浙江省杭州市西湖高级中学高二数学5月月考试题

一．选择题（本题共15小题，每题5分，共75分）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|lg（x+1）≥0}，则A∩B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，0]2．角α的终边与单位圆交于点，则cos2α＝（）A．B．C．D．3．直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°4．若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）cm2A．5 B．C．D．76．已知a，b，c∈R，则“a＜b”是“ac2＜bc2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件7．若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最大值为（）A．1 B．C．D．8．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l⊥αB．若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则m⊥nC．若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α9．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A B C D10．l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3 B．C．2 D．11．已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）＝e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）12．设点P是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且2|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．13 B．C．D．13．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为﹣种14．过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝﹣上，则（）A．使△ABC为直角三角形的点C只有一个 B．使△ABC为等腰三角形的点C只有一个C．当△ABC等边时，|AB|＝p D．当△ABC等边时，|CF|＝p15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝2，若的最小值为2，则△ABC的面积为（）A．B． C． D．二．填空题（每题4分，共16分）16．已知复数z＝（3+i）2，其中i为虚数单位，若z•（a+i）是纯虚数（其中a∈R），则a＝．17．设数列{a n}是公差为d的等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．数列{a n}的前n项和S n 取得最大值时，n＝．18．甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试．按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有种．19．已知函数f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的x1，，都有，则a的最大值为．三．解答题（共5小题）20．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC的面积为，求a，b的值．21．多面体ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝4，BB1＝2，AB＝4，CC1＝3，AB⊥BB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；（2）若C1E＝2，求二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值．22．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1（a∈R）．（1）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值M（a）．23．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x＝2于P点，求的最小值．24．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：对于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x+1恒成立；（Ⅱ）设函数g（x）＝（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2，x∈[0，+∞），求函数g（x）的最小值．杭西高高二年级2019年5月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|lg（x+1）≥0}，则A∩B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，0]【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜1}，根据对数函数的单调性即可解出B＝{x|x≥0}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜1}；由lg（x+1）≥0得，lg（x+1）≥lg1；∴x+1≥1；∴x≥0；∴B＝{x|x≥0}；∴A∩B＝[0，1）．故选：A．【点评】考查描述法表示集合的概念，对数函数的单调性，以及交集的运算．2．角α的终边与单位圆交于点，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：根据角α的终边与单位圆交于点，可得x＝﹣，y＝，r＝＝1，∴cosα＝＝﹣，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出．【解答】解：直线的倾斜角为θ，则tanθ＝，∴θ＝60°，故选：D．【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题4．若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．【解答】解：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故选：C．【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）cm2A．5 B．C．D．7【分析】由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，然后根据三棱柱的表面积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，三棱柱的高为2cm，直角三角形的两个直角边长度分别为1cm和1cm，∴三棱柱的侧面积为（1+1+）×，底面积为，∴三棱柱的表面积为1+4+2．故选：C．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，以及三棱柱的表面积公式，比较基础．6．已知a，b，c∈R，则“a＜b”是“ac2＜bc2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】当c＝0时，a＜b⇏ac2＜bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，有c2＞0，得ac2＜bc2⇒a ＜b．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【解答】解：必要不充分条件当c＝0时，a＜b⇏ac2＜bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，有c2＞0，得ac2＜bc2⇒a＜b．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，本题解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，本题是一个基础题．7．若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最大值为（）A．1 B．C．D．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y＝2x结合图象可得结论．【解答】解：作出条件实数x，y满足所对应的可行域（如图△ABCD），由，解得B（，），变形目标函数可得y＝2x+z，平移直线y＝2x可知：当直线经过点B（，）时，直线的截距最大，此时目标函数z取最大值z＝﹣2×＝，故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l⊥αB．若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则m⊥nC．若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α【分析】在A中，l与α相交或l⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理和性质定理得m ⊥n；在C中，α与β相交或平行；在D中，m与α相交、平行或l⊂α．