第八章 平面向量与空间向量
高考数学总复习---平面向量知识与空间向量的应用
A、重心 外心 垂心
B、重心 外心 内心
10、在△OAB 中, OA =
a
a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( a
b b
) ，t∈R，则点
P 在(
)
A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上
B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上
a (1,0) m(0,1), m R Q b b (1,1) n(1,1), n R 是两个向量集
合，则 P Q = A． ｛〔1，1〕 ｝
B. ｛〔-1，1〕 ｝
C. ｛〔1，0〕 ｝
D. ｛〔0，1〕 ｝
9、已知 O、N、P 在 ABC 所在平面内，且满足| OA |＝| OB |＝| OC |， NA + NB + NC = 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点
O，N，P 依次是 ABC 的 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
平面向量与空间向量 专题强化练习
一、高考真题展示
1、设
a (4,3) ， a
在 b 上的投影为 5
2 B． 2, 7
2 2
， b 在 x 轴上的投影为 2，且 D． 2,8
b 14 ，则 b
为（
）
A． 2,14 2、设
2 C． 2, 7
a 1 e1 2 e2
。
a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y 2 ) ,则 a // b a b ( b 0 ) 或者
从平面向量到空间向量
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积，方 向垂直于a和b所在的平面，记作a×b。
运算规则：向量积满足反交换律，即a×b=-b×a；向量积也满足结合律，即 (a+b)×c=a×c+b×c。
几何意义：向量积可以表示一个旋转操作，其方向垂直于a和b所在的平面。
空间向量的加法性质：满足结合律 和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c) 且a+b=b+a。
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空间向量的加法定义：根据平行四 边形法则，将两个空间向量相加得 到新的向量。
空间向量加法的几何意义：表示两 个向量的起点和终点分别连接，得 到的向量即为两个向量的和。
定义：数乘是向量与实数的乘 积，结果仍为向量
PART SIX
数学学科的完善和发展
促进物理、工程等领域的发展和创 新
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为解决实际问题提供更广泛的方法 和思路
提高人类的思维能力和认知水平
人工智能与机器学 习：空间向量在处 理大数据和模式识 别方面的应用将进 一步发展，有助于 提高人工智能的准 确性和效率。
物理模拟和仿真： 空间向量在物理模 拟和仿真领域的应 用将更加广泛，例 如在流体动力学、 电磁学等领域，有 助于提高模拟的准 确性和效率。
PART FOUR
定义：空间向量的加法、数乘等运算 性质：满足交换律、结合律和数乘分配律 几何意义：表示空间中向量之间的位置关系和方向 应用：解决实际问题中的向量问题两个非零向量的夹角的余弦值乘以它们的模长 性质：数量积满足交换律和分配律 几何意义：表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积 运算律：与标量乘法和向量加法的结合律
平面向量和空间向量的知识点对比
平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。
---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。
表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。
平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。
2015届高考数学总复习第八章 第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算课件 理
自主解答：
解析：(法一)如图所示取PC的中点E， → ＝EN → －EM →. 连接NE，则MN 1 → 1→ 1→ → ∵EN＝2CD＝2BA＝－2AB， 2→ 1→ 1→ → → → EM＝PM－PE＝3PC－2PC＝6PC， → ＝AC → －AP → ＝AB → ＋AD → －AP →， 连接AC，则PC 1→ 1 → → → → ∴MN＝－2AB－6(AB＋AD－AP) 2→ 1 → 1→ ＝－3AB －6AD＋6AP. 2 1 1 ∴x＝－3，y＝－6，z＝6.
1→ 2→ → → → (法二)MN＝PN－PM＝2PD－3PC＝ 1→ → 2→ → 2(PA＋AD)－3(PA＋AC)＝ 1→ 1 → 2 → → → －2AP＋2AD－3(－AP＋AB＋AD)＝ 2→ 1 → 1→ －3AB－6AD＋6AP， 2 1 1 ∴x＝－3，y＝－6，z＝6.
