2018届高三文科数学一轮复习 抛物线
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第3课时 抛物线
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2.已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O、焦点在x轴上的抛物 线C交于A，B两点，ΔOAB的垂心恰为抛物线的焦点，求 抛物线C的方程.
【解题回顾】(1)注意运用平面几何的知识 (2)平面几何中的垂直在解析几何中可转化为斜率之积为-1
3. 若 一 直 线 与 抛 物 线 y2=2px(p ＞ 0) 交 于 A 、 B 两 点 且 OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线 的方程
第3课时 抛物线 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.抛物线的定义：平面内到定点F与到定直线l(F l )的距离 l 之比为1的点的轨迹叫做抛物线
2.抛物线标准方程的四种形式y2=2px , y2=-2px , x2=2py , x2=-2py，当p＞0时分别表示焦点在x轴上，开口向右、开 口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线
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课前热身
1.焦点在直线3x-4y+12=0上的抛物线的标准方程是________
y2=-16x或x2=12y ___________________ 2.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点， 8 若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______.
3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8
【解题回顾】将实际问题量化，建立恰当的数学模型， 使用准确的语言加以描述，是数学应用能力的主要体现.
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误解分析
(1)不了解光学性质致使解题无法入手，由光学性质知PQ 为抛物线过终点的弦.
(2)目标函数的正确建立是解题之关键同时要能根据具体 目标函数选择适当的方法求最值.
抛物线+讲义 高三数学一轮复习
8.7.1 抛物线一、课标要求1.了解抛物线的定义几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.二、知识梳理1.抛物线的定义（1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离_____的点的轨迹.（2）焦点：________叫做抛物线的焦点.（3）准线：________叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向三、典例探究例1 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ( )A. 2B. 3C. 6D. 9变式：已知抛物线y2=8x在第一象限内的一点A到其焦点的距离为8，则点A的纵坐标为( )A. 2√3B. 6C. 4D. 4√3例2设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|+|PF|的最小值为 ______.变式：设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，求点P到A(−1,1)的距离与点P到直线x=−1的距离之和的最小值.四、课堂练习1、平面中到点A(1,0)和直线x=−1的距离相等的点的轨迹方程为( )A. y2=2xB. y2=4xC. x2=2yD. x2=4y2、若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m= ( )A. 8B. 4C. 2D. 123、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|等于( )A. 9B. 8C. 7D. 64、已知△ABC的三个顶点都在抛物线T:y2=2px(p>0)上，C(2,−8)，且抛物线的焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|= ( )A. 40B. 38C. 36D. 345、若F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M(m,4)在C上，直线MF交C 的准线于点N，则|FN|= ( )A. 54B. 103C. 5D. 126、设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|= ( )A.2B. 2√2C. 3D. 3√2。
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
抛物线高三一轮复习 ppt课件
从而 r＝|2
2＋2 8＋9
2|＝4
2 17.
又直线 GB 的方程为 2 2x＋3y＋2 2＝0.
所以点 F 到直线 GB 的距离
d＝|2
2＋2 8＋9
2|＝4
172＝r.
这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切．
基础诊断
考点突破
【训练 1】 (1)(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知点 F 为抛物 线 y2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的 距离为 5，则直线 AF 的斜率为________． (2)动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹 方程为__________． 解析 (1)由于点 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第 一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则 xA＋p2＝xA＋1＝5，则 A(4,4)，又 F(1,0)，所以直线 AF 的斜率为44－ －01＝43.
抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2， 则抛物线 C2 的方程为________． (2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知 AB＝4 2，DE＝2 5， 则 C 的焦点到准线的距离为________．
所以 m＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)．
由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
由yy＝ 2＝24x2x－1， 得 2x2－5x＋2＝0，
解得 x＝2 或 x＝12，从而 B12，－
2.
