2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(3) 课件(北师大版九年级下册)
解法训练:
1.已知:函数 y (m 2) x (1)满足条件的m值.
m2 m4
是关于x的二次函数.求:
y 3x 2
m= -3或m=2.
y 2x2
(2)当m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点.这 时,最低点是(0,0); 时当x为何值时,y随x增大而增大? m=2 当x>0时,y随x的增大而增大. (3)当m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时 当x为何值时,y随x的增大而减小? m=-3时,最大值是0;
b 4ac b 2 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和 (0,0). , (3)对称轴不同:分别是 和y轴. b 2a 4a
直线x (4)最值不同:分别是 和0. 4ac b 2 2a 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成4 y=ax² 的图象先沿 x轴整体左(右)平移| a 个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| b ,向下平移)得到的. b |个单位 (当 >0时向上平移 ;当 <0时 b
下课了!
结束寄语
• 要珍惜时间，思考一下一天之中做 了些什么？是“正号”还是“负号 ”，倘若是“+”，则进步；倘若是 “-”，就得吸取教训，采取措施。
当x
b 4ac b 时, 最大值为 2a 4a
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增 大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
D
(1)求S与y的函数关系式;
S=1/2· y. S=1/2· x2 .
A B
(2)求S与x的函数关系式;
(3)如果抛物线y=2x2与直线y=kx-3只有一个公共点,求k值. k=±2 6 6.已知:抛物线y=-x2将抛物线向上平移后,抛物线顶点D和 抛物线与x轴二交点A,B围成△ABD.求顶点在什么位置时, △ABD为正三角形且写出此时抛物线的解析式 y=-x2+ 3
当x>0时,y随x的增大而减小.
做一做
6
2.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴 原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2)
驶向胜利 的彼岸
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出这个函数的图象 ;
1 2 y x 2
C● A(-2,2)●
●
C ● B(2,2)
●
(3)写出抛物线上与点A关于y轴对称 的点B的坐标,并计算△ABO的面积. (4)在抛物线上是否存在点C,使
y ax bx c
2
a>0,在对称轴 左侧,y都随x的 增大而减小,在 a>0,开 口向上; 对称轴右侧,y 都随 x的增大 a<0,开 口向下. 而增大.; a<0,在对称轴 左侧,y都随x的 增大而增大,在 对称轴右侧,y 都随 x的增大 而减小 .
(0,0) (0, c) (h,0) ( h, k )
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
直线x h
直线x h
b 直线 x 2a
做一做
3
基础训练：
1.下列函数是二次函数的是（ D C. y 2 x 2 4 x 3
2.抛物线 大的是A ( A.
1 2 y x 2
驶向胜利 的彼岸
）
A. y=2（x-2）2-2x2； B. y =ax2+bx+c ;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和 性质 １.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
2
5;
3. y 4x 3
2
1;
4. y x5 x; 5. y 1 2x x2 ;
6. y 2x2 7 x 12.
2.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验 证. 1. y x2 6x 9; 2. y 9 4x2 ; 3.y x 12 9.
b 4ac b 化简:去掉中括号 a x . 2a 4a
想一想,填一填,比一比,说一说:
填表:
函数表达式 开口 方向 增减性 对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y a x h
2 2
y ax h k
1 S△ABC= 2
存在点C(
C●C面积 Nhomakorabea4S△OAB ,如果存在写出点C的坐
,1);( 2 ,1);( 2 ,3 );(6 ,3).
标,如果不存在说明理由?
