福建省长汀一中、连城一中等六校2018_2019学年高二数学上学期期中联考试题理
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019学年第一学期半期考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列{}n a 的通项公式为)23()1(--=n a nn ，则{}n a 的第5项是（ ）A ．13B ．13-C ．15-D ．15 2．在ABC ∆中， 60=A , 75=B ,10=a ,则c 等于（ ） A ．25 B ．210 C ．65 D ．3610 3. 等比数列}{n a 的前n 项和,3t S n n +=则3t a +的值为（ ） A . 1 B. 1- C . 17 D. 18 4. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若cos()cos()22a Ab B ππ-=-， 则ABC ∆的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形 5.各项均为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若103=S ，306=S ，则=9S ( ) A ．50 B ．60 C ．70 D ．906. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化．．．．的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A ．6斤 B ．9斤 C ．9.5斤 D ．12斤7.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x ，则y x z 32-=的最小值为( )A ．2B ．1C ．0D ．1-8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 17a =-，315S =-，则n S 的最小值为（ ）A. 16-B. 4C. 4或5D. 169.已知正数,a b 的等差中项是12，且11,M a N b a b=+=+，则M N +的最小值是（ ） A ．3 B ． 4 C ．5 D ．610. 若不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为( )A ．)0,3(-B ．]0,3(-C ．]3,(--∞D ．),0()3,(+∞--∞11.如图，某景区欲在两山顶,A C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高1()AB km =，3()CD km =,在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30，山顶C 的仰角为60，150AEC ∠=, 则两山顶,A C 之间的距离为（ ）A ．()kmB ．()kmC ．()kmD ．()km12. ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，若3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为 ( )A ．1B ．43 D ．34第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知3a >，则43a a +- 的最小值为_______________．14.已知ABC ∆中，c =1a =，cos cos a B b A = ，则ABC ∆面积为_______ __. 15. 在数列{}n a 中，已知11a =， 111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则=2017S ________. 16．已知首项为2的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1222--=n n n S a S ．若12nn S m +≤ 恒成立，则实数m 的取值范围为__________ _____．三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）． 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若12a =， 且22a ，3a ，8成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设22n n n a b n n=+，求证：数列{}n b 的前n 项和1n T <．18．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≥的解集为{|1}x x x b ≤≥或． （1）求b a ,的值；（2）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +--<． 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B ；（2）若ABC ∆a c +=sin sin A C 的值． 20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，设角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B A C B A sin sin cos sin cos 222++= （1）求角C 的大小； （2）若3=c ，求ABC ∆周长的取值范围.21．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1*1211()2()22n n a a a n n N -++⋅⋅⋅+=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，123=n n S b b b b ++++，求1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．22．（本小题满分12分）某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13、7 14、4315、1007- 16、 34m ≥三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分） 17、解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，∵22a ，3a ，8成等差数列∴324a a =+ 即2224q q =+，……………………………（2分）即220q q --=，解得2q =或1q =-(舍去)，∴2q =.……………………………（4分） 所以{}n a 的通项为1222n n n a -=⋅=(n N *∈) ……………………………（5分）(2)由上知2nn a = ∵22nn n a b n n=+，∴21111(1)1n b n n n n n n ===-+++， ……………………………（7分） ∴123n n T b b b b =+++⋯+1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋯+-+111n =-+ ……………………………（9分）∴1101n T n -=-<+ ……………………………（10分） 即数列{}n b 的前n 项和为1n T <．18、解：（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2320ax x -+=的两根，……………………………（2分）由根与系数的关系有3121b ab a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩ ……………………………（6分）（2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(2)20x c x c +--<，即(2)()0x x c -+<． ……………………………（8分） 其对应方程的两根为122,x x c ==-①当2c ->即2c <-时，原不等式的解集为{|2}x x c <<-；……………………………（9分） ②当2c -<即2c >-时，原不等式的解集为{|2}x c x -<<；……………………………（10分） ③当2c -=即2c =-时，原不等式的解集为∅； ……………………………（11分） 综上所述：当2c <-时，原不等式的解集为{|2}x x c <<-；当2c >-时，原不等式的解集为{|2}x c x -<<； 当2c =-时，原不等式的解集为∅；……………………………（12分）19、解：（1）（法一）：在ABC ∆中，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ∴()2sin cos sin cos sin cos sin A B B C C B B C =+=+ ……………………………（2分） 又B C A π+=-，∴sin()sin()sin B C A A π+=-=， ∴2sin cos sin A B A = ……………………………（4分）sin 0≠A ∴1cos 2B = ……………………………（5分） 0π<<B ， 故3B π=……………………………（6分）（法二）由余弦定理得()222222222a c b a b c a c b ac ab+-+--⨯=⨯………………………（2分） ∴222a b c ac +-= ……………………………（3分）∴2221cos 22a cb B ac +-==, ……………………………（5分）0π<<B , 故3B π=． ……………………………（6分）（2）1sin ABC S ac B ac ∆===4ac =． ……………………………（7分）又a c +=∴由余弦定理得 B ac c a b cos 2222-+=2()3=12a c ac =+-∴b =……………………………（9分）又由正弦定理知sin sin sin a c b A C B == ……………………………（10分）∴4sin ,4sin a A c C == 即sin ,sin 44a c A C == ∴1sin sin 164ac A C ==……………………………（12分） 20、（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+……………………………（1分） 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=- ……………………………（2分） 由正弦定理得222a b c ab +-=- ……………………………（3分）由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===- …………………………… （4分） 又0C π<< ， 故23C π=…………………………… （5分） （2）（法一）：由上知23C π=， ∴由余弦定理有22222()21cos 222a b c a b ab c C ab ab +-+--===-，……………………………（6分）又c =2()3a b ab +-=， ……………………………（7分）又∵2a b+≥∴2()2a b ab +≤，(当且仅当a b =时取等号) ……………………………（8分） ∴22()3()2a b a b ++-≤ ， 即23()120a b +-≤ 解得02a b <+≤，(当且仅当a b =时取等号) ……………………………（10分）又∵三角形两边之和大于第三边,即a b c +>=2a b <+≤ ……………………………（11分）∴2a b c ++∈ ……………………………（12分）所以ABC ∆的周长的范围为2（法二）由正弦定理知sin sin sin a b c A B C ===∴2sin ,2sin a A b B ==, ……………………………（6分） 又3B AC A ππ=--=-则ABC ∆的周长2sin 2sin L a b c A B =++=+2sin 2sin()3A A π=+-+sin A A =2sin()3A π=+…………………………（8分）∵03A π<<∴2333A πππ<+<sin()13A π<+≤ ……………………………（10分）∴2sin()23A π<++≤所以ABC ∆的周长的范围为2.