立方根和开立方知识讲解
12.3 立方根和开立方(教学课件)-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
3
x 5
知识总结
平方根与立方根的区别和联系
平方根
正数 两个，互为相反数
性
0
0
质
没有平方根
负数
表示方法
被开方数
的范围
± a
非负数
立方根
一个，为正数
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
典例精讲
教材第12页
例1 求下列各数的立方根：
8
(1) 1000； (2) ； (3) -0.001； (4) 0.
3
3
3
3
100 （精确到 0.001），并利用你发现的规律求
3
3
0.1 ， 0.0001， 100000 的近似值.
3
0.000216 = 0.06
3
216 = 6
3
3
0.216 = 0.6
216000 = 60
总结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的
小数点就相应的向左或向右移动 n 位 (n 为正整数).
解：依次按键：
3
2ndF
显示：7，所以
依次按键： 2ndF
3
3
4
3
=
343 = 7.
3
显示：-1.1，所以
(-)
3
1
.
3
1.331 = 1.1.
3
1
=
例3 用计算器求
3
2 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键： 2ndF
显示：1.259 921 05
所以， 2 1.260.
3
A )
A.
B.－
数学立方根知识点总结归纳
数学立方根知识点总结归纳数学立方根在许多方面都会有涉及到，那么有什么知识点是我们要掌握的呢?下面是小编推荐给大家的数学立方根知识点总结归纳，希望能带给大家帮助。
数学立方根知识点总结归纳知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3解:因为=9，所以的平方根就是9的平方根，即±=±3，故选择B.注:应现将化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.例2若a<0，则a2的算术平方根是( ).A.-aB.aC.±aD. ±解:当a<0时，=|a|=-a，故选择A.例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a-5C. a2+5D. a2-5解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值.解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"若2a-3和a-12是m 的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时，a= -9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时， a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49.知识点四:立方根的概念及性质: 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x=.0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8(陕西省)用计算器比较大小:(填">"、"="、"<").解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>.。
(完整)立方根和开立方
12．3立方根和开立方教学目标1．了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念.2．理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.3．会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值。
4．理解a a =33和a a =33)(的含义，并能运用它们解决问题。
教学重点及难点：理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根。
教学过程设计一、 复习、类比、引入复习题：(1）我们用________表示面积为5的正方形边长; 用6来表示_________的正方形的边长。
（2）同样8表示_________的正方形的边长，那么这个正方形的边长是多少？你是怎么知道的？你运用了什么运算?（3)小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体。
这个正方体储物柜的棱长是多少分米？（4)经过立方运算后结果是27的数还有没有？是多少？这样立方是27的数有几个?师生归纳:已知一个数的平方求这个数的运算，叫做开平方.类似的,已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方。
二、 通过类比,学习新知给出立方根和开立方的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示,读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，3叫做根指数.求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
例如，如果,1253=x 因为_____________=125，所以________=x ,也就是说 是125的立方根.例题1、求下列各数的立方根： (1)1000 (2)278- (3)001.0- (4）0 [说明］体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根三、 思考归纳设问：通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？你知道其中的原因吗？1、 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零.2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。
开方与立方根
开方与立方根开方和立方根是数学中常见的运算方式，用于求一个数的平方根和立方根。
在实际生活和各个领域的应用中，开方和立方根有着广泛的用途。
本文将介绍开方和立方根的定义、计算方法以及应用领域。
一、开方的定义和计算方法开方是指一个数的平方根，即找到另外一个数，使得这两个数相乘等于原数。
开方的符号为√（根号），称为根号符号。
