_立方根和开平方根__n次方根
初中数学平方根和立方根
x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的 平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一 个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米， 根据题意列方程得x3＝64， 解得x＝4， 所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x， ．
，
B
FC
所以
(cm)．
根式知识点总结
根式知识点总结一、根式的基本概念1.1 根式的定义根式是代数式中的一种形式，它表示某个数的平方根、立方根等。
根式的一般形式为√a，其中a为被开方数，√表示开平方。
当n为偶数时，a的开n次方称为n次根，当n为奇数时，a的开n次方也称为n次根。
例如，√a表示a的平方根，3√a表示a的立方根。
1.2 根式的性质根式的性质包括：（1）非负性：非负数的平方根非负，即√a≥0。
（2）倍数性：若a≥0，b≥0，则√(ab)=√a*√b。
（3）倒数性：若a≥0，b≥0，则√(a/b)=√a/√b。
1.3 根式的化简化简根式是指将根式表示的数化为最简的形式。
根式的化简步骤包括：（1）分解被开方数：将被开方数分解成最小的因子的乘积。
（2）寻找完全平方数：将分解后的因子中，能够开方得到整数的因子提出来。
（3）化简根式：将提出来的完全平方数乘以未提出来的部分，即为化简后的根式。
1.4 根式的运算根式的运算包括加减、乘除等。
（1）加减根式：只有被开方数相同的根式才能相加或相减。
当根式被开方数不同时，可以通过化简，使它们的被开方数相同，然后进行加减运算。
（2）乘除根式：根式的乘法和除法可以直接进行，只需要将根式中的因子进行乘法和除法运算即可。
1.5 根式的应用根式在实际生活中有许多应用，例如在几何学中计算图形的周长、面积，解决数学问题，以及在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
因此，学好根式的知识对我们解决实际问题具有重要的意义。
二、根式的高级应用2.1 根式方程根式方程是含有根式的方程，例如√x+3=5。
解根式方程的关键是化去根式，将根式方程化为一个关于未知数的代数方程，然后通过解代数方程得到根式方程的解。
2.2 根式的图形表示在坐标系中，根式所代表的数可以表示为图形，例如y=√x表示一条关于原点对称的抛物线。
根式的图形表示在几何学和微积分中有重要的应用。
2.3 根式的极限在高等数学中，我们将根式看作函数，通过极限的概念来研究根式的性质。
次方根的概念
次方根的概念次方根是数学中的一个重要概念，在代数学中经常会涉及到次方根的运算。
次方根是指对一个数进行幂运算的逆运算，即给定一个正整数n和一个非负实数a，求出满足x^n = a的数x，这个x就称为a的n次方根。
在代数学中，常见的次方根有平方根（n=2）、立方根（n=3）、四次方根（n=4）等，分别表示对一个数开平方、开立方、开四次方。
以平方根为例，对于任意一个非负数a，可以找到一个非负数x，满足x^2 = a。
其中，当a为正数时，x 就是a的平方根；当a为零时，x为零；当a为负数时，则不存在实数x满足该等式。
在实际应用中，次方根有广泛的用途，涉及到许多领域。
以下将从不同维度介绍次方根的概念和其应用。
首先，次方根在几何中起到重要作用。
在几何中，次方根与平方、立方运算密切相关。
通过求平方根，可以得到给定的正实数的边长。
例如，在正方形中，平方根可以用来计算对角线的长度。
同样，在立方体中，立方根可以用来计算边长。
其次，次方根在物理学中也有广泛应用。
在牛顿力学中，速度是位置的一次方根对时间的导数，加速度是位置的二次方根对时间的导数。
光的强度也与其传播距离的平方成反比关系。
通过应用次方根的概念，可以推导出这些物理现象背后的数学模型，从而更好地理解和描述自然界的运动规律。
此外，次方根在统计学和概率论中也有重要应用。
例如，在概率分布函数中，正态分布曲线的形状可以通过对数函数求平方根来得到。
在统计学中，次方根经常用来计算方差和标准差。
方差是观测值与均值之间差异程度的平方和的平均，而标准差则是方差的平方根。
通过将方差和标准差应用于数据集，可以揭示数据分布的离散程度，帮助分析和解释实际问题。
此外，次方根还在金融计算、信号处理和图像处理等领域中得到广泛应用。
在金融计算中，次方根常常用于计算利息的本质增长率。
在信号处理和图像处理中，次方根可以用来进行信号和图像的压缩和解压缩操作。
通过对信号和图像的分解和合成，可以减小数据的存储和传输开销，提高处理效率。
沪教版七年级（下）数学一课一练及单元测试卷和参考答案