【解答】解：由l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l与α相交或l⊂α，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则由线面垂直的判定定理和性质定理得m⊥n，故B正确；在C中，若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m与α相交、平行或l⊂α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y＝f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．10．l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3 B．C．2 D．【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心坐标以及半径，进而可得直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，据此可得a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0即（x+2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（﹣2，1），半径r＝2；若l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，则a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2≥2，即a2+b2的最小值是2；故选：C．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，注意分析直线经过圆心，属于基础题．11．已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）＝e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）【分析】设函数f（x）＝e2x，则导函数f′（x）＝2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），由f （a）＝e2a，e a f（0）＝e a，比较得出结论．【解答】解：由题意知，可设函数f（x）＝e2x，则导函数f′（x）＝2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），f（a）＝e2a，e a f（0）＝e a，当a＞0时，显然e2a＞e a，即f（a）＞e a f（0），故选：B．【点评】本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法．12．设点P是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且2|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．13 B．C．D．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率．【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|＝2a，又∵2PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝6a，|PF2|＝4a，∵圆x2+y2＝a2+b2的半径r＝＝c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2＝90°在直角三角形F1PF2中由36a2+16a2＝（2c）2，得e＝＝故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法．13．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为﹣种【分析】A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为+种，可判断B错误；C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为﹣种，可判断C正确；D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．【解答】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为++种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣•＝﹣种；对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有•种选法；②选化学，不选物理，有•种选法；③物理与化学都选，有•种选法，故总数为•+•+•＝6+10+4＝20种，故D错误．故选：C．【点评】本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．14．过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝﹣上，则（）A．使△ABC为直角三角形的点C只有一个B．使△ABC为等腰三角形的点C只有一个C．当△ABC等边时，|AB|＝pD．当△ABC等边时，|CF|＝p【分析】由题意画出图形，分析A，B错误；当△ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y＝，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，求出C的坐标，再由点到直线的距离公式求C到AB的距离，利用等边三角形边与高的关系求得k，进一步求得|AB|，|CF|，则答案可求．【解答】解：如图，当过F的直线与y轴垂直时，分别过A，B作直线y＝﹣的垂线，垂直为C，则△ABC为直角三角形，故A错误；分别以A，B为圆心，以2p为半径作圆，与直线y＝﹣交于C，可得四个等腰三角形，故B错误；当△ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y＝，联立，可得x2﹣2kpx﹣p2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2kp，，∴AB的中点坐标为（kp，），∴AB的垂直平分线方程为y﹣＝，取y＝﹣，可得x＝2kp+k3p．∴C（2kp+k3p，），|AB|＝，C到直线AB的距离d＝．由题意可得：|AB|＝，即，即k2＝2．∴|AB|＝6P，|CF|＝．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题．15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝2，若的最小值为2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】△ABC中，AB＝4，AC＝2，＝＝4＝f（λ）．当cos A＝0时，f（λ）＝4，舍去．当cos A≠0时，f（λ）＝4≥4＝2，解得A＝．由此能求出△ABC 的面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝4，AC＝2，∴＝＝4＝f（λ）．当cos A＝0时，f（λ）＝4，舍去．当cos A≠0时，f（λ）＝4≥4，∵的最小值为2，∴4＝2，∴cos A＝﹣，解得A＝．∴△ABC的面积S＝＝2．故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题（共4小题）16．已知复数z＝（3+i）2，其中i为虚数单位，若z•（a+i）是纯虚数（其中a∈R），则a＝．【分析】利用复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝（3+i）2＝8+6i，若z•（a+i）＝（8+6i）（a+i）＝8a﹣6+（6a+8）i是纯虚数（其中a∈R），则8a﹣6＝0，且6a+8≠0，解得a＝．故答案为：10，．【点评】本题考查了复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力、计算能力，属于基础题．17．设数列{a n}是公差为d的等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．数列{a n}的前n项和S n 取得最大值时，n＝20 ．【分析】a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．可得3a1+6d＝105，3a1+9d＝99，解出可得a n．令a n ≥0，解得n即可得出．【解答】解：∵a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．∴3a1+6d＝105，3a1+9d＝99，解得a1＝39，d＝﹣2，则a n＝39﹣2（n﹣1）＝41﹣2n；令a n≥0，解得n＝20+．∴数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，n＝20．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试．按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有36 种．【分析】由题意需要分四类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲监考数学和英语，则乙、丙从剩下的4门中任选2门即可，故有C42A22＝12种，若甲监考数学和不监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，丙从剩下的3门（包含语文不含英语）选2门，剩下的2门乙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学和监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，乙从剩下的3门（包含语文不含数学）选2门，剩下的2门丙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学也不监考英语，则甲从物理、化学、生物选2门，乙一定需要监考英语，在剩下的2门（包含语文不含数学）选1门，剩下的2门丙监考，故有C32C21＝6种，根据分类计数原理，共有12+9+9+6＝36种，故答案为：36．