江苏省苏州市常熟市九年级(上)期末数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 方程 x2=3x 的解为（ ）
A. 0
B. 3
C. 0 或−3
D. 0 或 3
2. 已知⊙O 的半径为 4cm．若点 P 到圆心 O 的距离为 3cm，则点 P（ ）
A. 在 ⊙ ������内 C. 在 ⊙ ������外
15. 关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m-3=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是______．
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16. 如图，四边形 AOBC 是菱形，点 C 在以 O 为圆心 OA 为 半径的������������上，若 OA=2，则������������的长为______．
10. 抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，抛物 线的对称轴是直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为 （4，0）．下列结论中：①c＞a；②2a-b=0；③方程 ax2+bx+c=1（a≠0）有两个不相等的实数根；④抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（-1，0）；⑤若点 A（m，n）在 该抛物线上，则 am2+bm≤a+b．其中正确的有（ ）
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A. 85 ∘ B. 105 ∘ C. 115 ∘ D. 130 ∘
9. 如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中．点 A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB，CD 相交于点 E，则 sin∠AEC 的值为（ ）
A. 2 5 5
B. 3 5 10
C.
1 2
D. 10 4
13. 在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球 320 个，这些球除颜色外都相同．小 明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算 得摸到红球的频率是 25%，则估计这只袋子中有红球______．
14. 将抛物线������ = 12������2先向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后得到新的抛物线， 则新抛物线对应的函数表达式是______．
C. 4，4
D. 5，4
5. 若二次函数 y=-x2+3 的图象经过点（-3，y1）、（-4，y2），则 y1、y2 的大小关系是 （ ）
A. ������1 < ������2
B. ������1 = ������2
C. ������1 > ������2
D. 不能确定
6. 如图，圆锥的底面半径为 3cm，高为 4cm，那么这个圆锥的侧面积 是（ ）
B. 在 ⊙ ������上 D. 与 ⊙ ������的位置关系无法确定
3. 二次函数 y=（x+2）2-1 的顶点坐标是（ ）
A. (2,−1)
B. (−−2,1)
4. 一组数据：5、4、3、4、6、8，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A. 4.5，4
B. 3.5，4
23. 如图，公园里有三条笔直的他身步道，两两相交呈三角形，交点为 A、B、C．经测 量，点 B 在点 A 的正东方向，点 C 在点 A 北偏东 60°的方向，且在点 B 北偏东 45° 的方向，BC=2 2km．小明从 C 处出发，沿着 C-A-B 的路径散步．求小明散步的路 程．
22. 某中学运动队有短跑、长跑、跳远、实心球四个训练小队，现将四个训练小队队员 情况绘制成如下不完整的统计图：
（l）学校运动队的队员总人数为______人，扇形统计图中短跑训练小队所对应圆 心角的度数为______°； （2）补全条形统计图，并标明数据； （3）若在短跑训练小组中随机选取 2 名同学进行比赛，请用列举法（画树状图或 列表）求所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率．
17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的 负半轴于点 A．点 B 是 y 轴正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A′恰好落在抛物线上．过点 A′作 x 轴的平 行线交抛物线于另一点 C．若点 A′的横坐标为 1，则 A′C 的长为______．
18. 如图，正方形 AOBC 的顶点 O 在原点，边 AO，BO 分别在 x 轴和 y 轴上，点 C 坐标为（4，4），点 D 是 BO 的中点，点 P 是边 OA 上的一个动点，连接 PD， 以 P 为圆心，PD 为半径作圆，设点 P 横坐标为 t，当 ⊙P 与正方形 AOBC 的边相切时，t的值为______．
A. 10������������������2
B. 15������������������2
C. 20������������������2
D. 25������������������2
7. 2018 年某公司一月份的销售额是 50 万元，第一季度的销售总额为 182 万元，设第 一季度的销售额平均每月的增长率为 x，可列方程为（ ）
A. ①③④
B. ②③④
C. ①③⑤
D. ①④⑤
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
11. 若∠A 为锐角，且 tanA=1，则∠A 的度数为______．
12. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人 5 次跳远的平均成绩都是 7.68 米，方差分别 是 S 甲 2=0.92（米 2），S 乙 2=1.12（米 2），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是 ______．
A. 50(1 + ������)2 = 182 C. 182(1−������)2 = 50
B. 50(1 + 2������) = 182 D. 50 + 50(1 + ������) + 50(1 + ������)2 = 182
8. 如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上．若∠CAB=25°， 则∠D 的度数为（ ）
三、计算题（本大题共 2 小题，共 10.0 分） 19. 解方程：x2-3x-2=0．
20. 计算：2sin60°+ 2cos45°-tan30°．
四、解答题（本大题共 8 小题，共 66.0 分）
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21. 已知关于 x 的方程 x2-（k-1）x+2k=0，若方程的一个根是-4，求另一个根及 k 的值．
江苏省苏州市常熟市2022-2023学年数学九上期末达标检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．小明将如图两水平线l 1、l 2的其中一条当成x 轴，且向右为正方向；两条直线l 3、l 4的其中一条当成y 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y ＝ax 2﹣2a 2x +1的图象，则（ ）A ．l 1为x 轴，l 3为y 轴B ．l 2为x 轴，l 3为y 轴C ．l 1为x 轴，l 4为y 轴D ．l 2为x 轴，l 4为y 轴3．如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用()0,0表示孔庙的位置，用()1,5表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（ ）A ．(1,1)--B ．()0,1C ．()1,1D ．(1,1)-4．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A．B．C．D．5．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等6．sin65°与cos26°之间的关系为（）A．sin65°＜cos26°B．sin65°＞cos26°C．sin65°=cos26°D．sin65°+cos26°=17．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（）A．2B．2 C．22D．328．已知⊙O的半径为3cm，P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O（）A．内部B．外部C．圆上D．不能确定9．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n的值为（）A．3 B．5 C．8 D．1010．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：25二、填空题(每小题3分,共24分)11．如果23x y =，那么4y x x y -=+_____． 12．如图，一段抛物线(2)(02)y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O 、1A ，将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ，将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ；如此进行下去，直至得到8C ，若点29,2P m ⎛⎫⎪⎝⎭在第8段抛物线8C 上，则m 等于__________13．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外其它都相同，任意摸出一个球，摸到黑球的概率是__________．14．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则EF=________．15．已知()31f x x =+，那么(3)f =______．16．有一个正十二面体，12个面上分别写有1~12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是 ．17．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．18．一张矩形的纸片ABCD 中，AB=10，AD=8.按如图方式折，使A 点刚好落在CD 上。
江苏省常熟市2025届九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析
江苏省常熟市2025届九年级数学第一学期期末调研模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( )A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝62．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是( ) A．B．－C．4 D．－13．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（）.A．1 B．2 C．3 D．44．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个A．10 B．15 C．20 D．255．下列事件中，属于必然事件的是（）A．小明买彩票中奖B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数aC．等腰三角形的两个底角相等D．a是实数，06．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A ．141°B ．144°C ．147°D ．150°7．如图的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝8，DB ＝4，AE ＝6，则EC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．抛物线y ＝3x 2向右平移一个单位得到的抛物线是（ ）A ．y ＝3x 2+1B ．y ＝3x 2﹣1C ．y ＝3（x+1）2D ．y ＝3（x ﹣1）210．正八边形的中心角为（ ）A ．45°B ．60°C ．80°D ．90°11．如图，已知抛物线211:(2)22y l x =--与x 轴分别交于O 、A 两点，将抛物线1l 向上平移得到2l ，过点A 作AB x ⊥轴交抛物线2l 于点B ，如果由抛物线1l 、2l 、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线2l 的函数表达式为（ ）A ．21(2) 2 2y x =-+ B ．21(2) 3 2y x =-+ C ．21(2)42y x =-+ D ．21(2)12y x =-+ 12．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是（ ）A ．47B ．37C ．17D ．13二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下： x …－3 －2 －1 0 … y… 0 －3 －4 －3 … 则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是______.14．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，点P 为BC 边上一动点，若AP ⊥DP ，则BP 的长为_____．15．如图，在半径AC 为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是 ．16．分解因式：x 3y ﹣xy 3=_____．17．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=1．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点 O 恰好落在延长线上点D 处，折痕交OA 于点C ，整个阴影部分的面积_____．18．如图，,PA PB 是O 的两条切线，,A B 为切点，点,,D E F 分别在线段,,AB BP AP 上，且AD =0,,58BE BD AF P =∠=，则EDF ∠=__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．20．（8分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A (﹣1，0)、B (5，0)，与y 轴相交于点C (053)． （1）求该函数的表达式；（2）设E 为对称轴上一点，连接AE 、CE ；①当AE +CE 取得最小值时，点E 的坐标为 ；②点P 从点A 出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE 到达点E ，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D ．当点P 到达顶点D 所用时间最短时，求出点E 的坐标．21．（8分）如图,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC 的长22．（10分）解下列方程:（1）22610x x -+=；（2）()2121x x -=+. 23．（10分）如图，在ABC 中，,40=∠=︒AB AC A ，求B 的度数.24．（10分）如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA=∠C ，（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）连接OP ，若OP ∥BC ，且OP=8，⊙O 的半径为22 ，求BC 的长．25．（12分）如图，AC 、BD 交于点E ，BC CD =，且BD 平分ABC ∠．