浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷
20. 小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的 坐标时，请按程序指令解答．
（1）P1（1，0），P2（-3，0）． （2）P1（2，-1），P2（4，-3）
21. 如图，公路上有 A、B、C 三个汽车站，一辆汽车 8：00 从离 A 站 10km 的 P 地出 发，向 C 站匀速行驶，15min 后离 A 站 30km． （1）设出发 x h 后，汽车离 A 站 y km，写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当汽车行驶到离 A 站 250km 的 B 站时，接到通知要在 12：00 前赶到离 B 站 60km 的 C 站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达 C 站 ？
（2）解不等式：
18. “腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读 1 小时”为 问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出 以下两幅末完成的统计图，请根据图 1 和图 2 提供的信息，解答下列问题： （1）把折线统计图（图 1）补充完整； （2）该校共有学生 1200 名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．
义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是
（ ）
A. 有两组邻边相等的四边形称为“筝形” B. 有两组对角分别相等的四边形称为“筝形” C. 两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形” D. 以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”
9. 对于不为零的两个实数 m，n，我们定义：m⊗n= 的图象大致是（ ）
数 y= 的图象上，则 k 的值是______．
16. 如图，已知△ABC，△DEF 均为等腰直角三角形，EF=10 ，顶点 D，E 分别在边 AB， AC 上滑动．则在滑动过程中，点 A，F 间距离的最大值为______．
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三、解答题（本大题共 8 小题，共 80.0 分） 17. （1）计算：2tan60°- -（ -2）0+（ ）-1
A. 18×（ - ）=18× -18×
B. 2（x-y）=2x-2y
C. =
D. a（b-1）=ab-a
6. 为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图 1）．小聪为了说 明“A．正方形；B．矩形；C．四边形；D．菱形；E．平行四边形”这五个概念 之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图 2），则在用“①、②、③ 、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（ ）（用名称前的字母代号表示
19. 如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座 BC=0.6 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=75°，支架 AF 的长为 2.5 米，篮板顶端 F 点到篮框 D 的距离
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FD=1.4 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE=60°，求篮框 D 到地面的 距离．（精确到 0.1 米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7， ≈1.7，
中考数学一模试卷
题号 得分
一（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 3 的相反数是（ ）
A. -3
B. 3
C. -
D.
2. 据国家外汇管理局 4 月 7 日公布的数据显示，截至 2019 年 3 月末，我国外汇储备 规模为 30988 亿美元将 30988 亿用科学记数法表示为（ ）
若扇形 EAF 的面积为 π，则 BC 的长是______．
14. 已知直线 l 和直线 l 外一点 A，以点 A 为圆心，适当的长度
为半径作弧交直线 l 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，大于 MN 长为半径作弧，
两弧交于点 P（点 P 与点 A 在直线 l 的两侧），连结 PM，作直线 PA 交 MN 于点 O ，若 PO= ，MN=2，则 cos∠APM=______． 15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 坐标为（1， ） ，以 OP 为斜边作等腰直角△OAP，直角顶点 A 在反比例函
A. 30988×108
B. 3.0988×1012
C. 3.0988×1011
D. 3.0988×1013
3. 有 4 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（
）
A.
B.
C.
D.
4. 有 6 张扑克牌（如图），背面朝上，从中任抽一张，则抽到方块 牌的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）
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）
A. C、E、B、D B. E、C、B、D C. E、C、D、B D. E、D、C、B
7. 如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这 些小正方形上，AB 与 CD 相交于点 O，则 tan∠AOD 等于（
）
A.
B. 2
C. 1
D.
8. 将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐 藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形”下个定
人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱： 若每人出 7 钱，还差 3 钱．则合伙人数为______人；羊价为______钱． 13. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在 AD 边上，以 E 为圆 心，EA 长为半径的⊙E 与 BC 相切，交 CD 于点 F，连接 EF．
，那么函数 y=x⊗3
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A.
B.
C.
D.
10. 在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 BC=m•BD，过 D 点作直线 AB，AC 的垂 线，垂足分别为 E、F，若 AB=n•AC．则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） 11. 分解因式：4a2-b2=______． 12. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问
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22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4 ，BC=8，∠B=60°，将平行四边形 ABCD 沿 EF 折叠，点 D 恰好落在边 AB 的中点 D′处，折叠后点 C 的对应点为 C′， D′C′交 BC 于点 G，∠BGD′=32°． （1）求∠D′EF 的度数； （2）求线段 AE 的长．
2020年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.3的相反数是（）A. -3B. 3C. -D.2.据国家外汇管理局4月7日公布的数据显示，截至2019年3月末，我国外汇储备规模为30988亿美元将30988亿用科学记数法表示为（）A. 30988×108B. 3.0988×1012C. 3.0988×1011D. 3.0988×10133.有4个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A.B.C.D.4.有6张扑克牌（如图），背面朝上，从中任抽一张，则抽到方块牌的概率是（）A.B.C.D.5.下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（）A. 18×（-）=18×-18×B. 2（x-y）=2x-2yC. =D. a（b-1）=ab-a6.为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A．正方形；B．矩形；C．四边形；D．菱形；E．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（）（用名称前的字母代号表示）A. C、E、B、DB. E、C、B、DC. E、C、D、BD. E、D、C、B7.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形上，AB与CD相交于点O，则tan∠AOD等于（）A. B. 2 C. 1 D.8.将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”．假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（）A. 有两组邻边相等的四边形称为“筝形”B. 有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”C. 两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”D. 以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”9.对于不为零的两个实数m，n，我们定义：m⊗n=，那么函数y=x⊗3的图象大致是（）A. B.C. D.10.在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BC=m•BD，过D点作直线AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，若AB=n•AC．则=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.分解因式：4a2-b2=______．12.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出7钱，还差3钱．则合伙人数为______人；羊价为______钱．13.如图，矩形ABCD中，AB=2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为π，则BC的长是______．14.已知直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径作弧交直线l于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），连结PM，作直线PA交MN于点O，若PO=，MN=2，则cos∠APM=______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（1，），以OP为斜边作等腰直角△OAP，直角顶点A在反比例函数y=的图象上，则k的值是______．16.如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，EF=10，顶点D，E分别在边AB，AC上滑动．则在滑动过程中，点A，F间距离的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）17.（1）计算：2tan60°--（-2）0+（）-1（2）解不等式：18.“腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读1小时”为问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅末完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）把折线统计图（图1）补充完整；（2）该校共有学生1200名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数．19.如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC=0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）20.小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的坐标时，请按程序指令解答．（1）P1（1，0），P2（-3，0）．（2）P1（2，-1），P2（4，-3）21.如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，15min后离A站30km．（1）设出发x h后，汽车离A站y km，写出y与x之间的函数表达式；（2）当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12：00前赶到离B站60km的C站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达C站？22.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′=32°．（1）求∠D′EF的度数；（2）求线段AE的长．23.在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN，直线BD与MN交于点E．（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD-2DE=BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是______．（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若，CM=2，则线段DG=______．24.在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB=90°时，称点P为线段AB的“直角视点”．（1）若t=-，在点C（0，），D（-1，），E（，）中，能够成为线段AB“直角视点”的是______．（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（4，0），∠OMN=30°．①线段AB的“直角视点”P在直线MN上，且∠ABP=60°，求点P的坐标．②在①的条件下，记Q为直线MN上的动点，在点Q的运动过程中，△QAB的周长存在最小值，试求△QAB周长的最小值______．③若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，则t的取值范围是______．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据相反数的含义，可得3的相反数是：-3．故选：A．根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，据此解答即可．此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”．2.【答案】C【解析】解：30988亿=3.0988×1011，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：如图所示：它的主视图是：．故选：D．主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．4.【答案】A【解析】解：观察图形知：6张扑克中有2张方块，所以从中任抽一张，则抽到方块的概率==．故选：A．直接利用概率公式求解．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．5.【答案】C【解析】解：A、18×（-）=18×-18×，单项式乘多项式；B、2（x-y）=2x-2y，单项式乘多项式；C、=，根据分式的性质；D、a（b-1）=ab-a，单项式乘多项式；则变形依据与其它三项不同的是C，故选：C．根据单项式乘多项式的法则、分式的性质解答．本题考查的是单项式乘多项式、分式的性质，掌握单项式乘多项式的法则、分式的性质是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：①表示四边形，②表示平行四边形，③或④表示菱形或矩形，故选：A．根据矩形、菱形、正方形、平行四边形以及四边形联系进而得出即可．此题主要考查了四边形有关的概念，正确区分它们是解题关键，本题属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，连接BE，与CD交于点F，∵四边形BCEH是正方形，∴HF=CF=CH，BF=EF=BE，CH=BE，BE⊥CH，∴BF=CF，∵AC∥BH，∴△ACO∽△BHO，∴HO：CO=BH：AC=1：3，∵CO=HF，∴HO：HF=1：2，∴HO=OF=，在Rt△OBF中，tan∠BOF==2∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故选：B．首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BHO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得HO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF 的值，继而求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关内容．8.【答案】D【解析】解：由题意：“筝形”的一条对角线是另一条对角线的垂直平分线，所以：“筝形”是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．故选：D．根据等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题；本题考查轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．9.【答案】B【解析】解：当x≥3时，y=x-3，图象是一次函数的一段，当x＜3时，y=-，图象是反比例函数的一部分；结合解析式，可知B．故选：B．当x≥3时，y=x-3，当x＜3时，y=-，结合范围确定图象；本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；能够根据定义，分别求出两段函数的表达式是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：连接AD，∵BC=m•BD，∴CD=（1-m）BD∴S△ACD=（1-m）S△ABD，又∵S△ABD=，S△ACD=，∴=（1-m），∵AB=n•AC，∴AC•DF=（1-m）n•AC•DE∴DF=（1-m）n•DE∴故选：C．分别用DE、DF表示S△ABD=，S△ACD=，通过线段比可知两三角形面积关系，进而得到=（1-m），从而得到DE和DF关系即可解答．本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关键．11.【答案】（2a+b）（2a-b）【解析】解：4a2─b2=（2a）2-b2=（2a+b）（ 2a-b），故答案为：（2a+b）（2a-b）．首先把4a2写成（2a）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是掌握能够运用平方差公式分解因式的多项式的特点：①必须是二项式；②两项都能写成平方的形式；③符号相反．12.【答案】21；150【解析】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，依题意，得：，解得：．故答案为：21；150．设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“每人出5钱，还差45钱：每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13.【答案】3【解析】解：设∠AEF=n°，由题意=π，解得n=120，∴∠AEF=120°，∴∠FED=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠D=90°，∴∠EFD=30°，∴DE=EF=1，∴BC=AD=2+1=3，故答案为3．设∠AEF=n°，由题意=π，解得n=120，推出∠AEF=120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】【解析】解：如图，有作法得AP垂直平分MN，则OM=ON=MN=1，∠POM=90°，在Rt△POM中，PM==2，cos∠OPM==，即cos∠APM=．故答案为．利用基本作图，根据几何语言画出对应几何图形，利用作法得到AP垂直平分MN，则OM=ON=1，根据勾股定理计算出PM=2，然后根据余弦定义求解．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．15.【答案】-或【解析】解：①如图1，当A点在OP的左边时，过A作AD⊥x轴于D，过P作PE⊥AD于E，则∠ADO=∠PEA=90°，∵△APO是等腰直角三角形，∴AO=PA，∠PAO=90°，∴∠OAD+∠PAE=∠OAD+∠AOD=90°，∴∠AOD=∠PAE，∴△AOC≌△BAD（AAS），∴AD=PE，OD=AE，∵点P坐标为（1，），∴DE=，设A的横坐标为m，则AD=-m，PE=1-m，∴+m=1-m，∴m=，∴A（，），∵顶点A在反比例函数y=的图象上，∴k=×=-；②如图2当A点在OP的右边时，过A作AD⊥x轴于D，过P作PE⊥AD于E，则∠ADO=∠PEA=90°，同理：△AOC≌△BAD，AD=PE，OD=AE，设A的纵坐标为n，则OD=1+n，AE=-n，∴1+n=-n，解得n=，∴A（，），∴k=，综上，k的值是-或，故答案为：-或．分两种情况：当A点在OP的左边时，过A作AD⊥x轴于D，过P作PE⊥AD于E，则∠ADO=∠PEA=90°，即可证得△AOC≌△BAD，证得AD=PE，OD=AE，设A的横坐标为m，则AD=-m，PE=1-m，由+m=1-m，求得A的坐标（，），代入解析式即可求得k的值；当A点在OP的右边时，同理证得A（，），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.【答案】10【解析】【分析】当ADFE时平行四边形时，AF最大，过点F作FG⊥AB，结合等腰直角三角形，分别求出AG和GF的长，进而求AF即可；本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．【解答】解：当ADFE时平行四边形时，AF最大，过点F作FG⊥AB，∵△DEF均等腰直角三角形，EF=10，∴ED=DF=10，∴AD=10，∵∠ADE=45°，∠EDF=90°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴GF=DG=5，在直角三角形AGF中，AG=15，∴AF=10；故答案10.17.【答案】解：（1）原式=2-2-1+3=2；（2）3（1+x）-6≤2x，3+3x-6≤2x，3x-2x≤6-3，x≤3【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）依据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18.【答案】解：（1）一共调查了45÷30%=150（名），艺术的人数：150×20%=30（名），其它的人数：150×10%=15（名）；补全折线图如图：（2）最喜爱科普类书籍的学生人数为：×1200=320（人），答：估算最喜爱科普类书籍的学生有320人．