点评：(1)平面向量是空间向量的一种特殊情况，因此 平面向量的重要运算法则及解题方法均可引申到空间向量 中来． (2)在向量的加减法运算中应注意其几何意义的应用． (3)应注意数形结合的数学思想和方法．
பைடு நூலகம்
空间向量的基本运算与空间向量的基本 定理
【例2】 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥ → ＝2 MC → ， PN →＝ 平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且 PM → ，求满足MN → ＝xAB → ＋yAD → ＋zAP → 的实数x，y，z的值． ND → 出发，利用向量运算法则 思路点拨：结合图形，从向量 MN → ， AD → ， AP → 表示出来，即可 不断进行分解，直到全部向量都用 AB 求出x，y，z的值．
解析：(1)点A(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点是 B(2，－3，－5)，
平面向量和空间向量的类比学习方法
平面向量和空间向量的类比学习方法1、向量在高中教材的分布向量（既有大小又有方向的量）能够简化三角、平面几何、立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节的内容。
必修的数学 4 的第二章以平面向量为内容，具体包括“向量的概念与表示”、“向量的线性运算”、“向量的坐标表示”、“向量的数量积”和“向量的应用”等知识点。
“空间向量”则是选修课程系列2-1 的第三章的主要组成部分，以空间向量及其在立体几何中的应用为主要内容，具体包括“空间向量及其运算”和“立体几何中的向量方法”两个知识点。
2、“平面向量”和“空间向量”的基本概念向量把代数和几何的知识点有机地联系起来，可以帮助学习者从整体上理解数学知识之间的内部联系。
向量的运算法则是以运算律的形式表现的，受这种形式影响，容易将向量与代数知识画上等号。
实际上，向量不仅属于代数范畴，也属于几何的范畴。
平面向量和空间向量是向量研究的两个维度，向量的本身所具有的代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，使向量体现出数学中的数形结合思想。
2.1 平面向量在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.2 空间向量在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a +y b +z c ,其中{ a、b、c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。
2.3 平面向量与空间向量的关系平面向量与空间向量研究的范围不同，平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量。
第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类(原卷版)高二数学暑假自学讲义人教A版2019)
第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc=++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c ，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，c D ．a b +，a b c ++ ，c变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，5BC =间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．5,,5AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+ C ．111442a b c--+ D ．311442a b c-+- 变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC -+ B ．111444PA PB PC ++C ．131444PA PB PC++D ．113444PA PB PC-+变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c =，则OM = （）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC=++ B ．111333OE OA OC=++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+- C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m n ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11AC 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC=+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC =++ D ．221333OM OA OB OC=+- 变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD与AC 交于点M .求证：1,,C O M三点共线．变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN =，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE；(2)计算BC FE ⋅.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠====== ，求OE AC ⋅的值.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．6-B C ．4-D ．4变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A ．MG =B ．MG =C ．异面直线AC 与DB 所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB 变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠===，11190,60,BAA DAA BD ∠∠==(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C ．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD =，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）A ．