从平面向量到空间向量
从平面向量到空间向量
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积，方 向垂直于a和b所在的平面，记作a×b。
运算规则：向量积满足反交换律，即a×b=-b×a；向量积也满足结合律，即 (a+b)×c=a×c+b×c。
几何意义：向量积可以表示一个旋转操作，其方向垂直于a和b所在的平面。
空间向量的加法性质：满足结合律 和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c) 且a+b=b+a。
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空间向量的加法定义：根据平行四 边形法则，将两个空间向量相加得 到新的向量。
空间向量加法的几何意义：表示两 个向量的起点和终点分别连接，得 到的向量即为两个向量的和。
定义：数乘是向量与实数的乘 积，结果仍为向量
PART SIX
数学学科的完善和发展
促进物理、工程等领域的发展和创 新
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为解决实际问题提供更广泛的方法 和思路
提高人类的思维能力和认知水平
人工智能与机器学 习：空间向量在处 理大数据和模式识 别方面的应用将进 一步发展，有助于 提高人工智能的准 确性和效率。
物理模拟和仿真： 空间向量在物理模 拟和仿真领域的应 用将更加广泛，例 如在流体动力学、 电磁学等领域，有 助于提高模拟的准 确性和效率。
PART FOUR
定义：空间向量的加法、数乘等运算 性质：满足交换律、结合律和数乘分配律 几何意义：表示空间中向量之间的位置关系和方向 应用：解决实际问题中的向量问题两个非零向量的夹角的余弦值乘以它们的模长 性质：数量积满足交换律和分配律 几何意义：表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积 运算律：与标量乘法和向量加法的结合律
从平面向量到空间向量教案01
《从平面向量到空间向量》教案一、教学目标(teaching objective)：1．知识目标(knowledge objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明．2．能力目标(capability objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量．会作空间任一向量的分解图．类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力．3．情感目标(emotion objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系．二、教学难点(teaching difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量．灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题．三、教学重点(teaching focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系．四、教学手段(teaching method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学．五、教学过程（teaching procession ）1．引入（intruduce ）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理．用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示．我们研究一下怎么表示．（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a 都可以表示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数．2．推广（extend ）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？1A 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c ．师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明． 老师板演证明：设空间三个不共面的向量OA =a OB =b ，OC =c ，OP =p 是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则OP =OD +DP ，由空间两直线平行的充要条件知DP = z c ，由平面 向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面， 则OD = x a +y b ，所以，存在x ，y ，z 使得OP =x a +y b + z c ．这样的实数x ，y ，z 是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x ，y ，z 的实数x 1，y 1，z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x ，y ，z 是唯一的实数．这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理． 老师介绍相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量． 师：对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量．④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底．⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维．如：a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底．能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底．通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想．特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若z=0，则p与a、b共面．当x=0，y=0时，p与c共线；当x=0，z=0时，p与b共线；当\y=0，z=0时，p与a共线．说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展．这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）．3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：14．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1，用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ线．解：（1）由P 是CA 1的中点，得AP =21（1AA +AC ）=21（c +AD +AB ）=21（a +b +c ） （2）AN =AM +MN =AM +211CC =21（c +a ）+b +21c =b +c +21a法2：AN =1AA +N A 1=1AA +11D A +N D 1=c +b +21a（3）AQ =AC +CQ =AC +541CA =AC +54（1AA +CA ）=51AC +541AA=51(b +a )+54c 例2．在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系．解：由例1得：AQ =51(b +a )+54c ，1OC =OC +1CC =21AC +1AA=21（b +a ）+c 则AQ 和1OC 与（b +a ）和c 共面，又AQ ≠λ1OC ，则AQ 和OC 1所在直线不能平行，只能相交．追问：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则O 应在AC 的什么位置？分析：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则1OC =λAQ =λ[51(b +a )+54c ]又1OC =OC +1CC ，设OC =μAC =μ（b +a ）则λ[51(b +a )+54c ]=μ（b +a ）+c ，即51λb +51λa +54λc =μb +μa +c ，由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知：41,4515451=μ=λ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λλ=μ，所以，OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理．请学生板演平面几何证法：A 1AQCCC 1ORAB C DO易证△AA 1Q ≌△CC 1R ，则CR=A 1Q=41CQ ，又CQ CR AC OC =， 所以AC OC =415．练习(exercises)已知向量a =1e －22e +33e ，b =21e +2e ，c =61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？a +b =31e －2e +33e ，c =2（a +b ），则a +b 与c 共线即平行 c －3b =61e －22e +63e －61e －32e ＝63e －52eb －2a =21e +2e －21e +42e －63e =－63e +52ec －3b 与b －2a 共线但反向．思维发散训练：已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒定量研究异面直线线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线）向量平行（直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点）公理（2 如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容． 7．作业(homework)：。
教学设计(从平面向量到空间向量)
孙疃中学—王婧文
班级
高二（7）班
教学目标
知识与技能：
1、通过向量由平面到空间的推广，了解空间向量的概念。