（1）求证：AEB CED ∆∆；（2）若6BC =，3EC =，2AE =，求AB 的长．26．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，求海岛C 到航线AB 的距离CD 的长（结果保留根号）．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b ，﹣2×3＝c ，即可得到b 与c 的值. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b ，﹣2×3＝c ， ∴b ＝﹣1，c ＝﹣6故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根12x x ，满足1212,b c x x x x a a+=-⋅= ，是解题的关键. 2、A【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．3、B【分析】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．【详解】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，如图所示，使用2次即可找到圆心O，故选B.【点睛】本题考查利用垂径定理确定圆心，熟练掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.4、C【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】设白球个数为x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.2，∴50.2 5x=+，解得：x=20，经检验x=20是原方程的根，故白球的个数为20个．故选C．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．5、C【分析】由题意根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可判断选项．【详解】解：A. 小明买彩票中奖，是随机事件；B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件；C. 等腰三角形的两个底角相等，是必然事件；D. a是实数，0a<，是不可能事件；故选C.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6、B【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°，故选B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数)．7、A【解析】从正面看所得到的图形，进行判断即可．【详解】解：主视图就是从正面看到的图形，因此A图形符合题意，故选：A．【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知三视图的定义．8、C【分析】根据平行线所截的直线形成的线段的比例关系,可得AD AEBD EC=,代数解答即可.【详解】解:由题意得,AD AEBD EC=,864EC=,解得3EC=.【点睛】本题考查了平行线截取直线所得的对应线段的比例关系,理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键.9、D【解析】先确定抛物线y＝3x1的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】y＝3x1的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3（x﹣1）1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10、A【分析】根据中心角是正多边形的外接圆相邻的两个半径的夹角，即可求解.【详解】∵360°÷8＝45°，∴正八边形的中心角为45°，故选：A．【点睛】本题主要考查正八边形的中心角的定义，理解正八边形的外接圆相邻的两个半径的夹角是中心角，是解题的关键. 11、A【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线2l的函数表达式．【详解】当y＝0时，有12（x−2）2−2＝0，解得：x1＝0，x2＝1，∴OA＝1．∵S阴影＝OA×AB＝16，∴AB＝1，∴抛物线2l 的函数表达式为y ＝12（x−2）2−2＋1＝21(2) 2 2y x =-+ 故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积是解题的关键．12、B【分析】直接利用概率公式计算求解即可．【详解】转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是37，故选：B ． 【点睛】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式.二、填空题（每题4分，共24分）13、13x =-，21x =【分析】首先根据x 与函数y 的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得 34930c a b c a b c =-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴二次函数解析式为223y x x =+-∴方程为2230x x +-= ()()130x x -+=∴方程的解为13x =-，21x =故答案为13x =-，21x =.【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.14、1或2【分析】设BP=x ，则PC=3-x ，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB ，即可证明△CDP ∽△BPA ，根据相似三角形的性质列方程求出x 的值即可得答案．【详解】设BP=x ，则PC=3-x ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C ，∵AP ⊥DP ，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB ，∴△CDP ∽△BPA ， ∴AB PB PC CD=， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3， ∴132x x =-， 解得：x 1=1，x 2=2，∴BP 的长为1或2，故答案为：1或2【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．15、π﹣1．【详解】解：在Rt △ACB 中，=，∵BC 是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt △ACB 中，CD 垂直平分AB ，∴D 为半圆的中点，S 阴影部分=S 扇形ACB ﹣S △ADC =22112(2)42π⨯-⨯=π﹣1． 故答案为π﹣1．考点：扇形面积的计算．16、xy （x+y ）（x ﹣y ）． 【解析】分析：首先提取公因式xy ，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．详解：x 3y ﹣xy 3=xy （x 2﹣y 2）=xy （x+y ）（x ﹣y ）．点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17、9π﹣123．【详解】解：连接OD 交BC 于点E ，∠AOB=90°，∴扇形的面积=2164π⨯⨯=9π， 由翻折的性质可知：OE=DE=3，在Rt △OBE 中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，在Rt △COB 中，CO=23，∴△COB 的面积=13，∴阴影部分的面积为=9π﹣123．故答案为9π﹣123．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键．18、61°【分析】根据切线长定理，可得PA=PB ，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS 即可证出△FAD ≌△DBE ，从而得出∠AFD=∠BDE ，然后根据三角形外角的性质即可求出∠EDF ．【详解】解：∵,PA PB 是O 的两条切线，∠P=58°∴PA=PB∴∠FAD=∠DBE=12（180°－∠P ）=61° 在△FAD 和△DBE 中AD BE FAD DBE AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△DBE∴∠AFD=∠BDE ，∵∠BDF=∠BDE ＋∠EDF =∠AFD ＋∠FAD∴∠EDF =∠FAD =61°故答案为：61°【点睛】此题考查的是切线长定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质，掌握切线长定理、等边对等角和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）DH ＝23．【分析】（1）连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角，即可求出∠ADB ＝90°，从而得出AD ⊥BC ，最后根据三线合一即可证出结论；（2）连接OE ，根据菱形的性质可得OA ＝OE ＝AE ，从而证出△AOE 是等边三角形，从而得出∠A ＝60°，然后根据等边三角形的判定即可证出△ABC 是等边三角形，从而求出∠C ，根据（1）的结论即可求出CD ，最后根据锐角三角函数即可求出DH.【详解】（1）证明：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ．（2）解：如图，连接OE ．∵四边形AODE 是菱形，∴OA ＝OE ＝AE ，∴△AOE 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°，∵CD ＝BD=142BC =， ∴DH ＝CD •sinC ＝3【点睛】此题考查的是圆周角定理推论、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角、三线合一、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.20、（1）234353333y x x =-++；（2）①(23；②点E (23． 【分析】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a ＝33，解得：a ＝﹣33，即可求解； （2）①点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，即可求解； ②t ＝AE +22DE ，t ＝AE +22DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小，即可求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a 53，解得：a ＝﹣3故抛物线的表达式为：234353333y x x =-++； （2）①函数的对称轴为：x ＝2，点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，由点B 、C 的坐标得，BC 的表达式为：y ＝﹣33x +533， 当x ＝2时，y ＝3，故答案为：(2，3)；②t ＝AE +12DE ， 过点D 作直线DH ，使∠EDH ＝30°，作HE ⊥DH 于点H ，则HE ＝12DE ，t ＝AE +12DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小， 则直线A (E )H 的倾斜角为：30°，直线AH 的表达式为：y 3(x +1) 当x ＝2时，y 3故点E (23．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．21、6AC =【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD ∽△CBA ，列出比例式即可求出AC.【详解】解：∵CD=4，BD=2,∴BC=CD ＋BD=6∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△CAD ∽△CBA ∴AC DC BC AC= ∴26424AC BC CD =•=⨯=解得：AC =或-即AC =【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.22、（1）1x =，2x =（2）11x =-，23x =, 【分析】（1）利用求根公式法解方程；（2）移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）解：2a =，6b =-，1c =24280b ac ∆=-=>∴63242b x a -±±±===∴1x =，2x = （2）解：()()()11210x x x +--+=∴()()130x x +-=∴10x +=或30x -=∴11x =-，23x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23、70°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得.【详解】AB AC =B C ∴∠=∠180,40A B C A ∠+∠+∠=︒∠=︒402180B ∴︒+∠=︒70B ∴∠=︒故B 的度数为70︒.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出B C ∠=∠是解题关键.24、（1）证明见解析；（1）BC=1.【解析】试题分析：（1）连接OB ，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB ，得出∠BAC=∠OBA ，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（1）证明△ABC ∽△PBO ，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．试题解析：（1）证明：连接OB ，如图所示：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB ，∴∠BAC=∠OBA ，∵∠PBA=∠C ，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB ⊥OB ，∴PB 是⊙O 的切线；（1）解：∵⊙O 的半径为，∴，，∵OP ∥BC ，∴∠C=∠BOP ，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC ∽△PBO ， ∴BC AC OB OP=，即42822BC =， ∴BC=1．考点：切线的判定25、（1）见解析；（2）4AB =【分析】⑴根据题意依据(AA)公理证明即可．⑵根据相似三角形性质对应边成比例求解即可．【详解】证明：（1）BC CD =，DBC D ∴∠=∠BD 平分ABC ∠，DBC DBA ∴∠=∠D DBA ∴∠=∠又AEB CED ∠=∠ AEB CED ∴∆∆（2）AEB CED ∆∆AB AE CD EC ∴= 又6BC CD ==，3EC =，2AE =，263AB ∴= 4AB ∴=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质．26、153【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=1°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=1°=∠ACB ，根据等角对等边得出AB=BC=1，然后解Rt △BCD ，求出CD 即可．【详解】解：∵DA ⊥AD ，∠DAC=60°，∴∠1=1°．∵EB⊥AD，∠EBC=1°，∴∠2=60°．∴∠ACB=1°．∴BC = AB=1．在Rt△ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°，∴tan∠2=CD BC，∴tan60°=3 302 CD，∴CD=153．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．。
江苏省常熟市2022届九年级数学上学期期末考试试题 苏科版