……………………………（12分）21、解：（1）由11211()222n n a a a n -++⋅⋅⋅+=………① 当2n ≥时，212111()2(1)22n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-………② ……………………………（2分）①–②得11()22n n a -=即2n n a = (2)n ≥ ……………………………（3分）当1n =时，12a = 也满足上式 ……………………………（4分）∴2n n a = *()n N ∈ ……………………………（5分） (2)由(1)得, 12log 2n n n n b a a n =⋅=-⋅, ……………………………（6分）所以1231122232(1)22n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ………①∴23412122232(1)22n n n S n n +-=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ………② ……………………………（7分）①－②，得2341222222n n n S n +=+++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅- ……………………………（9分）依题意1250n n S n ++⋅>，即12250n +-> 即1252n +>成立， ……………………………（10分） 又当4n ≤时, 15223252n +≤=<,当5n ≥时, 16226452n +≥=>. ……………………………（11分） 故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ……………………………（12分）22、解：（1）设第n 年开始获利，获利为y 万元，由题意知，n 年共收益30n 万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n 年的总费用为2(1)122n n n n -⨯+⨯=． ……………………………（2分） ∴获利为23081(3)(27)y n n n n =--=--- ……………………………（4分） 由0y >即(3)(27)0n n --< 解得327n << ……………………………（5分）∵n ∈N *，∴n ＝4时，即第4年开始获利． ……………………………（6分）∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短，∴方案一较合算．……………………………（12分）。
福建省龙岩市长汀一中2018-2019学年上学期高二第二次月考数学试卷(理科)(有解析)
∴ ������������������∠������������2������1 = 2������ = 2������������ =
������2−������2 2������������
=4
列式求解．
本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 以下说法中正确的说法有( )个． ①方程5−������ + ������ + 3 = 1表示的曲线为椭圆的充要条件是−3 < ������ < 5； ②命题������：������−1 > 1，则命题￢������为������−1 ≤ 1； ③对于原命题：“已知 a，b，������ ∈ ������，若������ > ������，则������������2 > ������������2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在
2 2 ������2 ������2
7.
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这 4 个命题中，真命题的个数有 2 个； ④平面内到两定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆；
A. 1
【答案】A
������2 【解析】解：方程5−������
B. 2
C. 3
D. 4
+
������2 ������ + 3
5−������ > 0 3 + ������ > 0 =1 表示的曲线为椭圆，可得 5−������ ≠ 3 + ������，
{
A. −6
【答案】D
B. 10
C. 12
D. 15
第 1 页，共 14 页
������ + 2������ ≤ 2 ������ + ������ ≥ 0 ������ ≤ 4 对应的平面区域 【解析】解：作出不等式组 由������ = 4������ + ������得������ = −4������ + ������， 平移直线������ = −4������ + ������， 由图象可知当直线������ = −4������ + ������经过点 A 时，直线������ = −4������ + ������的截距最大， 此时 z 最大． 由{������ + 2������ = 2，解得{������ = −1，即������(4,−1)，
福建省长汀连城一中等六校高二数学上学期期中联考试题
福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（考试时间：120分钟 总分：150分）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共60分）一、选择题。
（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( )A ．45B ．60C ．50D ．542．设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则“//αβ”是“//m β且//n α”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x -≥”的否定为( )A ．0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x -< B ．0(,0]x ∃∈-∞，2001lnx x >- C ．(0,)x ∀∈+∞，21lnx x <- D ．(,0]x ∀∈-∞，21lnx x >-4．从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是 ( )A ．恰有一个红球与恰有两个红球B ．至少一个红球与至少一个白球C ．至少一个红球与都是白球D ．至少一个红球与都是红球5．已知椭圆22154x y +=，则以点(1,1)M -为中点的弦所在直线方程为 ( )A ．4510x y +-=B ．4590x y -+=C ．5490x y -+=D ．5410x y +-= 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱11C D 的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为( )A B C D 7．一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是 ( )A ．23 B ．25 C ．35 D ．8158．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是12,x x ，标准差分别是12,s s ，则下列说法正确的是 ( ) A．12,x x >12s s <B ． 12,x x >12s s >C ．12,x x <12s s <D ．12,x x <12s s >9．已知F 是抛物线2x y =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到x 轴的距离为 ( )A ．32B ．1C ．54 D ．7410．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(F ，点A 的坐标为(0,1)，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为6，则双曲线的离心率为 ( )A B C ．2 D 11．在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF的长度的最小值为( )A B ．25C ．2D ．512．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，1k 、2k 分别为直线BP 、QF 的斜率，则12k k 的取值范围是 ( ) A ．3(,)4-∞ B ．3(,0)(0,)4-∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)(0,1)-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题。
福建省长汀、连城一中等六校2018-2019学年高二上学期期中考联考数学(文)试题(含精品解析)
（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 如果 a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（ ）
A. ������ ‒ ������ > 0
B. ������������ < ������������
（Ⅰ）求该公司到第 x 年底所得总利润 y（万元）关于 x（年）的函数解析式，并 求其最大值； （Ⅱ）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该公司应在第几年底出售这批 汽车？说明理由．
22. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn=2an-2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}的前
【解析】
解：设变量 x、y 满足约束条件
，可得 B=45°．
， 在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线 y-2x=0 经过点 A（5，3）时， y-2x 最小，最小值为：-7， 则目标函数 z=y-2x 的最小值为-7． 故选：A． 先根据条件画出可行域，设 z=y-2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化 为 y 轴上的截距最小，只需求出直线 z=y-2x，过可行域内的点 B（5，3）时的 最小值，从而得到 z 最小值即可．
������3 ‒ ������2
项和，则������5 ‒ ������3的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. ‒ 2
D. ‒ 3
11. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2= 3bc，sinC=2 3sinB，则 A=（ ）
A. 30 ∘
B. 60 ∘
C. 120 ∘
B. 2
C. 1
D. 4
福建省“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018--2019上数学文半期考试题答案
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
