简单线性回归
数据分析中的回归分析技巧
数据分析中的回归分析技巧在数据分析领域，回归分析是一种常用的统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
本文将介绍一些回归分析的技巧和应用案例。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究一个自变量与一个因变量之间的关系。
在简单线性回归中，我们假设自变量和因变量之间存在线性关系，通过拟合一条直线来描述这种关系。
例如，我们可以使用简单线性回归来研究广告投入与销售额之间的关系。
通过分析历史数据，我们可以得到一个回归方程，从而预测未来的销售额。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在多元线性回归中，我们可以考虑更多的因素对因变量的影响。
例如，我们可以使用多元线性回归来研究房屋价格与房屋面积、地理位置和房龄等因素之间的关系。
通过分析这些因素，我们可以建立一个回归模型，从而预测房屋价格。
3. 逐步回归分析逐步回归分析是一种逐步选择自变量的方法，用于确定最佳的回归模型。
在逐步回归中，我们从一个包含所有可能的自变量的模型开始，然后逐步剔除对因变量的解释程度较低的自变量，直到得到一个最佳的回归模型。
逐步回归分析可以帮助我们减少模型的复杂性，并提高预测的准确性。
4. 非线性回归分析在某些情况下，自变量和因变量之间的关系可能不是线性的，而是呈现出曲线或其他形式。
这时，我们可以使用非线性回归分析来研究这种关系。
非线性回归可以通过拟合曲线或其他非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
例如，我们可以使用非线性回归来研究温度与化学反应速率之间的关系。
通过分析实验数据，我们可以找到一个最佳的非线性模型，从而预测不同温度下的反应速率。
5. 回归诊断在进行回归分析时，我们需要对回归模型进行诊断，以评估模型的拟合程度和预测的准确性。
回归诊断可以帮助我们检查模型的假设是否成立，以及是否存在异常值或离群点。
简单线性回归
6.98020
15
a 224 (6.98020) 14.7 21.77393
15
15
Yˆ 21.77393 6.9802 X
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应 Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（12-2）中的 Yˆ 实际 上是 X 所对应 Y 的总体均数 Y |X 的一个样本 估计值，称为回归方程 的预测值（predicted value）,而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
均数YY 是固定的，所以这部分变异由 Yˆi 的大小不同引起。
当 X 被引入回归以后，正是由于Xi 的不同导致了 Yˆi a bXi 不同，所以SS回 反映了在 Y 的总变异中可以用 X 与 Y 的直线关系解释的那部分变异。
b 离 0 越远，X 对 Y 的影响越大，SS回 就越大，说明 回归效果越好。
lXX
(X X )2
a Y bX
式 中 lXY 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lXY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
本例：n=15 ΣX=14.7 ΣX2=14.81
ΣY=224 ΣXY=216.7 ΣY2=3368
216.7 (14.7)(224)
b
15 14.81 (14.7)2
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X， 英寸）存在线性关
系：Yˆ 33.73 0.516 X 。
也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子 代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”
第12章_简单线性回归
x-x均值 -12
-8 -6 -6 -2 2 6 6 8 12
y-y 均值
(x-x均值)*(yy均值)
(x-x均 值)^2
-72
-25 -42 -12 -13 7 27 39 19 72
864
200 252 72 26 14 162 234 152 864 SUM 2840 SUM
144
64 36 36 4 4 36 36 64 144