沪教版七年级（下）数学⼀课⼀练及单元测试卷和参考答案七年级下数学⼀课⼀练及单元测试卷和参考答案⽬录第⼗⼆章实数12.1 实数的概念（1） 3 12.2 平⽅根和开平⽅（1） 6 12.3 ⽴⽅根和开⽴⽅（1）9 12.4 n次⽅根（1）13 12.5 ⽤数轴上的点表⽰数（1）17 12.6 实数的运算（1）22 12.7 分数指数幂（1）26 七年级(下)数学第⼗⼆章实数单元测试卷⼀30 第⼗三章相交线平⾏线13.1 邻补⾓、对顶⾓（1）34 13.2 垂线（1）38 13.3 同位⾓、内错⾓、同旁内⾓（1）42 13.4 平⾏线的判定（1）46 13.5 平⾏线的性质（1）50 七年级(下)数学第⼗三章相交线平⾏线单元测试卷⼀54 第⼗四章三⾓形14.1 三⾓形的有关概念（1）59 14.2 三⾓形的内⾓和（1）63 14.3 全等三⾓形的概念与性质（1）67 14.4 全等三⾓形的判定（1）7114.5等腰三⾓形的性质（1）77 14.6等腰三⾓形的判定（1）81 14.7等边三⾓形（1）85 七年级(下)数学第⼗四章三⾓形单元测试卷⼀90第⼗五章平⾯直⾓坐标系15.1 平⾯直⾓坐标系（1）94 15.2直⾓坐标平⾯内点的运动（1）98 七年级(下)数学第⼗五章平⾯直⾓坐标系单元测试卷⼀103 参考答案107数学七年级下第⼗⼆章实数12.1 实数的概念（1）⼀、选择题1．|－32| 的值是（）A ．－3 B. 3 C ．9 D ．－92．下列说法不正确的是（） A ．没有最⼩的有理数 B ．没有最⼤的有理数C ．有绝对值最⼩的有理数D ．有最⼤的负数 3．在3.0,2,2313,1010010001.0,4,0,)3(0π-，这七个数中，⽆理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列命题中正确的是（） A ．数轴上的点与有理数⼀⼀对应 B ．有限⼩数是有理数 C ．数轴上的点与实数⼀⼀对应 D ．⽆限⼩数是⽆理数5．下列说法：①⽆限⼩数都是⽆理数；②正数、负数统称为有理数；③⽆理数的相反数还是⽆理数；④⽆理数与有理数的和⼀定是⽆理数；⑤⽆理数与⽆理数的和⼀定还是⽆理数；⑥⽆理数与有理数的积⼀定仍是⽆理数。
计算简单的根式与分数
计算简单的根式与分数在数学学习中，我们经常会遇到根式和分数的计算问题。
根式是数学中的一种表达形式，它表示一个数的平方根、立方根等；而分数则表示一个数被另一个数除的结果。
本文将介绍一些计算简单的根式与分数的方法。
一、根式的计算根式的计算主要涉及到平方根、立方根和开n次根的计算。
下面将分别介绍这三种根式的计算方法。
1. 平方根的计算平方根是数学中最常见的根式之一。
计算一个数的平方根可以使用开方运算符√。
比如，要计算16的平方根，可以写作√16，计算结果是4。
2. 立方根的计算立方根表示一个数的三次方根。
计算一个数的立方根也可以使用开方运算符√。
比如，要计算8的立方根，可以写作∛8，计算结果是2。
3. 开n次根的计算开n次根表示一个数的n次方根。
计算一个数的开n次根也可以使用开方运算符√。
比如，要计算27的开3次根，可以写作∛27，计算结果是3。
二、分数的计算分数是数学中用来表示一个数被另一个数除的结果的形式。
分数由一个分子和一个分母组成，表示为a/b，其中a为分子，b为分母。
下面将介绍分数的基本运算。
1. 分数的加减运算分数的加减运算可以通过找到它们的最小公倍数来进行。
比如，要计算1/2 + 1/3，首先找到1/2和1/3的最小公倍数为6，然后将分数的分子乘以最小公倍数除以分母，得到3/6和2/6，最后将两个分数的分子相加，得到5/6。
2. 分数的乘除运算分数的乘除运算可以通过将分数的分子相乘、分母相乘或者分数的分子乘以另一个分数的倒数来进行。
比如，要计算1/2 × 2/3，将分数的分子相乘得到2，分母相乘得到6，所以计算结果是2/6，可以进一步化简为1/3。
3. 分数的化简分数的化简是将分数写成最简形式，即分子和分母没有公因数。
可以通过找到分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母都除以最大公因数来进行分数的化简。
比如，要化简4/8，首先找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，所以4/8可以化简为1/2。
根号的运算公式
根号的运算公式根号是数学中的一种运算符号，它表示对一个数进行开方运算。
根号运算在数学中有着广泛的应用，它的公式可以帮助我们解决各种问题。
本文将介绍根号的运算公式，并通过实例来说明其应用。
一、根号的定义和性质根号的运算公式可以总结为以下几点：1. 根号下面的数称为被开方数，根号上面的数字称为指数。
2. 如果一个数的平方等于被开方数，那么这个数就叫做被开方数的平方根，记作√被开方数=平方根。
3. 平方根可以是正数、负数或零，但在实际应用中通常只考虑正数平方根。
4. 如果一个数的n次方等于被开方数，那么这个数就叫做被开方数的n次方根，记作∛被开方数=次方根。
5. 除了平方根和立方根，还可以有更高次方的根，例如四次方根、五次方根等。
二、平方根的运算公式平方根是最常见的根号运算，其运算公式如下：√a = b => b² = a其中，a为被开方数，b为平方根。
我们可以通过求解b的平方等于a来得到平方根的值。
例如，求解√16的值，我们可以使用上述公式：b² = 16解方程可得b = ±4，因此√16的值为4或-4。