江苏省常熟市 2022届九年级数学上学期期末考试试题本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共28小题，总分值130分．考试时间120分钟． 一、选择题 本大题共有10小题，每题3分，共30分．在每题所给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卷相对应位置上． 1．方程(2)0x x +=的解是A ．x=0B ．x=2C ．x=0或x=2D ．x=0或x=－ 22．有一组数据：3，4，6，5，6，那么这组数据的平均数、众数、中位数分别是 A ．4．8，6，5 B ．5，5，5 C ．4．8，6，6 D ．5，6，53．将抛物线23y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，那么新抛物线对应的函数表达式是A ．23(2)1y x =++ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =-+ D ．23(2)1y x =--4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=l ，AC=2，那么cosB 的值是 A ．2 B ．12 C ．55 D ． 2555．假设二次函数22y x x k =-+的图像经过点(－1，1y )，(12，2y )，那么1y 与2y 的大小关系为A ．1y >2yB ．1y =2yC ．1y <2yD ．不能确定 6．一元二次方程220x x --=的一个根是m ，那么22018m m -+的值是 A ． 2022 B ． 2022 C ． 2022 D ． 2022 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=70°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在劣弧AC 上，那么∠D 的度数是A ．55°B ．110°C ．125°D ．140°8．某商店6月份的利润是4800元，8月份的利润到达6500元．设平均每月利润增长的百分率为石，可列方程为A ．24800(1)6500x -= B ．24800(1)6500x +=C ．26500(1)4800x -= D ．248004800(1)4800(1)6500x x ++++= 9．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线 于点P ，∠B=30°，OP=3，那么AP 的长为 A ．3 B ．32C ．233 D ．33210．二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于点(－2，0)、(2x ，0)，且l<2x <2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)下方，在以下结论中：①ab>0，②420a b c -+=，③210a b -+<，④a<b<c ．其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 本大题共8小题，每题3分，共24分．把答案直接填在答题纸相对应位置上． 11．sin60°的值为__________．12．甲、乙两名运发动各进行了10次100m 跑的测试，两名运发动的平均成绩均为12．9(s)，甲的方差是0．024(s 2)，乙的方差是0．008(s 2)．那么这10次测试成绩比拟稳定的运发动是________ (填“甲〞或“乙〞)．13．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，假设关于x 的一元二次方程2ax bx c ++=的一个根为4，那么该方程的另一个根为________．14．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个实数根，那么m 的取值范围是________． 15．一圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，那么这个圆锥的底面半径r 为________cm ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是边BC 上的一点，∠CAD=30°，BD=2，AB=23，那么CD 的长为________．17．如图，过⊙O 外一点P 向⊙O 作两条切线，切点分别为A ，B ，假设⊙O 半径为1， ∠APB=60°，那么图中阴影局部的面积为________．18．如图，平面直角坐标系中，分别以点M(2，3)、N(3，－5)为圆心，以l 、2为半径作⊙M 、⊙N ，A 、B 分别是⊙M 、⊙N 上的动点，P 为y 轴上的动点，那么PA+PB 的最小值等于________． 三、解答题 本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．(此题总分值5分)解方程：22410x x --=．20．(此题总分值5分)计算：2sin45°+cos260°－3tan60°．21．(此题总分值6分)关于x 的方程2210x kx k ++-=，假设方程的一个根是－1，求另一个根及k 的值．22．(此题总分值8分)某校为了丰富学生课余生活，方案开设以下课外活动工程：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动工程，随机抽取了局部学生进行调查(每位学生必须选且只能选一个工程)，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请答复以下问题：(1)这次被调查的学生共有___________人；扇形统计图中，选“D 一园艺种植〞的学生人数所占圆心角的度数是__________°； (2)请你将条形统计图补充完整；(3)假设该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人〞和最喜欢“航模〞工程的总人数．23．(此题总分值7分)在“弘扬传统文化，打造书香校园〞活动中，学校方案开展经典作品朗读大赛，需要在初二年级中选取1位或2位同学作为主持人，现有2位男同学和2位女同学共4位同学报名参加．(1)假设从这4位同学中随机选取1位主持人，那么被选中的这位同学是男同学的概率为_____． (2)假设从这4位同学中随机选取2位主持人，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的这 2位同学恰好是一男一女的概率．24．(此题总分值7分)如图，在一笔直的沿湖道路上有A 、B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头A 北偏东60°的方向，在码头B 北偏东15°的方向，AB=4km ． (1)求观光岛屿C 与码头A 之间的距离(即AC 的长)；(2)游客小明准备从观光岛屿C 乘船沿甜回到码头A 或沿CB 回到码头B ，假设开往码头A 、B 的游船速度相同，设开往码头A 、B 所用的时间分别是1t 、2t，求12t t 的值．(结果保存根号)25．(此题总分值8分)如图，二次函数2142yx mx m=-++-的图像与x轴交于A、B两点(A 在B的左侧)，与)，轴交于点C．抛物线的对称轴是直线2x=-，D是抛物线的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)当112x-<<时，请求出y的取值范围；(3)连接AD，线段OC上有一点E，点E关于直线2x=-的对称点E' 恰好在线段AD上，求点E的坐标．26．(此题总分值10分)如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的OD，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．(1)求证：∠ACE=∠DCE；(2)假设∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EA O的度数；(3)假设AC=4，23CDFCOESS∆∆=，求CF的长．27．(此题总分值10分)如图，AABC内接于⊙O，且AB=BC．AD是⊙O的直径，AC、BD交于点E，P 为DB延长线上一点，且PB=BE．(1)求证：△ABE～△DBA；(2)试判断以与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)假设E为BD的中点，求tan∠ADC的值．28．(此题总分值10分)如图，一次函数122yx=-+的图像与x轴交于点A，与y轴交于点C．二次函数212y x bx c=-++的图像经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B．(1)求二次函数的表达式；(2)点P是该函数在第一象限内图像上的一个动点．①连接BC、PC，设直线PB交线段AC于点D，△PCD的面积为S1，△BCD的面积为S2，求12SS的最大值；②过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，连接PC．假设以P、C、Q为顶点的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标．。
2022-2023学年江苏省常熟市九年级数学第一学期期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )A．60B．65C．70D．752．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形3．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．下列图形中，可以看作是中心对称图形的为（）A．B．C．D．5．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的长为（）A．3B．42C．33D．326．在平面直角坐标系中，将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( ) A ．()2514y x =-++B ．()2512y x =-++ C ．()2512y x =--+ D ．()2514y x =--+ 7．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形8．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点A ，沿顺时针方向旋转后得到Rt △AB 1C 1，当点B 1恰好落在斜边BC 的中点时，则∠B 1AC ＝（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．60°9．一元二次方程230x x -=的解是（ ）A ．3x =B ．0x =C ．113x =，20x = D ．13x =，21x = 10．如图在O 中，弦,⊥⊥AB AC OD AB 于点D OE AC ⊥，于点E ，若86AB cm AC cm ==，，则O 的半径OA 的长为（ ）A ．7cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，已知点A 是双曲线y ＝1x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x （k ＜0）上运动，则k 的值是_____．12．在一个不透明的布袋中装有红色和白色两种颜色的小球（除颜色以外没有任何区别），随机摸出一球，摸到红球的概率是14，其中白球6个，则红球有________个．13．计算：23cos30°+tan45°﹣4sin260°＝_____．14．如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．15．如图，△ABC的外心的坐标是____.16．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝30°，∠APD＝65°，则∠B＝_____．17．一元二次方程x2﹣2x=0的解是．18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线kyx（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k ＝_____．三、解答题(共66分)19．（10分） [阅读理解]对于任意正实数a 、b ， ∵()20a b -≥，∴20a ab b -+≥，∴2a b ab +≥（只有当a b =时，2a b ab +≥）．即当a b =时，+a b 取值最小值，且最小值为2ab ．根据上述内容，回答下列问题：问题1：若0m >，当m =______时，4m m +有最小值为______； 问题2：若函数()911y a a a =+>-，则当a =______时，函数()911y a a a =+>-有最小值为______． 20．（6分）如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A --、(1,1)B -、(0,2)C -．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为______；（2）将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转90︒，画出旋转后得到的11A B C ∆；（3）在（2）中，求边CA 所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．（4）若A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形ABC ∆的位置发生怎样的变化？22．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线24y x x =-+.（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线24y x x =-+的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴相交于点C ，连接BC .若点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，求PBC ∆的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点Q ，使QBC ∆是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，说明理由.23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(24)A -，，(44)B ， ，(60)C ，． （1）ABC ∆的面积是_______；（2）请以原点O 为位似中心，画出A B C '''∆，使它与ABC ∆的相似比为1:2，变换后点A B 、的对应点分别为点''A B 、，点'B 在第一象限；（3）若()P a b ，为线段BC 上的任一点，则变换后点P 的对应点P'的坐标为 _______．24．（8分）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：（1）三面涂有颜色的概率；（2）两面涂有颜色的概率；（3）各个面都没有颜色的概率．25．（10分）如图，AC 为O 的直径，B 为O 上一点，30ACB ∠=，延长CB 至点D ，使得CB BD =，过点D 作DE AC ⊥，垂足E 在CA 的延长线上，连接BE .（1）求证：BE 是O 的切线；（2）当3BE =时，求图中阴影部分的面积.26．（10分）利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【详解】由题意知：△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB =∠DCE =30°，AC =DC ，∴∠DAC =（180°−∠DCA ）÷2=（180°−30°）÷2=75°．故选D ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．2、D【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A 错误，两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B 错误，两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C 错误，两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D 正确，故选D ．