对于考察变量与变量之间关系时，我们 采用回归分析的方法建立模型或方程进 行变量间关系的分析。 因变量：被预测的变量 自变量：进行预测的变量
简单线性回归模型（对总体而言）
Y 0 1 X
1， 2为未知参数， 为随机误差项，反映其 它未列入回归模型的变量对因变量的影响。
-6
-2 2 6 6 8 12 SUM
-12
-13 7 27 39 19 72 SUM 2840
关于简单线性回归模型的标准假设： E(Y ) 0 1 X E ( ) 0 1. ，可推知， 该方程称为回归方程。 2 2. 对于所有的X，误差项 的方差 一样：即同 方差假定。 i j ) 0 3.误差项 独立。其协方差为零，cov( 4.自变量是给定的变量，与误差项线性无关。 5.误差项 服从正态分布，从而说明Y服从正态分 布
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
6
8
8
12
16
20
20
22
26
58
105
88
118
117
137
157
169
149
202
序号 1
简单线性回归模型
Yt = β1+ β2Xt+et et ~N(0,1) 兩個分析模型的理由： 解釋應變數 (yt) 會如何隨著自變數 (xt ) 的改變而
改變。
在 x0 已知下預測 y0。
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰 1
y, y, yˆ
yt y yˆt y eˆt
最小平方估計式的變異數與共變數
(1) σ2 Var(b2) 越不精確
(2)T
Var(b2) 越精確
(3)Var(X2 )
Var(b2) 越精確
(4)Cov(X2 , X3 ) Var(b2) 越不精確
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰15
誤差為常態分配之最小平方估計式的性質
R2↑
Notice : 殘差模式也有許多其他的不足之處，例 如有被忽略的變數，異質變異性 （heteroskedasticity），自我相關 （autocorrelation） 錯誤建立迴歸模型。
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰10
殘差為常態分配嗎？
1.平均值→0 2.傑古貝拉檢定（Jarque-Bera test for normality），用來檢定常態性。 Ho: 常態，H1:非常態 若 P＞α 無法拒絕虛無假設
選擇函數形式：實證議題
技術的改變
1.散佈（plot）
2.模型 Yt=β1+β2 Xt+et 3.估計
4.預測
時間
5.殘差分佈 → 檢查是否為常態分配?
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰 9
简单线性回归模型
简单线性回归模型在一个回归模型中，我们需要关注或预测的变量叫做因变量，我们选取的用来解释因变量变化的变量叫做自变量。
一元线性回归模型y=w0+w1x+ε，其中w0，w1为回归系数，ε为随机误差项，假设ε~N(0,σ2),则随机变量y~N(w0+w1x,σ2)。
面对一个具体问题，给定样本集合D={(x1,y1),…,(x n.yn)},我们的目标是找到一条直线y=w0+w1x使得所有样本点尽可能落在它的附近。
数据模型为( w 0 ^ , w 1 ^ ) = a r g m i n ( w 0 ^ , w 1 ^ ) ∑ i = 1 n ( y i − w 0 − w 1 x i ) 2(\hat{w_{0}},\hat{w_{1}})=argmin_{(\hat{w_{0}},\hat{w_{1}})}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-w_{0}-w_{1}x_{i})^{2}(w0^,w1^)=argmin(w0^ ,w1^)i=1∑n(yi−w0−w1xi)2多元线性回归模型y=w0x0+w1x1+w2x2+…+w dxd+ε或y=wT x+ε，其中x=（x1，x2,…,x d）为自变量，w=（w1,w2,…,w d）为回归系数。
假设将训练集中的输入特征部分记为n*d维矩阵X，矩阵第一列值全为1，训练数据的输出特征部分写成向量形式y=(y1，y2，…，yn)T。
在多元线性模型中，输入X对应的模型输出为y ^ = X w \hat{y}=Xwy^=Xw线性回归的问题实际数据可能不是线性的●使用R2等指标进行模型诊断，R2越接近1，证明模型拟合的越好。
