光纤通信第一章3-阶跃光纤中的模式理论

特征方程
J (u ) K ( w) 1 1 ( 2 2 ) uJ (u ) wK ( w) u w 利用贝塞尔函数的递推公式，得 J 1 (u ) K 1 ( w) uJ (u ) wK ( w) J 1 (u ) u w0 时 J (u ) 2( 1)
（ 1）对TE 0m 模和TH 0m 模： （2）对EH m 模： （3）对HE m 模： J (u ) 0 J 0 (u ) 0 TE 0m 模和TH 0m 模的截止频率相等，是兼并模。
=1， J1 (u ) 0
J 1 (u ) u f 1, uJ (u ) 2( 1) （4）HE11是光纤中的主模，对任意光波长这种模式都能在光纤中传输。 （5）可以证明（书上p32），远离截止时HE 1，m和EH 1，m 有相同的特征方程 （6）若光纤的归一化频率V 2 a n 12 n2 2 p 2.405, TE 0m、TH 0m
单模光纤的截止波长
2
c
n0 a 2 2.405
北京邮电大学顾畹仪 19
4、光纤中的各种导模 （1）TE0m和TM0m模（ 0, m 1, 2, ）
，
(u ) ( w) J0 K0 0 uJ 0 (u ) wK 0 ( w) 当模式截止时, w 0, (u ) J0 , J 0 (u ) 0 uJ 0 (u )
北京邮电大学顾畹仪 8
K k
2 2
2
北京邮电大学顾畹仪
3
2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤中的波动方程 1）变量分离
令
(r , ) R(r ) ( ) ( ) ei , 0,1, 2, 场的圆周对称性
2 1 dR(r ) (k 2 2 2 ) R( r ) 0 r dr r
北京邮电大学顾畹仪
5
c.重要结构参量：归一化频率V
V u w k0 a (n n2 ) (
2 2 2 2 2 2 1 2
2 a

)2 (n12 n2 2 )
由于纤芯中需满足
包层中需满足
k02n12 2 f 0
2 k02n12 f 0
可知导模的传输常数的取值范围为
2 1 1 2 2 2 ( k ) 0 2 2 2 r r r r
北京邮电大学顾畹仪 2
（2）波导方程式
Ez H z i Er 2 ( ) K r r H z i Ez E 2 ( ) K r r H z Ez i H r 2 ( ) K r r Ez i H z H 2 ( ) K r r
北京邮电大学顾畹仪
10
J 0 (u ) K 0 ( w) 1 时， uJ1 (u ) wK1 ( w) w 0 时， J 0 (u ) uJ1 (u )
J1 (u ) 0 J 0 (u )的根有0, 3.8317, 7.016, , 分别对应 HE11 , HE12 , HE13 ,... 的截止频率。
k0 n2 p p k0n1
与介质板波导得到的结果一致。
北京邮电大学顾畹仪
6
3、边界条件和特征方程式
（1）
r a
的界面上，Ez和H z 应连续,得到
A ur i Ez J v ( )e J (u ) a A wr i K v ( )e K ( w) a B ur i Hz J v ( )e J (u ) a B wr i K v ( )e K ( w) a
北京邮电大学顾畹仪 17
模线性叠加，得 和 EH 1，m 1，m
北京邮电大学顾畹仪
18
6、单模光纤
单模传输条件： LPo1模（HE11模）的横向电场分布
ur E0 J 0 ( ) a Et J 0 (u ) = E0 K 0 ( wr ) a K0 ( w)
r
c
a
ra

和HE 21模都还没有出现，实现单模传输。
北京邮电大学顾畹仪 13
几个低次模的归一化传输常数随V的变化
北京邮电大学顾畹仪 14
（4）几个低次模的场型图
北京邮电大学顾畹仪
15
北京邮电大学顾畹仪
16
5、近似解——LP模
思路： 为了简化分析，不考虑各种模式的具体区别，只注意各 模式的传输系数，将弱导近似下传输系数相等的模式用 LP模概括起来。 可以证明，若将 HE 到的是直角坐标系下的线偏振模，这就是LP（Linearly Polarized Mode）模的来源。 LPom模是由HE1m模得到；LP1m模是由TEom、TMom和 HE2m模线性组合得到；LP2m模是由EH1m模和HE3m模线 性组合得到，…
得 d 2 R(r )
dr 2
2）解的形式
a. 在纤芯中 （ r a, k k1 k0n1)
2 2 2 概念：传导模应沿径向呈驻波分布，即 k0 n1 f 0 r 0 处场分量应为有限值
北京邮电大学顾畹仪 4
所以，R（r）的解应取贝塞尔函数( J 函数) 令
u 2 (k0 2 n12 2 )a 2 E z1 A ur i H B J v ( )e a z1
北京邮电大学顾畹仪
11
（3）EH m模
J 1 (u ) K 1 ( w) uJ (u ) wK ( w)
J 1 (u ) w 0、模式截止时， uJ (u ) J (u ) 0 注意：不能取零根。
北京邮电大学顾畹仪
12
小结：求各模式截止值的方程
J 0 (u )的根有2.4048, 5.520, 8.6537, , 分 别对应TE 01 (TM 01 ), TE 02 (TM 02 ), TE 03 (TM 03 )...模的截止 频率。
TE0m和TM0m 模有 相同的截止频率， 是兼并模。
北京邮电大学顾畹仪
9
（2） HE m 模
rp a rf a rp a rf a
北京邮电大学顾畹仪
7
（2） 用波导方程式求出 E 和H ，在
r a 的界面上，
E 和H 应连续,得到弱导近似(n1 n2 )下的本征方程
J (u ) K ( w) 1 1 ( 2 2 ) uJ (u ) wK ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ w) u w
第1.3节 阶跃折射率光纤中的模式理论
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式
2、用分离变量发求解阶跃折射率光纤 中的波动方程 3、边界条件和特征方程式 4、光纤中的各种导模
北京邮电大学顾畹仪
1
1、圆柱坐标系中的基本波导方程式 （1）波动方程
2 2 1 1 2 (r ) 2 2 2 r r r r z r r E E (r , ) exp(it i z ) r r H H (r , ) exp(it i z )
得
b. 在包层中（r f a, k k2 k0n2 ） 2 2 2 概念：传导模应沿径向迅速衰减，即 k0 n2 f 0 所以，R（r）的解应取第二类变形的贝塞尔函数( K函数 ) 令 得
w2 ( 2 k0 2 n12 )a 2 E z 2 C wr i H D K v ( )e a z2