3B ．2C ．5D ．6变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1B ．2C ．3D ．2变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB DC 上的点，且,2,AE BE CF DF ==设,,.DA a DB b DC c ===（1）以{},,a b c 为基底表示FE ，则FE＝________；（2）若60ADB BDC ADC ︒∠=∠=∠=且||4,||3,||3,DA DB DC === 则||FE =________.变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是3，且二面角A CD E --为60 ，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =______.一、单选题1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点PA ⊥平面ABCD ，且M ，N ，分别为PC ，PD 上的点，且,2,PM MC PN ND NM xAB y AD z AP ===++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56D ．12．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱111ABC A B C -，点P 在线段11B C 上，且11113B P BC =，则AP =（）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA ++D ．12133AB AC AA ++3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若{},,a b c是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（）A ．,,a a b a b +-B ．,,2a b a b a b +-+C ．,,a b a c b c++- D ．,,c a b a b+- 4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知,,a b c是空间的一个基底，则下列说法错误．．的是（）A ．若x y z ++=0a b c ，则0x y z ===B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c不共面C ．一定存在x ，y ，使得a xb yc=+D ．,,2a b b c c a +-+一定能构成空间的一个基底5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．B ．6C ．4-D ．46．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB ，BC ，1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（）A ．1B ．56C ．23D ．1167．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD =，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1B CD ．28．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知{},,a b c 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A ．,,a b b c a c ++-B ．2,,a b b a c +-C ．2,2,a b b c a b c++++ D ．,2,2a c b a b c++- 9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c =，则OM = （）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++二、多选题10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（）A ．已知向量a b ，则,a b与任何向量都不能构成空间的一组基底B ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一组基底，则,,,A B M N 共面C ．若0OP OA OB OC +++=，则点,,,P A B C 四点共面D ．已知{},,a b c是空间向量的一组基底，若m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间一组基底11．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且2AM MO =，2CN NB =，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（）A ．511636AG OA OB OC=++B ．121636BG OA OB OC=-+C ．115636CG OA OB OC =-+ D ．111636OG OA OB OC =++ 三、填空题12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设,,OA a OB b OC c === .向量,,a b c表示向量OE = __________.13．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量a ，b ，c不共面，且32m a b c =++ ，()()()2n x a b y b c c a =-+--- ，若//m n，则x y +=__________．四、解答题14．（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==，CA a =，CB b = ，c DC = (1)求FH（用向量,,a b c 表示）；(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．15．（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在棱11AA CC ，上，且1111133A M AA CN CC ==，，且1160A AD A AB DAB ∠∠∠=== ．(1)用向量1AA AD AB ，，表示向量MN；(2)求证：1D M B N ，，，共面；(3)当1AA AB为何值时，11AC A B ⊥．16．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++ ，试求α，β，γ的值．。