13． ()-3,1 14(没有单位不扣分) 15．2019201816 . 2 三．解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：(1) 根据正弦定理得，sin B ＝b sin A a ＝sin 302＝32. ……3分 ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°. ……………………5分 (2) ∵54cos =B >0，且0<B<π，∴sinB=53 …………………6分∵S △ABC =12acsinB=3， ∴353221=⨯⨯⨯c ， ∴c=5. ………………8分∴ 由余弦定理b 2=a 2+c 2－2accosB 得 13=b ……………10分18. 解：（Ⅰ） ()*+∈==Nn a a a n n 2,111，∴数列{}na 是公比为2的等比数列，11221--=⨯=∴n n n a ---------------3分 等差数列{}n b 的公差为3，又32a b ==422=，()23322-=⨯-+=∴n n b b n --6分（Ⅱ）()()()n n n b a b a b a S -++-+-= 2211=()()n n b b b a a a ++-+++2121 ----------8分=()()223121211-+---⨯n n n ----------10分=122322-+-nn n----------12分 19.解：（1）由不等式的解集为{}|31x x x <->-或，可知0k <，-3和-1是一元二次方程2230kx x k -+=的两根，---------------2分所以(3)(1=32(3)(1=k -⨯-⎧⎪⎨-⨯-⎪⎩）），解得12k =-. -------------------------------5分 （2）因不等式2230kx x k -+<的解集为φ，若0k =，则不等式20x -<，此时0x >，不合题意； ---------------- 7分若0k ≠，则⎩⎨⎧≤⨯⨯-=∆>03440k k k ，解得333102≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥>k k k --------------- 11分综上实数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,33. ------------------ --12分 20.解：（Ⅰ）由已知得, ……………………2分……………-………4分（Ⅱ）法一：由余弦定理得, ……………………6分(当且仅当时取等号)，………8分解得………………10分又的取值范围是（2，4】………………12分法二：由正弦定理得,又………………6分, ………………8分………………10分又的取值范围是（2，4】………………12分21.解析：（I ）依题意得：7219212130]2)1([10220)(2-+-=-+++--=x x x x x x x x f ----4分∴当19=x 时2217)(max =x f ∴该公司到第19年所得的总利润最大，最大值为2217万元. ------------------6分 （Ⅱ）依题意年平均利润为)722(19197221)()(xx x x x x f x g +-=+--== -------9分 12362722=≥+xx ，当且仅当1442=x 即12=x 时等号成立 ∴该公司在第12年底出售该批汽车时经济效益最大.------- -----------------------------------12分22. 解析：（Ⅰ） 22-=n n a S （1） 2211-=∴++n n a S （2）∴（2）-（1）得 1122(1)n n n a a a n ++=-≥ n n a a 21=∴+，即 }{n a ∴成等比数列，公比为2．n n a 2=∴．当2≥n 时，当1=n时，11=b 成立，n b n =∴．，只需m M n ≥max )(． 的最大值为4．。
2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)
2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高二（上）期中数学试卷一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A ．45B ．60C ．50D ．542．设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则“//αβ”是“//m β且//n α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x -…”的否定为( ) A ．0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x <- B ．0(x ∃∈-∞，0]，2001lnx x >- C ．(0,)x ∀∈+∞，21lnx x <- D ．(x ∀∈-∞，0]，21lnx x >-4．从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是( )A ．恰有一个红球与恰有两个红球B ．至少一个红球与至少一个白球C ．至少一个红球与都是白球D ．至少一个红球与都是红球5．已知椭圆22154x y +=，则以点(1,1)M -为中点的弦所在直线方程为( ) A ．4510x y +-=B ．4590x y -+=C ．5490x y -+=D ．5410x y +-=6．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱11C D 的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为( )A B C D 7．一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是( ) A ．23B ．25 C ．35D ．8158．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是1x ，2x ，标准差分别是1s ，2s ，则下列说法正确的是( )B ．12x x >，12s s >C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s >9．已知F 是抛物线2x y =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．34B ．1C ．54D ．7410．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为1(F ，点A 的坐标为(0,1)，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为6，则双曲线的离心率为( )AB C ．2D11．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点G 与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值是( )AB ．1 CD12．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是( )A ．(-∞，3)(04-⋃，3)4B ．(-∞，0)(0⋃，3)4C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(-∞，0)(0⋃，1)二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2,1)a =，(,3,4)b λ=，若a b ⊥，则实数λ= ．14．与双曲线22134x y -=有共同的渐近线，且过点(3,2)的双曲线方程为 ． 15．若命题：[0x ∃∈，3]，使220x x a --…为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 16．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②曲线22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则542t <<； ③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、解答题．（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合{|11}(0)A x a x a a =-+>剟，2{|540}B x x x =-+…． （1）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围； （2）对任意x B ∈，不等式240x mx -+…都成立，求实数m 的取值范围．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上横坐标为3的点M 到焦点F 的距离为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，求弦长||AB ．19．某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件)关于单价x （元)的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是矩形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，2AB =，1AC =，BC =，1AA =．（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）在线段1BC 上是否存在一点D ，使得1AD A B ⊥？若存在求出1BDBC 的值，若不存在请说明理由．21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，⋯，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x 的值； （2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l （不过原点)O 与椭圆C 交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点． （ⅰ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值； （ⅱ）求OAB ∆面积的最大值及此时l 的斜率．2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A ．45B ．60C ．50D ．54【解答】解：根据题意可得45015450540630n=++，求得54n =，故选：D ．2．设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则“//αβ”是“//m β且//n α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m α⊂，n β⊂， 则“//αβ” ⇒ “//m β且//n α”，反之不成立． ∴ “//αβ”是“//m β且//n α”的充分不必要条件．故选：A ．3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x -…”的否定为( ) A ．0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x <- B ．0(x ∃∈-∞，0]，2001lnx x >- C ．(0,)x ∀∈+∞，21lnx x <- D ．(x ∀∈-∞，0]，21lnx x >-【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“0(0,)x ∃∈+∞，2001lnx x -…”的否定为：(0,)x ∀∈+∞，21lnx x <-． 故选：C ．4．从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是( )A ．恰有一个红球与恰有两个红球B ．至少一个红球与至少一个白球C ．至少一个红球与都是白球D ．至少一个红球与都是红球【解答】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，在A 中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A 正确；在B 中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B 错误； 在C 中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，但能同时不发生， 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C 错误；在D 中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D 错误． 故选：A ．5．已知椭圆22154x y +=，则以点(1,1)M -为中点的弦所在直线方程为( ) A ．4510x y +-=B ．4590x y -+=C ．5490x y -+=D ．