【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．3、C【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式求解即可.【详解】设圆锥的底面半径是r ，由题意得，12262r ππ=⨯⨯， ∴r = 3cm.故选C.【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.4、B【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、是中心对称图形，故本选项正确；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B ．【点睛】此题考查中心对称图形的特点，解题关键在于判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5、D【分析】由题意易证ABP ACP '≌，则有3,AP AP BAP CAP ''==∠=∠，进而可得90PAP '∠=︒，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC ，∵将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，∴ABP ACP '≌，∵AP=3cm ，∴3,AP AP BAP CAP ''==∠=∠，∵90BAP PAC ∠+∠=︒，∴90CAP PAC '∠+∠=︒，即90PAP '∠=︒，∴PAP '是等腰直角三角形，∴PP '==；故选D ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．6、B【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.【详解】将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为：()2513-1=y x =-++()2512x -++故选：B【点睛】本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式.7、A【分析】顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一条对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等，所以是平行四边形．【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边的中点，∴HG ∥AC ，HG ＝12AC ，EF ∥AC ，EF ＝12AC ； ∴EF ＝HG 且EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是根据中位线性质证得EF ＝HG 且EF ∥HG ．8、B【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得AB 1＝BB 1，再根据旋转的性质得AB 1＝AB ，旋转角等于∠BAB 1，则可判断△ABB 1为等边三角形，所以∠BAB 1＝60°，从而得出结论．【详解】解：∵点B 1为斜边BC 的中点，∴AB 1＝BB 1，∵△ABC 绕直角顶点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，∴AB 1＝AB ，旋转角等于∠BAB 1，∴AB 1＝BB 1＝AB ，∴△ABB 1为等边三角形，∴∠BAB 1＝60°．∴∠B 1AC ＝90°﹣60°＝30°．故选：B ．【点睛】本题主要考察旋转的性质，解题关键是判断出△ABB 1为等边三角形.9、C【解析】用因式分解法解一元二次方程即可.【详解】(31)0x x -=∴0x = 或310x -=∴10x =，213x =故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.10、C【分析】根据垂径定理求得OD ，AD 的长，并且在直角△AOD 中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：弦AB AC ⊥，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ， ∴四边形OEAD 是矩形，142AD AB cm ==，132AE AC cm ==，3OD AE cm ∴==，5()OA cm ∴==； 故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；利用垂径定理求出AD ，AE 的长是解决问题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1．【分析】连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，设A 点坐标为（a ，1a），利用反比例函数的性质得到点A 与点B 关于原点对称，则OA ＝OB ，再根据等腰直角三角形的性质得OC ＝OA ，OC ⊥OA ，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO ＝∠AOE ，则根据“AAS ”可判断△COD ≌△OAE ，所以OD ＝AE ＝1a ，CD ＝OE ＝a ，于是C 点坐标为（1a ，﹣a ），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C 点所在的函数图象解析式．【详解】解：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，设A 点坐标为（a ，1a ），∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y ＝1a 的交点， ∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC ＝OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC +∠AOE ＝90°，∵∠DOC +∠DCO ＝90°，∴∠DCO ＝∠AOE ，在△COD 和△OAE 中， DCO AOE CDO AEO OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△OAE ，∴OD ＝AE ，CD ＝OE ，∴点C 的坐标为（1a，﹣a ）， 1a×（﹣a ）＝﹣1， ∴k ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题是一道综合性较强的题目，用到的知识点有，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力.此类题目往往需要借助辅助线，使题目更容易理解.12、1【分析】设红球有x 个，根据题意列出方程，解方程并检验即可．【详解】解：设红球有x 个，由题意得：164x x =+ ，解得2x=，经检验，2x=是原分式方程的解，所以，红球有1个，故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据概率求数量，掌握概率的求法是解题的关键．13、1【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：°+tan45°﹣4sin260°＝﹣4×22＝3+1﹣4×3 4＝4﹣3＝1故答案为：1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．14、1.95【分析】以点B为原点建立直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，即可设顶点式y＝a（x−0.8）2＋2.4，点A的坐标为（0，1.6），代入可得a的值，从而求得抛物线的解析式，将点D的横坐标代入，即可求点D的纵坐标就是点D距地面的高度【详解】解：如图，以点B为原点，建立直角坐标系．由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x−0.8）2＋2.4将点A代入得，1.6＝a（0−0.8）2＋2.4，解得a＝−1.25∴该抛物线的函数关系为y＝−1.25（x−0.8）2＋2.4∵点D的横坐标为1.4∴代入得，y＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95故灯罩顶端D 距地面的高度为1.95米故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．15、()2,1-【解析】试题解析：∵△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF 与MN 的交点O′即为所求的△ABC 的外心，∴△ABC 的外心坐标是（﹣2，﹣1）．16、35°【分析】先根据三角形外角性质求出∠C 的度数，然后根据圆周角定理得到∠B 的度数．【详解】解：∵∠APD ＝∠C+∠A ，∴∠C ＝65°﹣30°＝35°，∴∠B ＝∠C ＝35°．故答案为35°．【点睛】本题主要考查的是三角形的外角性质以及圆周角定理，这是一道综合性几何题，掌握三角形的外角性质以及圆周角定理是解题关键.17、12x 0x 2==，【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】方程整理得：x （x ﹣1）=0，可得x=0或x ﹣1=0，解得：x 1=0，x 1=1．故答案为x 1=0，x 1=1.18、1【解析】证明△ODA ∽△CDO ，则OD 2＝CD•DA ，而则OD 2＝（4﹣n ）2+n 2＝2n 2﹣1n+16，CD （m+n ﹣4），DA n ，即可求解．【详解】解：点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°＝∠COD ，∠ODA ＝∠ODA ，∴△ODA ∽△CDO ，∴OD 2＝CD•DA ，设点E （m ，n ），则点D （4﹣n ，n ），点C （m ，4﹣m ），则OD 2＝（4﹣n ）2+n 2＝2n 2﹣1n+16，CD （m+n ﹣4），DA n ，即2n 2﹣1n+16（m+n ﹣4）n ，解得：mn ＝1＝k ，故答案为1．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，关键是通过设定点E 的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．三、解答题(共66分)19、（1）2，4；（2）4，1【分析】（1）根据题目给的公式去计算最小值和m 的取值；（2）先将函数写成9111y a a =-++-，对911a a -+-用上面的公式算出最小值，和取最小值时a 的值，从而得到函数的最小值．【详解】解：（1）44m m +≥==，当4m m =，即2m =（舍负）时，4m m+取最小值4， 故答案是：2，4； （2）9111y a a =-++-，9161a a -+≥==-， 当911a a -=-，13a -=±，4a =，2a =-（舍去）时，911a a -+-取最小值6， 则函数()911y a a a =+>-的最小值是1， 故答案是：4，1．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是根据题目给的公式进行最值的计算．20、（1）234y x x =--；（2）存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-． 【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象交y 轴于点()0,4C -，∴设二次函数表达式为24y ax bx =+-， 把A 、B 二点坐标代入可得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解这个方程组，得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：234y x x =--；（2））∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为()2,34t t t --过P 作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F设直线BC 的函数表达式y mx n =+，将B （4，0），C （0，-4）代入得404m n n +=⎧⎨=-⎩， 解这个方程组，得14m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为4y x =-，∴点F 的坐标为(),4t t -，()()224344PF t t t t t ∴=----=-+， ()2114422PBC S PF OB t t ∆∴==-+⨯ ()2228t =--+，∵20a =->，∴当2t =时，PBC S ∆最大，此时223423246y t t =--=-⨯-=-，所以存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的关键．21、（1）(1,-1)；（2）见详解；（3）54π；（4）图形ABC ∆的位置是向右平移了3个单位. 【分析】(1)先求出点B 的坐标，再点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标即可；(2)根据将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转90︒的坐标特征即可得到A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点连线即可；(3) 利用扇形面积公式进行计算可得线段AC 旋转时扫过的面积．(4) A 、B 、C 三点的横坐标都加3，即图形ABC ∆的位置是向右平移了3个单位.【详解】解：（1）∵点B 的坐标是(1,1)- ,∴点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为(1,-1);（2）如图所示，11A B C ∆即为所求作的图形；（3）∵22215CA +，190ACA ∠=︒ ∴1290553604CAA S ππ⨯==扇形；（4）∵A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴图形ABC ∆的位置是向右平移了3个单位.【点睛】本题考查了利用旋转变换作图以及扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．22、（1）抛物线的方点坐标是()0,0，()3,3；（2）当32m =时，PBC ∆的面积最大，最大值为278；（3）存在，()1,4Q 或()2,5--【分析】(1)由定义得出x=y ，直接代入求解即可(2)作辅助线PD 平行于y 轴，先求出抛物线与直线的解析式，设出点P 的坐标，利用点坐标求出PD 的长，进而求出面积的二次函数，再利用配方法得出最大值(3)通过抛物线与直线的解析式可求出点B ，C 的坐标，得出△OBC 为等腰直角三角形，过点C 作CM BC ⊥交x 轴于点M ，作BN BC ⊥交y 轴于点N ，得出M ，N 的坐标，得出直线BN 、MC 的解析式然后解方程组即可.【详解】解：（1）由题意得：x y =∴24x x x -+=解得10x =，23x =∴抛物线的方点坐标是()0,0，()3,3.（2）过P 点作y 轴的平行线交BC 于点D .易得平移后抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，直线BC 的解析式为3y x =-+.设()2,23P m m m -++，则(),3D m m -+. ∴()222333PD m m m m m =-++--+=-+()03m << ∴()2213327332228PBC S m m m ∆⎛⎫=-+⨯=--+ ⎪⎝⎭()03m << ∴当32m =时，PBC ∆的面积最大，最大值为278. (3)如图所示，过点C 作CM BC ⊥交x 轴于点M ，作BN BC ⊥交y 轴于点N由已知条件得出点B 的坐标为B(3,0)，C 的坐标为C(0,3)，∴△COB 是等腰直角三角形，∴可得出M 、N 的坐标分别为：M(-3,0)，N(0,-3)直线CM 的解析式为：y=x+3直线BN 的解析式为：y=x-3由此可得出：2233y x x y x ⎧=-++⎨=+⎩或2233y x x y x ⎧=-++⎨=-⎩解方程组得出：14x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,4Q 或()2,5--【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，解题的关键是根据题意得出抛物线与直线的解析式.23、（1）12；（2）见解析；（3）(,)22a b ．