立方根的定义及性质
立方根的概念
立方根的概念立方根是数学中一个重要的概念，在代数学和数值计算中都有广泛的应用。
它是指一个数的立方等于给定数的运算。
本文将介绍立方根的概念、性质以及一些常见的计算方法。
一、立方根的定义对于一个实数a，如果存在一个实数x，满足x³ = a，那么x被称为a的立方根。
可以表示为x = ∛a。
其中，立方根符号∛可以理解为"立方根"或者"开三次方"。
二、立方根的性质1. 立方根的唯一性：每个正实数都有唯一的正立方根。
负实数的立方根在复数范围内存在多个。
2. 立方根的运算性质：a) 任意实数的立方根是实数或者复数。
b) 立方根运算具有可交换性，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
c) 立方根运算具有可分配性，即∛(a + b) ≠ ∛a + ∛b。
d) 立方根运算具有结合性，即∛(∛a) = ∛(a^(1/3)) = a^(1/9)。
即连续开两次立方根等于开九次方。
3. 立方根的特殊情况：a) 如果一个实数的立方根等于自身，即x³ = x，那么这个实数被称为立方根的不动点。
b) 如果一个实数的立方根等于负数，即x³ = -a，那么这个实数被称为立方根的负不动点。
三、立方根的计算方法计算立方根的方法主要有以下几种：1. 近似计算法：根据牛顿迭代方法，可以通过逐步逼近来计算立方根。
迭代公式为：xₙ₊₁ = (2 * xₙ + a / xₙ²) / 3其中，xₙ代表第n次逼近的结果，a为待开立方根的数值。
通过迭代计算，当xₙ₊₁与xₙ的差值小于某个精度要求时，可以得到一个近似的立方根值。
2. 公式法：对于较小的整数或一些特殊数值，可以利用一些特定的公式来求解。
例如，对于一个正整数n，其立方根可以表示为√(n² *√(n))。
对于一些特殊值如2、3等，也可以通过公式直接求解。
3. 数值计算软件：现代科学计算软件如Matlab、Python的NumPy 库等提供了方便快捷的立方根计算函数。
立方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：：一个数a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a =3a =特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根概念的理解1．如果21x -的平方根是3±，x y +是18的立方根，那么34x y +的值是多少？【答案】﹣3【分析】根据题意求出x ，y 的值，再代入所求代数式求解即可． 解：∵21x -的平方根是3±，∵21x -＝9， 解得x ＝5，∵x y +是18的立方根，∵x y +＝12，把x ＝5代入x y +＝12得， 5＋y ＝12， 解得y ＝﹣92，∵34x y +＝3×5＋4×（﹣92）＝﹣3．【点拨】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键．【变式1】我们知道a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；（26的值． 【答案】（1）成立，理由见详解；（2）0． 【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可，（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出x 的值，再计算即可．解：（1）2(2)0+-=，而且328=，3(2)8-=-，有880-=， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1则28x -和28x --也互为相反数， 即：28280x x ---=， 36x ∴=，6660=-=．【点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．【变式2】一个正数的平方根分别是25a +和21a -，30b -的立方根是3-．求a ，b 的值．【答案】a ＝-1，b ＝3【分析】根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a 、b 的值； 解：由题意可知： (2a +5)+(2a −1)=0 ， b −30=(−3)³=−27 解得：a ＝-1，b ＝3．【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．类型二、求一个数的立方根2．一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，求m 的立方根． 【答案】m 的立方根为4【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列得2a +2+a ﹣11＝0，解方程求出a 即可得到m ，再根据立方根定义求出m 的立方根．解：∵一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，∵2a +2+a ﹣11＝0， 解得：a ＝3， ∵2a +2＝8， 故m ＝82＝64，∵m ＝4．【点拨】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】解方程：（4x）3＝﹣512．【答案】x ＝﹣32【分析】利用立方根的定义求出解即可．解：（4x）3＝﹣512，4x＝﹣8， x ＝﹣32．【点拨】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式22【答案】1-【分析】根据开立方，去绝对值号，开平方依次运算即可．解：原式=(425--+=425--+=1-【点拨】本题考查了开立方、开平方和去绝对值号，记住运算法则是解题的关键．类型三、已知一个数的立方根，求这个数3．已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是-2，求a 、b 的值． 【答案】a =5，b =-22【分析】根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程求出a 和b 的值即可． 解：∵2a -1的平方根是±3，∵2a -1=9， ∵a =5，又∵3a +b -1的立方根是-2， ∵3a +b -1=-8， ∵b =-22．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】已知：2x -的平方根为2±，27x y ++的立方根为4，求：x y -的值． 【答案】－39【分析】先利用平方根求出x ，再代入立方根求出y ，最后代入代数式求解． 解：∵2x -的平方根为2±∵()2224x -=±= ∵6x =∵27x y ++的立方根为4 ∵327464x y ++== ∵45y =∵64539x y -=-=-【点拨】本题考查了平方根、立方根，关键要掌握平方根和立方根的概念，会运用已知平方根和立方根求代数式．