5410x y +-=【解答】解：设弦的两个端点为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴2211154x y +=，2222154x y +=，两式相减得12121212()()()()054x x x x y y y y +-+-+=， ∴1212122245y y x x x x y y -+=--+，① 又(1,1)M -为AB 的中点， 122x x ∴+=-，122y y +=代入①式得121245y y x x -=-， 即45AB k =， ∴直线AB 方程为41(1)5y x -=+，即4590x y -+=． 故选：B ．6．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M为棱11C D 的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为( ) ABC D 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -，M 为11A B 的中点，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，(1A ，0，0)，(0M ，12，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)， (1AM =-，12，1)，(1,1,0)DB =，cos ,322AM BD <>==，所以异面直线AM 与BD ， 故选：C ．7．一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是( ) A ．23B ．25 C ．35D ．815【解答】解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品， 基本事件总数2615n C ==，抽到都是正品包含的基本事件个数246m C ==， 则抽到都是正品的概率是62155m p n ===． 故选：B ．8．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是1x ，2x ，标准差分别是1s ，2s ，则下列说法正确的是( )B ．12x x >，12s s >C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s >【解答】解：由茎叶图中数据，计算平均数为 11(8889909192)905x =⨯++++=，21(8586888893)885x =⨯++++=，标准差为1s ==，2s == ∴12x x >，12s s <．故选：A ．9．已知F 是抛物线2x y =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【解答】解：抛物线2x y =的焦点1(0,)4F 准线方程14y =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 1211||||344AF BF y y ∴+=+++= 解得1252y y +=， ∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54， 故选：C ．10．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(F ，点A 的坐标为(0,1)，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为6，则双曲线的离心率为( )AB C ．2D【解答】解：由1||2AF ==，三角形1APF 的周长的最小值为6， 可得1||||PA PF +的最小值为4，又2F 为双曲线的右焦点，可得12||||2PF PF a =+，当A ，P ，2F 三点共线时，2||||PA PF +取得最小值，且为2||2AF =，即有224a +=，即1a =，c =，可得ce a== 故选：B ．11．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点G 与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值是( )AB ．1C D 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0E ，2，1)，(1G ，0，2)，(F x ，0，0)，(0D ，y ，0)由于 GD EF ⊥，所以 220x y +-=DF ==== 当45y =时， 线段DF故选：C ．12．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是( )A ．(-∞，3)(04-⋃，3)4B ．(-∞，0)(0⋃，3)4C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(-∞，0)(0⋃，1)【解答】解：取特殊点(0,2)P ，则PA 方程为2y x =+与椭圆方程联立，可得2716400x x ++==，所以2x =-或27-，所以2(7Q -，12)7，1PB k ∴=-，12372417QFk ==---，∴34PB QF k k =． 同理取(0,2)P -，34PB QF k k =-．根据选项，排除A ，B ，C ， 故选：D ．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2,1)a =，(,3,4)b λ=，若a b ⊥，则实数λ= 10- ． 【解答】解：向量(1,2,1)a =，(,3,4)b λ=，a b ⊥， ∴640a b λ=++=，解得实数10λ=-． 故答案为：10-．14．与双曲线22134x y -=有共同的渐近线，且过点(3,2)的双曲线方程为 2168y = ． 【解答】解：设与双曲线22134x y -=有共同的渐近线的双曲线为：2234x y m -=，0m ≠，且1m ≠，则由题意可得， 31m -=，故2m =，故双曲线方程为22168x y -=． 故答案为：22168x y -=． 15．若命题：[0x ∃∈，3]，使220x x a --…为真命题，则实数a 的取值范围是 3a … ． 【解答】解：命题[0x ∃∈，3]，使220x x a --…为真命题， 即22a x x -…在[0x ∈，3]成立； 设2()2f x x x =-，其中[0x ∈，3]； 则2()(1)1f x x =--，且当3x =时，()f x 取得最大值为f （3）3=， 所以实数a 的取值范围是3a …． 故选：3a …．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②曲线22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则542t <<； ③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点． 其中真命题的序号为 ②③④ （写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①，根据双曲线的定义知，当k 的范围满足||||k AB <时方程表示双曲线的一支，∴①错误；对于②，令4014t t t ->⎧⎨->-⎩，解得542t <<，此时曲线22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，∴②正确；对于③，解方程22520x x -+=，得12x =或2x =；12可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；对于④，双曲线221259x y -=中，c ==，焦点坐标为1(F ，0)、2F ，0)；椭圆22135x y +=中，c '==1(F '，0)、2F ，0)，它们的焦点相同，∴④正确；综上知，其中真命题的序号是②③④． 故答案为：②③④．三、解答题．（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合{|11}(0)A x a x a a =-+>剟，2{|540}B x x x =-+…． （1）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围； （2）对任意x B ∈，不等式240x mx -+…都成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）{|11}(0)A x a x a a =-+>剟，2{|540}{|14}B x x x x x =-+=剟?． 因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，即B A Ü， 所以1114a a -⎧⎨+>⎩…，或1114a a -<⎧⎨+⎩…，所以，03a a ⎧⎨>⎩…，或03a a >⎧⎨⎩…，所以3a …．所以，实数a 的取值范围是[3，)+∞．（2）要使任意x B ∈，不等式240x mx -+…都成立，又2{|540}{|14}B x x x x x =-+=剟?． 由240x mx -+…，得4x m x+…，则只要4()min m x x +…，又44x x +…，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立．实数m 的取值范围(-∞，4]．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上横坐标为3的点M 到焦点F 的距离为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，求弦长||AB ． 【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(2p F ，0)，准线方程为2p x =-， ||4MF =，由抛物线的定义可得342p+=， 2p ∴=．故所求抛物线方程为24y x =；（2）由（1）得2p =，焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为1y x =-， 并设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2610x x -+=，所以126x x +=， 可得128x x p ++=， 所以||8AB =．19．某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：数据显示单价x 与对应的销量y 满足线性相关关系．（1）求销量y （件)关于单价x （元)的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据销量y 关于单价x 的线性回归方程，要使加工后收益P 最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- 【解答】解：（1）由题意得，1(6 6.2 6.4 6.6 6.87) 6.56x =⨯+++++=，1(807473706558)706y =⨯+++++=； 则61()()5 1.20.30 1.5614i i i x x y y =--=------=-∑，621()0.250.090.010.010.090.250.7ii xx =-=+++++=∑；所以14ˆ200.7b-==-， ˆˆ70(20) 6.5200ay bx =-=--⨯=， 所以所求回归直线方程为ˆ20200yx =-+． （2）由题意可得，ˆ(3)(20200)(3)P yx x x =-=-+-， 整理得220( 6.5)245P x =--+， 当 6.5x =时，P 取得最大值为245；所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是矩形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，2AB =，1AC =，BC =，1AA =．（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）在线段1BC 上是否存在一点D ，使得1AD A B ⊥？若存在求出1BDBC 的值，若不存在请说明理由．【解答】解：（1）因为侧面11AA C C 是矩形，所以1AA AC ⊥，因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC ．（2）由（1）知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥． 