【分析】（1）根据三角形的面积公司求出ABC ∆的面积即可；（2）根据A B C '''∆与ABC ∆的相似比为1:2，点'B 在第一象限，得出'A ，'B ， 'C 的坐标，连接起来即可； （3）根据A B C '''∆与ABC ∆的相似比为1:2，点P'的坐标为点P 横纵坐标的一半．【详解】（1）根据三角形面积公式得 164122ABC S =⨯⨯= ∴ABC ∆的面积是12故答案为：12；（2）如图所示（3）∵A B C '''∆与ABC ∆的相似比为1:2∴变换后点P'的横坐标为点P 横坐标的一半，点P'的纵坐标为点P 纵坐标的一半∴'(,)22a b P则变换后点P 的对应点P'的坐标为(,)22a b ．【点睛】本题考查了坐标轴的作图和变换问题，掌握三角形的面积公式以及相似三角形的性质是解题的关键．24、（1）18；（2）38；（3）18【分析】（1）三面涂有颜色的小正方体是在8个顶点处，共8个，再根据概率公式解答即可；（2）两面涂有颜色的小正方体是在12条棱的中间处，共24个，再根据概率公式解答即可；（3）各个面都没有颜色的小正方体是在6个面的中间处，共8个，再根据概率公式解答即可．【详解】解：（1）因为三面涂有颜色的小正方体有8个，所以P （三面涂有颜色）=81648=； （2）因为两面涂有颜色的小正方体有24个， 所以P （两面涂有颜色）=243648=； （3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个， 所以P （各个面都没有涂颜色）=81648=． 【点睛】本题考查几何概率，等可能事件的概率=所求情况数与总情况数之比．关键是找到相应的具体数目．25、（1）详见解析；（2）32π. 【分析】（1）连接OB ，欲证BE 是O 的切线，即要证到∠OBE=90°，而根据等腰三角形的性质可得到30OBC OCB ∠=∠=.再根据直角三角形的性质可得到30BEC ∠=，从而得到120EBC ∠=，从而得到90EBO ∠=，然后根据切线的判定方法得出结论即可.（2）先根据已知条件求出圆的半径，再根据扇形的面积计算公式计算出扇形OBC 的面积，再算出三角形OBC 的面积，则阴影部分的面积可求.【详解】（1）证明：如图，连接OB∵OB OC =,30ACB ∠=,∴30OBC OCB ∠=∠=.∵DE AC ⊥,CB BD =,∴在Rt DCE ∆中，12BE CD BC ==. ∴30BEC OCB ∠=∠=∴在BCE ∆中，180120EBC BEC OCB ∠=-∠-∠=.∴1203090EBO EBC OBC ∠=∠-∠=-=，即BE OB ⊥.又∵B 为圆O 上一点，∴BE 是圆O 的切线.（2）解：当3BE =时，3BC =.∵AC 为圆O 的直径，∴90ABC ∠=.又∵30ACB ∠=，∴2AC AB =.在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，即2223(2)AB AB +=， 解得3AB =. ∴223AC AB ==，3AO =∴22111133(3)333222222ABC S S S AO AB BC πππ∆=-=•-•=⨯-⨯⨯=-阴影半圆【点睛】本题考查了切线的判定方法和弓形面积的计算方法，正确作出辅助线是解题的关键.26、（1）32；（2）每件商品应降价2元时，该商店每天销售利润为12元．【分析】（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价6元，则平均每天可多售出3×4＝12件，即平均每天销售数量为1+12＝32件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为1+4×3＝32件． 故答案为32；（2）设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为12元．根据题意，得 （40﹣x ）（1+2x ）＝12，整理，得x 2﹣30x +2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝1．∵要求每件盈利不少于25元，∴x 2＝1应舍去，解得：x ＝2．答：每件商品应降价2元时，该商店每天销售利润为12元．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.。
苏州市常熟市九年级上期末数学试卷含答案解析
2022-2023江苏省苏州市常熟市九年级（上）期末数学试卷一、选择题本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题纸相对应的位置上.1．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（）A．x=5 B．x=5或x=6 C．x=7 D．x=5或x=72．二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象必定经过点（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，6）C．（2，4） D．（4，﹣1）3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练均是9.1环，方差分别是S甲中成绩稳定的描述正确的是（）A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．5．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3157．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A．65πcm2B．90πcm2C．155πcm2D．209πcm28．不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（）A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点C．与x轴有两个交点D．在x轴下方9．若A（﹣5，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）为二次函数y=ax2+2ax+（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y210．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2 D．二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题纸相对应的位置上.11．二次函数y=（x+1）2﹣2图象的对称轴是．12．已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．则cosA=．14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．15．将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为．16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为米．（结果保留根号）17．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是．三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．解方程：（2x+1）2﹣x2=0．20．计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．21．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．22．为了传承优秀传统文化，某校举行“经典诵读”比赛，诵读材料有：A《唐诗》、B《宋词》、C《论语》．将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小红和小亮参加诵读比赛，比赛时小红先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行比赛．（1）小红诵读《论语》的概率是；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小红和小亮诵读两个相同材料的概率．23．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADB．24．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC=8．求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．25．某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该水果店销售这种水果每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果多少箱？26．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：（1）△APC与△APB相似吗？为什么？（2）求y与x的函数关系式；（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC 于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．28．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．（1）填空：a=；顶点D的坐标为；直线BC的函数表达式为：．（2）直线x=t与x轴相交于一点．①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．2022-2023江苏省苏州市常熟市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题纸相对应的位置上.1．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（）A．x=5 B．x=5或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程左右两边都含有（x﹣5），将其看做一个整体，然后移项，再分解因式求解．【解答】解：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0（x﹣5）（x﹣7）=0解得：x1=5，x2=7；故选D．2．二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象必定经过点（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，6）C．（2，4） D．（4，﹣1）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将各点横坐标x的值代入y=x2﹣3x﹣4，计算出对应的y值，如果与点的纵坐标相等，则图象经过该点．【解答】解：A、∵x=﹣1时，y=（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣4=0≠1，故本选项错误；B、∵x=﹣2时，y=（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4=6，故本选项正确；C、∵x=2时，y=22﹣3×2﹣4=﹣6≠4，故本选项错误；D、∵x=4时，y=42﹣3×4﹣4=0≠﹣1，故本选项错误；故选B．3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（）A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比【考点】方差．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.6，∴S甲2＜S乙2，∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲，∴甲比乙稳定；故选A．4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，最小角的正切值=tan30°=．故选：C．5．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=30°，∴∠D=60°，∴∠A=∠D=60°．故选C．6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．7．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A．65πcm2B．90πcm2C．155πcm2D．209πcm2【考点】圆锥的计算；点、线、面、体；勾股定理．【分析】根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算．【解答】解：圆锥的表面积=×10π×13+π×52=90πcm2．故选B．8．不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（）A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点C．与x轴有两个交点D．在x轴下方【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】图象与x轴是否有交点，即是判断当y=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0的根的情况．【解答】解：当y=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0的判别式为：△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的根，即抛物线与x轴有两个交点，故选C．9．若A（﹣5，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）为二次函数y=ax2+2ax+（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先由a＜0，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：二次函数y=ax2+2ax+的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为4、1、2，∴y1＜y3＜y2．故选A．10．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2 D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【分析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OA与x轴负半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOA=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为2，则OB=2；Rt△OBD中，OB=2，∠BOD=30°，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（﹣，﹣），代入抛物线的解析式中，得：（﹣）2a=﹣，解得a=﹣；故选B．二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题纸相对应的位置上.11．二次函数y=（x+1）2﹣2图象的对称轴是直线x=﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=（x+1）2﹣2，∴对称轴为直线x=﹣1，故答案为：直线x=﹣1．12．已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是6．【考点】众数．【分析】根据众数的定义就可以解决．【解答】解：6出现的次数最多，所以众数是6．