(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
高二数学空间向量及其运算2
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地向前疾行。画面下方的文字说此人为病中的穷孩子募捐，正在旅途中。画中心有大字———跟穷人一起上路。 这位汉子一定走过了千山万水，不然不会有如此深邃的目光。他刚毅的表情背后掩饰着隐痛，用这条假肢走，每一步恐怕都要痛。那么———如图所示———他正徒步穿越新 疆的独山子、玛纳斯、一碗泉，甘肃的马莲井、黄羊镇、娘娘坎，然后经陕鄂湘粤到香港。他是香港人。一个忍痛的行者用假肢穿越过大西北的旷野，信念像火苗一样越烧越旺：让没钱的孩子治病。 照片用镀铝金属镶框，内置灯光照明，一幅连一幅延伸到前面。画面上的汉子像排队一 样，一个接一个向你迎面走来，昂着头，有些吃力地移脚。然后是一行比一行小的字———跟穷人一起上路。 香港街头，很少见到通常印象中的穷人，大家似乎衣食丰足。在这幅视觉冲击力强烈的招贴画中，“穷人”两字竟很尊贵，关注他们如同每个人的责任。 就是说，此刻我感动了， 血液从各处奔涌而出，冲撞全身。心里默念：跟穷人一起上路！跟穷人一起上路…… 这时，耳边歌声趋近，不远的地方有一支乐队。四个淡蓝色牛仔装的年轻人弹唱，三男一女。隧道高瓦数的橙光把他们的脸庞勾勒得十分柔和。他们沉静吟唱美国乡村歌曲，弹电贝司的女孩子很卖力， 头发在肩膀上跳。他们脚下一只干草色的牛仔礼帽里有散钞，纸卡写着“为脊髓灰质炎病童筹款”。 乡村歌曲在海底隧道回荡，宁静而朴素。曲调如RICHQEDMAFX的风格，把渴盼压在了心里，舒展、大度而倔犟。譬如fool’Sgame。又如myconfession。吉他、蓝色牛仔装和他们头发上金 黄的轮廓光，与音乐一起构成了奇妙的效果，身后招贴画上的独行者目光炯炯，简直就要破壁而出了。 我想站下多听一会儿，但听众只有我一个人。别人扔下钱匆匆而行，我把仅有的一些港元扔进干草色的礼帽里，感到轻松。这几天我被这钱弄得枯燥，买东西剩下的这点钱，大件买不 成，小件又不想买，还得动脑筋找打折的商店，比如“SOGO”，又要算计地铁费用等等，哪如此刻省心。 乡村歌曲对爱情、忧伤和前途均有独特的诠释方式，就像枝头上的花与瓶里的花不一样，像赤脚在五月的玉米地里走过，脚丫缝感到土壤的湿润，像衣衫带着松香味，指甲缝里有洗 不尽的新鲜泥土。但我把所有的钱放进礼帽之后，伫立倾听就有一些惭愧。我想有钱真是不错，隔一会儿，往那里扔点钱，再接着听。但是把钱分几次给一个募集善款的乐队，似乎也不像话。 他们并没有用目光驱人，眼神里多少还有一些谢意，感谢我目不转睛地倾听。跟港人比，我有 许多时间，但仍然不能长久流连。 乡村歌曲的声音离我越来越远，我用目光接过一幅又一幅的“跟穷人一起上路”，向出口走去。这时口袋空空，我把它翻出来，像两只兔子耳朵在腿侧垂着。我童年曾玩过这样的游戏，那时没有钱，口袋里是一些纸团。现在演习一遍，竟很新鲜，好像 洗手套一样把自己翻过来洗干净了。 善良是一棵矮树 如今是"利益原则"至上的年代.经商的人把利润置于首位,并为此拼搏.不经商的人在这种社会氛围的笼罩之下,也把利益上的得失作为思考的砝码. 在这种情形下,如果哪一个人偶尔提到了"善良"这个词,会使很多人感到意外.善良?什么 善良? 人们对善良已感到陌生了. 但是在表面上看起来排斥善良的时代,肯定是人们最需要善良的岁月.虽然有人说"如果我善良,肯定会吃亏",但稍稍想一下,造假酒把人眼睛喝瞎的人唯独缺少善良. 人可以宣称:我的钱已经赚足了,但没有人说:我的善良已经饱和了. 阔人安双层防盗门,再 装防盗锁,又入保险,不就是恐惧别人的不善良么? 中国青少年基金会四处游说,为山区失学孩子募集学费,也是企图通过人们仅存的一点善良来使那些可怜的孩子多念上几天书. 反过来想,如今是一个充满恐慌的年代,是恐慌没有钱吗?是,又不完全是.缺那一部分东西,就叫做善良. 许许多多 的际遇可以这样来表述: 升官发财靠的是自己的拼搏,安居乐业需要别人的善良. 渴望之在中国大行其道,普遍传达了这样的渴望:我们需要善良.需要谁的善良呢?当然是别人的善良. 一句话,我们恨不能把老婆领导邻居和在街上见到的每一个人都变成刘慧芳和宋大成,自己可在王沪生与王 亚茹之间游离. 这部戏榨出了中国人的虚伪,虽然它在艺术上极幼稚. 如果你让哪一个人率先善良起来,他肯定不干,并反问"别人为什么不去善良". 仰仗别人的善良得以苟活,虽然可怜,但还不至于可悲.中国人的可悲在于,当有人以圣人的姿态播施善良时,会受到"集体无意识"的讥讽. 雷锋 具有完善的人格,不是难以摆脱被嘲弄的命运吗? 因此,人们虽然希望别人对自己善良有加,但别人的善良又衬出自己的冷酷,结果又触努了他. 如果善良与邪恶分别是两棵树的话,好看的是邪恶之树. 邪恶之树茂盛,绿叶如盖,果实鲜艳. 善良之树生长缓慢,不引人注目,有时没有果实. 这就 是人们拒绝善良的道理所在. 如果仅仅从生长与结果来判断树的价值,那也只是它的价值之一,而不是价值的全部. 当人们把眼光投入果实时,善良之树在做什么呢?它在地下默默的固沙,在没有人烟之处亮出一片风景,在清新每人吸入的氧气. 然而善良也有果实,那就是人性的纯粹和人性的 辉煌. 邪恶之树尽管疯长,但颓衰也过于迅速了.罂粟花不也是极美丽吗?然而消失得也迅速. 贝多芬说,"没有一棵善良的灵魂,就没有美德可言." 这是说善良与美德是密不可分的,但对于不需要美德的人来说,似乎可以不需要善良了. 还有一句格言很精彩,但不是名人说的,而是我的一位朋 友田睿口述,"如果善良也是一种武器的话,我在生活中惟一的武器就是善良." 这话令人玩味再三. 生活并不仅仅是"吃亏是福"的问题,敢于善良也不是敢于吃亏.善良常常是无损失可言.作为一种天性,善良的人往往能化险为夷. 因而善良之树也是常青之树. 草原牧歌写意 蒙古人感到心里 涌动悠长的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 夏季在蒙古高原是老天爷用力抖开的长长的绿绸子，从巴丹吉林到敖嫩古雅。这么长，如从楼兰古国到高句丽，备上九匹好马也要跑上两个月。老天爷另外一块用力抖开的绸子是冬天，白缎的。 蒙古人在起伏的绿绸上行走，他们惯于骑马， 一走路就像鸭子那样摇摇摆摆的，背手眯眼。在这样的土地上走，炊烟里必有牛粪火的气味，榆木桩子拴着沉思状的雪青马，牛群在雨后的草滩上走过，蹄印里汪着积水。这里没有路，只留勒勒车的两道辙印。人的前胸和后背都是无语苍凉的草原。太阳从银灰的云层偶一露头，远处有一 块草地便绿得耀眼，金色的阳光在草叶上急速爬过，不久淡化了。起风的时候，空气透明，草浪像骨牌一样向同一方向倒伏，风的部队快速潜行。这时，黯绿的草色逼入眼里，似有悲抑。但如此辽远的天地似又不容人啼哭，所有的景物无不沉实厚重。置身此地，蒙古人感到心里涌动悠长 的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 牧歌宛如情歌，无不极尽委婉。这是许多说也说不尽的曲折。情感一物，在尽境已无话可说了，这样就有汉人在京剧中的拖腔与蒙古人在牧歌中的长调。