由题意知2AB =，1AC =，BC =， 所以AB AC ⊥，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0A ，0，0)，(0B ，2，0)，1A，1C ，假设1(D x ，1y ，1)z 是线段1BC 上一点，其中111(,2,)BD x y z =-，1(1,BC =-，1(0,2,A B =，设1([0,1])BD BC λλ=∈，即1(x ，12y -，1)(1,z λ==-， 解得1x λ=，122y λ=-，1z =，所以(,22)AD λλ=-．若在线段1BC 上存在一点D ，使得1AD A B ⊥， 则10AD A B =，即(,22)(0,2,2)0λλ--=， 得460λ-=，解得23λ=， 因为2[0,1]3∈，所以在线段1BC 上存在一点D ，使得1AD A B ⊥，此时123BD BC λ==．21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，⋯，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x 的值； （2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解答】解：（1）由(0.0050.0100.0300.0250.010)101x +++++⨯=，解得0.02x =． （2）中位数设为m ，则0.050.10.2(70)0.030.5m +++-⨯=，解得75m =． （3）可得满意度评分值在[60，70)内有20人，抽得样本为2人，记为1a ，2a 满意度评分值在[70，80)内有30人，抽得样本为3人，记为1b ，2b ，3b ， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A ， 基本事件有1(a ，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ， 2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)b 共10个，A 包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P （A ）0.4=．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l （不过原点)O 与椭圆C 交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点． （ⅰ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值；（ⅱ）求OAB ∆面积的最大值及此时l 的斜率．【解答】解：（1）由题意得1a c c a ⎧+=+⎪⎨⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 22a ∴=，2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）（ⅰ）设直线l 为：2y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(M M x ，)M y ，由题意得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，22(12)860k x kx ∴+++=， ∴△28(23)0k =->，即232k >， 由韦达定理得：122812k x x k +=-+，122612x x k =+， ∴2412M k x k =-+，22212M My kx k =+=+， ∴12M OMM y k x k ==-，∴12OM k k =-， ∴直线OM 与l 的斜率乘积为定值．（ⅱ）由（ⅰ）可知：12|||AB x x =-==，t =，则0t >，AOB S t∆∴===， 当且仅当2t=时等号成立，此时k =0>，AOB ∴∆，此时l 的斜率为．。
福建省长汀、连城一中等六校2019_2020学年高二数学上学期期中联考试题(含解析)
福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为（）A. 45B. 60C. 50D. 542.设m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“α∥β”是“m∥β且n∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0≥x02-1”的否定为（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（）A. 恰有一个红球与恰有两个红球B. 至少一个红球与至少一个白球C. 至少一个红球与都是白球D. 至少一个红球与都是红球5.已知椭圆，则以点M（-1，1）为中点的弦所在直线方程为（）A. B. C. D.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是（）A. B. C. D.8.甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是，，标准差分别是s1，s2，则下列说法正确的是（）甲乙98 856 88210 9 3B. ,C. ,D. ,9.已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B. 1 C. D.10.双曲线的左焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右支上的动点，且△APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.11.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（）A.B. 1C.D.12.已知椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，，若，则实数λ=______．14.与双曲线有共同的渐近线，且过点（3，2）的双曲线方程为______．15.若命题：∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，则实数a的取值范围是______．16.以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②曲线表示焦点在y轴上的椭圆，则；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点．其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题）17.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．18.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．19.某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：2数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系．（1）求销量y（件）关于单价x（元）的线性回归方程=x+；（2）根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使加工后收益P最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．参考公式：==，=-20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？若存在求出的值，若不存在请说明理由．21.某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．22.已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB 的中点．（ⅰ）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；（ⅱ）求△OAB面积的最大值及此时l的斜率．4答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意可得=，求得n=54，故选：D．由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“α∥β”⇒“m∥β且n∥α”，反之不成立．∴“α∥β”是“m∥β且n∥α”的充分不必要条件．故选：A．利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系．本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0≥x02-1”的否定为：∀x∈（0，+∞），ln x＜x2-1．故选：C．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，在A中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生，∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；在B中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，但能同时不发生，故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C错误；在D中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：A．利用互斥事件与对立事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，两式相减得，∴=-•，①又∵M（-1，1）为AB的中点，∴x1+x2=-2，y1+y2=2代入①式得=，即k AB=，∴直线AB方程为y-1=（x+1），即4x-5y+9=0．故选：B．因为是一个选择题，可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程．本题还可采用常规法，先设弦所在直线方程为y-1=k（x+1），代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到x1+x2的值，又AB中点为（-1，1），则有x1+x2=-2，可解出k的值．注意验证斜率不存在的情况，中档题．6.【答案】C【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），M（0，，1），B（1，1，0），D（0，0，0），=（-1，，1），，=，所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，故选：C．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果．本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题．7.【答案】B【解析】解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，基本事件总数n==15，抽到都是正品包含的基本事件个数m==6，则抽到都是正品的概率是p=．故选：B．先求出基本事件总数n==15，抽到都是正品包含的基本事件个数m==6，由此能求出抽到都是正品的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由茎叶图中数据，计算平均数为=×（88+89+90+91+92）=90，=×（85+86+88+88+93）=88，标准差为s1==，s2==，∴＞，s1＜s2．故选：A．由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可．本题考查了平均数与标准差的计算问题，是基础题．69.【答案】C【解析】解：抛物线x2=y的焦点F（0，）准线方程y=-，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3解得y1+y2=，∴线段AB的中点纵坐标为，∴线段AB的中点到x轴的距离为，故选：C．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．10.【答案】B【解析】解：由|AF1|==2，三角形APF1的周长的最小值为6，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，又F2为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|取得最小值，且为|AF2|=2，即有2+2a=4，即a=1，c=，可得e==．