开方操作的结果叫做开方数。
以正数为例，假设一个数为x，开方数为y，表示为√x=y。
其中数x大于等于0，开方数y大于等于0。
开方计算的过程可以通过试探和逼近的方法进行。
例如，求16的开方，可以从0开始试探，逐步增加试探值，直到找到一个数的平方等于16。
在这个例子中，16的开方数为4（√16=4）。
除了正数，开方也可以应用于负数和复数。
对于负数，开方的结果具有虚数部分，常用i表示。
对于复数，可以使用复数的模表示开方结果的大小。
开方在解决各种实际问题中有着广泛的应用。
二、立方根的定义和计算方法立方根是指一个数的三次方根，即找到另外一个数，使得这两个数相乘三次等于原数。
立方根的符号为³√（三次方根），称为三次方根符号。
立方根操作的结果叫做立方根数。
以正数为例，假设一个数为x，立方根数为y，表示为³√x=y。
其中数x可以是任意实数，立方根数y也是实数。
立方根的计算与开方类似，可以通过试探和逼近的方法进行。
例如，求27的立方根，可以从0开始试探，逐步增加试探值，直到找到一个数的三次方等于27。
在这个例子中，27的立方根数为3（³√27=3）。
立方根也可以应用于负数和复数。
对于负数，立方根的结果具有虚数部分。
对于复数，可以使用复数的模表示立方根结果的大小。
立方根在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
三、开方和立方根的应用领域1. 几何学：开方和立方根在几何学中常用于计算图形的边长、面积和体积等参数。
例如，在求正方形的对角线长度时，可以应用开方运算。
2. 物理学：开方和立方根在物理学中用于计算物体的速度、加速度、功率和能量等。
小学数学点知识归纳认识数的立方数和立方根
小学数学点知识归纳认识数的立方数和立方根数的立方数是指一个数乘以自己两次的结果，用符号表示为n³。
而数的立方根就是这个立方数的逆运算，用符号表示为³√n。
在小学数学中，我们通常会学习到关于数的立方数和立方根的一些基本知识。
本文将对这些内容进行归纳概述，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、认识数的立方数立方数的概念是指一个数自乘两次的结果。
例如，2的立方数为2³=8，3的立方数为3³=27。
在数学中，我们通常用指数来表示立方数。
比如，2的立方数也可以写成2的3次方，即2³。
从1到10的数中，我们可以列出它们的立方数：1³=1,2³=8,3³=27,4³=64,5³=125,6³=216,7³=343,8³=512,9³=729,10³=1000.我们可以观察到，立方数的结果通常会比原来的数大很多。
这是因为在乘法中，一个数自乘两次会使它的大小成倍增加。
认识数的立方根数的立方根是指一个数的立方数的逆运算。
也就是说，³√n表示一个数的立方根，使得这个数自乘三次等于n。
我们可以通过一个简单的例子来理解立方根的概念。
比如，我们要找出16的立方根。
我们需要寻找一个数，使得这个数自乘三次等于16。
很显然，2是一个符合要求的数，因为2³=8，而8小于16。
继续寻找，我们可以发现3³=27，27已经大于16了。
所以，2是16的立方根。
在数学中，我们经常使用符号³√n来表示一个数的立方根。
注意，对于正数，一个数的立方根有两个解：一个是正数，一个是负数。
但在小学数学中，我们通常只关注正数解。
在小学数学中，我们通常要求计算一个数的立方根时，结果保留到小数点后两位。
这是因为计算一个数的精确立方根往往需要较复杂的数学方法，在小学阶段暂时不需要过多关注精确计算的问题。
立方根知识点及练习题
立方根知识点及练习题一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果\（x³＝ a\），那么 x 叫做 a 的立方根。
记作：＼（＼sqrt3{a}＼），读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3 是根指数。
例如：＼（2³＝ 8\），所以 2 是 8 的立方根，即\（＼sqrt3{8} ＝2\）；＼（（－2)³＝－8\），所以－2 是－8 的立方根，即\（＼sqrt3{－8} ＝－2\）。
二、立方根的性质1、正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。
2、立方根等于它本身的数有 0，1，－1。
3、＼（＼sqrt3{a} ＝＼sqrt3{a}＼）4、＼（（＼sqrt3{a}）＾｛3} ＝ a\）5、＼（＼sqrt3{a^｛3}｝＝ a\）三、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
例如：求\（＼sqrt3{27}＼），因为\（3³＝ 27\），所以\（＼sqrt3{27} ＝ 3\）。
四、立方根与平方根的区别1、定义不同平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
2、表示方法不同平方根：正数 a 的平方根记为\（＼pm\sqrt{a}＼）。
立方根：数 a 的立方根记为\（＼sqrt3{a}＼）。
3、个数不同一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
任何数都只有一个立方根。
4、被开方数的取值范围不同平方根中被开方数 a 是非负数，即\（a\geq 0\）。
立方根中被开方数 a 可以是任何数。
五、练习题（一）选择题1、下列说法正确的是（）A －64 的立方根是－4B 0064 的立方根是 04C ＼（＼sqrt3{－9}＼）没有意义D ＼（＼sqrt3{64}＼）的平方根是 22、若\（＼sqrt3{x}＼）＝－2，则 x 的值是（）A －8B 8C ＼（＼pm 8\）D －643、下列说法中，错误的是（）A 一个数的立方根与这个数同号B 负数没有立方根C 0 的立方根是 0D 立方根等于它本身的数有 3 个（二）填空题1、＼（＼sqrt3{－27} ＝＼）＿____。
数学中的立方与立方根
数学中的立方与立方根在数学中，立方和立方根是两个重要的概念。
立方是一个数的三次方，表示该数自乘三次的结果。
立方根则是某个数的三次方等于给定数字的运算，即找出一个数，使其立方等于给定的数字。
1. 立方（Cube）立方是数学中一个常见的运算符号，表示将一个数自乘三次的结果。
用符号表示为x³。
例如，2的立方可以表示为2³=2×2×2=8，4的立方为4³=4×4×4=64。
立方具有以下特点：1. 任何正数的立方都是正数，即x³>0。
2. 任何负数的立方都是负数，即(-x)³<0。
3. 任何数的立方根可以通过求解方程x³=a来得到，其中a为给定的数。
立方在几何学中也有重要意义。
立方体是一种由六个正方形组成的正多面体，其中每个正方形的边长相等。
立方体的体积就是边长的立方。
例如，一个边长为2的立方体的体积为2³=8。