【变式2】已知21a +的平方根是±3，324a b +-的立方根是-2方根．【答案】2【分析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值，然后代入求解即可．解：根据题意得：2193248a a b +=⎧⎨+-=-⎩，解得：48a b =⎧⎨=-⎩，=， ∵8的立方根是2，2．【点拨】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．类型四、立方根的实际运用4.【发现】2(2)0+-=1(1)0=+-=10(10)0+-=11044⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭……；(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式∵，∵，∵，∵，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a ，b 0=，则0a b +=； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：(2)210616a b -=，求a 的值．【答案】3(3)0+-=(2)10【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a 的值．解：3(3)0+-=，符合上述规律，3(3)0+-=；， ∵238620a b -+-=，解得2322a b -=，代入210616a b -=中， 解得，210a =，∵a =【点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】填写下表，并回答问题：（20.1738 1.738=，求a 的值． 【答案】填表见分析；（1）见分析；（2）5.25 【分析】（1）根据被开方数a 的小数点每向右或向左移动三位，或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∵0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点拨】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【变式2】在一个长，宽，高分别为9cm ，8cm ，3cm 的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】6cm【分析】先根据长方体体积公式求出长方体的容积，再由正方体的容积与长方体的容积相同进行求解即可．解：由题意得：长方体的容积为3983216(cm )⨯⨯=∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满， ∵长方体和正方体的容积相等，∵6(cm)．【点拨】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．类型五、算术平方根与立方根的实际应用5.已知：21a -的算术平方根是3，31b +的立方根是2-，c 是30的整数部分，求23a b c +-的值．【答案】8-【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a ，bc 值，代入即可．解：∵21a -的算术平方根是3，∵219a -=， ∵5a =，∵31b +的立方根是2-， ∵318b +=-， ∵3b =-，<即：56<， ∵5c =，∵2325(3)358a b c +-=⨯+--⨯=-．【点拨】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．举一反三：【变式1】已知m A =3m n ++算术平方根，2m n B -=4620m n +-1=-【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组2{233m n m n -=-+=，再解方程组求解,m n 的值，从而可得答案.解：根据题意得：2{233m n m n -=-+=，解得：42m n ⎧=⎨=⎩，∵39m n ++=，46208m n +-=， ∵3A =；2B =， ∵1B A -=-，1=-【点拨】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解42m n ⎧=⎨=⎩是解本题的关键.【变式2】已知a 的平方根是24b +的立方根是2 （1）求,,a b c 的值；（2）求2a b c ++的算术平方根．【答案】（1）a =5、b =2、c =1或c =0；（23． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a 、b 的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c ；（2）分c =0和c =1两张情况分别解答即可．解：（1）∵a 的平方根是24b +的立方根是2∵a =5，2b +4=8，即b =2=∵c =1或c =0∵a =5、b =2、c =1或c =0；（2）当c =1=当c =0；∵2a b c ++或3．【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c 的值成为解答本题的关键．。
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第六章 实数 立方根
学习目标：
1.了解立方根的概念，会用开立方运算求一个数的立方根. 2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立 方根的近似值.
重点难点：
1.掌握立方根的概念． 2.了解立方根与平方根的区别与联系.
情景导入
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现 在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来 体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
（2）因为 ( 3 3)3 = 3
( 3)3 27 28
所以 3 < 27
8
所以 3 3
<
3 2
5.若 3 x =2，y2 =4，求 x 2y 的值.
解：∵ 3 x =2， y2 =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ x 2 y = 16 = 4 或 x 2 y = 0 = 0.
课堂小结
定义 正数的立方根是正数，
立
负数的立方根是负数；
方
性质 0的立方根是0.
根
3 -a 3 a
用计算 被开方数的小数点向左或向右移动 器计算
3n位时立方根的小数点就相应的向
左或向右移动n位（n为正整数）.