多重共线性●正则化、主成分回归、偏最小二乘回归过度拟合问题当模型的变量过多时，线性回归可能会出现过度拟合问题。
假如在房价预测问题中，假设x表示房屋面积，如果将x2，x3等作为独立变量可能出现以下情况简单线性回归通常对模型作了以下假设:1.输入特征是非随机的且互相不相关;2.随机误差具有零均值，同方差的特点，且彼此不相关;3.输入特征与随机误差不相关;4.随机误差项服从正态分布N(0, σ2 ).。
庞浩计量经济学第二章简单线性回归模型
最小二乘法的应用
在统计学和计量经济学中，最 小二乘法广泛应用于估计线性 回归模型，以探索解释变量与 被解释变量之间的关系。
通过最小二乘法，可以估计出 解释变量的系数，从而了解各 解释变量对被解释变量的影响 程度。
最小二乘法还可以用于时间序 列分析、预测和数据拟合等场 景。
最小二乘法的局限性
最小二乘法假设误差项是独立同分布 的，且服从正态分布，这在实际应用 中可能不成立。
最小二乘法无法处理多重共线性问题， 当解释变量之间存在高度相关关系时， 最小二乘法的估计结果可能不准确。
最小二乘法对异常值比较敏感，异常 值的存在可能导致参数估计的不稳定。
04
模型的评估与选择
R-squared
总结词
衡量模型拟合优度的指标
详细描述
R-squared，也称为确定系数，用于衡量模型对数据的拟合程度。它的值在0到1之间，越接近1表示模型拟合越 好。R-squared的计算公式为(SSreg/SStot)=(y-ybar)2 / (y-ybar)2 + (y-ybar)2，其中SSreg是回归平方和， SStot是总平方和，y是因变量，ybar是因变量的均值。
数据来源
本案例的数据来源于某大型电商 平台的销售数据，包括商品的销 售量、价格、评价等。
数据处理
对原始数据进行清洗和预处理， 包括处理缺失值、异常值和重复 值，对分类变量进行编码，对连 续变量进行必要的缩放和转换。
模型建立与评估
模型建立
基于处理后的数据，使用简单线性回 归模型进行建模，以商品销售量作为 因变量，价格和评价作为自变量。
线性回归模型是一种数学模型， 用于描述因变量与一个或多个 自变量之间的线性关系。它通 常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε
线性模型知识点总结
线性模型知识点总结一、线性模型概述线性模型是统计学中一类简单而又常用的模型。
在线性模型中，因变量和自变量之间的关系被描述为一个线性方程式。
线性模型被广泛应用于各种领域，如经济学、医学、社会科学等。
线性模型的简单和普适性使得它成为数据分析中的一种重要工具。
线性模型可以用来建立预测模型、对变量之间的关系进行建模和推断、进行变量选择和模型比较等。
在实际应用中，线性模型有多种形式，包括简单线性回归、多元线性回归、广义线性模型、岭回归、逻辑回归等。
这些模型在不同的情况下可以更好地满足数据的特点和要求。
二、线性回归模型1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的线性模型之一，它描述了一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
简单线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1分别是截距项和斜率项，ε是误差项。
简单线性回归模型基于最小二乘法估计参数，从而得到最优拟合直线，使得观测值和拟合值的离差平方和最小。
简单线性回归模型可以用来分析一个自变量对因变量的影响，比如身高和体重的关系、学习时间和考试成绩的关系等。
2. 多元线性回归多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展而来的模型，它能够同时描述多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，X1、X2、...、Xp是p个自变量，β0、β1、β2、...、βp分别是截距项和各自变量的系数，ε是误差项。
多元线性回归模型通过估计各系数的值，可以得到各自变量对因变量的影响情况，以及各自变量之间的相关关系。
3. 岭回归岭回归是一种用来处理多重共线性问题的线性回归方法。
在多元线性回归中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致参数估计不准确，岭回归通过对参数加上一个惩罚项来避免过拟合，从而提高模型的稳定性和泛化能力。
岭回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε - λ∑(β^2)其中，λ是岭参数，用来平衡参数估计和惩罚项之间的关系。