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，考查了转化能力，属于中档题．19．已知函数f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的x1，，都有，则a的最大值为．【分析】不妨设x1＞x2，原不等式转化为f（x1）+≤f（x2）+恒成立，令g（x）＝f （x）+，g（x）在[，]上应时减函数，根据导数和函数单调性的关系即可求出．【解答】解：∵f（x）＝ax+lnx，a＞0∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵x1，，不妨设x1＞x2，∴f（x1）＞f（x2）．∵，对任意的x1，恒成立∴f（x1）﹣f（x2）≤2（﹣），即f（x1）+≤f（x2）+恒成立．令g（x）＝f（x）+，x∈[，]，则g（x）在[，]上应时减函数，∴g′（x）＝a+﹣≤0对x∈[，]恒成立．即a≤﹣对x∈[，]恒成立，由y＝﹣在[，]为减函数，∴y min＝，∴a≤，故a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，属于难题．三．解答题（共5小题）20．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC的面积为，求a，b的值．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则函数周期可求，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；（Ⅱ）由求得角C，结合已知三角形面积，由正弦定理及余弦定理列方程组求解a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝，∴f（x）的最小正周期T＝π；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的增区间为；（Ⅱ）由，得，∴，∵0＜C＜π，∴，则，即，由，得ab＝2，①由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴＝a2+b2﹣ab，②由①②解得或．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝A sin（ωx+φ）的图象和性质，考查三角形的解法，是中档题．21．多面体ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝4，BB1＝2，AB＝4，CC1＝3，AB⊥BB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；（2）若C1E＝2，求二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过E作EO∥A1A交AB于O，连接CO，证明四边形OEC1C是平行四边形，推出C1E⊥面ABB1A1，得到CO⊥面ABB1A1，然后证明面ABC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面AB1C1的法向量，底面A1B1BA的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过E作EO∥A1A交AB于O，连接CO，由梯形的中位线知：，∴OE＝CC1，又OE∥CC1，故四边形OEC1C是平行四边形，∴C1E⊥面ABB1A1，则CO⊥面ABB1A1，又CO在面ABC内，∴面ABC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，CO＝C1E＝2，A（﹣2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，3，2），∴，，设面AB1C1的法向量为，依题知：，即，令a＝1，得b＝﹣2，c＝2，∴，底面A1B1BA的法向量为，∴．∴二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值为说明：若学生用常规法只要运算合理，请酌情给分．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法．考查空间想象能力以及逻辑推理能力．22．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1（a∈R）．（1）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值M（a）．【分析】（1）由题意可得（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，讨论x＝1，x＞1，x ＜1去掉绝对值，由一次函数的单调性可得a的范围；（2）运用分段函数的形式可得f（x）的解析式，讨论当a≥3时，当0≤a＜3，当a＜0时，注意对称轴处的函数值与端点处的函数值的大小，求得f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x＝1时，（*）显然成立，此时a∈R；当x≠1时，（*）可变形为，令m（x）＝＝，②当x＞1时，m（x）＞2，a≤2；③当x＜1时，m（x）＞﹣2，所以m（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②③，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2；（2）f（x）＝，得f（1）＝0，f（2）＝3﹣a，f（﹣2）＝3﹣3a，①当a≥3时，∵，，∴f（﹣2）＜f（2）≤f（1）＝0，M（a）＝0；②当0≤a＜3时，∴f（﹣2）≤f（2），f（1）≤f（2）＝3﹣a即M（a）＝3﹣a；③当a＜0时，∵，，∴f（1）＜f（2）＜f（﹣2）＝3﹣3a，即M（a）＝3﹣3a，所以M（a）＝．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．23．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x＝2于P点，求的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得c＝，M的坐标代入椭圆方程，以及a， b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）①当AB与x轴重合时，P点不存在；②当AB与x轴垂直时，可得＝1；③当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为x＝my+（m≠0），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，设出NP的方程，联立直线x＝2，求得P的坐标和|NP|，可得的式子，变形运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0），可得c＝，+＝1，且a2﹣b2＝c2，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）①当AB与x轴重合时，P点不存在；②当AB与x轴垂直时，|AB|＝，|PN|＝，＝1；③当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为x＝my+（m≠0），代入椭圆方程x2+4y2﹣4＝0，可得（4+m2）y2+2my﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，|AB|＝•＝•＝|＝•，又NP的方程为x＝﹣y+，联立x＝2可得P（2，﹣m），则|NP|＝，可求＝•＝（+）＞•2＝1，（由于m≠0，即等号取不到），综合可求的最小值为1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．24．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：对于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x+1恒成立；（Ⅱ）设函数g（x）＝（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2，x∈[0，+∞），求函数g（x）的最小值．【分析】（I）x∈（0，+∞），证明不等式f（x）＞x+1恒成立；只需证明：e x﹣1x2﹣x＞0．令u（x）＝e x﹣1x2﹣x，利用导数研究函数的单调性即可得出．（II）x∈（0，+∞），由（I）可得：＞x+1，要证明：x+1＞，只需证明：ln（x+1）＞x．令v（x）＝ln（x+1）﹣x．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．【解答】（I）证明：∵x∈（0，+∞），证明不等式f（x）＞x+1恒成立；只需证明：e x﹣1x2﹣x＞0．令u（x）＝e x﹣1x2﹣x，u′（x）＝e x﹣x﹣1，令h（x）＝e x﹣x﹣1，则h′（x）＝e x﹣1＞0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0．∴函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴u（x）＞u（0）＝1﹣1＝0．∴不等式f（x）＞x+1恒成立，x∈（0，+∞）．（II）解：x∈（0，+∞），由（I）可得：＞x+1，要证明：x+1＞，只需证明：ln（x+1）＞x．令v（x）＝ln（x+1）﹣x．v′（x）＝ln（x+1）+﹣1，令s（x）＝v′（x），则s′（x）＝+＝＞0，∴s（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴s（x）＞s（0）＝0．∴ln（x+1）＞x．∴x+1＞，即＞，（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2＞0．又g（0）＝0．∴g（x）≥0．∴函数g（x）的最小值为0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。