故填6．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．则cosA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得：AB==5，∴cosA==．故答案是：．14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是m＞﹣4．【考点】根的判别式．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．15．将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为y=2（x+1）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），由于点（0，0）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣1，3），则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=2（x+1）2+3．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣1，3），所以平移后的抛物线的解析式为y=2（x+1）2+3．故答案为y=2（x+1）2+3．16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用；平行投影．【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，从而可以求得BD的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠B=90°，BC=4，∠C=30°，∴tan30°=，∴AB=，∵∠B=90°，∠ADB=45°，∴AB=BD，∴BD=，故答案为：．17．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为18﹣6π．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠DAC=60°，可求得∠D=30°，得出OD=2OC=12，由勾股定理求出CD，利用△OCD的面积﹣扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．【解答】解：连接OC，如图所示：∵DC切⊙O于点C，∴DC⊥OC，∵∠BOC=2∠DAC=60°，∴∠D=30°，在Rt△OCD中，OC=AB=6，∴OD=2OC=12，由勾股定理得：CD=OC=6，∴S△OCD=OC•CD=×6×6=18，∵∠COD=60°，∴S扇形COB==6π，∴S阴影=S△OCD﹣S扇形COB=18﹣6π；故答案为：18﹣6π．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是﹣1．【考点】直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质．【分析】先求出AB，AC进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，∴AB=BC，∵∠BPC=90°，∴AP=BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3），∴AD==，∴t的最小值是AP=AD﹣PD=﹣1，故答案为﹣1．三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.19．解方程：（2x+1）2﹣x2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用平方差公式分解因式，然后可得（x+1）（3x+1）=0，进而可得x+1=0，3x+1=0，再解即可．【解答】解：（2x+1﹣x）（2x+1+x）=0，（x+1）（3x+1）=0，x+1=0，3x+1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣．20．计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式=2×+×（）2﹣4×=．21．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．【考点】根与系数的关系．【分析】由于x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为t．依题意得：3×（）2+m﹣8=0，解得m=10．又t=﹣，所以t=﹣4．综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．22．为了传承优秀传统文化，某校举行“经典诵读”比赛，诵读材料有：A《唐诗》、B《宋词》、C《论语》．将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小红和小亮参加诵读比赛，比赛时小红先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行比赛．（1）小红诵读《论语》的概率是；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小红和小亮诵读两个相同材料的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个相同材料的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率=；故答案为．（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个相同材料的结果数为3，所以小红和小亮诵读两个相同材料的概率==．23．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADB．【考点】解直角三角形．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角函数的定义得到AE=AB•sinB=3×=3，CE=15，于是得到结论；（2）由D是BC中点，得到BD=BC=9，根据勾股定理得到AD==3，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，∴∠AEB=90°，∵∠B=45°，∵sinB=，∴AE=AB•sinB=3×=3，∴BE=AE=3，∵∠AEC=90°，tanC=，∴CE=15，∴BC=BE+CE=18；（2）∵D是BC中点，∴BD=BC=9，∴DE=BD﹣BE=6，∴AD==3，∴sin∠ADB===．24．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC=8．求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把（﹣2，5）代入解析式，求出m；（2）解一元二次方程求出点A、点B的坐标；（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），根据三角形的面积公式求出n的值，求出点C的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），∴（﹣2）2﹣（m﹣1）×（﹣2）﹣m=5，解得，m=3；（2）当m=3时，函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3，y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0）；（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∵点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0），∴AB=4，由题意得，×4×|n2﹣2n﹣3|=8，∴|n2﹣2n﹣3|=4，当n2﹣2n﹣3=4时，n=1±2，当n2﹣2n﹣3=﹣4时，n=1，∴点C的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，4）．25．某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该水果店销售这种水果每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果多少箱？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．【解答】解：（1）由题意可得：y=200+20（60﹣x）=﹣20x+1400（0＜x＜60）；（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣20x+1400）=﹣20（x﹣55）2+4500，∵﹣20＜0，抛物线开口向下，∴x=55时，W最大值=4500，且x=55＜60，符合题意．∴每箱售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润4500元；（3）由题意W=4320时，（x﹣40）（﹣20x+1400）=4320，解得：x1=58，x2=52，故W≥4320时，52≤x≤58，当x=52时，销售200+20×8=360，当x=58时，销售200+20×2=240，故该网店每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果240箱．26．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：（1）△APC与△APB相似吗？为什么？（2）求y与x的函数关系式；（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）由x2代替y，化为关于x的二次三项式，配方即可求得答案．【解答】解：（1）△APC∽△APB，证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴CA⊥l，∠CPA=90°，又∵PB⊥l，∴CA∥PB，∴∠CAP=∠APB，又∵PB⊥l，∴∠APB=90°，∴∠CAP=∠ABP，∴△APC∽△APB；（2）∵△APC∽△APB，∴，∴．∴y=x2（0＜x＜8）；（3）x﹣y=x﹣=﹣（（x﹣4）2+2，∴当x为4时，x﹣y取得最大值，最大值为2．27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC 于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PC=a．则PA=2a，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PC=a．则PA=2a，∴a2=3×2a，∴a=6，∴PA=2a=12，则AF=12﹣3=9．28．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．（1）填空：a=﹣1；顶点D的坐标为（1，4）；直线BC的函数表达式为：y=﹣x+3．（2）直线x=t与x轴相交于一点．①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=ax2﹣2ax+a+4中，即可求出a的值；利用顶点坐标公式求出点D的坐标；求出点B、点C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）①设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），利用tan∠COM=tan∠DBN，列出方程，求出m的值即可求出点M的坐标；②利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用用含t的式子表示出EF、FG、PE 的长度，利用三边关系即可证明；底角的余弦值为，列出关于t的方程，解得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），∴a+2a+a+4=0，解得：a=﹣1；∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴=1，==4，∴顶点D的坐标为：（1，4）；令x=0，得：y=3，即点C的坐标为（0，3）；∵点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴1×2﹣（﹣1）=3，∴点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3；故答案为：﹣1，（1，4），y=﹣x+3；（2）①设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∵∠COM=∠DBN，∴tan∠COM=tan∠DBN，∴，解得：m=±，∵m＞0，∴m=，∴点M（，2）；②设直线BD的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+6；∴点P（t，﹣t2+2t+3），点E（t，﹣2t+6），点F（t，﹣t+3），∴PE=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3，EF=（﹣2t+6）﹣（﹣t+3）=﹣t+3，FG=﹣t+3，∴EF=FG．∵EF+FG﹣PE=2（﹣t+3）﹣（﹣t2+4t﹣3）=（t﹣3）2＞0，∴EF+FG＞PE，∴当1＜t＜3时，线段PE，EF，FG总能组成等腰三角形，由题意的：，即，∴5t2﹣26t+33=0，解得：t=3或，∴1＜t＜3，∴t=．2月25日。
常熟九年级期末考试卷数学
常熟九年级期末考试卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333…D. √22. 一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的判别式是：A. \( b^2 - 4ac \)B. \( a^2 + b^2 + c^2 \)C. \( a + b + c \)D. \( b - 4ac \)3. 以下哪个选项不是整式的运算？A. \( 2x + 3y \)B. \( 4x^2 - 5x \)C. \( x^2 / x \)D. \( x^2 + 2xy + y^2 \)4. 函数 \( y = kx + b \) 中，斜率 \( k \) 表示：A. 截距B. 倾斜程度C. 原点坐标D. 与x轴的交点5. 已知一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 256. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，它的体积是：A. 24立方米B. 12立方米C. 36立方米D. 48立方米7. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. \( a_n = a_1 + (n-1)d \)B. \( a_n = a_1 + nd \)C.\( a_n = a_1 - nd \) D. \( a_n = a_1 - (n-1)d \)8. 一个三角形的三个内角之和是：A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°9. 以下哪个选项是正确的几何级数公式？A. \( S_n = a_1(1 - r^n) / (1 - r) \)B. \( S_n = a_1(1 - r^n) / r \)C. \( S_n = a_1(1 + r^n) / (1 - r) \)D. \( S_n = a_1(1 - r^n) / (1 + r) \)10. 一个函数的图象是一条直线，那么这个函数是：A. 一次函数B. 二次函数C. 三次函数D. 反比例函数二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是______。