长调，像旅人在背上的行囊中装进尽可能多的什物，又像魔术师从口袋中拽出无穷尽的彩带。就 这样，蒙古人在目光望不到边的草原生活，无论走累了歇息，无论伫望，无论宴筵征战远徙祷祝，心里总要遇到一首歌。蒙古民歌俯仰皆是，一旗编有《蒙古民歌三百首》，一盟编有《蒙古民歌三千首》，然而千万何止。 刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台。听出蒙古民歌 的苍凉悲抑，乃第二楼台。在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了。因此，他们会把最好的肉食和奶食送给借宿的路人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得极好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩 吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达古拉》、《金珠尔玛》。这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 骑马听歌 他们脸上藏着很深的东西，不是智谋心机，而像岩石那样的表情，对访客轻轻地看一眼，就不再看了。访客是我 们，拜谒五当召喇嘛庙的俗世人。 到五当召的时候，天擦黑，洼地显出积雪的亮光。吃完饭的小喇嘛背书包去上课。他们紫色的僧衣和寺院白玛草掺泥而成的暗红外墙同一。小喇嘛们十四、五岁。一位倚柱子打IP电话，用蒙古语。这时，他腰里手机响了，莫扎特的四小节乐曲。另一个 小喇嘛和当地孩子钩冰玩儿，把一块冰用脚往自己这面钩，像盘球。一会儿，打电话和钩冰的小喇嘛安静下来，看我们。我们看他们。我想从他们脸上看出想家、学习藏文和寺院生活留下的痕迹，看不到。他们神色童稚，像小孩子一样东张西望。 接待我们的三位“大喇嘛”也只有二十 多岁，一位是住持，僧衣袖口半尺滚金。他们眉眼深处藏着东西，彼此明白，咱们不明白。同行的人说，喇嘛相貌好啊。他们英武又柔和，脸上没有迟疑、迫急这些“生活中”的人们常见的表情。在佛堂，我们坐好，听喇嘛诵经。藏语的经文高低错落，像泉水穿壁，闪着流动的光。诵经 如有和声领唱，美妙难传。 我们去拜谒成吉思汗陵，路过五当召。它和拉卜楞寺并列，同为第三大喇嘛庙。从这儿出来，心里还有经文萦绕。打个不确切的比方，诵经像葛利高利圣歌一样，属无伴奏合唱，织体丰满，铺垫烘托，密密麻麻又顿挫有致，像巴赫的音乐。世上很多东西都与 巴赫牵连。内蒙广播合唱团有一首混声四部无伴奏合唱：《四海》，流传于哲里木盟一带，是祝酒歌。歌里所说的“四海”，指东南西北海，各海绿波荡漾，槟榔树的叶子在微风中飘落，亲朋好友到了，喝酒吧。 有趣在，歌词的“东海”如回旋曲（意大利文：RONDO）中的主题A，与其 它主题相对出现。第一段，东海绿波荡漾；第二段，东海南海绿波荡漾；第三段，东海西海绿波荡漾；第四段，东海北海绿波荡漾。A与B、与C、与D对应。东海是领导。还有，海与槟榔叶子都不是蒙古人常见之物，却出现在歌词里。这首合唱的衬词是“哲咴”。哲咴！哲咴！哲咴！他们 唱起来排山倒海。这样劝酒，酒不喝是不成了。听说，有一帮不喝酒的环保日本人，听说过此歌，纷纷站起来自己找酒倒上，大白尽饮，再倒上。 在五当召，我们叩拜了从头世到七世活佛的舍利灵骨，
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第八章 平面向量与空间向量§8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。
长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知a ，b 。
在平面内任取一点，作=a，=，则向量叫做与b 的和。
记作a +b 。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知a ，b 。
在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则向量叫做a 与b的差。
记作a -b 。
7.实数与向量的积：（1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，并规定：①λa 的长度|λa |=|λ|·|a|；②当λ＞0时，λa 的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa =0（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μa )=(λμ) a②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +)=λa+λ8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。
另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //bx 1y 2－x 2y 1=09.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P 1、P 、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y 2)，则有特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·＝|a ||b|cos θ规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
(3)性质：设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ ，a ⊥b ⇔a ·b＝0 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b | 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a a⋅cos θ＝ba ba⋅⋅ |a ·b |≤|a ||b |(4)运算律：a ·b ＝b ·a(交换律)(λa )·b ＝λ(b ·a )＝a·(λb )(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设a=（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则 a ⊥b ⇔a ·b =|a|·|b |cos90°=0 a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=012.平移公式：设P （x ，y ）是图形F 上的任意一点，它在平移后图形F /上对应点为P /（x /，y /），且设/PP 的坐标为（h ，k ），则由/OP ＝＋/PP ，得：（x /，y /）＝（x ，y ）+（h ，k ）二、疑难知识导析1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。