2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法。
3、掌握空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量。
过程与方法：经历从平面向量到空间向量的推广，分析向量与直线、平面的位置关系，使学生会类比的思想方法。
向量的表示方法向量的大小单位向量零向量
相等向量、相反向量平行向量
4,、空间向量的夹角
三、小试牛刀
1、口答：
2、
四、探究新知二
1、向量与直线
直线的方向向量
思考：过一点A和一个方向向量 可以确定几条空间直线？（小组合作交流）
2、向量与平面
平面的法向量
思考：过一定点A，且法向量为 的平面确定吗？（分组探究，合作交流）
五、练一练
六、小结
1、你有哪些知识方面的收获？
2、你有哪些数学思想方法上的收获？
七、课后思考
试用类比的思想探究空间向量有哪些运算
2、向量的表示方法有哪些？举例说明。
思考：李明从学校大门口出发,向北行走100m,再向东行走200m,最后上电梯15m到达住处.如何刻画这种位移？
二、探究新知一
1、空间向量的概念（类比）
向量可以看作是一个位移
2、说明：自由向量
思考：空间中任意两个向量是否共面？
3、类比平面向量有关概念，请分别给出下列定义
情感态度与价值观：让学生体会学习是一个循序渐进的过程。
教学重点与难点
教学重点：
1、空间向量的有关基本概念。
2、空直线的方向向量和平面的法向量。
教学难点：向量的夹角和平面法向量的求法。
3.2.1从平面向量到空间向量 空间向量的运算(一)【能力过关】
从平面向量到空间向量 空间向量的运算(一)一、选择题1．在空间中，下列结论正确的是( )A ．AB →＝BC →＋CD →B ．AD →＝AB →＋CD →＋BC → C ．AD →＝AB →＋BC →－CD →D ．BC →＝BD →＋CD →2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．下列等式中，正确的个数为( )①－(－a )＝a ；②a ＋0＝a ；③a ＋(－a )＝0；④0－a ＝－a ．A ．1B ．2C ．3D ．44．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A ．AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→B ．AB →－AC →＋BB 1→ C ．AB →＋AD →＋AA 1→ D ．AC →＋CB 1→ 5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形二、填空题6．(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是________．7．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的序号是________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→．8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |．其中正确命题的序号为________．三、解答题9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线；(2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等．10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →；(2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →．能力过关11．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( )①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量；④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|A C →|＋|BC →|，则( )A ．AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC → C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向13．(多选题)下列说法中，正确的是( )A ．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→B ．AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．若AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量D ．若AB →，CD →互为相反向量，则AB →＝－CD →14．(一题两空)已知|a |＝|b |＝1．(1)|a ＋b |的取值范围是________．(2)若|a －b |＝3，则|a ＋b |＝________．15．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→．(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→．参考答案一、选择题1．在空间中，下列结论正确的是( )A ．AB →＝BC →＋CD →B ．AD →＝AB →＋CD →＋BC → C ．AD →＝AB →＋BC →－CD → D ．BC →＝BD →＋CD →B [根据空间向量的加减运算可得B 正确．]2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．]3．下列等式中，正确的个数为( )①－(－a )＝a ；②a ＋0＝a ；③a ＋(－a )＝0；④0－a ＝－a ．A ．1B ．2C ．3D ．4D [根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D ．]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( )A ．AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→B ．AB →－AC →＋BB 1→ C ．AB →＋AD →＋AA 1→ D ．AC →＋CB 1→A [在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0．]5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [由于AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →，所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．]二、填空题6．(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是________．AC 1→ [(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→．]7．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的序号是________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→．①②③ [AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错．]8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |．其中正确命题的序号为________．③ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．]三、解答题9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线；(2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等．[解] (1)正确．因为A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，所以AB →与CD →一定共线．(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →；(2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →．[解] (1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0．(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→，所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0．能力过关11．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( )①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量；④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→，所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量；③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量．]12．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|A C →|＋|BC →|，则( )A ．AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC → C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|知，A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB上，所以AC →与CB →同向．]13．(多选题)下列说法中，正确的是( )A ．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→B ．AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．若AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量D ．若AB →，CD →互为相反向量，则AB →＝－CD →ACD [A 正确．B 错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A与C ，B 与D 不一定重合．C 正确．AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．D 正确．]14．(一题两空)已知|a |＝|b |＝1．(1)|a ＋b |的取值范围是________．(2)若|a －b |＝3，则|a ＋b |＝________．[0，2] 1 [(1)|a ＋b |∈[0，2]．(2)∵|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2＝4，∴|a ＋b |＝1．]15．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→．(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→．[解] (1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→．(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →，AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→。