简单线性回归
简单线性回归
简单线性回归作为统计学中常用的模型，受到了很多研究者的关注。
它可以用来描述和分析两种变量之间的相关性，从而解释影响它们变化的内在原因。
简单线性回归模型可以简单地表示如下：一个被称为自变量（x）和另一个称为因变量（y）之间关系的函数。
它可以用来推测因变量（y）的未知值，并预测不同自变量（x）所表示值的概率。
它还可以被用来检验对自变量和因变量的假设，确定自变量对因变量的影响有多大，以及因变量是否和已知的自变量有关。
简单线性回归的应用可以帮助人们理解和预测复杂的关系。
比如在广告行业，广告客户可以根据投放的媒体渠道、受众类型以及其他相关因素，对广告投入提出投放策略和分析效果。
甚至在生活娱乐方面也有应用，大数据分析可以通过收集和分析现象中的多个变量，帮助我们更好地了解影响某个行为的内在关系，从而更有针对性地策划活动，圆满完成目标。
总之，简单线性回归是一种有用的统计模型，能够有效地提取和解释关于变量间关系的信息，尤其在生活娱乐活动中，简单线性回归都是十分实用的工具。
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2、t 检验
公式
t b 0 ＝ b ，υ＝n－2
Sb
Sb
Sb为回归系数的标准误
Sb＝
SY .X
X X 2
sYX
Y Yˆ 2 n2
SY.X为Y的剩余标准差，即扣除X的影响后Y 的变异大小。
t 检验
H0：β＝0
H1：β≠0
α=0.05
sYX
Y Yˆ 2 165,1311
n2
给定 X X0 时，总体均数Y|X0 的(1 )可信区间为
Yˆp t S / 2,n2 Yˆp
SYˆp SY X
1 (X p X )2
n
(Xi X )2
（2）个体Y值的预测区间
当X取某个固定值时，对应的Y也存在一定 的波动范围，个体Y值的预测区间（相当 于参考值范围）可以用下式求
Yˆp t / 2, SYp
表
编号 1 2 3 4 5 6 7
14 名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
基础代谢 体重
编号 基础代谢 体重
4175.6
50.7
8
3970.6
48.6
4435.0
53.7
9
3983.2
44.6
3460.2
37.1Βιβλιοθήκη 105050.158.6
4020.8
51.7
11
5355.5
71.0
3987.4
47.8
12
4560.6
59.7
4970.6
62.8
13
4874.4
62.1
5359.7
67.3
14
5029.2
61.5
绘制散点图
5500
5000
基 4500 础 代 谢 4000
3500
线性回归直线
3000
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重
图 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的散点图
线性回归分析：用一条直线（即直线方程）来描 述两个变量间依存变化的数量关系，得出的直 线方程称为线性回归方程。
LINE
三、回归方程参数(a、b)的计算
5500
5000
基 4500 础 代 谢 4000
3500
3000
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重
求回归方程的原则
最小二乘法原则：使各散点到直线的纵向距离（残差）的平方
和最小。即使 Y Yˆ 2 最小。
n
Q ei2 i 1 n (Yi Yˆi )2 i 1 n Yi a bXi 2 i 1
线性回归方程的一般表达式：
Yˆ a bX
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标 b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)
b 的统计学意义是：
X 每增加(减)一个单位，Y 平均改变b个单位
二、线性回归分析适用条件
• X与Y之间呈线性关系(Linear) • 个体观察值之间独立(Independent) • 给定X时，对应的Y服从正态分布(Normal Distribution) • 不同的X所对应Y的方差相等(Equal Variance)
b t ,n2 Sb
4、决定系数
回归平方和与总离均差平方和之比
R2＝ SS回 SS总
• 它反映了回归的贡献的相对程度，即在Y的 总变异中回归关系所能解释的比例
• 实际用决定系数来反映回归的实际效果
五、线性回归的应用