故选：B．由题意可得AF1|=2，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，设F2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4，当A，P，F2三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，2，1），G（1，0，2），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y-2=0DF===当y=时，线段DF长度的最小值是故选：C．建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值．本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题．12.【答案】D【解析】解：取特殊点P（0，2），则PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=-2或-，所以Q（-，），∴k PB=-1，k QF==-，∴=．同理取P（0，-2），=-．根据选项，排除A，B，C，故选：D．取特殊点P（0，2），P（0，-2），求出，利用排除法，可得结论．本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．13.【答案】-10【解析】解：∵向量，，，∴=λ+6+4=0，解得实数λ=-10．故答案为：-10．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】-=1【解析】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，则由题意可得，3-1=m，故m=2，故双曲线方程为-=1．故答案为：-=1．由题意，设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，代入点解出m 即可．本题考查了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于基础题．15.【答案】a≤3【解析】解：命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，即a≤x2-2x在x∈[0，3]成立；设f（x）=x2-2x，其中x∈[0，3]；则f（x）=（x-1）2-1，且当x=3时，f（x）取得最大值为f（3）=3，所以实数a的取值范围是a≤3．故选：a≤3．根据命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，得出不等式a≤x2-2x在x∈[0，3]成立；求出f（x）=x2-2x在x∈[0，3]内的最大值，即可求得实数a的取值范围．本题考查了命题真假的应用问题，是基础题．16.【答案】②③④【解析】解：对于①，根据双曲线的定义知，当k的范围满足|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支，∴①错误；对于②，令，解得＜t＜4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，∴②正确；对于③，解方程2x2-5x+2=0，得x=或x=2；可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；对于④，双曲线中，c==，焦点坐标为F1（-，0）、F2（，0）；椭圆中，c′==，焦点坐标为F1′（-，0）、F2（，0），它们的焦点相同，∴④正确；8综上知，其中真命题的序号是②③④．故答案为：②③④．①根据双曲线的定义知|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支；②根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；③求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；④分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标，判断是否相同即可．本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题，是基础题．17.【答案】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，所以，或，所以，，或，所以a≥3．所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．实数m的取值范围（-∞，4]．【解析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，∵|MF|=4，由抛物线的定义可得，∴p=2．故所求抛物线方程为y2=4x；（2）由（1）得p=2，焦点F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1，并设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，得x2-6x+1=0，所以x1+x2=6，可得x1+x2+p=8，所以|AB|=8．【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；（2）求得直线l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由题意得，=×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5，=×（80+74+73+70+65+58）=70；则，；所以，，所以所求回归直线方程为．（2）由题意可得，，整理得P=-20（x-6.5）2+245，当x=6.5时，P取得最大值为245；所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元．【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；（2）由题意写出收益函数P的解析式，求出P取最大值时对应的x值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题．20.【答案】解：（1）因为侧面AA1C1C是矩形，所以AA1⊥AC，因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC．（2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB．由题意知AB=2，AC=1，，所以AB⊥AC，如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，2，0），，，假设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，其中，，，设（λ∈[0，1]），即（x1，y1-2，z1）═，解得x1=λ，y1=2-2λ，，所以．若在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，则，即，得4-6λ=0，解得，因为，所以在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，此时．【解析】（1）由已知先证明AA1⊥AC，利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC．（2）假设存在．设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，且（λ∈[0，1]），求出，解得λ的值，即可求解．本题主要考查了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．【解析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率．10本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．22.【答案】解：（1）由题意得，解得，∴a2=2，b2=a2-c2=1，∴椭圆C的方程为；（2）（ⅰ）设直线l为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），由题意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0，∴△=8（2k2-3）＞0，即，由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=，∴，，∴，∴，∴直线OM与l的斜率乘积为定值．（ⅱ）由（ⅰ）可知：，令=t，则t＞0，∴S△AOB==≤=，当且仅当t=2时等号成立，此时k=±，且满足△＞0，∴△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±．【解析】（1）由题意得，解得即可求出方程，（2）（i）设直线l为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出，（ii）先根据弦长公式求出|AB|，再令=t，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式，属于中档题．。
福建省长汀一中连城一中等六校2018-2019学年高二上学期期中考联考试题语文(含答案)
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018-2019学年第一学期半期考高二语文试题（考试时间：150分钟总分：150分）一.语文基础知识（29分，1-7题每小题2分，8-12每题3分）1.下列加点字的音形都正确的一项是（2分）A.赍．发（jī）棨．戟（qǐ）襜纬．（wéi）星分翼轸．（zhěn）B.鲲．鹏（kūn）夭阏．（yān）央浼．（měi）梓．泽丘墟（zǐ）C.泠．（líng）然沮．（jǔ）丧狙．（jū）击衡阳之浦．（pǔ）D.怂．恿（sǒng）涎．皮（dàn）蓬蒿．(hāo) 委．以微贱（wěi）2.下列各项中加点字完全正确的一项是（2分）A.所赖君子见机．机：机会三径就．荒，松菊犹存就：接近，将要B.宇文新州之懿．范懿：美好老当益壮，宁．移白首之心宁：怎么，哪里C.抢．榆枋而止抢：抢先北海虽赊．，扶摇可接赊：遥远D.披．绣闼披：开他日趋．庭趋：走向3.下列各句中，不含通假字的一项是（2分）A.此小大之辩也B.小知不及大知C.云销雨霁D.气息奄奄，人命危浅4.对下列各句中加点词的活用现象，归类正确的一项是(2分)①园日．涉以成趣②悦．亲戚之情话③宾主尽东南之美．④乐．琴书以消忧⑤而后乃今将图南．⑥屈．贾谊于长沙⑦臣不胜犬马．．怖惧之情⑧臣具以表闻．A．①③/②④⑥/⑤⑦/⑧ B．①⑦/③/②④/⑥⑧/⑤C．①③⑤⑦/②④⑥⑧ D．①⑤⑦/②③⑥/④/⑧5.下列各句中的加点词，与现代汉语最接近的一项是（2分）A.庶刘侥幸．．．．，保卒余年 B.三餐而反，腹犹果然C.众人．．匹之，不亦悲乎 D.千里逢迎．．，高朋满座6．下列各组选项中，句式特点不同的一项是 (2分)A．遂见用于小邑既自以心为形役B．勃，三尺微命，一介书生《齐谐》者，志怪者也C．彼且恶乎待哉之二虫又何知D．奉晨昏于万里今臣亡国贱俘7.下列两组句子中对加点的虚词的含义和用法分析正确的一项是（2分）①问征夫以．前路②农人告余以．春及③穷且．益坚，不坠青云之志④且．举世誉之而不加沮A.①②相同，③④不同B.①②相同，③④相同C.①②不同，③④不同D.①②不同，③④相同8.下列有关文学文化常识，表述不正确的一项是（3分）A.三秋：指秋季。
福建省龙岩市长汀一中2018-2019学年上学期高二第二次月考数学试卷(理科)(精品解析)
径 6 化 2为径 6
2为
2
椭 3 个 椭 2 2，
求出 m，n，再根据余弦定理求出
|选
2 |，且|选 1 |
椭 됃，|选
本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线，求它们的一个交点与焦距构成的三角形的面积 着重考查了椭圆、双 曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
1选 2
椭 个，根据椭圆和双曲线的定义可得 됃 化 个 椭 2 6，됃 椭 ，根据三角形的面积公式计算即可． 3
1选 2
A.