【解析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得总人数，根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（2）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比，根据题意从统计图中读取有用信息是解题关键．也考查了用样本估计总体．19.【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.22，∴GM=AB=2.22，在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG=，∴sin60°==，∴FG=2.125，∴DM=FG+GM-DF≈2.9米．答：篮框D到地面的距离是2.9米．【解析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）∵P1（1，0），P2（-3，0），1＞-3，∴x1x2=-3＜0，设过P1（1，0），P2（-3，0），P（-2，4）三点的抛物线的函数表达式为：y=a（x-1）（x+3），将P（-2，4）代入解得a=-，∴y=-（x-1）（x+3）=-x2-x+4；（2）∵P1（2，-1），P2（4，-3），2＜4，∴y1y2=3＞0，设直线P1P2的函数表达式为：y=kx+b，∴，∴，∴y=-x+1．【解析】（1）根据x1和x2的大小关系得出x1x2=-3＜0，进而问题转化为待定系数法求二次函数的解析式，设出交点式，将点P坐标代入即可；（2）根据x1和x2的大小关系得出y1y2=3＞0，进而问题转化为待定系数法求一次函数的解析式，分别将点P1、P2坐标代入即可．本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解题的关键是根据题意判断出需要求解的函数解析式．21.【答案】解：（1）由题意，得汽车速度为：（30-10）÷15×60=80km/h，y与x之间函数表达式为：y=10+80x．答：y与x之间的函数表达式为y=10+80x；（2）由题意，得AB=250，BC=60，∴AC=310．当y=310时，310=10+80x，解得：x=．∵8+=11，即11点45分＜12点．∴汽车按原速行驶，可以准时到达．【解析】（1）由路程=速度×时间+原来的路程就可以得出结论；（2）先求出AC之间的距离，再将AC的值代入解析式求出其值即可．本题考查了行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B=∠D=60°，AD∥BC∴∠DEF=∠EFB∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处∴∠D=∠ED'G=60°，∠DEF=∠D'EF，∴∠D'EF=∠EFB，∵∠BGD′=32°∴∠D'GF=148°∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G=360°∴∠D'EF=76°（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE=x，∵AD∥BC∴∠HAD=∠B=60°，且EH⊥AB∴AH=，HE=x，∵点D'是AB中点∴AD'=AB=2∵HE2+D'H2=D'E2，∴x2+（2+）2=（8-x）2，∴x=∴AE=【解析】（1）由平行四边形的性质可得∠B=∠D=60°，AD∥BC，可得∠DEF=∠EFB，由折叠的性质可得∠D=∠ED'G=60°，∠DEF=∠D'EF，由四边形内角和定理可求∠D′EF的度数；（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE=x，可得AH=，HE=x，由勾股定理可求x的值，即可求线段AE的长．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．23.【答案】（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°，∵PM∥CD，∴∠NDE=∠MPE，∠BPM=∠CDB=45°，∴△BPM是等腰直角三角形，∴PM=BM，PB=BM，∵BM=DN，∴PM=DN，在△EPM和△EDN中，，∴△EPM≌△EDN（AAS），∴EP=ED，∴PB=BD-PD=BD-2DE，根据勾股定理得：BP=BM，即BD-2DE=BM；（2）BD+2DE=BM（3）【解析】解：（1）见答案（2）如图2，过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，∴∠PMB=∠BCD=90°，∵∠CBD=45°，∴△BMP是等腰直角三角形，∴BM=PM=DN，与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP=ED，∴PB=BD+PD=BD+2DE，根据勾股定理得：BP=BM，即BD+2DE=BP=BM，故答案为：BD+2DE=BM；（3）如图3，∵AB∥CD，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND，∵AF：FD=1：2，∴AB：ND=1：2，设AB=x，则DN=2x，∵BM=DN，∴x+2=2x，x=2，∴AB=AD=2，DF=，∴BD=2，∵DF∥BM，∴==，∴DG==．故答案为：．【分析】（1）如图1，过点M作MP∥CD于点P，推出PM=DN，根据AAS证△EPM和△EDN全等，推出DE=EP，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）如图2，过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出PM=DN，根据AAS证△EPM 和△EDN全等，推出DE=EP，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）如图3，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出正方形的边长，求出DG长即可．本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．并运用了类比推理的思想解决问题．24.【答案】（1）C、D、E（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时，∵点P是线段AB的“直角视点”，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，∵∠ABP=60°，∴∠PAB=30°，∴PB=AB=，PA=PB=，如图1所示：作PG⊥AB于G，则PG=PA=，∵点M的坐标是（4，0），∠OMN=30°，∴OM=4，GM=PG=，∴OG=OM-GM=4-，∴P（4-，）；当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4-，-）；综上所述，点P的坐标为（4-，）或（4-，-）；②2+③-2＜t＜4【解析】解：（1）若t=-，则A（-，0），B（，0），则AB=2，∴AB2=8，∵点C（0，），D（-1，），E（，），由勾股定理得：AC2=（）2+（）2=4，BC2=（）2+（）2=4，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴点C是线段AB的“直角视点”；同理：AD2=（-1）2+（）2=-2，BD2=（+1）2+（）2=+2，∴AD2+BD2=8=AB2，∴∠ADB=90°，∴点D是线段AB的“直角视点”；同理：AE2=（+）2+（）2=6，EE2=（-）2+（）2=2，∴AE2+BE2=8=AB2，∴∠AEB=90°，∴点E是线段AB的“直角视点”；故答案为：C、D、E；（2）①见答案②∵AB=2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，连接AA'，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'=A'B最小，∵∠OMN=30°，∴∠MAA'=60°，∵AG=PG=，∴BG=AB-AG=，A'G=AG=，由勾股定理得：A'B==，∴△QAB最小值为2+；故答案为：2+．③如图3所示：当B点与O重合，则t+2=0，∴t=-2；当A与M重合时，t=4，∴若线段AB的所有“直角视点”都在△MON内部，t的取值范围是-2＜t＜4；故答案为：-2＜t＜4．（1）若t=-，则AB=2，得出AB2=8，由勾股定理得：AC2=BC2=4，得出AC2+BC2=AB2，得出∠ACB=90°，得出点C是线段AB的“直角视点”；同理AD2+BD2=8=AB2，∠ADB=90°，得出点D是线段AB的“直角视点”；同理AE2+BE2=8=AB2，∠AEB=90°，得出点E是线段AB的“直角视点”；（2）①分两种情况：当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴上方时，由题意得出点P在以AB为直径的圆上，得出∠PAB=30°，得出PB=AB=，PA=PB=，作PG⊥AB于G，则PG=PA=，求出OM=4，GM=PG=，得出OG=OM-GM=4-，即可得出P（4-，）；当MN与x轴的夹角∠OMN在x轴下方时，同理得：P（4-，-）；②由AB=2，若△QAB的周长最小，则AQ+BQ的值最小，作A关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于Q'，延长AP交AB于H，H与G重合，则AA'⊥MN，AQ'+BQ'=A'B最小，求出由直角三角形的性质得出AG=PG=，得出BG=AB-AG=，A'G=AG=，再由勾股定理求出A'B==，即可得出结果；③分别求出B与O重合，A与M重合时t的值，即可得出结果．本题是三角形综合题目，考查了新定义的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形性质、最小值问题等知识；本题综合性强，有一定难度．。
_浙江省绍兴市上虞区2019届数学中考一模试卷_
第1页，总30页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………浙江省绍兴市上虞区2019届数学中考一模试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 五 总分 核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)A . ﹣3B . 3C .D .2. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD 相交于点O ，则tan∠AOD 等于（ ）A .B . 2C . 1D .3. 在∠ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m•BD ，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n•AC.则 ＝（ ）A .B .C .D .4. 将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”.假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（ ）答案第2页，总30页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 有两组邻边相等的四边形称为“筝形”B . 有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”C . 两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”D . 以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”5. 有6张扑克牌（如图），背面朝上，从中任抽一张，则抽到方块牌的概率是（ ）A .B .C .D .6. 对于不为零的两个实数m ，n ，我们定义：m∠n ＝ ，那么函数y ＝x∠3的图象大致是（ ）A .B .C .第3页，总30页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D .7. 下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ） A .B . 2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC .D . a （b ﹣1）＝ab ﹣a8. 据国家外汇管理局4月7日公布的数据显示，截至2019年3月末，我国外汇储备规模为30988亿美元将30988亿用科学记数法表示为（ ）A . 30988×108B . 3.0988×1012C . 3.0988×1011D . 3.0988×10139. 有4个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A .B .C .D .10. 为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）.小聪为了说明“A.正方形；B.矩形；C.四边形；D.菱形；E.平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（ ）（用名称前的字母代号表示）答案第4页，总30页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . C ，E ，B ，D B . E ，C ，B ，D C .E ，C ，D ，B D . E ，D ，C ，B第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共6题)1. 分解因式：4a 2﹣b 2= ．2. 如图，已知∠ABC ，∠DEF 均为等腰直角三角形，EF ＝10 ，顶点D ，E 分别在边AB ，AC 上滑动.则在滑动过程中，点A ，F 间距离的最大值为 .3. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，点E 在AD 边上，以E 为圆心，EA 长为半径的∠E 与BC 相切，交CD 于点F ，连接EF.若扇形EAF 的面积为，则BC 的长是 .4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 坐标为（1， ），以OP 为斜边作等腰直角∠OAP ，直角顶点A在反比例函数y ＝的图象上，则k 的值是 .第5页，总30页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出7钱，还差3钱.则合伙人数为 人；羊价为 钱.6. 已知直线l 和直线l 外一点A ，以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧交直线l 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于 MN 长为半径作弧，两弧交于点P （点P 与点A 在直线l 的两侧），连结PM ，作直线PA 交MN 于点O ，若PO ＝ ，MN ＝2，则cos∠APM ＝ .评卷人 得分二、计算题（共1题)7.（1）计算：（2）解不等式：评卷人 得分三、解答题（共1题)8. 如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC ＝0.6米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.5米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.4米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离.（精确到0.1米.参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，.tan75°≈3.7， ≈1.7，≈1.4）答案第6页，总30页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人得分四、综合题（共6题)9. 在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （t+ ，0），对于线段AB 和点P 给出如下定义：当∠APB ＝90°时，称点P 为线段AB 的“直角视点”.（1）若t ＝﹣ ，在点C （0， ），D （﹣1， ），E （ ， ）中，能够成为线段AB“直角视点”的是 .（2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（，0），∠OMN ＝30°.①线段AB 的“直角视点”P 在直线MN 上，且∠ABP ＝60°，求点P 的坐标.②在①的条件下，记Q 为直线MN 上的动点，在点Q 的运动过程中，∠QAB 的周长存在最小值，试求∠QAB周长的最小值 .③若线段AB 的所有“直角视点”都在∠MON 内部，则t 的取值范围是 .10. 小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的坐标时，请按程序指令解答.（1）P 1（1，0），P 2（﹣3，0）.第7页，总30页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）P 1（2，﹣1），P 2（4，﹣3）11. 如图，公路上有A 、B 、C 三个汽车站，一辆汽车8：00从离A 站10km 的P 地出发，向C 站匀速行驶，15min 后离A 站30km.（1）设出发xh 后，汽车离A 站ykm ，写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当汽车行驶到离A 站250km 的B 站时，接到通知要在12：00前赶到离B 站60km 的C 站.汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达C 站？12. “腹有诗书气自华，阅读路伴我成长”，我区某校学生会以“每天阅读1小时”为问卷主题，对学生最喜爱的书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅末完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）把折线统计图（图1）补充完整；（2）该校共有学生1200名，请估算最喜爱科普类书籍的学生人数.13. 在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E.答案第8页，总30页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）如图1.当点M 在BC 上时，为证明“BD ﹣2DE ＝BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P .请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程.（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 .（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若 CM ＝2，则线段DG ＝ .14. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝，BC ＝8，∠B ＝60°，将平行四边形ABCD 沿EF 折叠，点D恰好落在边AB 的中点D′处，折叠后点C 的对应点为C′，D′C′交BC 于点G ，∠BGD′＝32°.（1）求∠D′EF 的度数；（2）求线段AE 的长.第9页，总30页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参数答案1.【答案】：【解释】： 2.【答案】： 【解释】：答案第10页，总30页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………3.【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4.【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5.【答案】：【解释】：6.【答案】：【解释】：7.【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8.【答案】：【解释】： 9.【答案】： 【解释】： 10.【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】： 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（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：。
2025届浙江省绍兴上虞区四校联考九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】
2025届浙江省绍兴上虞区四校联考九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若||0a a +=+）A ．22a -B ．22a -C ．2D ．2-2、（4分）如图，四边形ABCD 为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为()A ．β=180-αB ．β=180°-1α2C ．β=90°-αD ．β=90°-1α23、（4分）如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A ．代入法B ．换元法C ．数形结合D ．分类讨论4、（4分））A ．BCD ．5、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒，，点E 是AD 边上一动点，延长EO 交于BC 点F ，当点E 从点D 向点A 移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是（）A ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6、（4分）调查50名学生的年龄，列频数分布表时，这些学生的年龄落在5个小组中，第一、二、三、五组数据个数分别是2，8，15，5，则第四组的频数是（）A ．20B ．30C ．0.4D ．0.67、（4分）已知反比例函数y =-6x ，下列结论中不正确的是（）A ．图象经过点（3，-2）B ．图象在第二、四象限C ．当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而减小8、（4分）巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A 地后，宣传8分钟；然后下坡到B 地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A 地仍要宣传8分钟，那么他们从B 地返回学校用的时间是()A ．45.2分钟B ．48分钟C ．46分钟D ．33分钟二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为_____．10、（4分）已知一元二次方程2x 2﹣5x+1=0的两根为m ，n ，则m 2+n 2=_____．11、（4分）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如果四边形ABCD 的中点四边形是矩形，则对角线AC _____BD ．12、（4分）如果不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，那么m 的取值范围是______.13、（4分）如图，直线y ＝kx ＋3经过点A （1，2），则它与x 轴的交点B 的坐标为____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）孝感市委市政府为了贯彻落实国家的“精准扶贫”战略部署，组织相关企业开展扶贫工作，博大公司为此制定了关于帮扶A 、B 两贫困村的计划．今年3月份决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如表：目的地费用车型A 村（元/辆）B 村（元/辆）大货车800900小货车400600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总运费为y 元；①试求出y 与x 的函数解析式；②若运往A 村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少运费．15、（8分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F ．试判断四边形ABFC 的形状，并证明你的结论．16、（8分）中国新版高铁“复兴号”率先在北京南站和上海虹桥站双向首发“复兴号”高铁从某车站出发，在行驶过程中速度y （千米/分钟）与时间x （分钟）的函数关系如图所示.（1）当05x ≤≤时，求y 关于x 工的函数表达式，（2）求点C 的坐标.（3）求高铁在CD 时间段行驶的路程.17、（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4＝1．（1）当t ＝3时，解这个方程；（2）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q ＝（m ﹣2）（n ﹣2），试求Q 的最小值．18、（10分）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 的顶点O 是坐标原点,点A 在第一象限,点C 在第四象限且OC=5,点B 在x 轴的正半轴上且OB=6,∠OAB=90°且OA=AB ．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)点P 是线段OB 上的一个动点(点P 不与点O,B 重合)，过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA 成边AB 于点Q ，交边OC 或边CB 于点R ，设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m ，已知t=4时，直线l 恰好过点C ，当0<t<3时，求m 关于t 的函数关系式.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为边在三角形ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =，则△ABC 的面积为_____.20、（4分）如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为_________．21、（4分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”连接为_____．22、（4分）若直线y ＝ax +7经过一次函数y ＝4﹣3x 和y ＝2x ﹣1的交点，则a 的值是_____．23、（4分）分解因式2244a b -=_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）解不等式组：789112x x x <+⎧⎪⎨+<⎪⎩，并写出它的所有整数解．25、（10分）小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示：1次2次3次4次5次小明1014131213小兵1111151411根据以上信息，解决以下问题：（1）小明成绩的中位数是__________.（2）小兵成绩的平均数是__________.（3）为了比较他俩谁的成绩更稳定，老师利用方差公式计算出小明的方差如下（其中x 表示小明的平均成绩）;()()()()()2222214522311.845x xx x x x x xS x x ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦小明请你帮老师求出小兵的方差，并比较谁的成绩更稳定。