三、立方根的运算公式立方根是指一个数的三次方等于被开方数，其运算公式如下：∛a = b => b³ = a其中，a为被开方数，b为立方根。
我们可以通过求解b的立方等于a来得到立方根的值。
例如，求解∛27的值，我们可以使用上述公式：b³ = 27解方程可得b = 3，因此∛27的值为3。
四、根号的运算规则和性质1. 根号运算具有传递性，即√(√a) = √a。
2. 乘法和除法的运算法则：√(ab) = √a × √b，√(a/b) = √a / √b。
3. 加法和减法的运算法则：根号不能直接进行加法和减法运算。
五、根号的应用举例1. 几何应用：根号可以用于计算图形的边长、面积、体积等。
例如，计算正方形的对角线长度、三角形的斜边长度等。
n次方根的概念
n次方根的概念
一、定义
n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的运算，即被开方数的n次方根等于该数。
n次方根通常使用符号√（n）表示，其中n表示根数。
二、不同根数的概念
1. 平方根：根数为2，表示一个数的平方根。
2. 立方根：根数为3，表示一个数的立方根。
3. 四次方根：根数为4，表示一个数的四次方根。
4. 五次方根：根数为5，表示一个数的五次方根。
5. n次方根：根数为n，表示一个数的n次方根。
三、求n次方根的方法
求n次方根的一般方法有以下两种：
1. 迭代法：迭代法是一种基于数学公式和程序控制结构的求解方法。
它通过重复迭代的步骤，逐步逼近求解方程的根。
2. 牛顿-拉弗森方法：牛顿-拉弗森方法是一种数值计算方法，可以求函数的零点。
求n次方根时，可以将其转化为一个函数的零点问题，然后使用牛顿-拉弗森方法来求解。
四、n次方根的实际应用
n次方根在实际生活和工作中具有广泛的应用，如计算机科学中的编码系统、密码学、数字信号处理、图像处理等领域。
同时，n次方根也应用于物理学领域，如热力学、光学等，以及统计学和金融学等领域。
在日常生活中，n次方根也常常用于计算直线距离、概率计算等。
总之，n次方根是一种重要的数学概念，具有广泛的实际应用价值。
12.4_n次方根
平方根的概念:
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根 求一个数a的平方根的运算叫做开平方. a叫 做被开方数. 立方根的概念: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立
3 方根.用 a
表示,读作“三次根号3aa ”,
中的a叫
做被开方数,3叫做根指数.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方
问题1：
（1）2 128
7
128 7 如果 x 128，那么x= 2 。
7
2
5
3 243 3 243 （2） 5 如果 y 243，那么y= 3
5
结论： 任何实数a有且只有一个 奇次方根，用 n a 表示
问题2： 6 6 2 64 2 64 （1） 6 如果 x 64 ，那么x= 2
2
（3）求 6 729 的值
练习
计算：
3 216
4 81
5 243
1 6 8
2
作业布置
1 . 课本和练习册上的练习 2 . 预习新课
(2) 3 81 3 81 4 如果 y 81 ，那么y= 3
4
4
结论：正数a的偶次方根有两个 且互为相反数，用 n a 表示
问题3：负数有偶次方根吗？零 的n次方根是多少？ 结论： 负数没有偶次方根
零的n次方根是零
例题：
32 （1）求 243的5次方根
（2）求 8 的6次方根
问题1: 如果一个数的n次方(其中n
பைடு நூலகம்
是大于1的整数)等于a，你能否类比 平方根和立方根说明这个数的意义？
定义：
如果一个数的n次方等于a,那么这个数 叫做a的n次方根 当n是奇数时，这个数是a的奇次方根 当n是偶数时，这个数是a的偶次方根 求一个数a的n次方根的运算，就叫做开 n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立方根、开立方、n 次方根
【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4 B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9
（2）下列说法正确的是（ ）
A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数
B 任何一在个数必有立方根与平方根
C 一个数的立方根必与这个数同号
D 负数没有立方根
【知识点】
2、立方根的性质：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。
（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）
【基本习题训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。
（1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。