6
做一做
7
综合训练:
驶向胜利 的彼岸
1.将函数y=2x2的图象向左平移3个单位,然后将 图象绕顶点在原坐标系内旋转1800,求旋转后图 y= 象对应的函数解析式. 2(x+3)2,再向下平移8 2.抛物线y=ax2向左平移一个单位 个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为 y=2(x+1)2______________; 8 3.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
1.配方:
老师提示:
y ax2 bx c c 2 b a x x a c 2
提取二次项系数
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2 b b b 2 c 配方:加上并 a x x 减去一次项系 数一半的平方 a 2 a 2 a a 2 b 4ac b 2 整理:前三项化为平方形 a x 式,后两项合并同类项 2 2a 4a 2 2
2a 2a
|
4ac b 2
4ac b 2 4a
2a 4ac b 2 4a
独立 作业
知识的升华
P73 复习题A组
1,2题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
P73 复习题A组 1,2题
1. y 2 2x
2
独立 作业
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
;
2. y 3x 1
; D. y= (x-2)2+1 ;
的图象开口最
1 2 y x , y 3 x 2 , y 2 x 2 2
)
; B. y= -3x2 ; C.y=2x2 ; D.不确定;
做一做
4
3.函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号 有关的是(
C
驶向胜利 的彼岸
)
A.对称轴; B.顶点坐标 ; C.开口方向; D.开口大小 ; 4.直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是( A.(0,0),(1,1); B.(1,1); 1,0);
y B
)
C.(0,1),(1,0);
D.(0,-1),(D
y y 2 5.若ab>0,函数y=ax 与y=ax+b的图象大致是 ( o y o x o x o x
)
x
做一做
5
6.下列各点中与点(1,4)在同一个二次函数 y=ax2图象上的是( B )
驶向胜利 的彼岸
A. (2,-16) ; B.( -2,16); C.(-2,-16) ; D. (16,2) ;
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3 个单位,再向上平移5个单位.
做一做
8
4.画出函数y=5x2与函数y=-5x2的图象并根据图象分别说明 两函数的增减性?是否有最大值或最小值,若有是多少? 5.已知:点P(x,y)是抛物线y=x2上一点且在第一象限内的一 动点.A点坐标为(3,0).用S表示△OPA的面积
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增 大. 2
由a,b和c的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减 2 小.
最值
当x
b 4ac b 时, 最小值为 2a 4a
第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象(3)
练习题
想一想
1
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的图象
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数y=ax² +bx+c 的对称轴和顶点坐标．
合集下载
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第4课时)-北师大版九年级数学下册
解：(1)把点P(-2，3)代入y=x2+ax+3，得3=(-2)2-2a+3，解得a=2，
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件
何值时，y的最大值是多少?
H
D
B
（2）.y＝xb＝x
﹣1225
x＋24
P┐ G A
N
＝﹣12
40cm
x 2＋24 x ＝﹣12（x－25）2＋300.
25
25
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取 M C
（1）.如果设矩形的一边AD ＝
M
30cm xcm
xcm，那么AB边的长度如何表示？ D
C
解：（1）设 AB＝bcm
易得 b＝﹣4 x＋40 3
┐ bcm
A
B
N
40cm
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和AD分别在两直角边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取
所以，顶点坐标为：（﹣1，﹣7）， 对称轴为x ＝﹣1
想一想
何时面积最大
例1：如图，在一个直角三角形的内部作一个 矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
30cm
D
C
┐
A
B
N
40cm （1）.设矩形的一边AB ＝ xcm，那么AD边的长度如
何表示？
（2）.设矩形的面积为ym2 ，当x取何值时，y的最大值
M
或用公式：
当 x＝﹣ b ＝15 时，
2a
y最大值＝
4ac－b2 4a
＝300.
xcm
D
C
bcm
┐
A
B
N
二次函数y=ax2+c的图象与性质PPT课件(北师大版)
画出的二次函数图象及点 A，B 如图①所示．
探究培优
(2)求△AOB的面积． 解：在△AOB 中，∵AB＝2－(－2)＝4， AB 边上的高是 3，∴S△AOB＝12×4×3＝6. (3)在这个函数图象上是否存在一点P，使△APB的
面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
整合方法
13．抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口 方向与抛物线 y＝－12x2 相同． (1)确定 a，c 的值； 解：由题意易知 a＝－12，把点(0，2)的坐标代入 y＝－12x2＋c，得 c＝2. (2)画出抛物线y＝ax2＋c. 略.