2020年浙江省绍兴市上虞实验中学中考数学一模测试试卷 (解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．若＝，则的值为（）A．1B．C．D．2．展览馆有A，B两个入口，D、E、F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（）A．B．C．D．3．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）A．8B．9C．10D．114．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离5．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°6．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．CD•AB＝AC•BD7．已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（）对．A．6B．5C．4D．38．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2 9．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m＝1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．已知△ABC的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（）A．7B．8C．14D．15二、填空题11．已知a＝4，b＝9，c是a，b的比例中项，则c＝．12．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC ＝．13．⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC度数为．14．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是．15．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是．16．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝．三、解答题（本题有8个小题，共80分）17．计算：如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC的值．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣1），C（4，5）三点．求二次函数的表达式．19．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．20．一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别．小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回搅匀后取第二个）发现，取得黑球的频率稳定在0.4左右．（1）请你估计袋中黑球的个数；（2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意一个球，取出红球的概率是多少？21．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC 于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和BF的长．22．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y ＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？23．如图1 （1）已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是角平分线，求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）如图2，正五边形的边长为2，连结对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，求MN的长；（3）设⊙O的半径为r，直接写出它的内接正十边形的边长＝（用r的代数式表示）．24．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF＝90°，∠DEF＝60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE＝x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）1．若＝，则的值为（）A．1B．C．D．【分析】根据合分比性质求解．解：∵＝，∴＝＝．故选：D．2．展览馆有A，B两个入口，D、E、F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件发生概率的积直接算出答案即可．解：∵A，B两个入口，D、E、F三个出口，∴从A入口进的概率为：；从F出口出的概率为：，∴从A入口进，F出口出的概率是×＝，故选：C．3．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）A．8B．9C．10D．11【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选：B．4．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，4＝4，3＜4，∴圆与x轴相切，与y轴相交，故选：C．5．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°＝sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较．解：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°．故选：D．6．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．CD•AB＝AC•BD【分析】由∠ADC＝∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解：如图，∠ADC＝∠ADB，A、∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；B、∵AD＝DE，∴＝，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；C、∵AD2＝BD•CD，∴AD：BD＝CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；D、∵CD•AB＝AC•BD，∴CD：AC＝BD：AB，但∠ACD＝∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．故选：D．7．已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（）对．A．6B．5C．4D．3【分析】根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC ∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△BFE∽△DFA．△BDF∽△BAD．解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC ∽△DFA，△BDF∽△BAD．理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△ABC∽△EDB，可得∠EBF＝∠DBC，∠E＝∠C，∴△BDC∽△BFE，∴∠BDC＝∠BFE＝∠AFD，∴△BDC∽△DFA，∴△BFE∽△DFA，∵∠DBF＝∠ABD，∠BDF＝∠BAD，∴△BDF∽△BAD．故选：B．8．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【分析】如图，由等边三角形的性质可以得出∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三个筝形全等就可以得出AD＝BE＝BF＝CG＝CH＝AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO＝PE＝PF＝QG＝QH＝OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD＝∠OAK＝30°，设OD＝x，则AO＝2x，由勾股定理就可以求出AD＝x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD＝BE＝BF＝CG＝CH＝AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO＝PE＝PF＝QG＝QH＝OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO＝∠AKO＝90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD＝∠OAK＝30°．设OD＝x，则AO＝2x，由勾股定理就可以求出AD＝x，∴DE＝6﹣2x，∴纸盒侧面积＝3x（6﹣2x）＝﹣6x2+18x，＝﹣6（x﹣）2+，∴当x＝时，纸盒侧面积最大为．故选：C．9．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m＝1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1；④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据△＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0，根据△的意义对①进行判断；由a＝1＞0得抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝m，由于当x≤1时y随x的增大而减小，则直线x＝1在直线x＝m的左侧，于是可对②进行判断；配方得到y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，则抛物线向左平移3个单位的解析式为y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把原点坐标代入计算出m的值，则可对③进行判断；根据抛物线的对称性由当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等得到抛物线的对称轴为直线x＝3，则m＝3，所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x﹣3，然后计算x＝6时的函数值，则可对④进行判断．解：∵△＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个公共点，所以①正确；∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝m，当在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，而当x≤1时y随x的增大而减小，∴m≥1，所以②错误；∵y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，∴抛物线向左平移3个单位的解析式为y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把（0，O）代入得（m﹣3）2﹣m2﹣3＝0，解得m＝1，所以③错误；∵当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，则x＝m＝3，∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x﹣3，当x＝6时的函数值为﹣3，所以④正确．故选：B．10．已知△ABC的两条中线的长分别为5、10．若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（）A．7B．8C．14D．15【分析】先作出图形，由重心的性质和三角形三边关系进而解答即可求解．解：如图，AD＝5，BC＝10，延长OD至G，使DG＝OD，则CG﹣2OE＝，OG＝2OD＝，则OC＜OG+CG＝+＝10，∵O是重心，∴CF＜10×＝15，∵第三条中线的长是整数，∴第三条中线长的最大值为14．故选：C．二、填空题11．已知a＝4，b＝9，c是a，b的比例中项，则c＝±6．【分析】根据比例中项的概念，得c2＝ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．解：∵c是a，b的比例中项，∴c2＝ab，又∵a＝4，b＝9，∴c2＝ab＝36，解得c＝±6．12．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC ＝．【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC的度数，求出cos∠BAC的值．解：AB＝BC＝＝，AC＝＝，则AB2+BC2＝5+5＝10＝AC2，则△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝45°，则cos∠BAC＝．故答案为：．13．⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC度数为75°或15°．【分析】连接OA，过O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，根据垂径定理求出AE、FA 值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．解：有两种情况：①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝CE＝，AF＝BF＝，cos∠OAE＝＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图2所示连接OA，过O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝CE＝，AF＝BF＝，cos∠OAE═＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°；故答案为：75°或15°．14．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC＝MC＝，继而求出∠AOC＝60°、AB＝2AC＝，然后根据S弓形ABM＝S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影＝S﹣2S弓形ABM计算可得答案．半圆解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC＝MC＝，在RT△AOC中，∵OA＝1，OC＝，∴cos∠AOC＝＝，AC＝＝∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，则S弓形ABM＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣××＝﹣，S阴影＝S半圆﹣2S弓形ABM＝π×12﹣2（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．15．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是r＝或5＜r≤12．【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是＝13．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5＜r≤12．故半径r的取值范围是r＝或5＜r≤12．故答案为：r＝或5＜r≤12．16．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝．【分析】利用勾股定理列式求出AC，设AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，设AD＝2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴＝，即＝，解得DF＝x，在Rt△DE1F中，E1F＝＝＝，又∵BE1＝AB﹣AE1＝10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，∴＝，∴E1F2＝A1E1•BE1，即（）2＝x（10﹣3x），解得x＝，∴AD的长为2×＝．故答案为：．三、解答题（本题有8个小题，共80分）17．计算：如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC的值．【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到CD为⊙A的直径，∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中利用勾股定理计算出OD＝4，然后根据正切的定义求出tan∠ODC即可．解：连接CD，如图，∵点C（0，2），∴OC＝2，∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，∴OD＝＝4，∴tan∠ODC＝＝＝，∵∠OBC＝∠ODC，∴tan∠OBC＝．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣1），C（4，5）三点．求二次函数的表达式．【分析】把A、B、C三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可．解：根据题意得：，解得：，∴二次函数的解析式为．19．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．【分析】首先根据题意可得GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米，然后设AG＝x米，GF＝y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案．解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米，设AG＝x米，GF＝y米，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝tan60°＝＝＝，在Rt△ADG中，tan∠ADG＝tan30°＝＝＝，∴x＝4，y＝4，∴AG＝4米，FG＝4米，∴AB＝AG+GB＝4+1.5≈8.4（米）．∴这棵树AB的高度约为8.4米．20．一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别．小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回搅匀后取第二个）发现，取得黑球的频率稳定在0.4左右．（1）请你估计袋中黑球的个数；（2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意一个球，取出红球的概率是多少？【分析】（1）可估计取出黑球的概率稳定为0.4，乘以球的总数即为所求的球的数目；（2）让红球的个数除以剩余球的总数，即为所求的概率．解：（1）估计袋中黑球的个数为20×0.4＝8（个）；（2）小王取出的第一个球是白球，则袋子中还剩余19个球，其中红球有6个，所以从袋中余下的球中再任意一个球，取出红球的概率是．21．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC 于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和BF的长．【分析】（1）连接OE，根据切线性质得OE⊥DE，与已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1＝∠C，再根据同圆的半径相等得∠1＝∠B，可得出三角形为等腰三角形；（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG＝x，通过AB＝AC列等量关系式，可求得结论．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1＝∠C，∵OB＝OE，∴∠1＝∠B，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，设OG＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AG＝x，∴DG＝OE＝2x，根据AC＝AB得：4x＝x+2x+2﹣，x＝1，∴OE＝OB＝2，在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，cos30＝，OF＝＝2÷＝，∴BF＝﹣2，⊙O的半径为2．22．