最新流体力学6-势流理论整理
势流理论
第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。
对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。
而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。
速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。
本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。
求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。
对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。
因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。
由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。
因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。
1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。
对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。
求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。
20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。
流体力学第6章
第六章 不可压缩流体的平面势流§6-1 有势流动的速度势函数一、速度势函数ϕ对于无旋流动，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x x w z u z y w υυ (1) 根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的全微分的充要条件。
ϕ称为速度势函数，简称速度势。
即：z w y x u d d d d ++=υϕ 又有：z z y yx x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕx u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕυ，zw ∂∂=ϕ 又由矢量分析：k z i y i x k w i i u V v v v v vv v ∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2)即速度势的梯度等于流场的速度。
在柱坐标中：径向速度：rr ∂∂=ϕυ切向速度：θϕϕυθ∂∂=∂∂=r s 轴向速度：zz ∂∂=ϕυ由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V v在该方向的投影，这是ϕ的一个重要性质。
函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V v，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。
在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：()∫∫++=⋅=B ABAAB z w y x u s V Γd d d d υv v A B BAϕϕϕ−==∫d (3)即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。
又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量()∫∫++=⋅=KKz w y x u s V Γd d d d υvv ∫Kϕd ＝若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0d =∫Kϕ二、势函数方程将x u ∂∂=ϕ，y ∂∂=ϕυ，zw ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程： 0=∂∂+∂∂+∂∂zwy x u υ 则有：02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4)(其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=Δ=∇称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。
船舶流体力学(打印)
二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
三个基本解都具有奇异性。因为真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3:理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p0，试求:(1)上半平面的流动图案；(2)沿y = 0的速度与压强。
解:令z = rei，于是:
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
等势线方程为：
流线方程为：
在流场任意两点1，2应用伯努利方程，有：
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
图片：
四.平面偶极子：
z = 0点:点汇–Qz0点：点源Q
叠加后得到：
令r0，Q，不变，并且：
---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析=的情况(即，点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
因为点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
第4章 势流理论_1
V 2 p U F (t ) 在理想流体的势运动中， t 2
设流动定常，质量力为零， F(t)=A
则压强 p A V 2 A f z f z
2
2
ip d 为微元 d 上的的总压力，垂直 于c，方向向内
D
2
d n ds 2 2
D s
ds 2 s n
二、有关定理
1、在一个完全为固体壁包围的流体中，不可能有无旋流 （但内部有奇点情况例外）；
复速度
f ' ( z) f ' ( z) (u 2 v2 )
在单连同域内
f z dz 0
l
l
柯西定理
证：
f z dz i d x iy
l
dx dy i dy dx
l l
0
利用格林公式
2 2 2 d 2 x y z 2 2 2 u * v * w * d 2 x y z
4.3 平面势运动、复势
一、复势的概念
借助复变函数数学工具解平面势流问题。 1、复数的两种表示方法
z x iy i z re
（1） （2）
2、复变函数
f z x, y i x, y
3、解析函数： 若复变函数的导数无论从何方向趋于零，其导数相同， 则称该复变函数为解析函数。 解析函数存在的充要条件：柯西—黎曼条件
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
第三章-势流理论
物面不可穿透：
Imw(z) const.
无穷远处：
V
U
iV
dw dz z
U
iV
给定环量
L d L (d id ) Ldw
3.5平面势流的基本解
1 均匀直线运动
流场内速度的大小和方向均为常值的流动。 实例：均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板。
ux a, uy b
d adx bdy ax by
后沿一平面均匀的向四方作扩散流动，这种扩散运动叫着 点源运动。单位时间流出的流体体积Q称为源强。
实例：泉眼向各方的流动； 离心式水泵叶轮内的流体运动。
y
C
C
ur
Q
2 r
,
u 0
x
ux
ur cos
Q
2 r
x r
Q
2
x x2 y2
uy
ur sin
Q
2 r
y r
Q
2
y x2 y2
d
uxdx uydy
d
AB
QAB B A
y
B
A
M
u
n
x
（3）平面势流的流函数是调和函数 。
z
u y x
ux y
0
x
x
y
y
0
2 2
0 or
2 0
x2 y2
2 无旋流动
（1）势函数为调和函数。
（2）平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的 速度势之差。
d u cosu, s ds uxdx uydy d
m u
dm
dn
x
x
3.4平面势流的复势问题
1 复势
流体力学6-势流理论
Vr V
边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )
M cos 2 r
势流理论笔记：01势流理论基础
势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。
所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。
如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。
格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。
格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。
现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。