高中数学复习：定积分应用

高中数学复习：定积分应用

定积分的计算

1．若则123,,S S S 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 2．1

0(2)x e x dx +⎰等于

A ．1

B ．1e -

C ．e

D ．1e +

3．2

0(1)x dx -⎰= ．

4．若 ．

5．计算定积分1

21(sin )x x dx -+=⎰___________．

6．设，若，则 ．

定积分的几何意义

1．由曲线y x =，直线2y x

=-及y 轴围成的图形的面积为 （A ）103 (B)4 (C)163

(D)6 2．直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A ．22

B ．24

C ．2

D ．4

3．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为

A ．

B ．

C ．

D ． 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，

则此点取自阴影部分的概率等于 ．

222212311

11,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰123S S S <<213

S S S <<231S S S <<321S S S <<209,T

x dx T =⎰则常数的值为20

lg 0

()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰((1))1f f =a =14151617

5．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．

6. 设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则

．

答案 定积分的计算

1.（2013江西）若则123,,S S S 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 32

2

1127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰， 223121x x S e dx e e e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．

2.（2011福建）10(2)x e x dx +⎰等于

A ．1

B ．1e -

C ．e

D ．1e +

【答案】C

1

0(2)x e x dx +⎰，选C ．

3.（2015湖南）

20(1)x dx -⎰= ．

【答案】0 0>a x y =

0,==y a x 2a =a 2

2

221231111,,,x S x dx S dx S e dx x

===⎰⎰⎰123S S S <<213

S S S <<231S S S <<321S S S <<210()x e x e =+=

2

2021(1)()002x dx x x -=-=⎰． 4.(2013湖南)若

．

【答案】3 ． 5.（2012江西）计算定积分

121(sin )x x dx -+=⎰___________． 【答案】

23 31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=． 6.（2011陕西）设，若，则 ． 【答案】8.1

因为，所以，又因为，

所以，所以，． 考点35定积分的几何意义

1.（2011全国课标理9

）由曲线y =

2y x =-及y 轴围成的图形的面积为 （A

）103 (B)4 (C)163

(D)6 【答案】C

解2

y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得（4,2），由图知，由曲线y =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为4

02)x dx +⎰=3242021(2)|32x x x -+=163，故选C .

209,T x dx T =⎰则常数的值为393

330302=⇒===⎰T T x dx x T

T

20

lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰((1))1f f =a =10x =>(1)lg10f ==230()3a f x x t dt x a =+

=+⎰3(0)f a =31a =1a =

2.（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A ．22

B ．24

C ．2

D ．4 【答案】D

由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形

的面积2

3242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰，故选D ． 3.（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】C

∵31

2201211)()0326S x x dx x x -=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P =16，故选C ． 4.（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2

f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

【答案】512

由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于． 5.（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分

的概率为______．

141516

17221754433x dx -=-=⎰5

53412

=