因此，建议在记忆时对比记忆；4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲[例1] 和a= (3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是51a ，即 (35 ，－45 )错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量是±51a ，即(35 ，－45 )或(－35 ，45 )点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。
读者可以自己再求解“和a= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A （2，1），B （3，2），C （-1，4），若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标。
错解：设D 的坐标为（x ，y ），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。
故所求D 的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。
习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD 的顺序。
其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD 。
因此，还需要分类讨论。
正解：设D 的坐标为（x ，y ）当四边形为平行四边形ABCD 时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。
解得D 的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC 时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。
解得D 的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC 时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。
解得D 的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。
错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P （38,319） 错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P 2的外分点。
故须分情况讨论。
正解：当点P 为 P 1，P 2 的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解得P （38,319）； 当点P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此时解得P （13，4）。
则所求点P 的坐标为（38,319）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4] 设向量 ),(11y x a =，),(22y x b = ，0 ≠b ，则“b a //”是“1221y x y x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．解：若b a //，∵0 ≠b ，则b r a=，代入坐标得：),(),(2211y x r y x =，即21rx x =且21ry y = ．消去r ，得1221y x y x =；反之，若1221y x y x =，则21rx x =且21ry y =，即),(),(2211y x r y x =则b r a=，∴b a //故“b a//”是“1221y x y x = ”的充要条件．答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．[例5]．已知a =（1，-1），b =（-1，3），c =（3，5），求实数x 、y ，使c =x a+y b ．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可． 解：由题意有x a+y b =x （1，-1）+y （-1，3）=（x-y ，-x+3y ）．又c=（3，5）∴x -y=3且-x+3y=5 解之得 x=7 且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法． [例6]已知A （-1，2），B （2，8），AC =31AB ，DA =-31BA ，求点C 、D 和向量CD 的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量 AB ，DA 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得=（2,111-+y x ），=（3，6）， =（222,1y x ---），=（-3，-6）又AC =31AB ，DA = -31BA ∴（2,111-+y x ）=31（3，6）， （222,1y x ---）=-31（-3，-6）即 (2,111-+y x )=(1,2) ， (222,1y x ---)=(1,2) ∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y ∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量CD 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4） 小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高． 四、典型习题导练1. )1,(),2,3(),,2(,x a B y A AB a =-=→→→若，则有（ ） A. 1,1-=-=y x B. 1,5=-=y xC. 1,5-==y xD. 3,5=-=y x2.（2006年高考浙江卷）设向量,,a b c 满足0a b c ++= ,,||1,||2a b a b ⊥== ,则2||c =(A)1 (B)2 (C)4 (D)53. 将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a =4. 从点)1,2(-A 沿向量→→→-=j i a 63方向取线段AB ，使5||=→AB ，则B 点坐标为 5. →m 、→n 是单位向量，→→n m 与的夹角为→→→→→→-=+=n m b n m a 2,2,3π，以→a 、→b 为邻边作平行四边形。
求平行四边形对角线的长。