整合方法
14．【中考•衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直 线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B 的横坐标为2，连接AM，BM. (1)求抛物线对应的函数表达式； 解：∵A 点为直线 y＝x＋1 与 x 轴的 交点，∴A(－1，0)．又 B 点的横坐标为 2， 代入 y＝x＋1 可求得 y＝3，∴B(2，3)．
夯实基础
10．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D ) A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
夯实基础
11．如图，两条抛物线 y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1 与 分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条 平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A．8 B．6 C．10 D．4
A．第一象限
B．第二象限
C．x轴上
D．y轴上
夯实基础
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点 的个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0
探究培优
(2)求△AOB的面积． 解：在△AOB 中，∵AB＝2－(－2)＝4， AB 边上的高是 3，∴S△AOB＝12×4×3＝6. (3)在这个函数图象上是否存在一点P，使△APB的
面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
整合方法
13．抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口 方向与抛物线 y＝－12x2 相同． (1)确定 a，c 的值； 解：由题意易知 a＝－12，把点(0，2)的坐标代入 y＝－12x2＋c，得 c＝2. (2)画出抛物线y＝ax2＋c. 略.
整合方法
14．【中考•衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直 线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B 的横坐标为2，连接AM，BM. (1)求抛物线对应的函数表达式； 解：∵A 点为直线 y＝x＋1 与 x 轴的 交点，∴A(－1，0)．又 B 点的横坐标为 2， 代入 y＝x＋1 可求得 y＝3，∴B(2，3)．
夯实基础
10．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D ) A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
夯实基础
11．如图，两条抛物线 y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1 与 分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于 y 轴的两条 平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A．8 B．6 C．10 D．4
A．第一象限
B．第二象限
C．x轴上
D．y轴上
夯实基础
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点 的个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
C．b＝－9，c＝－5
D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5 化为顶点式为
y＝(x－
3 2
)2＋ 141.
将 y＝(x－3 )2＋11 向左平移 3 个单位长度，
2
4
再向上平移 2 个单位长度，
即为 y＝x2＋bx＋c.则
y＝x2＋bx＋c＝(x＋
3 2
)2＋ 19
4
，
化简后得 y＝x2＋3x＋7，
2
答：对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数y 1 (x 6)2 3 2
可以看作是由y 1 x2 2
怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6
个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个
单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象
O (1)
如果 a > 0，当x< b 时，y 随
2a
x 的增大而减小；当 x > b
2a
时，y 随 x 的增大而增大；当
x x= b 时，函数达到最小值，
2a
最小值为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
y x b
2a
O
x
(2)
如果 a < 0，当 x < b 时，y 随 x
顶点坐标 对称轴
(1,1)
x=1
(0,-1)
y轴
(
1 3
,-6)
直线
x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1 最小值-6
2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质
y 3x 1
2
y 3x 1
2
1.抛物线y=-3(x3.抛物线y=-3(x-1)2在对称 轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=1)右侧,当x>1时, y随着x 的增大而减小.当x=1时,函数 y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴 (x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
九年级数学(下)第二章 二次函数
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1) 函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+K的图象和性质
想一想P46 1
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
x -3 27 -2 12 -1 3 0 0 1 3 2 12 3 27 4 48
y 3x 2
x 12 y 3
48
27
12
3
0
3
12
27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2 的图象．
做一做P46 3
观察图象,回答问题
y 3x
2
y 3x 1
2
(3) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与y=3x2 的图象有 什么关系?它是轴对称 图形吗?它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和 y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
并写出开口方向、顶点坐标、对称轴．
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)