知识精讲
知识点一 立方根的概念及性质 问题：要制作一种容积为 27 m³的正方体形状的包装箱， 这种包装箱的棱长应该是多少? 设这种包装箱的棱长为 x m，则 x³= 27. 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 3³= 27，所以 x = 3. 因此这种包装箱的棱长应为 3 m.
中考数学关键知识点总结平方根与立方根的计算与性质
中考数学关键知识点总结平方根与立方根的计算与性质在中考数学中，平方根和立方根是一些重要的数学概念和知识点。
本文将对平方根和立方根的计算方法和性质进行总结和归纳。
一、平方根的计算与性质1. 平方根的定义：对于非负实数a，若存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a，其中，√为平方根的符号。
2. 平方根的计算方法：a) 直接求解法：对于一个非负实数a，如果a是一个完全平方数，那么它的平方根可以直接求解；b) 定位求解法：对于一个非负实数a，可以通过定位在两个连续完全平方数之间，然后利用线性插值进行求解。
3. 平方根的性质：a) 非负实数的平方根是唯一确定的，即每一个非负实数都有一个唯一的非负平方根；b) 平方根的运算性质：若a和b均为非负实数，则有以下性质成立：- √(a*b) = √a * √b- √(a/b) = √a / √b- √(a^2) = |a|其中，^表示幂运算，|a|表示a的绝对值。
二、立方根的计算与性质1. 立方根的定义：对于任意实数a，若存在一个实数b，使得b的立方等于a，则称b为a的立方根，记作³√a，其中，³√为立方根的符号。
2. 立方根的计算方法：a) 直接求解法：对于一个实数a，可以通过直接求解或利用计算器进行计算；b) 近似求解法：对于一个实数a，如果无法通过直接求解法得到精确值，可以利用近似方法进行求解。
3. 立方根的性质：a) 任意实数都有一个唯一的立方根；b) 立方根的运算性质：若a和b为任意实数，则有以下性质成立：- ³√(a*b) =³√a * ³√b- ³√(a/b) = ³√a / ³√b- ³√(a^3) = a三、平方根和立方根的应用1. 平方根的应用：a) 平方根可以用于计算图形的边长、面积和体积等问题；b) 平方根可以用于解决一些实际生活中的计算问题，如距离、速度、时间等。
6.2 立方根
由此得出求一个负数的立方根的一般方法：
3 a 3 a
也就是说，求一个负数的立方根，可以先 求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它 的相反数。
例2：求下列各式的值。
（1） 3 8 ；（2）3 8 ；（3） 3 0.125
（4） 3 3 3 （5） 3 64
（4）0；
（5） 8 125
解：∵ (3)3 27
∴ －27的立方根是－3。
即 3 27 3
问题：
正数有立方根吗？如果有，有几个。
负数呢？ 零呢？ 从上面的例1可知：一个正数有一个正的立 方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根 是零。
从上面的例题可知：
3 27 3 3 27 3
由此可得出： 3 27 3 27
是负数。
表示 a的平方根表示为
a
a的立方根表示为：
3a
3、开立方
开平方
开立方
定
求一个数a的平方根 的运算，叫做开平方。
求一个数a的立
义
方根的运算，叫 算；
②它是一种运算，而 不是结果，它的结果是平 方根。
①它与立方 互为逆运算；
②它是一种
运算，而不是结
果，它的结果是
(5) 0的平方根和立方根都是0 √
练一练
2.求下列各式的值（口答）：
（1） 31000
（3） 3 1
（2） 3 0.001
（4） 3 64 125
试一试：
1.21 的立方根是 3 21 ，- 21 的立方根是 3 21
2.若一个数的平方根是 8，则这个数的立方根是 2
3.- 8的立方根与9的平方根的积是 ± 6
湘教版八上数学 立方根
解 ： 依次按键： 2ndF 3 显示：1.259 921 05 所以，3 2 1.260.
2=
当堂练习
1. 判断下列说法是否正确：
(1) 25 的立方根是 5.
( ×)
(2) 任何数的立方根都只有一个.
( √)
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么
这个数一定是零.
( ×)
(4) 一个数的立方根不是正数就是负数. ( × )
解: ∵ x－2 的平方根是±2， ∴ x－2 ＝ 4. ∴ x ＝ 6. ∵ 2x＋y＋7 的立方根是 3， ∴ 2x＋y＋7 ＝ 27. 把 x ＝ 6 代入，解得 y ＝ 8. ∵ x2＋y2 ＝ 36＋64 ＝ 100， ∴ x2＋y2 的算术平方根为 10.