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y ＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x＝m，y＝n，y＝x+n﹣m，y＝﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y＝x+1，∴n﹣m＝1，∴n＝m+1∵抛物线解析式为，∴y＝（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n＝2m，将n＝m+1代入得到m＝2，n＝3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′＝OA＝4，OM＝2，∴∠A′OM＝60°，∴∠A′OP＝∠AOP＝30°，∴MN＝＝，∴抛物线需要向下平移的距离＝3﹣＝．如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′＝OA＝4，OE＝3，EA′＝＝，∴A′F＝4﹣，设P（4，c）（c＞0），在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2＝c2，∴c＝，∴P（4，）∴直线OP解析式为y＝x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离＝3﹣＝，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．23．如图1 （1）已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是角平分线，求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）如图2，正五边形的边长为2，连结对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，求MN的长；（3）设⊙O的半径为r，直接写出它的内接正十边形的边长＝r（用r的代数式表示）．【分析】（1）如图1，先证AD＝BD＝BC，再证△BCD∽△ACB，即可得出点D是线段AC的黄金分割点；（2）利用正五边形的性质，证BM＝BA＝AE，再证△AEM∽△BEA，推出＝，再证△EMN∽△EBC，即可求出MN的长；（3）正十边形的中心角为：＝36°，利用图1，可设∠BAC是正十边形的一个中心角，则AB，AC为正十边形外接圆的半径r，BD是∠ABC的平分线，由（1）知＝，可用含r的代数式表示出AD的长，即正十边形的边长．【解答】（1）证明：如图1，∵在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD是角平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝ABC＝36°，∴AD＝BD＝BC，∴在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝72°，∴BD＝BC，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴＝，∵AD＝BD＝BC，∴＝，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）在正五边形ABCDE中，∠AED＝＝108°，AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA＝（180°﹣108°）＝36°，同理可求，∠AEB＝∠ABE＝36°，∵∠EAM＝∠∠EBA，∠AEM＝∠BEA，∴△AEM∽△BEA，∴＝，∵∠AMB＝∠MAE+∠AEM＝72°，∠MAB＝∠BAE﹣∠MAE＝72°，∴∠BAM＝∠BMA，∴BM＝BA＝AE＝2，∴＝，∴＝，∴EM＝﹣1（取正值），∴＝＝，∵∠BAM+∠ABC＝72°+108°＝180°，∴AD∥BC，∴△EMN∽△EBC，∴＝＝，∵BC＝2，∴MN＝3﹣；（3）正十边形的中心角为：＝36°，如图1，可设∠BAC是正十边形的一个中心角，则AB，AC为正十边形外接圆的半径r，BD是∠ABC的平分线，由（1）知＝，∴＝，∴AD＝r，∴BC＝BD＝r，故答案为：r．24．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（3，0）、C（0，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF＝90°，∠DEF＝60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE＝x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO 的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB＝60°，根据同位角相等两直线平行求出EF∥AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE＝EM，PE＝PM，PM＝EM三种情况分别求解．解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA＝1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC＝OA•tan60°＝1×＝，OB＝OC•cot30°＝×＝3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；（2）①∵△OCE∽△OBC，∴＝，即＝，解得OE＝1，所以，AE＝OA+OE＝1+1＝2，即x＝2时，△OCE∽△OBC；②存在．理由如下：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，∵OA＝OE，OC⊥x轴，∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，又∠DEF＝60°，∴∠FEB＝60°，∴∠BAC＝∠FEB，∴EF∥AC，由A（﹣1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y＝x+，∵点E（1，0），∴直线EF的解析式为y＝x﹣，联立，解得，，∴点M的坐标为（2，），或（﹣3，﹣4）（舍去），EM＝＝2，分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，当PE＝EM时，PE＝2，所以，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2），当PE＝PM时，∵∠FEB＝60°，∴∠PEF＝90°﹣60°＝30°，PE＝EM÷cos30°＝×2÷＝，所以，点P的坐标为（1，），当PM＝EM时，PE＝2EM•cos30°＝2×2×＝2，所以，点P的坐标为（1，2），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，﹣2）或（1，）或（1，2），使△PEM是等腰三角形．。
【解析版】绍兴市上虞市六校联考中考数学模拟试卷
浙江省绍兴市上虞市六校联考中考数学模拟试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣ B．﹣2 C． D． 22．在3月5日的《政府工作报告》中表示，铁路将8000亿元．将8000亿元用科学记数法表示为（）A． 8×1011元 B． 80×1010元 C． 8000×108元 D． 8×103元3．下列等式一定成立的是（）A． a•a2=a2 B． a2÷a=2 C． 2a2+a2=3a4 D．（﹣a）3=﹣a34．由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A． B． C． D．5．肇庆市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（）PM2.5指数 150 155 160 165天数 3 2 1 1A． 150，150 B． 150，155 C． 155，150 D． 150，152.56．如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，AE=3，则EB=（）A． 6 B． 9 C． 12 D． 157．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，sinA=，则弦AB的长为（）A． B． C． 4 D．8．如图，将一个半径为2的圆等分成四段弧，再将这四段弧围成星形，则该图形的面积与原来圆的面积之比为（）A． B． C． D．9．如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、F分别为AB、AC的中点，E是BC上动点，则△DEF周长的最小值为（）A． 2+ B． 2+ C． D． 610．如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x=2，x=﹣2所围成的阴影部分的面积为S，平移的距离为m，则下列图象中，能表示S与m 的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．分解因式：x2y﹣4y=．12．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．13．如图，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为cm2．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为cm．15．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并将各边长变为原来的n倍得△AB′C′，即如图①，∠BAB′=θ，===n，我们将这种变换记为[θ，n]．如图②，在△DEF中，∠DFE=90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n=．16．如图，点P是双曲线（x＞0）上动点，在y轴上取点Q，使得以P、Q、O 为顶点的三角形是含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答题写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（1）计算：﹣2tan60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；化简：（+）÷+1．18．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）19．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？将两幅不完整的图补充完整；（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．20．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练，在0＜x＜15的时间内，速度较快的人是（填“甲”或“乙”）；求乙距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系式；（3）当x=15时，两人相距多少米？（4）在15＜x＜20的时间段内，求两人速度之差．21．如图，以O为圆心的弧度数为60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB．（1）求的值；若OE与交于点M，OC平分∠BOE，连接CM．说明CM为⊙O的切线；（3）在的条件下，若BC=1，求tan∠BCO的值．22．（1）如图1，直线a∥b∥c∥d，且a与b，c与d之间的距离均为1，b与c之间的距离为2，现将正方形ABCD如图放置，使其四个顶点分别在四条直线上，求正方形的边长；在（1）的条件下，探究：将正方形ABCD改为菱形ABCD，如图2，当∠DCB=120°时，求菱形的边长．23．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知两条抛物线①：y=x2+2x﹣1，②：y=﹣x2+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由；抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线C1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C2与C1关联，求抛物线C2的解析式．24．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线y=x交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连结PB，PC，设运动时间为t秒．（1）求D点坐标；当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标；（3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值．浙江省绍兴市上虞市六校联考中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣ B．﹣2 C． D． 2考点：相反数．分析：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．解答：解：﹣2的相反数是2，故选：D．点评：此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．2．在3月5日的《政府工作报告》中表示，铁路将8000亿元．将8000亿元用科学记数法表示为（）A． 8×1011元 B． 80×1010元 C． 8000×108元 D． 8×103元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将8000亿用科学记数法表示为8×1011．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列等式一定成立的是（）A． a•a2=a2 B． a2÷a=2 C． 2a2+a2=3a4 D．（﹣a）3=﹣a3考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法，除法，合并同类项，积的乘方，即可解答．解答：解：A．a•a2=a3，故错误；B．a2÷a=a，故错误；C.2a2+a2=3a2，故错误；D．正确；故选：D．点评：本题考查了同底数幂的乘法，除法，合并同类项以及积的乘方，熟记定义是解决本题的关键．4．由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A． B． C． D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形．故选：B．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．肇庆市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（）PM2.5指数 150 155 160 165天数 3 2 1 1A． 150，150 B． 150，155 C． 155，150 D． 150，152.5考点：众数；中位数．分析：根据众数和中位数的概念求解．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，155，155，160，165，则众数为：150，中位数为：155．故选B．点评：本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，AE=3，则EB=（）A． 6 B． 9 C． 12 D． 15考点：相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由于DE∥BC，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△EOD∽△COB，△AED∽△ABC，于是==，=，等量代换，代入AE的值，即可求BE．解答：解：∵DE∥BC，∴△EOD∽△COB，△AED∽△ABC，∴==，=，又∵AE=3，∴BE=6．故选A．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、比例的计算．7．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，sinA=，则弦AB的长为（）A． B． C． 4 D．考点：垂径定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：作OD垂直AB于D．根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：作OD垂直AB于D．∵半径OA=2，sinA=，∴OD=，根据勾股定理可得，AD=，AB=．故选D．点评：本题的关键是作辅助线，并利用勾股定理及垂径定理求线段的长．8．如图，将一个半径为2的圆等分成四段弧，再将这四段弧围成星形，则该图形的面积与原来圆的面积之比为（）A． B． C． D．考点：扇形面积的计算．分析：如图，根据圆的面积公式得到半径为2的圆的面积；星形的面积=边长2+2=4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积；再求出两者的比即可求解．解答：解：2+2=4圆的面积=π×22=4π，星形的面积=4×4﹣4π=16﹣4π，该图形的面积与原来圆的面积之比为（16﹣4π）：4π=．故选：A．点评：考查了扇形面积的计算，关键是理解星形的面积=边长2+2=4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积．9．如图所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、F分别为AB、AC的中点，E是BC上动点，则△DEF周长的最小值为（）A． 2+ B． 2+ C． D． 6考点：轴对称-最短路线问题．分析：首先由三角形的中位线定理可求得DF的长为2，然后作出点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，然后在Rt△DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF的周长．解答：解：如图，作点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E．∵点D、F分别是AB和AC的中点，∴DF=BC=2．∵点F与点F′关于BC对称，∴EF=EF′在Rt△DFF′中，DF′===△DEF的周长=DF+DE+EF=DF+DF′=2+．故选：B．点评：本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点F关于BC的对称点，将DE+EF转化为DF′的长是解题的关键．10．如图，已知抛物线y=x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x=2，x=﹣2所围成的阴影部分的面积为S，平移的距离为m，则下列图象中，能表示S与m 的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．考点：动点问题的函数图象．分析：把阴影部分的面积为S转化为规则图形即可判断．解答：解：如图，我们把抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x=2，x=﹣2所围成的阴影部分的面积S可以看做和矩形BB′C′C等积（图形平移后面积不变性），于是可以看出S与m是正比例函数关系，故选：B．点评：本题主要考查了函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，因此可把平移后不规则图形转化为规则图形解决问题．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．解答：解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．12．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．解答：解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实数根，∴根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0．即k≤1且k≠0．故答案是：k≤1且k≠0．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．13．如图，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为1cm2．考点：三角形的重心．专题：计算题．分析：由于点D是BC的中点，则根据三角形面积公式得到S△ACD=S△ABC=3，再利用重心性质得到AG：GD=2：1，然后再利用三角形面积公式可计算出S△CGD=S△ACD=1（cm2）．解答：解：∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴S△ACD=S△ABC=×6=3，∵G是重心，∴AG：GD=2：1，∴S△CGD=S△ACD=×3=1（cm2）．故答案为1．点评：本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为18cm．考点：正多边形和圆．专题：探究型．分析：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，过C作CG⊥BD，由等腰三角形的性质及正六边形的内角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由锐角三角函数的定义可求出BG的长，进而可求出BD的长，由正六边形的性质可知点P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为BD的长，故可得出结论．解答：解：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BD∥HK，且BD=HK，∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18．故答案为：18．点评：本题考查的是正多边形和圆及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合求解时是解答此题的关键．15．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并将各边长变为原来的n倍得△AB′C′，即如图①，∠BAB′=θ，===n，我们将这种变换记为[θ，n]．如图②，在△DEF中，∠DFE=90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n=2．考点：几何变换综合题．分析：由题意可得∠DFF′=90°，然后由θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n 的值．解答：解：∵∠DFE=90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，∴∠DFF′=90°，θ=∠FDF′=60°，在 Rt△FDF′中，∠DFF'=90°，∠FDF′=60°，∴∠DF′F=30°，∴n==2；故答案为：2．点评：此题考查了直角三角形的性质、旋转的性质和直角三角形中30°所对边与斜边的关系等知识，注意数形结合思想思想的应用是解题关键．16．如图，点P是双曲线（x＞0）上动点，在y轴上取点Q，使得以P、Q、O 为顶点的三角形是含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：设P点坐标为（a，b），a＞0，讨论：（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得b=a，而点P在反比例函数图象上，则=b，得到=a，可解得a=2，则b=2，于是可确定Q点坐标；②当∠OPQ=30°，利用同样方法可求Q点坐标；若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，①当∠POQ=30°，根据（1）可得到P点坐标为，再计算AQ 的长，即可得到Q点坐标；②当∠PQO=30°，计算方法与②一样．