4
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
【答案】D 【解析】解：设|选 在椭圆 化 在双曲线
6 2 等2 件2 3 等2 1|
3
解得 됃 椭 6 化 2，个 椭 6 |
1 2|
件2 椭 1 中，|选
椭 1 中，|选
|选
1|
2 |，且|选 1 |
化 |选
1|
在椭圆中轰2 椭 6，知2 椭 3， n2 椭 轰2 椭 2n 椭 2 3，
知2 轰 轰
知2 轰
等2
件2 知2
解得： 椭 2径舍为或 椭 ． 故选：A．
2
化 3轰n
2 1
椭
为，则|选 椭
2轰n 知2
椭 1，可得 件 椭
1| 知2 轰 轰2 n2 2轰n
知2 轰
， 椭 2n，
2轰2
2n
椭 0，即
1
椭
椭 ，而| 22
3 椭 ，
1 2|
化 3
4
2 椭 0．
由已知画出图形，求出 P 的坐标，在逐 7. 以下说法中正确的说法有径 方程 命题 物：
福建省长汀、连城一中等六校2019届高三上学期期中考联考数学(文)试题
“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考2018—2019学年第一学期半期考高三（文科）数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1、已知集合P {}3|->=x x ，Q {}043|2≤-+=x x x ，则=Q P （ ） A. ),4[+∞- B. ),3(+∞- C. ]1,3(- D. ]1,4[- 2、已知复数iiz 215+-=（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3、若],2[,51sin ππθθ∈=，则θtan 的值为（ ） A ．126B ．62-C ．126-D ．624、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975、 函数||2sin 2x y x =的图象可能是 ( )A B C D6、下列关于命题的说法错误．．的是（ ） A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为 “若2x ≠，则2320x x -+≠”； B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件； C. 若命题:,21000n p n N ∃∈>，则:,21000n p n N ⌝∀∈>； D. 命题“(),0,23xxx ∃∈-∞<”是假命题.7、如图在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，在边AC 上，且3CD DA =，则 ( ) A 17312GD AB AC =+ B 11312GD AB AC =-- C 17312GD AB AC =-+ D 11312GD AB AC =-+ 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 3πB. C. 12π D. 48π 9、若0a >，0b >且24a b +=，则1ab的最小值为（ ） A ．12 B ． 2 C. 4 D ．1410、已知函数()f x 是定义域为的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()0.5log 2a f =， ()2log 4b f =， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 11、已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f ,0)(,1)(21==x f x f ， 若12||x x -的最小值为12，且21)21(=f ，则()f x 的单调递增区间为（ ） A. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦B. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12、已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满足)()('x xf x f -<，则不等式)4()2()2(2-->+x f x x f 的解集是( )．A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。
-数学-高二-福建省长汀一中 连城一中等六校2017-2018学年高二上学期期中联考数学(理)试卷
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数c b a ,,，则以下正确的是（ ）A.若b a >，则ba 11< B.若b a <，则22bc ac < C.若0,0>>>m a b ，则1>++>ma mb a b D.44≥+a a2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,， 75,60,4===C B a ，则b =（ ） A. 52 B. 62 C. 32 D.3113. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿共600斤，则不更和上造两人分得的鹿肉斤数为（ ）A ．200B ．240C ．300D ．340 4.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则=∆ABC S ( )A ．3 B．．．6 5.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且422a a =，则84S S =( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 96.在△ABC 中，已知2:1:=B A ，角C 的平分线CD 把△ABC 面积分为3:5两部分，则cosA 等于( )A. 65B. 34C. 12 D ． 137. 设正实数z y x ,,满足04322=-++z y xy x ，则zxy的最大值为（ ） A ．41 B ．51C ．61 D ．718.已知等比数列{}n a 中，0n a >，公比1q <，且满足3564a a =，2620a a +=，则8a =（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2 9.下面给出一个“直角三角形数阵”：4121， 43，23，3 ……其中每一列的数成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且公比相等，则第8行的数之和等于( )A.512255B. 510C. 256 D ．72 10.已知数列}{n a 满足点))(,(1*+∈N n a a n n 在函数1)(+=x x f 的图像上，且11=a ，则数列})2(1{na n +的前10项和为（ ）A.264175 B.132175 C. 2417 D.241111.设实数y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤--≤--0330104x y y x ，若0,0≥≥y x 的目标函数)00(>>+=b a by ax z ，的最大值为5，则ba 321+的最小值为（ ） A ．325 B ．311 C ．35D ．32 12.已知二次函数)0(12)(2>++=a bx ax x f ，若方程x x f =)(的根1x 与2x 满足1||1<x ，2||21=-x x ，则实数b 的取值范围是（ ）A 41-<b 或67>b B 61 -<b 或1211>b C 121<b 或1211>b D 61-<b 或67>b 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥12x y x x y ，则y x z -=3的最大值是_______．14.某观察站C 与两灯塔A,B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东 30处，则两灯塔A,B 间的距离为__________米.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，对任意n N *∈，满足21n a ＋＋n S －2＝0,则数列{}n a 的通项公式为_______．16.在ABC ∆中，2=BC ，2=AC ，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，D C ,两点在直线AB 的同侧），当ACB ∠变化时，线段CD 的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知不等式012≤-+bx ax 的解集为}12|{≤≤-x x ． （I ）求b a ,的值；（II ）求不等式020322>--b x ax 的解集．