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用 方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解．
逆向思维
与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重 要的数学思想方法，你体会到了么？
典例精析
例1 分别求下列各数的立方根：
1， 8 ，0，-0.064．
27
解： 由于 13 = 1，因此
；
由于
，因此
；
由于 03 = 0，因此
；
由于 (-0.4)3 = -0.064，因此
.
探究1 求下列各式的值：
3 23 = __2_，
3a
读作：立方根号 a，或三次根号 a.
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 23 = 8，所以 8 的立方根是（ 2 ）；
因为(0.5)3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（0.5）；
因为( 0 )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（ 0 ）；
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
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重点
立方根的概念与求法
难点
会分平方根与立方根。
方法
类比学习法。
课型
新授课
教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习知识
创
设
情ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
境
回顾与思考
1.什么叫平方根？如何用符号表示数a(≥0)的平方根?
2.什么叫算术平方根？
如何用符号表示数a(≥0)的算术平方根?
3.正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?
学生小组讨论后，请学生相互补充。
探究立方根的性质
能
力
提
高
例2求下列各式的值
（1）（2）
（3）
你能发现什么规律
对于任何数a都有
学生先独立思考，然后分组交流，最后学生上台讲解。
教师给予评价。
根据学生的具体情况，遵循“循序渐进”的原则，层层递进，逐步
提高学生观察能力、分析问题的能力。
拓
展
提
升
议一议
1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？
三、情感态度与价值观:
当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂的环境中明辨是非,并做出正确的处理.
探究P78
归纳总结：
如果a≥0,则
练习P79 T1
学生思考片刻，然后进行解答，教师给予适当的评价。
学生自主思考，小组合作交流
。
用课件展示
学生自主探究为主，教师适当引导小组充分交流讨论。
用课件展示
学生自主完成
通过问题的解决使学生感受成功的喜悦，肯定探索活动的意义。
逐步加深对立方根概念的理解，及时巩固所学知识。
13.2立方根（1）
学校
主备人
时间
2010.7.10
设
计
理
念
在教学中利用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识。教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握。通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径。
3.类似立方根你能给出4次方根n次方根吗？
学生先独立尝试，再小组之间讨论交流、总结，
教师及时观察学生的学习情况和学习进度，碰到学生中的普遍性问题，在进行适当的探讨后，利用谈话讨论的形式进行解决。
学生熟练掌握平方根的内容的前提下能用类推的方法得出立方根的相关概念。
尝
试
应
用
例1求下列各数的立方根：看看正数、0和负数的立方根各有什么特点?
学生可能只注重于知识小结而忽略了方法的总结，在方法小结时，需要教师的合作帮助，让学生养成良好的学习数学的方法和习惯。
实践延伸
必做题：课本80页第1题和3题
选做题：课本80页第5题和第6题
问题:
要制作一种容积为27 的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少?
变式：如果问题中正方体的体积为5 ，正方体的边长又该是多少？
用课件展示问题
学生口头回答
正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根。
学生解答互相评析
让学生自主探究
通过对平方根的复习为下面类比学习立方根创设支点或者平台。
由问题情境导入新课
自
主
探
究
1试着给数的立方根下个定义呢？你能举出某个数的立方根吗？你能用符号将你所说的立方根表示出来吗？
立方根的概念.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
2给开立方下一个定义吗？开立方运算与立方运算有什么样的关系呢？求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？
学生先思考后独立做题，教师巡视，如果发现学生在做第2题时遇到困难，可让学生小组讨论，个人发言。
培养学生实践运用能力
体
验
收
获
通过本节课的学习，你有什么收获（知识与方法）？还有什么困惑？对自己在本节课的表现有什么评价？
学生小结和交流学习的收获、数学思想的感悟、学习方法的体会等，或提出疑问进行讨论；教师帮助学生整理所学知识，引导学生进一步体会探究学习的过程和方法，领会数学的思想。
(1)8；(2)0.125；(3)0；(4) -8；(5)
分析:求一个数的立方根,可以通过立方运算来求.
立方根的性质
归纳总结得出结论：
正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；零的立方根是零.
思考：平方根与立方根的联系与区别.
联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.
教
学
目
标
一、知识与技能:
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同
二、过程与方法:
在数学活动中，首先回顾平方根知识引导学生观察、比较，对比分析，在自主探究中，类比理解立方根和开立方的的意义，并能灵活运用立方根的概念解决问题同时类比得出4次方根，n次方根。