常熟初三上数学期末试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 3C. -4D. 1.52. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-3），则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 03. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an的值是（）A. 23B. 25C. 27D. 295. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y=1/xB. y=x^2C. y=√xD. y=|x|6. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点B的坐标是（）A. （-2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （2，3）7. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - b^2C. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^28. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底边上的高是底边的一半C. 直角三角形的斜边是直角边长度的平方和D. 三角形的外接圆半径等于内切圆半径9. 下列数列中，属于等比数列的是（）A. 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 5, 7, ...C. 1, 2, 4, 8, ...D. 3, 6, 9, 12, ...10. 下列函数中，反函数为y=√x的是（）A. y=x^2B. y=2x+1C. y=x^3D. y=|x|二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。
2023-2024学年江苏省苏州市九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年江苏省苏州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）有一组数据：3，3，5，6，7，这组数据的中位数是（）A．3B．5C．6D．72．（3分）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，D为中点，若的度数为40°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．50°C．60°D．70°4．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝2C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝7 6．（3分）关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．函数图象开口向下B．函数图象与y轴交点坐标为（0，3）C．函数图象的对称轴为直线x＝2D．当x＞2时，y随x的增大而减小7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的正实数根，则m可能的值是（）A．5B．3C．0D．﹣18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A′B′C，若点A的对应点A′恰好落在边AB上，连接AB′，则tan∠B′AC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若x＝2y，则＝．10．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为．11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则m＝．12．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为．13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cos A的值为．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若BD＝3，CD＝4，则AC＝．15．（3分）《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其大意为：今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小．设其横截面为⊙O，用锯子去锯这个木材，锯口深AB为1寸，锯道长CD为1尺．由此可得这块圆柱形木材横截面的直径是尺．（注：1尺＝10寸）16．（3分）函数y1＝x2+2x﹣3的图象与函数y2＝﹣x+b的图象交于A，B两点，若AB＝5，则当y1＞y2时自变量x的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：2cos30°+sin45°﹣．18．（5分）解方程：x2﹣4x＝2x﹣8．19．（6分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为A（2，﹣1），且经过点B（4，3）．（1）求a，b，c的值；（2）向上或向下平移抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），使得平移后的抛物线经过原点，则平移后的抛物线的函数表达式为．20．（6分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课如期开课，神舟十六号三位航天员面向全国青少年进行太空科普授课，在轨演示了A（球形火焰），B（奇妙“乒乓球”），C（动量守恒），D（又见陀螺）4个实验，4个在轨实验视频可以在线随机点播回看．（1）若小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看，恰好选到实验A（球形火焰）视频的概率为；（2）若小明从以上4个实验视频中随机选择两个不同视频回看，求小明同时选到B（奇妙“乒乓球”）和C（动量守恒）视频的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率）21．（7分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，，连接AC．（1）若AB＝5，求CD；（2）若△ABE的面积为m，求△ACD的面积．（用含m的代数式表示）22．（8分）“阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．”某校为了解学生近两周平均每天在家阅读时长x（单位：分钟），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如所示统计图表．学生阅读时长频数、频率分布表时间段频数频率0≤x＜3060.130≤x＜60a0.260≤x＜90240.490≤x＜12012b120≤x≤15060.1（1）a＝，b＝；（2）补全频数分布直方图；（3）根据抽样调查的结果，若该校有1800名学生，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不低于90分钟的人数．23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）．24．（8分）“秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为28.8万元，假设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率相同．（1）求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率；（2）进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了20%，求从第1个月到第4个月的销售利润之和．25．（9分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D．（1）求证：∠BCD＝∠A；（2）若BD＝2，CD＝4，求sin∠ABC的值．26．（10分）如图，菱形ABCD中，AB＝10cm，sin A＝，DE⊥AB，垂足为E，连接BD．（1）求对角线BD的长；（2）点P为边AB上一动点，且动点P以1cm/s的速度沿边AB由点A向点B运动，设点P运动的时间为t（s）（0＜t≤10）．当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与△CDP相似？27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，连接AD，交直线BC于点G．（1）填空：点A的坐标为，点B的坐标为；（2）试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由；（3）若点P为二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）位于第一象限图象上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求的最大值，并求出此时点P的横坐标．2023-2024学年江苏省苏州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】先把这组数据从小到大排列，找出最中间的那个数（最中间两个数的平均数），即可得出答案．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：3，3，5，6，7，则中位数是5．故选：B．【点评】此题考查了众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．2．【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选：A．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．3．【分析】由的度数为40°，得到∠AOC＝40°，由邻补角的性质求出∠BOC＝140°，由圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝70°．【解答】解：∵的度数为40°，∴∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵D为中点，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC＝70°．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠COD．4．【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．【解答】解：S＝＝12π，故选：C．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．5．【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得到（x﹣1）2＝4，从而可对各选项进行判断．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．6．【分析】根据所给的表达式可得出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标，据此可解决问题．【解答】解：由题知，因为二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+3，所以函数图象开口向上，故A选项不符合题意；因为当x＝0时，y＝7，所以函数图象与y轴交点坐标为（0，7）故B选项不符合题意；函数图象的顶点坐标是（2，3），所以对称轴是直线x＝2，故C选项符合题意；因为抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝2，则当x＞2时，y随x的增大而增大．故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，能根据所给表达式得出开口方向、对称轴和顶点坐标是解题的关键．7．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的正实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，m＞0，解得0＜m＜4．m的值可以是3，故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．8．【分析】设A′B′，AB′交BC于点D，E，根据旋转的性质证明△ACA′是等边三角形，设A′D＝x，CE＝y，利用含30度角的直角三角形的性质列出关于x，y的等式，再利用正切函数定义即可解决问题．【解答】解：如图：设A′B′，AB′交BC于点D，E，在△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，由旋转可知：AC＝A′C，∴△ACA′是等边三角形，∴∠A′CA＝60°，∴∠DCA′＝90°﹣60°＝30°，由旋转可知：∠B′A′C＝∠BAC＝60°，∴∠CDA′＝30°+60°＝90°，∴A′C＝AC＝2A′D，设A′D＝x，CE＝y，∴AC＝2A′D＝2x，∴DC＝A′D＝x，∴DE＝CD﹣CE＝x﹣y，∵A′B′＝AB＝2AC＝4x，∴B′D＝A′B′﹣A′D＝3x，∵∠BDA′＝∠BCA＝90°，∴A′D∥AC，∴∠DB′E＝∠B′AC，∴tan∠DB′E＝tan∠B′AC，∴＝，∴＝，∴y＝，∴tan∠B′AC＝×＝．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定，解决本题的关键是含30度角的直角三角形的灵活运用．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵x＝2y，∴＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．10．【分析】由二次函数的解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．11．【分析】根据一元二次方程的解的意义把x＝2代入原方程得到关于m的一元一次方程，然后解此一元一次方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程得4+2m﹣6＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．12．【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．【解答】解：∵圆被等分成6份，其中阴影部分占3份，∴落在阴影区域的概率为，故答案为：．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∴cos A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．【分析】利用射影定理求得AD的长度，然后利用勾股定理求得AC的长度．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝BD•AD．又∵BD＝3，CD＝4，∴AD＝．在直角△ACD中，AC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了射影定理和勾股定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．15．【分析】连接OC，由垂径定理得BD＝BC＝寸，设圆的半径为x寸，再在Rt△OBC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：连接OC，如图：由题意得：B为CD的中点，则O、B、A三点共线，OA⊥CD，∴BD＝BC＝（寸），设圆的半径为x寸，则OB＝（x﹣1）寸．在Rt△OBC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材半径为13寸，∴圆材直径为2.6尺，故答案为：2.6．【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．16．【分析】先根据直线的性质及方程和函数的关系求出交点的横坐标，再根函数和不等式的关系求解．【解答】解：设A，B的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2为方程x2+2x﹣3＝﹣x+b的解，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣3﹣b，∵AB＝5，∴x1﹣x2＝5，∴x1＝1，x2＝﹣4，∴当y1＞y2时自变量x的取值范围是：﹣4＜x＜1，故答案为：﹣4＜x＜1．