解答：解：设P点坐标为（a，b），a＞0，（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，则b=a，∵=b，∴=a，解得a=2，则b=2，∴Q点坐标为（0，2），②当∠OPQ=30°，则a=b，∵=b，∴=，解得a=2，则b=2，∴Q点坐标为（0，2）；若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，如图，①当∠POQ=30°，则b=a，∵=b，∴=a，解得a=2，则b=2，∴P点坐标为，∵∠QPA=30°，∴AQ=AP=，∴OQ=2+=，∴Q点坐标为（0，）；②当∠PQO=30°，则a=b，∵=b，∴=，解得a=2，则b=2，∴P点坐标为；∵∠PQA=30°，∴AQ=AP=6，∴OQ=6+2=8，∴Q点的坐标为（0，8）．∴符合条件的点Q的坐标为（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．故答案为（0，2）、（0，2）、（0，）、（0，8）．点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=图象上的点满足其解析式；利用含30°的直角三角形三边的关系可简化计算；运用分类讨论的思想使解题更加完整．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答题写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（1）计算：﹣2tan60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；化简：（+）÷+1．考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．解答：解：（1）原式=2﹣2+1﹣3=﹣2；原式=•+1=+1==．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）考点：解直角三角形的应用；弧长的计算．分析：（1）过点A作地面的垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，根据正弦函数即可求得；以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则就是端点A运动的路线；根据弧长公式即可求得．解答：解：（1）过点A作地面的垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=18°，∴AC=AB•sin∠ABC=6•sin18°≈6×0.31≈1.9．答：另一端A离地面的距离约为1.9 m．画法：以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则就是端点A运动的路线．端点A运动路线的长为=（m）．答：端点A运动路线的长为m．点评：本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及弧长的计算．这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．19．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？将两幅不完整的图补充完整；（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．分析：（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求解；（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；（4）利用列举法即可求解．解答：解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是：60÷10%=600（人）；C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240=120（人），C类所占的百分比是：×100%=20%，A类所占的百分比是：×100%=30%．；（3）扇形统计图中C所对圆心角的度数是：360°×20%=72°；（4）画树状图如下：则他第二个吃到的恰好是C粽的概率是：=．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：（1）他们在进行5000米的长跑训练，在0＜x＜15的时间内，速度较快的人是甲（填“甲”或“乙”）；求乙距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系式；（3）当x=15时，两人相距多少米？（4）在15＜x＜20的时间段内，求两人速度之差．考点：一次函数的应用．分析：（1）先根据图象信息可知，他们在进行5000米的长跑训练，再根据直线倾斜程度即可知甲的速度较快；设乙距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y=kx+b，分两种情况进行讨论：①0＜x＜15；②15≤x≤20，根据图象上点的坐标利用待定系数法分别求出即可；（3）由甲运动员的图象经过（0，5000），，先运用待定系数法求出甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式，再将x=15代入，得出甲距终点的路程y，又由图象可知此时乙距终点的路程，两者相减即可；（4）先分别求出在15＜x＜20的时间段内，两人的速度，再将它们相减即可．解答：解：（1）根据图象信息可知，他们在进行5000米的长跑训练，在0＜x＜15的时间段内，直线y甲的倾斜程度大于直线y乙的倾斜程度，所以甲的速度较快．故答案为5000，甲；设乙距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y=kx+b．①如果0＜x＜15，将（0，5000），（15，2000）代入，得，解得，所以y=﹣200x+5000；②如果15≤x≤20，将（15，2000），代入，得，解得，所以y=﹣400x+8000；综上所述，乙距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系式为：；（3）设甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式为：y=mx+n，∵直线y=mx+n经过点（0，5000），，∴，解得，∴y=﹣250x+5000，∴当x=15时，甲距终点的路程y=﹣250×15+5000=1250，∵由图象可知此时乙距终点的路程为2000，∴2000﹣1250=750．即当x=15时，两人相距750米；（4）∵当15＜x＜20时，甲的速度为5000÷20=250，乙的速度为2000÷5=400，又∵400﹣250=150，∴在15＜x＜20的时间段内，两人速度之差为150米/分．点评：此题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解决本题的关键．21．如图，以O为圆心的弧度数为60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB．（1）求的值；若OE与交于点M，OC平分∠BOE，连接CM．说明CM为⊙O的切线；（3）在的条件下，若BC=1，求tan∠BCO的值．考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．分析：（1）求出OB=BE，在Rt△OAD中，sin∠AOD==，代入求出即可；求出∠BOC=∠MOC，证△BOC≌△MOC，推出∠CMO=∠OBC=90°，根据切线的判定推出即可；（3）求出CM=ME，MC=BC，求出BC=MC=ME=1，在Rt△MCE中，根据勾股定理求出CE=，求出OB=+1，解直角三角形得出tan∠BCO=+1，即可得出答案．解答：解：（1）∵EB⊥OB，∠BOE=45°，∴∠E=45°，∴∠E=∠BOE，∴OB=BE，在Rt△OAD中，sin∠AOD==，∵OD=OB=BE，∴==；∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=∠MOC，在△BOC和△MOC中，∴△BOC≌△MOC（SAS），∴∠CMO=∠OBC=90°，又∵CM过半径OM的外端，∴CM为⊙O的切线；（3）由（1）证明知∠E=45°，OB=BE，△BOC≌△MOC，CM⊥ME，∵CM⊥OE，∠E=45°，∴∠MCE=∠E=45°，∴CM=ME，又∵△BOC≌△MOC，∴MC=BC，∴BC=MC=ME=1，∵MC=ME=1，∴在Rt△MCE中，根据勾股定理，得CE=，∴OB=BE=+1，∵tan∠BCO=，OB=+1，BC=1，∴tan∠BCO=+1．点评：本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，切线长定理等知识点的应用，综合性比较强，难度偏大．22．（1）如图1，直线a∥b∥c∥d，且a与b，c与d之间的距离均为1，b与c之间的距离为2，现将正方形ABCD如图放置，使其四个顶点分别在四条直线上，求正方形的边长；在（1）的条件下，探究：将正方形ABCD改为菱形ABCD，如图2，当∠DCB=120°时，求菱形的边长．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，通过证得△CBP≌△CDQ，得出CP=DQ=1，然后根据勾股定理即可求得；如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，通过证得△BPC≌△DQC证得PC=DQ，通过解直角三角形求得PM，DQ，进而求得MC，然后根据勾股定理即可求得．解答：解：（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BCD=90°，∴∠PCB+∠QCD=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠PBC=∠QCD，在△CBP和△CDQ中∴△CBP≌△CDQ（AAS），∴CP=DQ=1，∵BP=3，∴；如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，∵∠DCB=120°，∴∠PCB+∠DCQ=60°，∵∠PBC+∠PCB=60°，∴∠PBC=∠DCQ，在△BPC和△CQD中∴△BPC≌△DQC，∴PC=DQ，PB=CQ，∵∠BPC=∠DQC=120°，∴∠BPM=∠DQN=60°，∴sin∠BPM=，sin∠DQN=，∵BM=3，DN=1，∴PB=2，DQ=，∴PC=DQ=，∵∠BPM=60°，∴∠PBM=30°，∵在RT△PBM中，PM=PB=，∴MC=PC+PM=，∴在RT△PBM中，BC===．点评：本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．23．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知两条抛物线①：y=x2+2x﹣1，②：y=﹣x2+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由；抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线C1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C2与C1关联，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果．解答：解：（1）关联．理由：∵，又∵﹣2=﹣（﹣1﹣1）2+2，2=（1+1）2﹣2成立，∴；抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点M的坐标为（﹣1，﹣2），∵动点P的坐标为（t，2），∴点P在直线y=2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，∴点N的纵坐标为6，当y=6时，（x+1）2﹣2=6，解得：x1=7，x2=﹣9，①设抛物C2的解析式为：y=a（x﹣7）2+6，∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，∴﹣2=a（﹣1﹣7）2+6，∴a=﹣．∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x﹣7）2+6；②设抛物C2的解析式为：y=a（x+9）2+6，∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，∴﹣2=a（﹣1+9）2+6，∴a=﹣．∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x+9）2+6；∴C2的解析式为：或．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．24．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0）．直线y=x交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达O点时，点P停止移动．连结PB，PC，设运动时间为t秒．（1）求D点坐标；当△PBC为等腰三角形时，求P点坐标；（3）若点P，Q在运动过程中存在某一时刻，使得以点O，P，Q为顶点的三角形与△BCQ相似，求P的运动速度a的值．考点：一次函数综合题．分析：（1）由直线y=x交AB于点D，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），把y=4代入y=x得，解得x=4，即可求出点D的坐标分两种情况①当PC=PB时，②当PB=BC时，设P（x，x）分别求解即可，（3）分两种情况：①当PQ⊥x轴，由PQ=at，PQ=（8﹣t），可得a的值，由△OPQ∽△BCQ，得出=，解得t的值，即可得出a的值，或利用=t的值，即可解得a。
2020年绍兴市上虞实验中学中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年绍兴市上虞实验中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知xy =23，则x+yy的值为()A. 32B. 25C. 53D. 522.小张同学去展览馆看展览，该展览馆有2个验票口A、B(可进出)，另外还有2个出口C、D(不许进).小张不从同一个验票口进出的概率是多少()A. 12B. 13C. 14D. 343.商店货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有()A. 7盒B. 8盒C. 9盒D. 10盒4.在平面直角坐标系xoy中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定5.sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是()A. cos28°<cos58°<sin58°B. sin58°<cos28°<cos58°C. cos58°<sin58°<cos28°D. sin58°<cos58°<cos28°6.如图，△ABC内接于⊙O，AD是∠BAC的平分线，交BC于点M，交⊙O于点D.则图中相似三角形共有()A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对7.如图，D在BC上，△ABC和△ADE均为等边三角形，AC与DE相交于点F，则图中相似三角形有()A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对8.已知等边三角形的边长是8，则它的面积是()A. 4√3B. 8√3C. 16√3D. 32√39.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0)，且其对称轴为x=−1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A. −4≤x≤2B. x<−4或x>2C. x≤−4或x≥2D. −4<x<210.在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm.若BC的长为整数，则BC的长可能是()A. 7cmB. 8cmC. 1cmD. 2cm二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，d=4cm，则c=cm;(2)线段2cm、8cm的比例中项为cm;(3)已知比例1:x=(3−x):2，则x的值为．12.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．13.在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1cm和√2cm，则∠BAC的度数为________________14.如图，把半径为2的⊙O沿弦AB折叠，AB⏜经过圆心O，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．15.已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为______．16.如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=8，点D为BC的中点，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，则CE的长为_________．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(3,0)和点B(4,3)．(1)求二次函数的表达式(2)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）18.如图，⊙C经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于点A、D，∠OBA=45°，点D的坐标为(0,2).求点A、C的坐标．19.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB.(参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数)20.一只不透明的袋子中装有4个质地，大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算两个小球数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀．进行重复实验，实验数据如表：摸球总次数1020306090120180240330450“和为8“出现的频数210132430375882110150“和为8“出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表提供数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为8的概率是．(2)如果摸出这两个小球上数字之和为9的概率是1，那么x的值可以取7吗？请用列表或画树状3图的方法说明理由．21.已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．22.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,−5)，其对称轴为直线x=3，点p是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BC于E．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为x，求PE的长(用含x的式子表示)；(3)连接CP，当CP平分∠OCB时，求点P的坐标；(4)在平面内是否存在点Q，使得以点P、E、B、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙O交AC于E，与BC相切于点F，连接AF．(1)求证：∠BAF=∠CAF；(2)若AC=6，BC=8，求BD和CE的长；(3)若AF与DE交于H，求FH的值(直接写出结果即可)______ ．FA24.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=−x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为(1,0)，(−4,0)，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A，B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形⋅若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了比例的性质，基础题根据比例性质，可得答案． 解：由x y =23，则x+y y =x y +1=53， 故选C ．2.答案：D解析：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn .根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．解：如图所示：小张从进入到离开共有8种可能的进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，∴P(小张不从同一个验票口进出)=68=34．故选：D ．3.答案：A解析：本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解：易得第一层有4盒，第二层最少有2盒，第三层最少有1盒，所以至少共有7盒．故选A．4.答案：C解析：本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质，解题的关键是求出圆心到y轴的距离.根据题意先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于半径，则y轴与圆相离；小于半径，y轴与圆相交；等于半径，y轴与圆相切．解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3<半径4，所以圆与y轴相交．故选C．5.答案：C解析：解：sin58°=cos32°．∵58°>32°>28°，∴cos58°<cos32°<cos28°，∴cos58°<sin58°<cos28°．故选C．先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).也考查了互余两角的三角函数之间的关系．6.答案：C解析：解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，又∵∠BDA=∠MDB，∠CDA=∠MDC∴△ABD∽△BDM；△ADC∽△CDM；∵∠CAD=∠CBD，∠AMC=∠BMD，∴△AMC∽△BMD，∵∠BAD=∠MCD，∠AMB=∠CMD，∴△ABM∽△CDM，∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DAC，∴△ABM∽△ADC，∵∠ACB=∠ADB，∠BAD=∠CAD，∴△ACM∽△ADB，∴共有六对相似三角形，故选：C．相似三角形的判定问题，只要两个对应角相等，两个三角形就是相似三角形．此题主要考查了相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似．7.答案：C解析：解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=∠DAE=∠ADE=∠E=60°，∴△ABC∽△ADE；∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠FAE，∴△ABD∽△AEF；∵∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△DCF；∵∠DAF=∠CAD，∠ADF=∠C，∴△ADF∽△ACD；故选：C．本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．由等边三角形的性质得出∠BAC=∠B=∠C=∠DAE=∠ADE=∠E=60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD=∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF=∠CAD，∠ADF=∠C，即可得出△ADF∽△ACD；8.答案：C解析：解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，∵AB=8，∴BD=4，∴AD=√AB2−BD2=4√3，∴等边△ABC的面积=12BC⋅AD=12×8×4√3=16√3．故选C．根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD 的值是解题的关键．9.答案：D解析：解：如图所示：∵图象经过点(2,0)，且其对称轴为x=−1，∴图象与x轴的另一个交点为：(−4,0)，a<0则抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是：−4<x<2．