数学复习：空间向量及其线性运算
数学复习：空间向量及其线性运算学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．导语国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念知识梳理1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用字母a ，b ，c ，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)向量共线不具备传递性(非零向量除外)．例1下列关于空间向量的说法中正确的是()A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同答案D解析A 中，单位向量长度相等，方向不确定；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量不能比较大小．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1(多选)下列说法错误的是()A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案BCD解析对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是()A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→答案AB解析A 中，A 1D 1——→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→；B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→＝BC 1—→＋C 1D 1——→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.(2)对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，其中一定不成立的是()A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AC →＝BC→C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →|答案B解析根据空间向量的加减法运算，对于A ，AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于C ，当AB →，BC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于D ，当AB →，AC →方向相同且|AB →|≥|AC →|时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|；对于B ，由向量减法可知AB →－AC →＝CB →，所以B 一定不成立．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.解(1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)如图，连接GF ，GF ＝12BC ，AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0λa 与向量a 的方向相反λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa )＝(λμ)a 分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度．(3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC→＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .延伸探究1．例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →.解因为P ，N 分别是D 1C 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1—→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1—→)－12AD a ＋12b －12c .2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12，其他条件不变，如何表示AP →？解AP →＝AD 1——→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →；(2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.解(1)由图可知，OQ →＝PQ →－PO→＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →.∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →，∴PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.1．知识清单：(1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是()A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是()A ．PM →B ．NP→C ．0D ．MN→答案C解析PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是()A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形答案A解析∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形．4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则BE →＝________.答案12a －32b ＋12c 解析BE →＝12(BP →＋BD →)＝12(－b ＋BA →＋BC →)＝－12b ＋12(PA →－PB →＋PC →－PB →)＝－12b ＋12(a ＋c －2b )＝12a －32b ＋12c .练习1．下列说法中正确的是()A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B ．AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案C解析对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D 错误．2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是()A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案D解析向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反．3.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是()A ．AD →与CB →B ．OA →与OC →C ．AC →与DB →D ．DO →与OB→答案D解析对于A ，AD →与CB →的方向相反，因而不是相等向量，所以A 错误；对于B ，OA →与OC →的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误；对于C ，AC →与DB →的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误；对于D ，DO →与OB →的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D 正确．4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c答案C解析A 1B —→＝AB →－AA 1—→＝(CB →－CA →)－AA 1—→，∵AA 1—→＝CC 1—→＝c ，∴A 1B —→＝b －a －c .5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于()A ．12a －12b ＋12cB ．－12a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．12a ＋12b －12c答案B解析MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－12a ＋12b ＋12c .6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有()A ．AB →－CB →＝AC →B ．AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→C ．AA ′——→＝CC ′——→D ．AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′——→答案ABC解析作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→＝AC ′——→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.答案AD→解析AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________.答案－a －b ＋12c解析∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点，∴AM →＝12AA 1—→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1—→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)化简AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→；(2)若AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D ——→＋D 1A 1——→＝0，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个)解(1)AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→＝AB →＋BB 1—→＋B 1D 1——→＝AB 1—→＋B 1D 1——→＝AD 1—→.(2)因为BC →＝B 1C 1——→，D 1A 1—→＝DA →，所以AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D —→＋D 1A 1——→＝AA 1—→＋x ＋B 1C 1——→＋C 1D —→＋DA →＝0．所以AA 1—→＋x ＋B 1A —→＝0，所以x ＝A 1B 1——→.又因为A 1B 1——→＝AB →＝DC →＝D 1C 1——→，所以x 可以是A 1B 1——→，AB →，DC →，D 1C 1——→中的任一个．10．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解∵AE →＝AB →＋BC →＋CE→＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32→，又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于()A ．DB→B ．AB →C ．AC →D ．BA →答案D 解析方法一DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.方法二DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于()A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′——→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′——→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′——→D ．12AB →－16AD →＋13AA ′——→答案C 解析因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′——→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′——→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′——→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′——→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′——→.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.14．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案12a ＋14b ＋14c 解析在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c .15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案6解析在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16．如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心．(1)求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)化简：SA →＋12AB →－32CO →－SC →.(1)证明OA →＝－13(AB →＋AC →)，①OB →＝－13(BA →＋BC →)，②OC →＝－13(CA →＋CB →)，③由①＋②＋③得OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)解因为CO →＝23×12(CA →＋CB →)＝13(CA →＋CB →)，所以SA →＋12AB →－32CO →－SC→＝(SA →－SC →)＋12(CB →－CA →)－32×13(CA →＋CB →)＝CA →＋12(CB →－CA →)－12(CA →＋CB →)＝0．。
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一 点O， 且 ，
则x+y=1是 P、A、B三 点共线的：
OP xOA y AB
A.充分不必要 条件 B.必要不充分 条件
5.设点P在直线AB上并且
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
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规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
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平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是
一样的．
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1， b1， c1)， B(a2，b2， c2)，则
(a2－a1，b2－b1，c2－c1) (1)AB＝ ______________________；
→
（a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2 (2)dAB＝ |AB|＝ ____________________________________．
→
求空间向量的坐标
(12 分 )在直三棱柱 ABO－ A1B1O1 π 中，∠ AOB＝ ，AO＝ 4，BO＝ 2，AA1 2 ＝ 4， D 为 A1B1 的中点，在如图所示的 → 空间直角坐标系中， 求DO、 A1B的坐标．
→
已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求MN的坐标．
→
→
→
名师点睛
空间向量的理解 空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又 有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长
度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空
间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这 种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．
数乘向量
(λa1，λa2，λa3) λa＝____________________ (λ∈R)；
若b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R⇔ 向量的共线 a1＝λb a2＝λb a3.＝λb3 1 ____________ __________ ， ，2____________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b＝___________________ 数量积
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→
→
→
四.平面向量和空间向量的夹角
平面向量 记法
O A θ B 〈a，b〉
∠AOB或θ
范围
[0，π]
[0，π]
想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？ 〈a，b〉与〈a，－b〉呢？ 〈a，b〉=0？ 〈a，b〉 = π？
五.平面向量与空间向量的数量积 平面向量
b = = | a | | b | c o s θ a· 数 量 积 a· b =|a||b|cos〈a，b〉 λ(a· (a· _b _) _ ( λ a ) ·b ＝ _ _ λ_ _b) __ 结 合 律 ( λ a ) ·b ＝ _ _ _ a _ a · b ＝ _ _b· a_ _ _ 交 换 律 a · b ＝ _ _ b· a· b＋a· c a· b＋ (b＋c)＝________ a· (b＋c)＝__ _ _ _a· _c __ 分 配 律 a·
平面向量 基本定理
平面向量基本定理：
若平面内两个向量a，b不共线，该平面内任一向量p， 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理（空间向量的分 解定理）
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝________， 其中{a，b，c}叫做空间的一个_____，a，b，c都叫 做_______．
平面向量
λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a
结合律
空间向量的数乘运算
【例】
已知在空间四边形 OABC 中， M，
N 分别是对边 OA， BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG＝ 2GN，如图所示，记OA ＝ a， OB＝ b，OC＝ c，试用向量 a， b， c 表示向量OG.