18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且c b B a +=⎪⎭⎫⎝⎛-3cos 2π （I ）求角A 的大小； （II ）若6=a ，ABC ∆的面积为23，求C B sin sin +的值.19.（本小题满分12分）某大型医院年初以102万元购进一台高档扫描仪器，在使用期间每年有20万元的收入．该机器的维护费第一年为万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多1万元，同时该机器第x （*∈N x ，60≤x ）年底可以以(x 2130-)万元的价格出售． （I ）求该大型医院到第x 年底所得总利润y （万元）关于x （年）的函数解析式，并求其最大值；（II ）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该大型医院应在第几年底出售这台扫描仪器？说明理由．20.（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，1123(2,)n n n a a n n N -*-=-≥∈，3()n n n b a n N *=+∈.（I ）求证:数列{}n b 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n b n +的前n 项和n S .21.（本小题满分12分）在梯形ABCD 中，BC AD //，2=AB ，7=BC ，1=AC .（I ）求ACB ∠sin 的值；（II ）若π32=∠D ，求梯形ABCD 的面积.22.（本小题满分12分） 已知函数135()cos 2f x x x π=--+，且数列{}n a 满足1()3()3n n a a nf n N π*++=+∈. （I ）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若对任意的n N *∈,都有20n a n +≥成立，求1a 的取值范围.“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017-2018学年第一学期半期考高二数学（理科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分）二、填空题（共4题，每题5分）13. 2 14. 700 ⎪⎪⎨⎧≥-==-2,)1(1,31n n a n n三、解答题（共6题）17.（10分）（Ⅰ）依题意知012=-+bx ax 的根为1和-2，由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-111aab21==∴b a ---------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得21==b a ∴只要解01032>--x x0)2)(5(>+-∴x x 5>∴x 或2-<x∴不等式的解集为}25{-<>x x 或 --------------------------------------10分18.(12分)（Ⅰ）c b B a +=-)3cos(2π∴()c b B B a +=+sin 3cos由正弦定理得：()C B B B A sin sin sin cos sin +=+ ------------2分()B A C +=sin sinB A B A B B A B A sin cos cos sin sin sin sin cos sin ++=+∴即B A B B A sin cos sin sin sin +=0sin >B216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πA -------------------------------5分 ()π,0∈A 3π=∴A -------------------------------6分（Ⅱ）由23sin 21==A bc S ，得2=bc ---------------------- ---7分 由6=a 及余弦定理得，()3cos26222πbc c b -+=32=+∴c b ---------------------------------------- ---10分()26sin sin sin =+=+∴c b a AC B ------------------------12分 19.（12分）（I ）依题意得7219212130]2)1([10220)(2-+-=-+++--=x x x x x x x x f ----4分 60,≤∈*x N x∴当19=x 时2217)(max =x f ∴该医院到第19年所得的总利润最大，最大值为2217万元. ---------------------------6分 （Ⅱ）依题意年平均利润为)722(19197221)()(xx x x x x f x g +-=+--== -------9分 12362722=≥+xx ，当且仅当1442=x 即12=x 时等号成立 ∴该医院在第12年底出售该机器时经济效益最大.-----------------------------------------------12分20.（12分）（I ）证：1111111111132332(3)2333n n n n n n n n n n n n n n n b a a a b a a a -----------+-++====+++是一个常数………….4分∴数列{}n b 为等比数列，公比为2，首项为1134a +=113422n n n n a -+∴+=⨯= ………………………………………………………………………………..5分123n n n a +∴=- ………………………………………………………………………………..6分 （II）由（I）知12n n b +=则 ………………………………………………………………………………..7分2341234122(12)(22)(32)(2)(123)(2222)(1)2(12)212(1)242n n n n n S n n n n n n +++=++++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-=+-+=+-…………………………………………………………..12分21.（Ⅰ）在ABC ∆中 77272471cos =-+=∠ACB -------------------------------------2分 721sin 1sin 2=∠-=∠∴ACB ACB-----------------------------------------------4分（Ⅱ）BC AD //ACB DAB ∠=∠∴在ADC ∆中，()1421sin sin =∠+∠=∠D DAC ACD ------------------------------8分由正弦定理得：DACACD AD ∠=∠sin sin 77=∴AD -------------------------------------------------------------------------------10分∴梯形ABCD 的面积=734sin 21sin 21=∠•+∠•=+∆∆DAC AC AD ACB BC AC S S ADC ABC--------12分（也可利用三角形相似求梯形面积）22.（12分）解：（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，依题意得2)3(=πf ，故321+=++n a a n n 则 (1)分⎩⎨⎧=+=+=+=+73252123112d a a a d a a a 解的1=d ，21=a ……………………………………….3分.∴数列}{n a 的通项公式为1+=n a n ……………..……………………………………….4分.（II ）由（I ）得321+=++n a a n n ① 3)1(21+-=+-n a a n n ② 两式相减得)2(211≥=--+n a a n n ……………..……………………………………….5分∴数列}{2n a 是以2a 为首项，2为公差的等差数列，数列}{12-n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列 ……………..……………………………………….6分.又521=+a a 125a a -=∴⎩⎨⎧-++-=∴为偶数为奇数n a n n a n a n ,3,111 ……………..………………………………………8分.对任意的*∈N n 都有02≥+n a n 成立n ∴为奇数时01212≥++-=+n a n n a n 恒成立∴121-+≤-n n a 在n 为奇数时恒成立11≤-∴a11-≥∴a ……………..……………………………………….10分.同理当n 为偶数时03212≥+-+=+n a n n a n 恒成立∴321++≤n n a 在n 为偶数时恒成立91≤∴a911≤≤-∴a ……………..……………………………………….12分.。