故选：D．由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y>0成立的x的取值范围即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用数形结合得出x的取值范围是解题关键．10.答案：A解析：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5−3<BC< 5+3，再解即可．解：根据三角形的三边关系可得：5−3<BC<5+3，解得：2<BC<8，∵BC的长为整数，∴BC=3，4，5，6，7，故选：A．11.答案：(1)6；(2)4；(3)1或2解析：(1)本题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得ab =cd，又由a=3cm，b=2cm，d=4cm，即可求得c的值．解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，∴ab =cd，又∵a=3cm，b=2cm，d=4cm，∴32=c4，解得：c=6．故c=6(cm)．故答案为：6．(2)本题考查比例中项的定义，属于基础题.根据比例中项的定义，即可得到答案．解：线段2cm 、8cm 的比例中项为√2×8=4(cm)， 故答案为4； (3)本题考查比例的性质，属于基础题.根据题意得到1x =3−x 2，即x 2−3x +2=0，解得x 的值即可． 解：已知比例1:x =(3−x):2，则1x =3−x2，即x 2−3x +2=0，解得x =1或2，故答案为1或2．12.答案：直角解析：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理首先根据勾股定理分别求出AB ，BC ，AC 的长，然后再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 解：由勾股定理，得AB 2=22+33=13，BC 2=42+62=52，AC 2=12+82=65，∴AB 2+BC 2=13+52=65=AC 2，∴△ABC 是直角三角形．故答案为直角．13.答案：15°或105°解析：本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理和勾股定理分别计算出AE 、OE 、AD 的值，进而可得到∠OAE =45°，∠BAO =60°，由于AC 与AB 在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 解：分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ．∵OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∴AE =12AC =√22cm ，AD =12AB =12cm ， 在Rt △AOE 中，OE =√AO 2−AE 2=√12−(√22)2=√22cm ， ∴△AOE 是等腰直角三角形，∴∠OAE=45°，在Rt△ADO中，∵AO=1cm，AD=12cm，∴∠AOD=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°−45°=15°．∴∠BAC=15°或105°．故答案是15°或105°．14.答案：4π3−√3解析：本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积，折叠的性质等知识点，能求出扇形AOB和△AOB的面积是解此题的关键．过O作OD⊥AB于D，交劣弧AB于E，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理求出AB，分别求出扇形AOB和三角形AOB的面积，即可得出答案．解：过O作OD⊥AB于D，交劣弧AB于E，如图：∵把半径为2的⊙O沿弦AB折叠，AB⏜经过圆心O，∴OD=DE=1，OA=2，∵在Rt△ODA中，sinA=ODOA =12，∴∠A=30°，∴∠AOE=60°，同理∠BOE=60°，∴∠AOB=60°+60°=120°，在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD=√OA2−OD2=√22−12=√3，∵OD⊥AB，OD过O，∴AB=2AD=2√3，∴阴影部分的面积S=S扇形AOB −S△AOB=120π×22360−12×2√3×1=4π3−√3，故答案为4π3−√3．15.答案：3<r≤4或r=125解析：解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=3，BC=4.如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB=5，当直线与圆相切时，d=r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB=AC×BC，∴CD=r=125，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3<r≤4，故答案为：3<r≤4或r=125．根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．16.答案：325解析：此题主要考查勾股定理、轴对称性质和解直角三角形．作DF⊥CE，利用轴对称性质得到∠ADB=∠ADE，DE=DB=4；利用等腰三角形性质得到∠EDF=∠CDF，CF=EF；从而得到∠ADB+∠CDF=90°；进而∠CDF=∠DAB；利用解直角三角形求出CF，得到CE．解：如图，作DF⊥CE交CE于点F∵D是BC的中点，BC=8∴BD =CD =4∵△ADE 由△ADB 沿AD 折叠得到∴DE =DB =4，∠ADB =∠ADE∴DE =DC =4∴∠EDF =∠CDF∵∠ADB +∠ADE +∠EDF +∠CDF =180°∴∠ADB +∠CDF =90°在Rt △ABD 中，AB =3，DB =4∴AD =√AB 2+BD 2=√32+42=5∠ADB +∠DAB =90°sin∠DAB =BD AD =45∴∠CDF =∠DAB在Rt △CDF 中sin∠CDF =CF CD =CF 4 ∴CF =4 ∴CF =165∴CE =2CF =325故答案为325. 17.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(3,0)和点B(4,3)．∴{9a +3b +3=016a +4b +3=3，解得{a =1b =−4， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y =x 2−4x +3；(2)∵y═x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(2,−1)，对称轴为x=2．解析：(1)把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得关于a、b的方程组，然后解方程组即可；(2)先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18.答案：解：连结AD，由题意可得OD⊥OA，∵∠OBA=45°，∴∠ODA=∠OBA=45°，∵D的坐标为(0,2)，∴OD=2，在Rt△ODA中，OA=OD=2，∴A的坐标为(2,0)，∵△ODA是⊙C的内接直角三角形，∴AD过圆心C，即AD是直径，∴点C是AD的中点，∴C(1,1)．解析：本题主要考查直角三角形的性质与判定，圆周角定理及推论，点的坐标的确定，属于中档题．连结AD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ODA=∠OBA=45°，由D的坐标即可求出OD的值，结合OA、OD分别在x轴、y轴上可求出点A的坐标；根据∠AOD=90°，可推出AD是⊙C的直径，此时很容易得到点C是AD的中点，结合中点坐标公式即可求出C的坐标．19.答案：解：设AE=x，≈1.1x，在Rt△ACE中，CE=AEtan42∘≈0.55x，在Rt△AFE中，FE=AEtan61∘由题意得，CF=CE−FE=1.1x−0.55x=12，，解得：x=24011+1.5≈23米．故AB=AE+BE=24011答：这个电视塔的高度AB为23米．解析：设AE=x，在Rt△ACE中表示出CE，在Rt△AFE中表示出FE，再由DH=CF=12米，可得出关于x的方程，解出即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．20.答案：解：(1)根据随着实验的次数不断增加，出现“和为8”的频率是33，100故出现“和为8”的概率是33；100故答案为：33100(2)假设x=7，则P(和为9)=16≠13，所以，x的值不能为7．解析：(1)利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；(2)假设x=7，根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与13进行比较，即可得出答案．此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．21.答案：解：连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∴∠COB=60°，∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠P=30°，∴OP=2OC=4cm，∴BP=OP−OB=4−2=2cm．解析：连接OC，即可求得∠P=30°，从而求得OP的长，根据BP=OP−OB即可求解．本题主要考查了切线的性质，已知切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，构造直角三角形．22.答案：解：(1)设y=−(x−3)2+k∴−5=−9+k，∴k=4，∴y=−(x−3)2+4；(2)由题得直线BC的解析式为y=x−5，P(x,−(x−3)2+4)，E(x,x−5)∴PE=−x2+5x；(3)由题知△OBC是等腰直角三角形，且−x2+5x=√2x，解得x1=0(舍去),x2=5−√2，∴P(5−√2,4√2−2)(4)存在；Q(5,−4)或(−1,0)．解析：本题综合考查一次函数、二次函数的性质和应用等相关知识．(1)根据题意，抛物线与y轴交于点C(0,−5)，其对称轴为直线x=3，求出抛物线的解析式即可．(2)先求出直线BC的解析式，再求出PE的长即可．(3)根据△OBC是等腰直角三角形，求出P点坐标即可．(4)根据正方形的判定，写出Q点坐标即可．23.答案：14解析：证明：(1)如图连结OF，∵BC与⊙O相切于点F，∴OFB=90°，又∵∠C=90°，∴OF//AC，∴∠OFA=∠CAF，∵OF=OA，∴∠OFA=∠BAF，∴∠BAF=∠CAF；(2)如图作FM⊥AB于点M，∵∠BAF=∠CAF，∠C=∠AMF=90°∴FM=FC，在△AMF和△ACF中，{∠BAF=∠CAF ∠C=∠AMFFM=FC，∴△AMF≌△ACF(AAS)，∴AM=AC=6，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∴BM=10−6=4，∵∠ABC=∠CBA，∠C=∠AMF，∴△BMF∽△BCA，∴BMBC =BFAB∴48=BF10∴BF=5，∵BF2=BD⋅BA∴52=BD×10∴BD=52，∵CF=BC−BF=8−5=3，∵CF2=CE⋅CA，∴CE=CF2÷CA=9÷6=32；(3)∵HE//FC，∴AHFH =EACE，∴AH+FHFH =EA+CECE，∴AFFH =ACCE=4，∴FHFA =14，故答案为：14．(1)连结OF，运用内错角相等和等边对等角证明．(2)作FM⊥AB于点M，得出△AMF≌△ACF，求出BM，再运用△BMF∽△BCA，得出BF=5，再运用切割定理求解．(3)运用平行线的性质列出比例式求解．本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等，解决本题的关键是运用三角形的全等和相似求出线段．24.答案：解：(1)∵A，C的坐标分别为(1,0)，(−4,0)，∴AC=5．∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴BC=AC=5．∴B(−4,−5)．将点A和点B的坐标代入得：{−1+b +c =0 −16−4b +c =−5解得：{b =−2 c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3．(2)如图1所示：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将点A 和点B 的坐标代入得：{k +b =0 −4k +b =−5，解得：k =1，b =−1． 所以直线AB 的解析式为y =x −1．设点E 的坐标为(t,t −1)，则点F 的坐标为(t,−t 2−2t +3)．∴EF =−t 2−2t +3−(t −1)=−t 2−3t +4=−(t +32)2+254． ∴当t =−32时，FE 取最大值254，此时，点E 的坐标为(−32,−52)．(3)存在点P ，能使△PEF 是以EF 为直角边的直角三角形．理由：如图所示：过点F 作直线a ⊥EF ，交抛物线于点P ，过点E 作直线b ⊥EF ，交抛物线P′、P″．由(2)可知点E 的坐标为(t,t −1)，则点F 的坐标为(t,−t 2−2t +3)，t =−32，∴点E (−32,−52),F (−32,154)．①当−t2−2t+3=154时，解得：t=−12或t=−32(舍去)．∴点P的坐标为(−12,154)．②当−t2−2t+3=−52时，解得：t=−1+√262或t=−1−√262．∴点P′(−1−√262,−52),P′′(−1+√262,−52)．综上所述，点P的坐标为(−12,154)或P′(−1−√262,−52),P′′(−1+√262,−52)．解析：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出EF的长关于t的函数关系式是解题的关键．(1)首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入可求得直线AB的解析式，设点E 的坐标为(t,t−1)，则点F的坐标为(t,−t2−2t+3)，然后列出EF关于t的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；(3)过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″，先求得点E和点F的纵坐标，然后将点E和点F的纵坐标代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可求得点P、P′、P″的坐标．。
浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试题(含解析)
浙江省绍兴市上虞区2015届中考数学一模试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列备选答案的四个数中，最小的一个是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．计算（2a2b）2的正确结果是（）A．4a2b B．2a4b2 C．4a4b2 D．2a4b3．据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为（）A．4.6×108B．4.6×109C．46×108D．0.46×10104．如图中几何体的俯视图是（）A． B．C．D．5．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（）A．B．C．D．6．不等式2x﹣3≥﹣1的解集是（）A．x≥﹣B．x C．x≥1 D．x≤17．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，原点O是线段AB的中点，∠BAC=30°，∠ABC=90°，以点A 为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（）A． B． C． D．8．在△ABC中，CO为AB边上的中线，且OC=AB，以点O为圆心，OC长为半径画圆，延长CO交⊙O 于点D，连结AD，BD，则四边形ADBC是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．邻边相等的四边形9．小敏到距家1500米的学校去上学，小敏出发10分钟后，小敏的爸爸立即去追小敏，且在距离学校60米的地方追上了她．已知爸爸比小敏的速度快100米/分，求小敏的速度．若设小敏的速度为x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A． B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（）A．（﹣，）B．（﹣，2）C．（﹣，） D．（﹣，）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．分解因式：x2﹣4x= ．12．如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA，则∠CAE的度数是度．13．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于cm．14．若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，则CA1的长为．16．如图，正比例函数y=kx（k＞0）的图象与反比例函数y1=，y2=，…，y的图象在第一象限内分别交于点A1，A2，…，A2015，点B1，B2，…，B2014分别在反比例函数y1=，y2=，…，y的图象上，且A2B1，A2B2，…，A2015B2014分别与y轴平行，连接OB1，OB2，…，OB2014，则△OA2B1，△OA3B2，…，△OA2015B2014的面积之和为．三、解答题（共8小题，满分80分）17．（1）计算：；（2）化简：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2．18．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？19．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．（1）求出大厦的高度BD；（2）求出小敏家的高度AE．20．我区某校为调查学生的视力变化情况，从全校九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，绘制成折线统计图和扇形统计图如下：解答下列问题：（1）该校共抽取了多少名九年级学生？（2）若该校共有1100名九年级学生，请你估计该校九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有多少人？（3）根据统计图提供的信息，谈谈你的感想（不超过30字）．21．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连结AF交CG于点K，H是AF的中点，连结CH．（1）求tan∠GFK的值；（2）求CH的长．22．定义感知：若抛物线的顶点为P，与y轴的交点为Q，则称直线PQ是该抛物线的“随形线”．初步运用：判断下列伦断是否正确？正确的在题后括号内打“√”，错误“×”；1．对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”．（）2．抛物线y=x2﹣4x+2的“随形线”是直线y=2x+2．（）拓展延伸：若直线y=﹣3x+3是某抛物线的“随形线”，该“随形线”与y轴交于点Q，且抛物线顶点P与点Q相距2个单位长度．（1）试求该抛物线的解析式；（2）问所得到的抛物线能否经过适当的平移，才能使平移后的图象所对应的函数解析式为y=？若能，说明平移的方法；若不能，请说明理由．23．（1）问题背景如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是．（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸在（2）中，如果AB=AC，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为．24．如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y 轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点E．（1）设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；（3）在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；（4）如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．2015年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列备选答案的四个数中，最小的一个是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】有理数大小比较．【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【解答】解：由正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，得3＞＞﹣＞﹣3．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．2．计算（2a2b）2的正确结果是（）A．4a2b B．2a4b2 C．4a4b2 D．2a4b【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，即可解答．【解答】解：（2a2b）2=4a4b2．故选：C．【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方公式．3．据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为（）A．4.6×108B．4.6×109C．46×108D．0.46×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将4 600 000 000用科学记数法表示为：4.6×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图中几何体的俯视图是（）A． B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数依次为1，1，1，故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黄球的概率．【解答】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是==，故选B．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．不等式2x﹣3≥﹣1的解集是（）A．x≥﹣B．x C．x≥1 D．x≤1【考点】解一元一次不等式．【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：2x﹣3≥﹣1，2x≥2，x≥1．故选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，原点O是线段AB的中点，∠BAC=30°，∠ABC=90°，以点A 为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（）A． B． C． D．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】首先求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数即可求得AC的长，则AD=AC即可求得，然后求得OD即可．【解答】解：∵点A表示﹣1，O是AB的中点，∴OA=OB=1，∴AB=2，在直角△ABC中，AC===，∴AD=AC=，∴OD=．故选D．【点评】本题考查了三角函数，在直角三角形中利用三角函数求得AC的长是关键．8．在△ABC中，CO为AB边上的中线，且OC=AB，以点O为圆心，OC长为半径画圆，延长CO交⊙O 于点D，连结AD，BD，则四边形ADBC是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．邻边相等的四边形【考点】矩形的判定．