a
AB
具有大小和方向的量 在一个 几何表示法 空间 a AB 字母表示法 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量
概念辨析： 给出下列命题：其中正确的是（ 3,4 ）
在一个平面内来考虑
既有大小又有方向的量称为平面向量
在一个空间内来考虑 既有大小又有方向的量称为空间向量
可以看出: 平面向量与空间向量只是研究的范围不 同.平面向量扩展到空间就是空间向量。
思考交流：
一.类比平面向量与空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 在同一 几何表示法 平面 a AB 字母表示法 向量的大小
向量的模 |a|＝
a12＋a22＋a33 ＝ _________________ a· a
续表
a· b cos〈 a，b〉＝ |a|· |b| a1b1＋a2b2＋ a3b3 ＝ a12＋ a22＋a32 b12＋b22＋b32
向量的 夹角
向量的 垂直
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 若a⊥b，则有__________________
平面向量基本定理的作用
x
yb b a xa
p
p＝xa＋yb
1 o 1 y
空间向量基本定理（空间向量的分解定理）的作用
p
b c
o
a
p
b c
o
a
试一试：你能写出空间直角坐标系， 坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？
求空间向量的坐标 DA=1 ,DC=2, DD1=1
求空间向量的坐标 CA=2 ,CB=1, CC1=3
向量的有向线段． (1)AB＋AD＋AA1； (2)AB＋CC1－DD1.
→ →
→
→
→
→
三.在平面和空间中数乘向量
λ的 范围 λ>0 λ＝ 0 Leabharlann <0数乘 运算律 分配律
方向关系 相同 向量a与λa方向______
模的关系
λa的模是a的模的 λa＝___ 0 ，其方向是任意的 |λ| ___倍 相反 方向______
a· b |a||b|.
两个 向量 数量 积的 性质
想一想：你能说出a· b的几何意义吗？
提示 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|· cos θ的乘积．
空间向量数量 积的性质呢
平面向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
向量的加法 向量的减法 数乘向量 向量的共线 数量积 向量的模 (a1＋b1，a2＋b2) a＋b＝_______________________ (a1－b1，a2－b2) a－b＝_______________________ (λa1，λa2) λa＝____________________ (λ∈R)； 若b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R⇔ a1＝λb1 a2＝λb2 _______________，______________ a1b1＋a2b2 a· b＝___________________ |a|＝ a· a ＝
交换律 结合律
分配律
想一想： 已知空间四边形 ABCD， 则AB＋BC＋CD＋DA＝ 0 还成立吗？ 提示 成立．∵AB＋BC＝AC，AC＋CD＝AD，AD＋DA
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→
→
＝0，∴结论成立．
空间向量加减运算的应用
【例3】 (12 分)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，画出表示下列
（1）将空间中所有的单位向量移到同一个点 为起点，则它们的终点构成一个圆； （2）若空间向量 a 、 b ，满足| a || b |， 则 a b； （3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有向量 AC=A1C1 （4）若空间向量： m n、 n p ，则 m p. （5）空间中任意两个单位向量必相等。
空间向量的客观存在
D A B D1 A1
b
C
a
C1 B1
D
C B
A
物理中的事例
• 如图
F2
F3
F1
一个放在水平面上物体，受到不在同一平面 内的三个力的作用，如何求它们的合力？
实际问题
上
东
南
李明从学校大门口出发,向 北行走100m,再向东行走 200m,最后上电梯15m到达 住处.
住处
学校
1.空间向量的概念
平面向量与空间向量共线定理和共面定理
平面向量
对于空间任意两个向 对于空间任意两个向量a， 共 量a，b(b≠0)，a∥b b(b≠0)，a∥b的充要条件 线 的充要条件是存在实 是存在实数λ使a＝λb 定 数λ使a＝λb 理 若平面内两个向量a， b不共线，该平面内任 一向量p，存在唯一的 有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb 若两个向量a，b不共线， 则向量p与a，b共面的充要 条件是存在唯一的有序实 数对(x，y)，使p＝xa＋yb 共面定理
题型一
利用数量积求夹角
【例1】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝
8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角 的余弦值．
想一想：平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什 么联系与区别？ 提示 平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数 乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比
2 2 a1 a2
六.空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a＋b＝_______________________ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a－b＝_______________________
向量的加法 向量的减法
平面向量数量积的性质
空间向量数量积的性质
(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a· b＝0. (2)若a与b同向，则a· b＝|a|· |b|； 若反向，则a· b＝－|a|· |b|. 特别地：a· a＝|a|2或|a|＝ a· a