1、描述两个变量之间的线性依存的数量关系 2、统计预测，通过X预测估计Y的取值
（1）Y的总体均数的置信区间
其自由度分别为
总 n 1
回 1 残 n2
如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就 要大于随机误差，大到何种程度时可以认为具有统计意义， 可计算统计量F:
F
SS回 SS残
回 残
MS回 MS残
，
回
1，
残
n2
MS回 为回归均方 MS残 为残差均方。 F 服从自由度为回、 残 的 F 分布。
简单线性回归
一、线性回归的基本概念
两变量间的数量关系
确定性关系是指两变量间的关系是函数关系。已知一个变 量的值，另一个变量的值可以通过这种函数关系精确计 算出来。 例如圆周长与半径：c=2πr
非确定性关系是指两变量在宏观上存在关系，但并未精确 到可以用函数关系来表达 例如身高与体重的关系
实例
在某地一项膳食调查中，随机抽取14名40-60岁的健康 妇女，测得每人的基础代谢与体重数据，见下表，据此数 据如何判断这两项指标之间有无关联？
SYp SY X
1 1 n
(X p X )2 (X X )2
3、统计控制，利用回归方程进行逆估计
五、进行线性回归分析的注意事项
1、资料要求：Y服从正态分布，X没有要求 2、做回归分析要有实际意义，一般Y为结果
变量，X为原因变量 3、须对回归系数进行假设检验 4、使用回归方程计算估计值时，不可以把估
3. r b lXX lYY
4.用回归解释相关 决定系数(coefficient of determination)
r2
l
2 XY
l
2 XY
l XX
SS回
lXX lYY
lYY
SS总
根据求极值方法可得到a、b的值
b
( X X )(Y Y (X X )2
)
XY X 2
X Y / X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
根据前面的计算有
(x x)2 1144.5771 (x x)(y y) 70303.2329
b
(x x)(y (x x)2
y)
70303.2329 1144.5771
61.4229
a Y b X 63232.9 61.4229 777.2
14
14
1106.7864
得到的回归方程为：
Yˆ 1106 .7864 61.4229 X
四、线性回归方程的假设检验
需要检验总体回归方程是否成立！ b≠0原因：① 由于抽样误差引起，总体回
归系数β=0 ② 存在回归关系，总体回归
计范围扩大到自变量的取值范围以外。
六、直线回归与相关的区别与联系
区别 1、含义：
相关表示双向的相互关系 回归表示单向的依存变化数量关系
2、资料要求不同
相关：双变量正态分布 回归：Y正态分布
3、 r与b的计算公式、取值范围和单位不同
b一般有度量单位；r没有度量单位
联系：
1.方向一致: r 与 b 的正负号一致。 2.假设检验等价: tr=tb
由于 X 与 Y 的直线关系而使Y 变异减小的部分,即总变异中， 可以用 X 解释的部分。SS 回越大，回归效果越好。
SS 剩＝(Y Yˆ)2 ，为剩余平方和(residual sum of squares)， X 对Y 的线性影响之外的一切因素对 Y 的变异，即总变异中， 无法用 X 解释的部分。SS 剩越小，回归效果越好。
Sb
165.1311 4.881 1144.5771
t 61.4229 12.584 14 2 12
4.881
查t界值表，t 0.001(12) =4.318，所以p<0.001，拒 绝H0，可以认为体重与基础代谢之间存在线 性回归关系
3、总体回归系数的可信区间
利用上述对回归系数的t检验，可以得到β的1α双侧可信区间为
(Y Y )2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2
SS总 SS剩 SS回
总＝ 剩＋回
几个平方和的含义
SS总 即 (Y Y )2 ，为 Y 的离均差平方
和，表示未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的 总变异。
SS 回＝ (Yˆ Y )2 ，为回归平方和(regression sum of squares)，
系数β ≠0
假设检验方法： 方差分析(F检验)、t 检验
1、方差分析
P(X ,Y )实测点
Y
(Y Yˆ)剩余部分
总情况(Y Y )
(Yˆ Y )回归部分
Y
Y Y Y Yˆ Yˆ Y
X
Y的离均差平方和的分解
(Y Y ) (Y Yˆ) (Yˆ Y )
两边平方后求和
数理统计可以证明 2(Y Yˆ)(Yˆ Y ) 0