基础诊断
考点突破
[精]高三第一轮复习全套课件抛物线及其标准方程
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四种抛物线的标准方程对比
图形
y
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 px
2
o
y
x
2
p
p
2
0
p ,0 2
x
p 2
y 2 px
o
y
x
0
p ,0 2
x
p 2
x 2 py
o o
y
x
p
2
0
p 0, 2
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、求标准方程:
（1）用定义 （2）用待定系数法
靓图欣赏
2
①
把①代入抛物线方程 y 4 x ，得
x 1
2
4 x 化简，得 x 6 x 1 0
2
解方程得 x1 3 2 2 , x 2 3 2 2 将x1，x2代入方程①中得：y1
2 2 2 , y2 2 2 2
即A、B的坐标分别为 3 2
（4）化简 （5）证明
想 一 如何建立直角坐标系？ 想
√
建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线L，垂足为K， 并使原点与线段KF的中点重合。 p ，, 0 设|KF| = P ( P > 0 ), 那么焦点的F的坐为 准线L的方程为 x ＝ －
p 2
2
设点M（x ，y）是抛物线上任意一点，点M到L的距离为d。 由抛物线的定义，抛物线就是集合 P＝{M||MF|=d}
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
2018高考数学文科一轮复习讲义 13.3 第三节 抛物线
第三节 抛物线【考点点知】知己知彼，百战不殆抛物线是圆锥曲线中一种比较重要的曲线，新课标要求：掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．所以复习时文理应不同对待，文科主要注重对基本知识、基本题目的复习，而理科还应加深理解，作适当的加深训练．考点一: 抛物线1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.方程y 2=±2px ,x 2=±2py (p >0)叫做抛物线的标准方程，有四种形式.3.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标是)0,2(p ,它的准线方程是2px -=,它的开口方向向右.4.抛物线y 2=－2px (p >0)的焦点坐标是)0,2(p-,它的准线方程是2p x =,它的开口方向向左.5.抛物线x 2=2py (p >0)的焦点坐标是)2,0(p ,它的准线方程是2py -=,它的开口方向向上.6.抛物线x 2=－2py (p >0)的焦点坐标是)2,0(p -,它的准线方程是2py =,它的开口方向向下.7.抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M (x 0，y 0)与焦点F 的距离｜MF ｜＝02x p+. 8.抛物线y 2＝－2px （p ＞0）上的点M （x 0，y 0）与焦点F 的距离｜MF ｜＝02x p-. 9.抛物线x 2＝2py （p >0）上的点M （x 0，y 0）与焦点F 的距离｜MF ｜＝02y p+. 10.抛物线x 2=－2py (p >0)上的点M （x 0,y 0）与焦点F 的距离|MF |=02y p-.考点二: 抛物线的几何性质1.已知抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是 x ≥0.2.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.3.在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2(),,2(p pp p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1.(基础·2006连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为1-=x ，l AM ⊥，垂足为M ，若12AO AM =+，则点A 的轨迹是 ( )A ． 椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆思路透析:作直线13:2l x =-,设点A 到直线13:2l x =-的距离为d , 由已知12AO AM =+,可得AO d =,即点A 的轨迹为抛物线,故应选C.点评:直接利用抛物线的定义可得结论.抛物线的定义,平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.例2.(基础·2007广东卷理科11)在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .思路透析:抛物线22y px = (0p >)的焦点坐标为(,02p ). ∵12OA k =, 线段OA 的中点坐标为(1, 12), 线段OA 的垂直平分线的斜率12OAk k =-=-, ∴线段OA 的垂直平分线方程为12(1)2y x -=--, 其与x 轴的交点坐标为5(,0)4, ∴524p =, 故抛物线的准线方程为524p x =-=-,即54x =-. 点评:本题考查了应用基本量法求抛物线的标准方程,考查了考生对圆锥曲线基础知识的基本方法的掌握.新高考圆锥曲线中档题的设置仍然集中于对圆锥曲线的标准方程的研究或对其简单的性质的探讨.部分考生将抛物线的焦点坐标设为(,0)p ,而使方程求解出现错误,属基础知识掌握不牢.对于圆锥曲线中的基本量、基本量的关系、特殊点的坐标要注意理解与记忆.例3.(综合·2007宁夏卷理科6文科7)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ， 点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =·思路透析:如图所示,由抛物线的定义可得,112233||,||,||222p p pFP x FP x FP x =+=+=+ ∵1322x x x +=,∴121212||||22p p FP FP x x x x p +=+++=++332()2||2px FP =+=, 故应选C.点评:部分考生忽视了抛物线的定义在解题中的应用,而直接利用两点间的距离求解与转化,另外对于命题的结论缺乏猜想意识,转化不成功而随意选择一个结论.对于圆锥曲线中涉及焦点弦或焦半径等问题,一定要首先联想应用定义法求解,将线段的长度运算转化为一维的坐标运算,降低运算量.例4.(综合·2007山东卷理科13文科9)设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）A ．214pB ．2C ．6p D ．1336p 思路透析:如右图所示,过点A 作AA 1⊥l 于点A 1,则AA 1=AF,∴点A 的横坐标1||||22A p p x AA FA =-=-,又FA与x 轴正半轴夹角为600,∴点A 的横坐标0||||cos602A F p FA x x FA +=+=,∴||||22p p FA FA +-= ,解之得||2FA p =,则点A 的坐标为A 00(||cos 60,||sin 60)2p FA FA +, 即A(32p ),∴||2OA p == . 故应选B.点评:不少考生将直线FA 的方程求出,代入抛物线方程,求得了两个交点A,忽视了对向量夹角位置关系的判断.处理抛物线焦半径时要注意抛物线定义的巧妙应用,从中几何图形中去挖掘几何量的定值与定点位置关系研究.例5.(创新探究·2007黄冈模)已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.．思路透析: 由题意设抛物线C 的方程为y 2＝2px （p >0），且x 轴和y 轴不是所求直线，又L 过原点，因而可设L 的方程为y =kx （k ≠0），设A ′B ′分别是A 、B 关于L 的对称点．