【分析】根据题意画出图形，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形ACBD是平行四边形，然后证明AB=CD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADBC为矩形．【解答】解：如图：∵延长CO交⊙O于点D，∴DO=CO，∵CO为AB边上的中线，∴AO=BO，∴四边形ACBD是平行四边形，∵OC=AB，∴AB=CD，∴四边形ADBC为矩形，故选：B．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形．9．小敏到距家1500米的学校去上学，小敏出发10分钟后，小敏的爸爸立即去追小敏，且在距离学校60米的地方追上了她．已知爸爸比小敏的速度快100米/分，求小敏的速度．若设小敏的速度为x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A． B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设小敏的速度为x米/分，则爸爸的速度为（x+100）米/分，由题意得等量关系：小敏走1440米的路程所用时间﹣小敏爸爸走1440米的路程所用时间=10分钟，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设小敏的速度为x米/分，则爸爸的速度为（x+100）米/分，由题意得：﹣=10，即=+10，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（）A．（﹣，）B．（﹣，2）C．（﹣，） D．（﹣，）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=m，那么CE=3﹣m，DE=m，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了点D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=m，那么CE=3﹣m，DE=m，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣m）2=m2+12，解得m=，∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴A E=CE=3﹣=，∴==，即=，∴DF=，AF=，∴OF=﹣1=，∴D的坐标为（﹣，）．故选D．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．分解因式：x2﹣4x= x（x﹣4）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣4x=x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA，则∠CAE的度数是22.5 度．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】直接利用正方形的性质得出∠ACB=45°，再利用等腰三角形的性质得出答案．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC是对角线，∴∠ACB=45°，∵AC=CE，∴∠CAE=∠E=×45°=22.5°．故答案为：22.5．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质等知识，正确掌握正方形对角线平分对角是解题关键．13．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于20 cm．【考点】切线的性质．【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=（r﹣8）2+162，求出r即可．【解答】解：设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD=（r﹣8）cm，AD=BC=16cm，在Rt△AOD中，r2=（r﹣8）2+162解得：r=20．即该圆的半径为20cm．故答案为：20．【点评】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．14．若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．【考点】二元一次方程组的解．【专题】计算题．【分析】将代入可得出一个关系式，将此关系式与于关于x的方程组对应相减，从而可得出一个新的方程组，解出即可得出答案．【解答】解：由题意得：，∴方程组可变形为：∴对符合条件的a1，b1，a2，b2都成立．故答案为：．【点评】本题考查二元一次方程组的解，难度较大，关键是将要求的方程组根据题意变形．15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，则CA1的长为2±1．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．设CM=A1M=x，则BM=4﹣x．在直角△A1MB中，由勾股定理得到：A1M2=A1B2﹣BM2=9﹣（4﹣x）2．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M．【解答】解：如图，过点A1作A1M⊥BC于点M．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∴设CM=A1M=x，则BM=4﹣x．又由折叠的性质知AB=A1B=3．∴在直角△A1MB中，由勾股定理得到：A1M2=A1B2﹣BM2=9﹣（4﹣x）2．∴9﹣（4﹣x）2=x2，∴x=A1M=2±，∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M=2±1．故答案是：2±1．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A1MB和等腰直角△A1CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．16．如图，正比例函数y=kx（k＞0）的图象与反比例函数y1=，y2=，…，y的图象在第一象限内分别交于点A1，A2，…，A2015，点B1，B2，…，B2014分别在反比例函数y1=，y2=，…，y的图象上，且A2B1，A2B2，…，A2015B2014分别与y轴平行，连接OB1，OB2，…，OB2014，则△OA2B1，△OA3B2，…，△OA2015B2014的面积之和为1012 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】规律型；反比例函数及其应用．【分析】延长A2B1，A3B2，A4B3，分别与x轴交于C1，C2，C3，如图所示，利用反比例函数k的几何意义分别求出△OA2B1，△OA3B2，…，△OA2015B2014的面积，即可求出面积之和．【解答】解：延长A2B1，A3B2，A4B3，分别与x轴交于C1，C2，C3，如图所示：∵y1=，y2=，∴S△OA2B1=S△A20C1﹣S△B1C10=1﹣=；∵y2=，y3=，∴S△OA3B2=S△A30C2﹣S△B2C2=﹣1=；依此类推，S△OA2015B2014=，则△OA2B1，△OA3B2，…，△OA2015B2014的面积之和为++…+==1012．故答案为：1012．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，弄清题中的规律是解本题的关键．三、解答题（共8小题，满分80分）17．（1）计算：；（2）化简：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2．【考点】实数的运算；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义及负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=3+4×﹣1=3+2﹣1=4；（2）原式=x2﹣x+5x﹣5+x2﹣4x+4=2x2﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度=路程÷时间就可以求出小明骑车的速度；（2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．【解答】解：（1）由图象得：在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）．小明骑车速度：10÷0.5=20（km/h）；（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），则10=0.5k，解得：k=20，故直线OA的解析式为：y=20x．∵小明走OA段与走BC段速度不变，∴OA∥BC．设直线BC解析式为y=20x+b1，把点B（1，10）代入得b1=﹣10∴y=20x﹣10设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（，0）代入得：b2=﹣80∴y=60x﹣80．∴，解得：．∴F（1.75，25）．答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．【点评】本题考查了一次函数的应用，考查了路程=速度×时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数图象性质的而运用．解题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型．19．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．（1）求出大厦的高度BD；（2）求出小敏家的高度AE．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；（2）结合（1），由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE．【解答】解：（1）如图，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，AE⊥DE，∴四边形AEDC是矩形，∴AC=DE=20米，∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴BC=AC=20米，在Rt△ACD中，tan30°=，∴CD=AC•tan30°=20×=20（米），∴BD=BC+CD=20+20（米）；∴大厦的高度BD为：（20+20）米；（2）∵四边形AEDC是矩形，∴AE=CD=20米．∴小敏家的高度AE为20米．【点评】此题考查了仰角与俯角的定义．注意能借助仰角与仰角构造直角三角形并解直角三角形是关键．20．我区某校为调查学生的视力变化情况，从全校九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，绘制成折线统计图和扇形统计图如下：解答下列问题：（1）该校共抽取了多少名九年级学生？（2）若该校共有1100名九年级学生，请你估计该校九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有多少人？（3）根据统计图提供的信息，谈谈你的感想（不超过30字）．【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用折线图中2014年的视力为4.9以下人数80和扇形图中的百分比40%，即可求出总人数；（2）用样本估计总体可直接求算结果；（3）谈自己的感想要结合图上数据合理阐述．【解答】解：（1）80÷40%=200（人）．答：该校共抽取了200名九年级学生；（2）1100×40%=440（人）．答：该校九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有440人；（3）合理即可．如：近视的人越来越多，要注意用眼卫生，保护眼睛．【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．21．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连结AF交CG于点K，H是AF的中点，连结CH．（1）求tan∠GFK的值；（2）求CH的长．【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；解直角三角形．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC，GF∥BE，∠G=90°，证出△ADK∽△FGK，得出比例式求出GK=DG=，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC，GF∥BE，∠G=90°，∴DG=CG﹣CD=2，AD∥GF，∴△ADK∽△FGK，∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=DG=，∴tan∠GFK===；（2）∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=AF=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．22．定义感知：若抛物线的顶点为P，与y轴的交点为Q，则称直线PQ是该抛物线的“随形线”．初步运用：判断下列伦断是否正确？正确的在题后括号内打“√”，错误“×”；1．对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”．（√）2．抛物线y=x2﹣4x+2的“随形线”是直线y=2x+2．（×）拓展延伸：若直线y=﹣3x+3是某抛物线的“随形线”，该“随形线”与y轴交于点Q，且抛物线顶点P与点Q相距2个单位长度．（1）试求该抛物线的解析式；（2）问所得到的抛物线能否经过适当的平移，才能使平移后的图象所对应的函数解析式为y=？若能，说明平移的方法；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】1．根据过抛物线的顶点与抛物线与y轴的交点有且只有一条直线，可得答案；2．根据自变量与函数值的对应关系，可得抛物线与y轴的交点，根据配方法，可得顶点坐标，根据待定系数法，可得答案；（1）根据“随形线”，可得抛物线与y轴的交点，根据交点与顶点的距离，可得顶点坐标，根据待定系数，可得函数解析式；（2）根据函数解析式中a的值相同，函数图象可平移得到，根据函数图象的平移规律，可得答案．【解答】解：1．过两点有且只有一条直线，故对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”正确，（√）2．y=x2﹣4x+2与y轴的交点坐标为（0，2）顶点坐标为（2，﹣2），抛物线y=x2﹣4x+2的“随形线”是直线y=﹣2x+2．（×）故答案为：√，×；（1）当x=0时，y=3，即点Q的坐标为（0，3）设顶点P的坐标为（m，﹣3m+3），由PQ=2，得m2+（3m﹣3+3）2=（2）2，解得m1=2，m2=﹣2，当m=2时，﹣3m+3=﹣3，即顶点P（2，﹣3）；当m=﹣2时，﹣3m+3=9，即顶点P的坐标为（﹣2，9）．当顶点（2，﹣3）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，将Q（0，3）代入函数解析式，得4a﹣3=3，解得a=，当顶点（2，﹣3）时，设抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣3；当顶点（﹣2，9）时，设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+9，将Q（0，3）代入函数解析式，得4a+9=3，解得a=﹣，当顶点（2，﹣3）时，设抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2﹣3；综上所述：抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣3或y=﹣（x﹣2）2﹣3；（2）当抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣3时，可平移得到抛物线的解析式为y=x2，y=（x﹣2）2﹣3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为y=x2；当抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2﹣3时不能平移得到抛物线的解析式为y=x2，理由如下：a不同，抛物线的开口方向不同，形状不同，平移不能使抛物线重合．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了直线的性质，待定系数求函数解析式，把抛物线的解析式设成顶点式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．图象平移的规律是：左加右减，上加下减．23．（1）问题背景如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是BD=2CE ．（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸在（2）中，如果AB=AC，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为BD=CE ．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再利用“角边角”证明△BME和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=ME，再求出∠ADB=∠M，然后利用两角的正弦列式整理可得BD=CM，从而得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据对顶角相等求出∠3=∠4，然后利用“角边角”证明△BME和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=ME，再求出∠D=∠M，然后利用两角的正弦列式整理可得BD=CM，从而得证；（3）根据（2）的求解思路解答即可．【解答】（1）解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△BME和△BCE中，，∴△BME≌△BCE（ASA），∴CE=ME，∵CE⊥BD，∠BAC=90°，∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ADB=∠M，∴sin∠ADB=sin∠M，即=，∵AB=AC，∴BD=CM，∴BD=2CE；（2）结论BD=2CE仍然成立．证明：∵BD是∠ABF的平分线，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4，在△CBE和△MBE中，，∴△CBE≌△MBE（ASA），∴CE=ME，∴CM=2CE，∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．∴∠D=∠M，∴sin∠D=sin∠M，∴=，∵AB=AC，∴B D=CM=2CE；（3）解：同（2）可得=，∵AB=AC，∴BD=CM，∴BD=CE．故答案为：（1）BD=2CE；（3）BD=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键利用锐角的正弦列式求解更简便．24．如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y 轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点E．（1）设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；（3）在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；（4）如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；（2）作EM⊥OD于M，则EM=4﹣t，由平行线得出比例式，得出PE=t，AE=t，当以EP 为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，解方程即可；（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当DP=DE=t ﹣5时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；（4）设直线AD交B B′于F，连接BB′，则AF⊥BB′，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出BF=，得出BB′=，证明△AOE∽△BOB′，得出比例式求出AE=，即可得出t的值．【解答】解：（1）∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），∴OA=4，OD=3，由勾股定理得：AD==5，①当0≤t≤4时，∵PE∥x轴，∴=，∴=，∴AE=t，∴DE=5﹣t，即y=5﹣t（0≤t≤4）；②当t＞4时，y=t﹣5（t＞4）；综上所述，y关于t的函数关系式为y=5﹣t（0≤t≤4），或y=t﹣5（t＞4）；（2）作EM⊥OD于M，如图1所示：则EM=4﹣t，∵PE∥OD，。
浙江省绍兴市上虞市2018年中考数学一模试卷(有答案)