2. 立方根（Cube Root）立方根是立方的逆运算，表示找出一个数，使其立方等于给定的数。
如果一个数x的立方等于a，记为x=∛a，那么x就是a的立方根。
立方根具有以下特点：1. 任何正数的立方根是正数，即∛a>0。
2. 任何负数的立方根是负数，即∛(-a)<0。
立方根在实际应用中也有广泛的用途，例如在几何学中，立方根可以用来计算立方体的边长。
3. 立方和立方根的应用立方和立方根在数学和其他学科中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1. 立方的应用- 立方在代数中用于展开和因式分解多项式。
- 立方在几何学中用于计算立方体、立方柱等的体积。
- 立方在物理学中用于描述物体的体积和容积。
3.2. 立方根的应用- 立方根在代数中用于求解各种方程，例如求解立方方程。
- 立方根在几何学中用于计算立方体、立方柱等的边长。
- 立方根在工程学中用于计算物体的尺寸和容积。
总结：数学中的立方和立方根是重要的概念，具有广泛的应用。
立方根和开立方知识讲解
立方根和开立方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根【要点梳理】 要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 .这就是说，如果3x a ，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.开立方 和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， o 的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非 零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 .要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 .要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30.000 216 = 0.06 , 3 0. 216=0.6 , 3 216=6 , 3 216000 =60.要点五、n 次方根如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开 n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个， 它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为 n0 0.【典型例题】 类型一、立方根的概念【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；ca3a.A. 64的立方根是土 4 C.立方根等于本身的数只有0和111B . 是的立方根26D. 3_27327【答案】D;【解析】64的立方根是丄是 1的立方根；立方根等于本身的数只有2 80 和土 1.举一反三:【变式】(2015春？滑县期末)我们知道 a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方 根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2) 若肝苍■与互为相反数，求1 -.・：的值.【答案】解：(1) ••• 2+ (- 2) =0, 而且 23=8, (- 2) 3= - 8,有 8 - 8=0 , •••结论成立； •••即 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (2)由(1)验证的结果知，1 - 2x+3x - 5=0 , • x=4 ,• 1 - . .=1 - 2= - 1. 类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(2)311 43 52(4)3_27 . ( 3)2 厂-.(_1)100【答案与解析】(4) 3_27 ,( 3)2 3~【总结升华】 立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方 举一反三： 【变式】计算：(1)30.008 ； (2) J 161；V 64(3)誇1—.(4)F1F —524【答案】(1)一 0.2 ; (2)；( 3)； (4)-43类型三、利用立方根解方程”是成立的.21027(2) 3 11 43 52(3)38解：(1)3、(2015春？罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3(X—1) 3=24.(2)(x+1 ) 3= —64.【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1) 3 ( x—1) 3=24 ,(x- 1) 3=8,x —1=2,x=3 .(2)开立方得：x+1= —4,解得：x= - 5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的a :(1)若a' = 0.343，则a = _____ ； (2)若a‘ 一3= 213,则a = _____；3 3(3)右a + 125= 0,贝V a = ______ ； (4)若a 1 = 8,贝V a = _____.【答案】(1) a = 0.7 ； (2) a = 6； (3) a =一5； (4) a = 3.类型四、立方根实际应用CP4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱3体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm，小明又将铁块从水中提16起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是9多少16【思路点拨】铁块排出的64 cm3水的体积，是铁块的体积，也是高为cm烧杯的体积9【答案与解析】解：铁块排出的64 cm3的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm，可列方程y364,解得y 4n 16设烧杯内部的底面半径为x cm，可列方程x264,解得x 6.9答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长4 cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系(方程) ，解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和：厂的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_____________ 琢。