A ′（x ′，y ′）关于y =kx 对称于A （－1，0）则12,11(22111222+-+-'⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=⋅-'-=+''k k k k A y k x k x y同理B ′［1)1(8,116222+-+k k k k ］ 又A ′、B ′在抛物线C 上，所以（122+-k k ）2＝2p ·1122+-k k由此知k ≠1，即p ＝1242-k k , ［1)1(842--k k ］2＝2p ·1162+k k ，由此得p ＝k k k )1()1(2222+-,从而k k k k k )1()1(21222242+-=-，整理得k 2－k －1＝0 所以251,25121-=+=k k , ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=5522511p k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=-=)(05522512舍p k 所以直线l 方程为y ＝251+x ，抛物线方程为y 2＝554x ． 点评:本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.例6.(创新探究·2007湖北理,19)在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2=2px (p >0)相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点， 求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.思路透析:解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N (0,-p ),可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，直线AB的方程为y =kx +p ,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.22p kx y py x 消去y 得x 2-2pkx -2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk ,x 1x 2=-2p 2. 于是21221x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=+=∆∆∆ ＝21221214)(x x x x p x x p -+=-＝.228422222+=+k p p k p p222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当.(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y =a ,AC 的中点为为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）点的坐标为（2,2,11py x O PQ H O +'⊥' 2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22121p y +. ,221211p y a p y a H O --=+-=' 222H O P O PH '-'=∴=21221)2(41)(41p y a p y ---+ ＝),()2(1a p a y pa -+-22)2(PH PQ =∴=.)()2(42⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-a p a y p a令02=-p a ，得p PQ pa ==此时,2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=＝.21222+⋅+k k p 又由点到直线的距离公式得212kp d +=.从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k pk k p AB d S ABN .22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当 得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.0tan 2222,0θaz y a x a ay ax （Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得).(1)2(4))((4,0))((121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 2,y 2),Q (x 4,y 4),则有.)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-=令p PQ pa p a ===-此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =.即抛物线的通径所在的直线.点评:本题以直线与抛物线的位置关系为背景, 将解析几何中的各数学思想方法交汇在一起, 属于思想方法的交汇, 其解题方法的多样性是本题的一大特色, 其每一问均有超过三种以上的解法, 且每一问题在难度上逐渐递进, 从多方位多角度考察了考生分析问题解决问题的能力,解析过程中注意参数的合理转化, 简化了运算的过程及计算量,也体现了设而不求的解几思想.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.(2)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.(3)抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.(4)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.2.学以致用:(1)抛物线y =x 2的准线方程是A. 4y +1=0B. 4x +1=0C. 2y +1=0D. 2x +1=0(2)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43B ．75C ．85D ．3(3)在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .(4)已知抛物线y 2=4x 的一条弦AB ，A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2）则2111y y += . 答案:(1)D 解析:121,,41024p p y y =∴=-=-∴+=，选D. (2)A 解析:设抛物线2y x =-上任意一点为2(,)x x -,则点到直线4380x y +-=的距离d=22|348|5x x -+=当2433x d ==最小值时,, 故应选A. (3)54x =-解析:抛物线22y px = (0p >)的焦点坐标为(,02p ).∵12OA k =, 线段OA 的中点坐标为(1, 12), 线段OA 的垂直平分线的斜率12OAk k =-=-, ∴线段OA 的垂直平分线方程为12(1)2y x -=--, 其与x 轴的交点坐标为5(,0)4, ∴524p =, 故抛物线的准线方程为524p x =-=-,即54x =-. (4)12解析:设直线AB 的方程为(2)x m y =- , 代入抛物线方程24y x =可得2480y my m -+= , 由点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y , 可得121212114182y y m y y y y m ++=== . 3.易错分析:(1)运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. (2)抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;(3)定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化. (4)解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.若抛物线24x y =-上一点M 到焦点F 的距离为1，则点M 的横坐标为( ) A ．78-B ．98-C ．1716-D ．1516- 2.在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ( ) A.21B.1C.2D.4 3.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mnnm +等于 （ ）A ．2aB ．4aC ．a 21 D ．a4 4.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是A ．4 B． C． D ．85.