2.4二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象和性质(3)课型 新授学习目标：1、体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．3、通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．学习重点：运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．学习难点：把数学问题与实际问题相联系的过程．学习过程：一、学前准备(学生独立完成)1、抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______.2、将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.3、抛物线y =－41x 2+1，y =－41(x +1)2与抛物线y =－41(x 2+1)的___相同，__不同.二、探究活动 (一)独立思考并合作探究探索二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标例：求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标．1、二次函数y ＝a(x-h)2+k 的对称轴和顶点坐标分别是什么？2、交流怎样求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标．点拨：用配方法将ax 2+bx+c 转化成a(x-h)2+k 的形式即可。
3、学生独立完成后交流答案，并找一人板演展示。
解：把y ＝ax 2+bx+c 的右边配方，得y ＝ax 2+bx+c=a(x 2+ac x a b +) =a[x 2+2·a b 2x+(a b 2)2+2)2(ab ac -]=a(x+a b 2)2+a b ac 442-.对称轴为x=-a b 2,顶点燃坐标为（-a b 2，ab ac 442-） 巩固练习：P60随堂(二)实际应用：P58做一做，有关桥梁问题学生独立思考后教师点拨，分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y 轴对称，所以它们的顶点也关于y 轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y ＝a(x-h)2+k 的形式，即顶点式．解：y=0．0225x 2+0．9x+10=0．0225(x 2+40x+94000) 二0．0225(x 2+40x+400-400+94000) ＝0．0225(x+20)2+1．∴对称轴为x=-20．顶点坐标为(-20，1)．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．三．学习体会1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑问？2．你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方？四．自我测试1、 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
九下数学课件二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质(课件)
知识点三 二次函数的性质
【变式2】二次函数y＝x2－ax＋b的图像如图所示，对称轴为直线x＝2，
下 列结论不正确的是( C )
A. a＝4 B. 当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C. 当x＝－1时，b＞－5 D. 当x＞3时，y随x的增大而增大
知识点四 求最大值、最小值 【例4】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.2.5 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的
关系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
知识点五 图像的位置与系数a、b、c的Biblioteka 系字母的符号图象的特征
a＞0
a
a＜0
开口向上 开口向下
ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
b
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0
图象过原点
c
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
知识点五 图像的位置与系数a、b、c的关系
【例5】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那 么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中， 值为正数的有( )
能力提升
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1 的顶点为A.点B的坐标为(3，5)． (1) 求抛物线过点B时顶点A的坐标； (2) 点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式； (3) 如图，点C的坐标为(0，2)，若抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数研讨说课复习课件
当a<0时，开口向下．
- - - - - O1 2 3 4 5 x
5 4 3 2 1联 系： 二次项系数互为相反数，开
2
1
y =- x
口相反，大小相同，它们关
2
-3
于x轴对称.
4
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知讲解
5
4
3
2
y
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
解：先列表：
8
2
9
3
1
3
7
1
-1
1
0
2
8
9
7
观察发现
再描点，连线
y
8
6
1、因为a值相同，所以开口方向，
4
大小都相同；
2
2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向上平移1个单位得到；
3、二次函数
的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向下平移1个单位得到.
2
-4
-2
2
O
-1
4
x
归纳
开口方向
上
y = 2x2+1
上
y = 2x2 -1
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,1）
（0,-1）
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
相同点：开口方向相同、形状相同，
对称轴都是y轴。
不同点：顶点坐标发生了改变。
- - - - - O1 2 3 4 5 x
5 4 3 2 1联 系： 二次项系数互为相反数，开
2
1
y =- x
口相反，大小相同，它们关
2
-3
于x轴对称.
4
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知讲解
5
4
3
2
y
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
解：先列表：
8
2
9
3
1
3
7
1
-1
1
0
2
8
9
7
观察发现
再描点，连线
y
8
6
1、因为a值相同，所以开口方向，
4
大小都相同；
2
2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向上平移1个单位得到；
3、二次函数
的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向下平移1个单位得到.
2
-4
-2
2
O
-1
4
x
归纳
开口方向
上
y = 2x2+1
上
y = 2x2 -1
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,1）
（0,-1）
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
相同点：开口方向相同、形状相同，
对称轴都是y轴。
不同点：顶点坐标发生了改变。
2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
九年级数学(下)第二章《二次函数》
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;