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立方根和开立方
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】
要点一、立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果
3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质
3
3a a -=-
3
3a a =
()
3
3
a
a =
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 要点五、n 次方根
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
要点诠释：实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零，表示为00n =. 【典型例题】 类型一、立方根的概念
1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4
B ．12-
是1
6
-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1
D 332727-=
【答案】D ；
【解析】64的立方根是4；1
2
-
是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； 33a a -=-. 举一反三：
【变式】（2015春•滑县期末）我们知道a+b=0时，a 3+b 3=0也成立，若将a 看成a 3的立方
根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若
与
互为相反数，求1﹣
的值．
【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0， 而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0， ∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x ﹣5=0， ∴x=4，
∴1﹣=1﹣2=﹣1． 类型二、立方根的计算
2、求下列各式的值：
（1）3
27
10
2
-- （2）3235411+⨯ （3）3
3
64
18-
⋅ （42
3327(3)1---（5）10033
)1(4
1
2)2(-+÷-- 【答案与解析】
解：（1）310
227
-（23321145⨯+（3）
33
1864
-
3
64274
3
=
=
33=116425=729=9⨯+ 1=241=2
⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭-
（4）
233
27(3)1---
=331=1
-++
（5）3
10031
(2)2
(1)4
--÷+-
3=21
2
47=1=33
÷++
【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.
举一反三：
【变式】计算：（1）3
0.008-=______；（2）=3
64
61
1
______； （3）=--3
12719______．（4）=-3
3
5
11)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）
54；（3）23；（4）4
5
. 类型三、利用立方根解方程
3、 （2015春•罗平县期末）求下列各式中x 的值：
（1）3（x ﹣1）3=24．
（2）（x+1）3=﹣64．
【思路点拨】先整理成x 3=a 的形式，再直接开立方解方程即可． 【答案与解析】 解：（1）3（x ﹣1）3=24，
（x ﹣1）3=8，
x ﹣1=2， x=3．
（2）开立方得：x+1=﹣4，
解得：x=﹣5．
【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便． 举一反三：
【变式】求出下列各式中的a ：
（1）若3
a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3
a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()3
1a -＝8，则a ＝______．
【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用
4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643
cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了16
9π
cm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【思路点拨】铁块排出的643
cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为16
9π
cm 烧杯的体积. 【答案与解析】
解：铁块排出的643
cm 的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为y cm ，可列方程3
64,y =解得4y =
设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程2
16
649x ππ
⨯
=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：
【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个
大正方体的棱长为____________。
(不计损耗) 【答案】333a b + ； 类型五、n 次方根的运算
5、（1）求32243
-的5次方根；（2）求()2
27-的6次方根. 【答案与解析】
解：（15
553222
24333⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
； （2()2
6
62326662727(3)33-=
===，
还有()2
6273--=-.
【总结升华】正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数。