设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0 ，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．36.已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点p 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛4,27A ，则PA + PM 的最小值是 （ ） A ．211 B ．4 C ．29 D ．5二、填空题:7.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线,交抛物线于A 、B 两点,则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.8.设P 为抛物线y 2=x 上一点，且P 到此抛物线的准线的距离为d,当P 点到直线x-y+2=0的距离最小时，d 的值等于__________________.9.直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 10.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）三、解答题:11.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （Ⅰ）过点（－3，2）；（Ⅱ）焦点在直线x －2y －4=0上.12.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F TM P 、、、满足(1,0),(O F O T t ==- ，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥（Ⅰ）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程（Ⅱ）若过点F 的直线交曲线C 于A B 、两点，求证：直线TA TF TB 、、的斜率依次成等差数列13.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．14.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（Ⅲ）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【能力训练】参考答案一、选择题:1. D2. C3. D4. C5. B6. C二、填空题:7. (x -1)2+y 2=4 8.12 9. （3，2） 10. ②⑤ 三、解答题:11.解析:（Ⅰ）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（－3，2），∴4=－2p （－3）或9=2p ·2.∴p =32或p =49. ∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－89. （Ⅱ）令x =0得y =－2，令y =0得x =4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）.当焦点为（4，0）时，2p =4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，2p =2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y .∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2.12.解析：（I ）设点P 的坐标为(,)x y ，由FM MT = ，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2t M ，(,)2t PM x y =-- ， 又(2,),FT OT OF t =-=- (1,)PT x t y =--- ，由PM FT ⊥ ， 得2()02t x t y +-=， ① 由//PT OF ，得(1)0()10,x t y t y --⨯+-⨯=∴= ②由①②消去t ，得24y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程（II ）证明：设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2t k =- 设直线AB 方程为1x my =+ 241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=， 12124,4y y m y y +=⎧∴⎨⋅=-⎩ 2222121212()2168y y y y y y m ∴+=+-=+，1212121y t y t k k x t x --∴+=+++2221122212()(1)()(1)44(1)(1)44y y y t y t y y -++-+=++ 2212121212222212124()4()16()324()16y y y y t y y y y t y y y y +-+++-=+++2t k =-= 12,,k k k ∴成等差数列13.解析：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →，即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)， ⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |． |FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4 ＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ． 因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2． 于是S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4． 14.解析:(Ⅰ) 抛物线2y =2px 的准线为x =-2p ,于是4+2p =5, ∴p =2. ∴抛物线方程为2y =4x .(Ⅱ)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y =34(x -1),MN 的方程为y -2=-43x ,解方程组得x =58,y =54,∴N 的坐标(58,54). (Ⅲ)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m =4时, 直线AK 的方程为x =4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y =m-44(x -m ),即为4x -(4-m ) y -4m =0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d =2)4(1682-++m m ,令d >2,解得m >1 ∴当m >1时, AK 与圆M 相离; 当m =1时, AK 与圆M 相切; 当m <1时, AK 与圆M 相交.。
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2= ( + ) + -1-2=2.
当且仅当N,M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时,两个等号成立,
因此,|MN|+d的最小值为2.故选D.
(1)两个距离的转化:“到焦点的距离”和“到准线的距离”可以
互相转化,解题时要做到“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
当x≥0时,因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所
以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动
点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛
物线的方程为y2=8x.
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
求抛物线的标准方程的方法
根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2=-20y或
x
(2)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程为
y2=-60x
.