【点评】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握二次函数和不等式的关系是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：2cos30°+sin45°﹣＝2×+×﹣＝+1﹣＝1．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．18．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，∴x1＝4，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．19．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点B（3，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．（2）设平移后的抛物线为y＝x2﹣4x+3+k，把（0，0）代入求得k的值，即可求得平移后的抛物线的函数表达式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将B（4，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得，3＝4a﹣1∴a＝1，∴函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的函数解析式为y＝x2﹣4x+3，∴a＝1，b＝﹣4，c＝3；（2）设平移后的抛物线为y＝x2﹣4x+3+k，∵平移后的抛物线经过原点，∴3+k＝0，∴k＝﹣3，∴平移后的抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x．故答案为：y＝x2﹣4x．【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象于几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握掌握待定系数法是解题的关键．20．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明同时选到B（奇妙“乒乓球”）和C（动量守恒）视频的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看，恰好选到实验A（球形火焰）视频的概率为．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小明同时选到B（奇妙“乒乓球”）和C（动量守恒）视频的结果有：BC，CB，共2种，∴小明同时选到B（奇妙“乒乓球”）和C（动量守恒）视频的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】（1）由AB∥CD，证明△ABE∽△DCE，则＝＝，求得CD＝2AB＝10；＝2S△ABE＝2m，（2）由＝＝，得＝＝，＝＝，则S△ACES△DCE＝2S△ACE＝4m，即可求得S△ACD＝S△ACE+S△DCE＝6m．【解答】解：（1）∵AB∥CD，＝，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∵AB＝5，∴CD＝2AB＝2×5＝10，∴CD的长为10．（2）∵△ABE∽△DCE，△ABE的面积为m，∴＝＝，∴＝＝，＝＝，＝2S△ABE＝2m，∴S△ACE＝2S△ACE＝2×2m＝4m，∴S△DCE＝S△ACE+S△DCE＝2m+4m＝6m，∴S△ACD∴△ACD的面积是6m．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE，进而求得＝＝＝是解题的关键．22．【分析】（1）用表中时间段为0≤x＜30的频数除以频率求出抽取的学生人数，再乘以时间段为30≤x＜60的频率可求出a的值；用时间段为90≤x＜120的频数除以抽取的学生人数可求出b的值．（2）根据（1）中所求a的值补全频数分布直方图即可．（3）根据用样本估计总体，用1800乘以时间段为90≤x＜120和120≤x≤150的频率之和，可得答案．【解答】解：（1）抽取的学生人数为6÷0.1＝60（人），∴a＝60×0.2＝12．b＝12÷60＝0.2．故答案为：12；0.2．（2）补全频数分布直方图如图所示．（3）1800×（0.2+0.1）＝540（人）．∴估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不低于90分钟的人数约540人．【点评】本题考查频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．23．【分析】过A点作AE⊥CD于E点，则四边形ABDE为矩形，再根据特殊角的三角函数值求出DE的长，得AB的长，然后由等腰直角三角形的性质得出EC长，即可得出CD．【解答】解：过A点作AE⊥CD于E点，则四边形ABDE为矩形，∴AE＝BD＝60m，AB＝DE，∵∠DAE＝30°，tan30°＝，∴AB＝DE＝tan30°•AE＝×60＝20（m），∵∠CAE＝45°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝EC，∴CE＝60m，∴CD＝CE+ED＝（60+20）（m），即铁塔CD的高度是（60+20）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．24．【分析】（1）根据“第3个月的销售利润为28.8万元”列方程求解；（2）把4个月的利润求和．【解答】解：（1）设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x，则20（1+x）2＝28.8，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为20%；（2）20+20×（1+0.2）+28.8+28.8（1﹣0.2）＝20+24+28.8+23.04＝95.84（万元），答：从第1个月到第4个月的销售利润之和为95.84万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．25．【分析】（1）连接OC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用切线的性质得到∠OCD＝90°，再根据等角的余角相等证明∠OCA＝∠BCD，然后利用∠OCA＝∠A 得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，证明△DBC∽△DCA得到＝＝，则设BC＝x，则AC＝2x，所以AB＝x，然后根据正弦的定义求解．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠OCA+∠OCB＝90°，∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OCA＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠A＝∠BCD；（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠CDA，∴△DBC∽△DCA，∴＝＝＝，设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝＝x，在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．26．【分析】（1）由菱形的性质得到AD＝AB＝10cm，由锐角的正弦定义求出DE＝6，由勾股定理求出AE＝＝8，得到BE＝AB﹣AE＝2，由勾股定理即可求出BD＝2．（2）由AP＝t cm，得到PE＝|t﹣8|（cm），由勾股定理得到PD＝＝＝，由平行线的性质得到∠APD＝∠CDP，当AP：PD＝DP：CD时，△PAD∽△DPC，求出t＝13﹣，当PA：DC＝PD：DP时，△PAD∽△DCP，得到t＝10，于是得到当t＝13﹣或t＝10时，以A，D，P为顶点的三角形与△CDP相似．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝10cm，∴AD＝AB＝10cm，∵DE⊥AB，∴sin A＝＝，∴DE＝6cm，∴AE＝＝8cm，∴BE＝AB﹣AE＝2（cm），∴BD＝＝＝2（cm）．（2）∵AP＝t cm，∴PE＝|t﹣8|（cm），∴PD＝＝＝，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴∠APD＝∠CDP，∴当AP：PD＝DP：CD时，△PAD∽△DPC，∵PD2＝AP•CD，∴t2﹣16t+100＝10t，∴t＝13﹣或t＝13+（舍去），当PA：DC＝PD：DP时，△PAD∽△DCP，∴AP＝CD＝10cm，∴t＝10，∴当t＝13﹣或t＝10时，以A，D，P为顶点的三角形与△CDP相似．【点评】本题考查相似三角形的判定，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由锐角的正弦求出DE的长；判定△ADP和△PDC相似，要分两种情况讨论．27．【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标；（2）令x＝0，可得点C的坐标（0，﹣3a），求出顶点D的坐标为（1，﹣4a），利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，则F（1，﹣2a），过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，则H（﹣1，﹣4a），证明△DFG∽△AHG，即可得＝，即可求解；（3）过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，则H（﹣1，﹣4a），设P（m，am2﹣2am﹣3a），则M（m，am﹣3a），证明△PMQ∽△AHQ，即可得＝，根据相似三角形的判定和性质，即可求解．【解答】解：（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝3或x2＝﹣1，∵点A在点B左侧，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（2）是定值，把x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得y＝﹣3a，∴点C的坐标为（0，﹣3a），设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（3，0），C（0，﹣3a），∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，∴AH∥DF，∴△DFG∽△AHG，∴＝，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴H（﹣1，﹣4a），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点为D（1，﹣4a），∴F（1，﹣2a），∴＝＝＝，∴是定值，这个定值为；（3）过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，∴H（﹣1，﹣4a），设P（m，am2﹣2am﹣3a），则M（m，am﹣3a），∴PM＝am2﹣2am﹣3a﹣am+3a＝am2﹣3am，∵AH∥y轴，PM∥y轴，∴△PMQ∽△AHQ，∴＝＝am＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，的最大值为，此时点P的横坐标为．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题。
江苏省苏州市2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题
江苏省苏州市2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列几何图形中，不一定相似的是（ ） A ．两个正方形B ．两个圆C ．两个等边三角形D ．两个矩形3．关于x 的一元二次方程210x mx +-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根4．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点P 在二次函数的图象上，则点P 不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，ABC V 内接于O e ，CD 是O e 的直径，连接BD ，42DCA ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A．B．C．D．二、填空题9．在1:50000000的地图上，量得我国台湾省与上海市的距离约为2cm，则台湾省与上海CEBP三、解答题示意23．如图，在ABC V 和ADE V 中，BAD CAE ∠=∠，90D B ∠=∠=︒．(1)求证ABC ADE ∽△△；(2)已知2BC DE =，2AD =，求AB 的长．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，连接AC ，45BAC ∠=︒，3OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)当0y ≥时，x 的取值范围______； (3)当40x -<<时，y 的取值范围______．25．如图，在AEC △中，90E ∠=︒，AD 平分CAE ∠交CE 于点D ，点B 为边AC 上一点，以AB 为直径的圆恰好经过点D ．(1)试判断直线CE 与O e 的位置关系，并说明理由； (2)若4OB =，2BC =，求DE 的长．26．为了加强劳动教育，落实五育并举．某校建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中500平方米的一块土地用于种植A 、B 两种水果．经调查发现：A 水果种植成本。
常熟数学期末试卷初三上册
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列选项中，不是一元一次方程的是（）A. 2x + 3 = 7B. 5 - x = 2C. 3x^2 + 2x - 1 = 0D. 4(x - 1) = 2x + 62. 已知 a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 < b - 2C. a - 3 > b - 3D. a + 3 < b + 33. 下列图形中，对称轴不是直线的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 矩形4. 若一个等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则这个三角形的周长是（）A. 24B. 26C. 28D. 305. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A. y = 2x + 3B. y = -x + 2C. y = 3x - 2D. y = -3x + 5二、填空题（每题4分，共20分）6. 若 a = 3，则 a^2 - a + 2 的值为 _______。
7. 若一个数的3倍加上4等于20，则这个数是 _______。
8. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是 _______。
9. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为8，则这个三角形的面积是 _______。
10. 函数 y = -2x + 1 的图像是一条 _______（填“直线”或“抛物线”）。
三、解答题（共60分）11. （12分）解下列方程：（1）3x - 5 = 2x + 1（2）5(x - 2) = 2(x + 3)12. （12分）已知：a > 0，b > 0，且 a + b = 4。
（1）求证：a^2 + b^2 ≥ 4。
（2）若 a^2 + b^2 = 4，求 a + b 的最小值。
13. （12分）已知：函数 y = kx + b 的图像经过点A（2，3）和点B（-1，-2）。
（1）求函数的表达式；（2）若点C（x，y）在该函数图像上，且 x + y = 1，求点C的坐标。