因为随机模拟取得的是某一次的频率，所以结果不必然相等．(3)正确．由几何概型的概念知，该说法正确． (4)正确．由几何概型的概念知，该说法正确．2．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数知足17＜a ＜20的概率是( C )A ．13 B ．12 C ．310D ．710解析 ∵a ∈(15,25]， ∴P (17＜a ＜20)＝20－1725－15＝310.3．有一杯2 L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( C )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 解析 因为取水是随机的，而细菌在2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.12＝0.05.4．已知x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 知足x 2＋x －2＜0的概率为( B ) A ．12 B ．38 C ．58D ．0解析 x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1，则P ＝1－(－2)4－(－4)＝38.5．某路公共汽车每5 min 发车一次，某乘客到搭车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min 的概率是( A )A ．35 B ．45 C ．25D ．15解析 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A ＝{某乘客候车时间不超过3 min}，则P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度＝35.一 与长度、角度有关的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部份，向线段L 上任投一点，点落在线段l 的概率为P ＝l 的长度L 的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域气宇来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的气宇手腕．【例1】 (1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( B )A ．34 B ．12 C ．13D ．35(2)(2021·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的概念域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__ 59__.(3)甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，C 为弧AB 的中点)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC 时甲胜，指向圆弧BC 时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD ，取AD 中点E ，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 时甲胜，指向线段ED 时乙胜．然后继续游戏，你感觉此时游戏__不公平__(填公平或不公平)，因为P 甲__＜__P 乙(填“<”“>”或“＝”)．解析 (1)作等腰直角△AOC 和△AMO ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |＞2R ， ∴P ＝MmC ︵圆的周长＝12.(2)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.(3)连接OE ，在Rt △AOD 中，∠AOE ＝π6，∠DOE ＝π3，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE 的概率是P 甲＝π6÷π2＝13，指针指向线段ED 的概率是P 乙＝π3÷π2＝23，所以P 甲<P乙，所以乙胜的概率大，即这个游戏不公平．二 与面积有关的几何概型与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 组成的平面区域形状的判断及面积的计算，大体方式是数形结合．【例2】 (1)如图，已知圆的半径为10，其内接△ABC 的内角A ，B 别离为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△ABC 内的概率为( B )A ．2＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__ 932__(用数字作答)． 解析 (1)由正弦定理BCsin A＝ACsin B＝2R (R为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102×sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC圆的面积＝25(3＋3)102π＝3＋34π.(2)设小张与小王的到校时间别离为7：00后第x 分钟、第y 分钟．按照题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5，30≤x ≤50，30≤y ≤50}，如图中阴影部份所示，阴影部份所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.三 与体积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的整体积(总空间)和事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【例3】 (1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为__1－π12__.(2)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是__23__.解析 (1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12.(2)由题意知V S －APC V S －ABC ＞13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 别离为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝APAB ，所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)．1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，此刻往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( A )A ．4π－1 B ．2π C ．4π－12D ．12解析 这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P ＝π·22－⎝ ⎛⎭⎪⎫π·224－12×2×2×2×4π·22＝4π－1.故选A ． 2．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( A )A ．13 B ．2π C ．12D ．23解析 在区间[－1,1]上随机取一个数x ，实验的全数结果组成的区域长度为2. ∵－1≤x ≤1，∴－π2≤π2x ≤π2.由0≤cos π2x ≤12，得π3≤π2x ≤π2或－π2≤π2x ≤－π3，∴23≤x ≤1或－1≤x ≤－23. 设事件A 为“cos π2x 的值介于0到12之间”，则事件A 发生对应的区域长度为23.∴P (A )＝232＝13.3．在区间[－2,2]上随机取一个数x ，使||x ＋1－||x －1≤1成立的概率为__58__.解析 在区间[－2,2]上随机取一个数x ，则－2≤x ≤2，而知足不等式|x ＋1|－|x －1|≤1的x 的取值为x ≤12.又因为－2≤x ≤2，故－2≤x ≤12，所以使不等式成立的概率为P＝12－(－2)2－(－2)＝58. 4．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部份，据此估量阴影部份的面积为__0.18__.解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.易错点 几何概型概念不清错因分析：对事件中的几何元素熟悉不清楚，致使解题错误．【例1】 (1)在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM ＜AC 的概率为______. (2)在等腰Rt △ABC 中，过直角极点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为______.解析 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22.(2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°，而∠ACB ＝90°，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝67.590＝34. 答案 (1)22 (2)34【跟踪训练1】 在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( D )A ．p 1＜p 2＜12B ．p 2＜12＜p 1C ．12＜p 2＜p 1 D ．p 1＜12＜p 2解析 (x ，y )组成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中知足x ＋y ≤12的区域如图(1)中阴影部份所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，知足xy ≤12的区域如图(2)中阴影部份所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21＞12，所以p 1＜12＜p 2.故选D.课时达标 第52讲[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( B ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故知足条件的概率P ＝35.2．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A ．15 B ．25 C ．35D ．45解析 方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35. 3．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为( C ) A ．16 B ．14 C ．13D ．23解析 ∵2sin x >1，x ∈[0,2π]，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴P ＝5π6－π62π＝13.故选C ．4．(2021·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部份和白色部份关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部份的概率是( B )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4解析 设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，按照对称性可知，黑色部份的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部份的面积为π2.按照几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π24＝π8.故选B.5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( D )A ．413 B ．513 C ．825D ．925解析 作出平面区域可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为极点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝S △AED S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.故选D.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )知足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( C )A ．14 B ．38 C ．12D ．58解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，0≤b ≤4，0≤c ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －8≤0，2b －c ≥0，0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的区域如图中阴影部份所示，可知阴影部份的面积为8，所以所求概率为12.故选C ．二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__ 12__.解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，则点M 到底面ABCD 的距离小于12，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12. 8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域别离为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__ 12π __.解析 作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π. 9．在区间(0,1)内随机地掏出两个数，则两数之和小于65的概率是__ 1725__. 解析 设随机掏出的两个数别离为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x ＋y <65，由几何概型知，所求概率为P ＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1512＝1725. 三、解答题10．设事件A 表示“关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根”，其中a ，b 为实常数．(1)若a 为区间[0,5]上的整数值随机数，b 为区间[0,2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；(2)若a 为区间[0,5]上的均匀随机数，b 为区间[0,2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率．解析 (1)当a ∈{0,1,2,3,4,5}，b ∈{0,1,2}时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |.又a ≥0，b ≥0，所以a ≥2b .从而数对(a ，b )的取值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，共12组值，所以P (A )＝1218＝23. (2)据题意，实验的全数结果所组成的区域为D ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2}，组成事件A 的区域B ＝{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤2，a ≥2b }．在平面直角坐标系中画出区域B ，D ，如图．其中区域D 为矩形，其面积S (D )＝5×2＝10，区域B 为直角梯形，其面积S (B )＝1＋52×2＝6. 所以P (A )＝S (B )S (D )＝610＝35. 11．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次掏出的小球标号为a ，第二次掏出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是nn ＋2＝12，解得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次掏出的小球标号为a ，第二次掏出的小球标号为b ，则掏出2个小球的可能情况共有12种结果，令知足“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，则事件A 共有8种结果，故P (A )＝812＝23. ②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全数结果组成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝4－14π·224＝1－π4. 12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部份(图中四个阴影部份均为扇形，且每一个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，若是摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 若是顾客去甲商场，实验的全数结果组成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26. 所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR26πR 2＝16. 若是顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3 )，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3 )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。