解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0),
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
考点二
抛物线的标准方程
[例2] (1)如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为
(
)
2
A.y =x
B.y2=9x
2
C.y =x
√
D.y2=3x
解析:(1)如图,设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,
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5 C． 4
7 D．பைடு நூலகம்4
2．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值是 3 5 A． 5 B． 2 11 C． 5 ( D．3 )
解析：由题可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设抛物 线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值， 即焦点 F 到直线 l1： |4－0＋6| 4x－3y＋6＝0 的距离，所以最小值是 ＝2． 5 答案：B
2． 焦点在直线 2x＋y＋2＝0 上的抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－4x 或 x2＝－8y
3．(教材习题改编)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离 为 1，则点 M 的纵坐标是________．
解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离， 1 又准线方程为 y＝－ ， 16 1 15 设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ ． 16 16 15 答案： 16
1． 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件， 当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂 直的直线． 2．抛物线标准方程中参数 p 易忽视，只有 p＞0 才能证明其 几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等的点的 轨迹是 A．椭圆 C．抛物线
2．已知 M 是抛物线 x2＝4y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C： (x＋1)2＋(y－5)2＝1 上，则|MA|＋|MF|的最小值是( A．4 C．6 B． 5 D．7 )
解析：依题意，由点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝－1 引 垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|， 结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1,5)到 y＝ －1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6－1＝5，因此|MA| ＋|MF|的最小值是 5，故选 B． 答案：B
p －x0＋2 _______
p y0 ＋ 2 ______
[小题体验] 1．(2016· 全国甲卷)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，曲线 y
k ＝x(k＞0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k＝ 1 A． 2 B． 1 3 C． 2 ( D．2 )
解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)． k 又∵曲线 y＝x(k＞0)与 C 交于点 P， PF⊥x 轴， ∴P(1,2)． k 将点 P(1,2)的坐标代入 y＝x(k＞0)，得 k＝2．故选 D． 答案：D
x≥0， y∈ R 向右
p x＝2 _____
x≤0， y∈ R 向左 |PF|＝
p y＝－2 _______
y≥ 0， x∈R 向上 |PF|＝
p y＝ 2 _____
y≤0， x∈R 向下 |PF|＝
p － y 0＋ 2 _______
焦半径 |PF|＝ (其中P(x0， p x 0＋ 2 y0)) ______
答案：D
( B．双曲线 D．一条直线
)
2．抛物线 8x2＋y＝0 的焦点坐标为________．
1 解析：由 8x ＋y＝0，得 x ＝－ y． 8
2 2
1 1 ∴2p＝ ，p＝ ， 8 16
1 ∴焦点为0，－32． 1 答案：0，－32
考点一
抛物线定义及应用
[由题悟法] 应用抛物线定义的 2 个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离 相互转化． (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF| p p ＝|x|＋ 或|PF|＝|y|＋ ． 2 2
[即时应用] 1． 已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点， |AF| ＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点 D 到 y 轴的距离为 3 A． 4 B． 1
标准 方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
y2＝2px
标准方程 (p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 对称轴 焦点 离心率 y＝ 0
p ，0 2 F_______
O(0,0) x＝0
p 0， 2 F______
抛物线
淮北一中数学组
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 (3)定点不在 定直线上．
相等
；
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
2
(
)
1 解析： 因为抛物线 y ＝x 的准线方程为 x＝－ ． 如 4 1 图所示，过点 A，B，D 分别作直线 x＝－ 的垂 4 线，垂足分别为 G，E，M，因为|AF|＋|BF|＝3， 根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所 |BE|＋|AG| 3 以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝ ＝ ，所以线段 AB 的中 2 2 3 1 5 点到 y 轴的距离为 － ＝ ． 答案：C 2 4 4
[典例引领] 1．(2016· 合肥市第二次质量检测)已知抛物线 y2＝2px(p>0)上一 点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( A．± 3 B． ± 1 3 C．± 4 D．± )
3 3 p 解析：设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋ ＝2p，解 2 3p 得 xM＝ ，代入抛物线方程可得 yM＝± 3p，则直线 MF 的斜 2 yM ± 3p 率为 答案：A p＝ p ＝± 3，选项 A 正确． xM－ 2
p － ，0 2 F________
p 0，－ 2 F________
e＝__ 1
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
准线方程 范围 开口方向
p x＝－2 ______