（2） 只有零的立方根是它本身。
（3） 只有零的平方根是它本身。
（4） 1的平方根与立方根相同。
—————————————————————————————
【典型例题2】求下列各数的立方根： (1)1000 (2)27
8
- (3)001.0- (4)0
【知识点】
求一个数a 的立方根的运算叫开立方
【基本习题限时训练】
(1)下列各式中值为正数的是( )
(A)()35
5.2- (B)-()32
4.3- (C)30 (D)37-
(2)下列说法中正确的是（ ） (A)
278的立方根是3
2
± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832
=--
（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根
（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数
（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3
a (B)()a
b =-3 (C)3a b = (D)a b =3
【典型例题3】求下列各式的值 （1）364- （2）()3
3
8 （3）
364
324+
--
【知识点】
类似于平方与开平方之间的关系，根据立方的意义，可以得到：
a a =33)(，a a =33
【基本习题限时训练】 （1）算式372964+327
1
-的计算结果是（ ） （A ） 91- （B ）91 （C ） 54 （D ）5
4-
（2）若033=+y x ，则x 与y 的关系（ ）
（A ）x=y=0 (B)x 与y 相等 （C ）x 与y 互为相反数 （D ）y
x 1
=
（3）若a ＜0，化简233a a +的结果是（ ）
（A ）0 （B ）2 （C ）-2a (4)±2a
【典型例题4】
1、下列方根中，哪些有意义？哪些没有意义？如果有意义，请用符号表示这些方根，并求出结果。
（1）1的五次方根 （2）-1的五次方根 （3）16的四次方根 （4）-16的四次方根 （5）64的六次方根 （6）-32的五次方根
2、下列说法中正确的是( ) (1) 只有正数才有偶次方根
(2) -2的六次方是64,所以64的六次方根是-2 (3) 若a x n
=(a ≥0，n 是偶数），则n a x ±= （4）因为-a 是负数，所以它没有偶次方根
【知识点】
1、如果一个数的n 次方等于a （n 是大于1的整数），那么这个数叫做a 的n 次方根。
表示，其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数；
当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根，实数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n
偶数（当n =2时，在省略写n ）。
【基本习题限时训练】判断题
（1）49=±7 （ ） （2）144=－12 （ ） （3）－4是－64的立方根 （ ） （4）－4是－64的平方根 （ ） （5）a 2
的正的平方根是 a （ ） （6）－a 3
的立方根是－a （ ） （7）1的任何次方根都是1 （ ） （8）0的任何次方根都是0 （ ） （9）负数没有方根 （ ） （10）正数的方根互为相反数 （ ）
【典型例题4】求适合下列各式的x 的值 （1）9
3
10-=x （2）8
4
10=x
【知识点】
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数 【基本习题限时训练】
1、下列说法中，正确的是 （ ）
（A ）3是3的正的平方根 （B ）3是2
3的正的平方根 （C ）3是2
3-的正的平方根 （D ）-3是()2
3-的正的平方根
2、如果a 是有理数，那么a 应是（ ）
(A)完全平方数 （B ）不完全平方数 （C ）非负数 （D ）正实数
3、如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （Ａ）-b 是－a 的立方根 （Ｂ）b 是a 的立方根 （Ｃ）b 是－a 的立方根 （Ｄ）以上都不对
４、若ｘ－１的９次幂等于３，则ｘ可记作（ ）
（Ａ）139+ （Ｂ）139+ （Ｃ）193
+ （Ｄ）193+
【拓展题５】
１、已知ｎ是自然书，a 是实数且()n
n
n
n
a a =
成立。
试讨论ｎ及a 的取值范围。
【解】当ｎ为奇数时，a 取一切实数，()n
n
n
n a a =
；
当ｎ为偶数时，a ≥０时，()n
n
n
n a a =
２、先填写下表，再回答问题：
问：（１）数ｘ与立方根3x 的小数点的位置移动有无规律？如有，请写出规律。
（２）已知61.1220053=，01261.03=a ，不用计算器，请根据规律求得a ＝＿＿＿＿ 【解】（１）数ｘ的小数点每向右或左移动３位，相应的立方根的小数点向右或左移动１位 （２）ａ＝０．０００００２００５。