浙江省绍兴市上虞市2018年中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．﹣5的相反数是（）A．B．5C．﹣D．﹣5【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．杭绍台城际铁路的建设，使浙江南北联通更加紧密，迎来“高铁时代”，该铁路总投资350亿元．将350亿用科学记数法表示为（）A．3.50×102B．350×108C．3.50×1010D．3.50×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．【解答】解：350亿=35000000000=3.50×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．4．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．60°【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，∴∠3=∠1=25°，∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键．5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选：C．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣5【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE ﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），AG2+BG2=AB2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，同理可得HE=2，在RT△GHE中，GH===2，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．8．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．右面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（）A．2，3B．3，3C．2，4D．3、4【分析】按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（a﹣5）=10﹣a；右手应伸出（b﹣5）个手指，未伸出的手指数为5﹣（b﹣5）=10﹣b．【解答】解：要计算7×9，左手应伸出手指：7﹣5=2（个）；右手应伸出手指：9﹣5=4（个）．故选：C．【点评】此题考查数字的变化规律．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．9．如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意分1＜x≤象．与＜x≤2两种情况，确定出y与x的关系式，即可确定出图【解答】解：当P在OC上运动时，根据题意得：sin∠APB=∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，，∴xy=1，即y=（1＜x≤），当P在此时y=上运动时，∠APB=∠AOB=45°，（＜x≤2），图象为：故选：C．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．10．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y=上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A．25B．18C．9D．9【分析】根据等边三角形的性质表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．可得：∠ODE=30∠BCD=30°，设OE=a，则OD=2a，DE=a，∴BD=OB﹣OD=10﹣2a，BC=2BD=20﹣4a，AC=AB﹣BC=4a﹣10，∴AF=AC=2a﹣5，CF=AF=（2a﹣5），OF=OA﹣AF=15﹣2a，∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．∵点C、D都在双曲线y=上（k＞0，x＞0），∴a a=（15﹣2a）×（2a﹣5），（ 当 a=5 时，DO=OB ，AC=AB ，点 C 、D 与点 B 重合，不符合题意，∴a=5 舍去．∴点 D （3，3 ），∴k=3×3故选：D ．=9．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点 D 、C 的坐标．二、填空题11．（5.00 分）分解因式：xy 2﹣4x= x （y +2）（y ﹣2） ．【分析】原式提取 x ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x （y 2﹣4）=x （y +2）（y ﹣2），故答案为：x （y +2）（y ﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（5.00 分）在平面直角坐标系中，把点 A （2，3）向左平移一个单位得到点 A'，则点 A' 关于原点对称的点 A''的坐标为 （﹣1，﹣3） ．【分析】直接利用平移的性质得出点 A'的坐标，再利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点 A （2，3）向左平移一个单位得到点 A'，∴A′ 1，3），∴点 A'关于原点对称的点 A''的坐标为：（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．【点评】此题主要考查了平移变换以及关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．13．（5.00 分）如图的七边形 ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线相交于 O 点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为40°．【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，∵五边形OAGFE内角和=（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°﹣500°=40°，故答案为：40°．【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．14．（5.00分）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．故答案为：x＜﹣1或x＞4．【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．15．（5.00分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为26．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．16．（5.00分）如图，平面直角坐标系中O是原点，OABC的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD，CE分别交OA，OB于点F，G，连结FG，则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是20；④OD=其中正确的结论是①（填写所有正确结论的序号）；E【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得：=，再由D、为OB的三等分点，则==2，可得结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③如图3，利用面积差求得：S△CFG =SOABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，∴=，∵D、E为OB的三等分点，∴∴==2，=2，∴BC=2OF，∴OA=2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH=4，CH=3，∴OC=5，∴AB=OC=5，∵A（8，0），∴OA=8，10∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论错误；③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=OB，FG∥OB，∵OB=3DE，∴FG=DE，∴=，过C作CQ⊥AB于Q，S▱OABC=OA•OH=AB•CQ，∴4×8=5CQ，∴CQ=，S S S △OCF=OF•OH=×4×4=8，△CGB=BG•CQ=××=8，△AFG=×4×2=4，∴S△CFG =S▱OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴=（）2=，∴=，∴=，∴S四边形DEGF=；111④在 Rt △OHB 中，由勾股定理得：OB 2=BH 2+OH 2，∴OB= = ，∴OD=，所以④结论错误；故本题结论正确的有：①；故答案为：①．【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，难度适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键．三、解答题（本大题共 8 小题，共 80 分）17．（8.00 分）（1）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（ ）﹣；（2）解不等式组：【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角锐角三角函数、负整数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：（1）原式=3+1﹣2×+3=6（2）由2x≥﹣9﹣x得：x≥﹣3，由5x﹣1＞3（x+1）得：x＞2∴该不等式组的解集为：x＞2【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．18．（8.00分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是1部，中位数是2部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为126度．（2）请将条形统计图补充完整；（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为．【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数，根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；（2）根据1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，即可将条形统计图补充完整；（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，∴本次调查所得数据的众数是1部，∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，∴中位数为2部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：故答案为：1，2，126；（2）条形统计图如图所示，×360°=126°；（3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P（两人选中同一名著）==．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．19．（8.00分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DOC=∠BOC，∴CD=CB=2，∵ED=1，∴sin∠ECD=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l==π．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（8.00分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BCtan75°=0.60×3.732=2.2392，∴GM=AB=2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG=，∴sin60°==，∴FG=2.17，∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．答：篮框D到地面的距离是3.05米．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．21．（10.00分）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：鲜鱼销售单价（元/kg）单位捕捞成本（元/kg）捕捞量（kg）205﹣950﹣10x（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额﹣日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？【分析】（1）由图表中的数据可知该养殖场每天的捕捞量比前一天减少10kg；（2）根据收入=捕捞量×单价﹣捕捞成本，列出函数表达式；（3）将实际转化为求函数最值问题，从而求得最大值．【解答】解：（1）根据捕捞量与天数x的关系：950﹣10x可知：该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg；（2）由题意，得y=20×（950﹣10x）﹣（5﹣）×（950﹣10x）=﹣2x2+40x+14250；（3）∵﹣2＜0，y=﹣2x2+40x+14250=﹣2（x﹣10）2+14450，又∵1≤x≤20且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，要运用图表中的信息，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．22．（12.00分）如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，矩形一定是等角线四边形（填写图形名称）；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还要满足AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形．（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D为平面内一点．①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是3+2；②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．【分析】（1）①只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；（2）①如图2中，作DE⊥AB于E．根据S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC计算，求出相关线段即可；②如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，只要证明当AC⊥BD且A、C、E共线时，四边形ABED的面积最大即可．【解答】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，∵矩形的对角线相等，∴矩形一定是等角线四边形，故答案为矩形．18理由：如图 1 中，∵M 、N 、P 、Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴PQ=MN= AC ，PN=QM= BD ，PQ ∥AC ，MQ ∥BD ，∵AC=BD ，∴MN=NP=PQ=QM ，∴四边形 MNPQ 是菱形，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=90°，∴∠3=90°，∴四边形 NMPQ 是正方形．故答案为 AC ⊥BD ．（2）①如图 2 中，作 DE ⊥AB 于 E ．在 Rt △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC= =5，∵AD=BD ，DE ⊥AB ，∴AE=BE=2，∵四边形 ABCD 是等角线四边形，∴BD=AC=AD=5，在 Rt △BDE 中，DE= = ，∴S 四边形 ABCD =S △ADE +S 梯形 DEBC=•AE•DE+•（DE+BC）•BE=×=3+2．+（+3）×2故答案为3+2．②如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G．则DH≤DQ，BG≤BQ，∵四边形ABED是等角线四边形，∴AE=BD，∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=•AE•DH+•AE•BG=•AE•（GB+DH）≤•AE•（BQ+QD），即S四边形ABED≤AE•BD，∴当G、H重合时，即BD⊥AE时，等号成立，∵AE=BD，∴S四边形ABED≤AE2，即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，∵AE≤AC+CE，∴AE≤5+1，∴AE≤6，∴AE的最大值为6，∴当A、C、E共线时，取等号，∴四边形ABED的面积的最大值为×62=18．【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆20外一定点的距离的最大值或最小值，属于中考压轴题．23．（12.00分）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5，③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S=AD•DC=AC•DQ，△ADC∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法2、如图，∵四边形ABCD和DPEF是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP=∠CDF，∵∠DGF+∠CDF=90°，∴∠EGC+∠CDF=90°，∵∠CEF+∠CGE=90°，∴∠CDF=∠FEC，∴点E，C，F，D四点共圆，∵四边形DPEF是矩形，∴点P也在此圆上，∵PE=DF，∴，∴∠ACB=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAP，∴∠DAP=∠DCF，∵∠ADP=∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法3、如图3，过点P作PM⊥BC于M交AD于N，∴∠PND=90°，∵PN∥CD，∴，∴，∴AN=，∴ND=8﹣=（10﹣）同理：PM=（10﹣）∵∠PND=90°，∴∠DPN+∠PDN=90°，∵四边形PEFD是矩形，∴∠DPE=90°，∴∠DPN+∠EPM=90°，∴∠PDN=∠EPM，∵∠PND=∠EMP=90°，∴△PND∽△EMP，∴=，∵PD=EF，DF=PE．∴，∵，∴，∵∠ADP=∠CDF，∴∵AP=∴CF==，，．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．24．（14.00分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t （s）．（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S 与t的函数关系式．【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM =S矩形OABC﹣△SCOQ﹣△SAMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．【解答】解：（1）当t=1s时，则CP=2，∵OC=3，四边形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），∵抛物线过原点O，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，∴，解得，∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+3x；（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，∴tan∠QPA==；（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴=，且BM=2AM，∴=2，解得t=3，∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；（4）当0≤t≤2时，如图3，由题意可知CP=2t，∴S=S=×2t×3=3t；△PCQ当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，同（3）可得==，∴BM=∴3﹣AM=•AM，•AM，解得AM=，∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，∵AB∥OC，∴=，即=，解得AM=，∴BM=3﹣=，∴S=S△BCM=×4×=；综上可知S=．【点评】本题为二次函数与四边形的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得P点坐标是解题的关键，在（2）中确定P、B重合是解题的关键，在（3）中由相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，在（4）中确定出P、Q的位置，从而确定出S为哪一部分图形的面积是解题的关键．本题为“运动型”问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化“动”为“静”是解这类问题的一般思路．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，情况较多，难度较大．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．﹣5的相反数是（）A．B．5C．﹣D．﹣5【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．杭绍台城际铁路的建设，使浙江南北联通更加紧密，迎来“高铁时代”，该铁路总投资350亿元．将350亿用科学记数法表示为（）.50×1011。
2021年浙江省绍兴市中考数学第一次模拟考试试卷附解析
2021年浙江省绍兴市中考数学第一次模拟考试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．张华的哥哥在西宁工作，今年“五．一”期间，她想让哥哥买几本科技书带回家，于是发短信给哥哥，可一时记不清哥哥手机号码后三位数的顺序，只记得是0，2，8三个数字，则张华一次发短信成功的概率是（ ） A ．16B ．13C ．19D ．122．反比例函数y ＝ｋｘ中，k 与x 的取值情况是（ ） A ．k ≠0，x 取全体实数 B ．x ≠0, k 取全体实数 C ．k ≠0，x ≠0D ．k 、x 都可取全体实数3．不等式组213351x x +>⎧⎨-≤⎩的解在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．不等式4(2)2(35)x x -≥-的正整数解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2 个D ．3 个5．若x 满足||xx =1，则x 应为（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．x （g ）盐溶解在 a （g ）水中，取这种盐水m （g ），含盐（ ） A ．mxa（g ） B ．amx（g ） C ．amx a+（g ） D ．mxx a+（g ） 7．7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数最多有（ ） A ．2 种可能B ．3 种可能C ．4 种可能D ．5 种可能二、填空题8．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC=5,BD 是中线，则BD= ． 9．如图，△ABC 内接于⊙O ，A 所对弧的度数为 120°．∠ABG 、∠ACB 的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，以下四个结论：①AC=12BC ；②BC=BD ；③EF= FD ；④BF=2DF. 其中一定正确的结论的序号数是 ．10．四边形ABCD是菱形，∠A=60°,对角线BD为7cm ,则这个菱形的周长是．11．如图，在△ABC和△DBC中，E，F，G，H分别是AB，DB，DC，AC的中点，AD＝3，BC＝8，则四边形EFGH的周长为．12．如图，在△ABC中，∠A=80°,BD=BE，CD=CF，则∠EDF ．13．正三角形是轴对称图形，对称轴有条．14．观察卞列算式：22318-=，225316-=，229732-=，…，请将你发现的规律用式子表示出来 .15．夏雪同学每次数学测试的成绩都是优，则在这次中考中他的数学成绩 (填“可能”或“不可能”或“必然”)是优秀.16．100位会员，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，求既懂英语又懂俄语的有人．17．方程1(1)3x x-=-的解是．三、解答题18．口袋里装有大小相同的卡片4张，且分别标有数字1，2，3，4．从口袋里抽取一张卡片不放回，再抽取一张．请你用列举法(列表或画树状图)分析并求出两次取出的卡片上的数字之和为偶数的概率．19．如图是某工件的三视图，求此工件的全面积．20．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：实验次数204060801001201401601802003的倍数的频数51317263236394955613的倍数的频率（1）完成上表；(2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？(3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？(4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？21．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心0 按逆时针方向旋转的角度约为多少呢(假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取 3. 14，结果精确到1°)？22．如图所示是某班学生一次数学考试成绩的统计图，其中纵轴表示学生数，横轴表示分数，观察图形并填空．(1)全班共有学生人；(2)若该班学生此次数学考试成绩组中值不低于70分的组为合格，则合格率为；(3)如果组中值为90的一组成绩为优良，那么该班学生此次数学考试成绩的优良率为；(4)该班此次考试的平均成绩大概是．23．近年来某市政府不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿地面积不断增加，从2004年底到2006年底城市绿地面积变化如图所示，那么绿地面积的年平均增长率是．24．下表是某市4所中学举行男子足球单循环赛的成绩登记表. 表中①与②表示的是同一场比赛，在这场比赛中一中进了 3 个球，三中进了2个球，即一中以 3：2胜三中，或者说三中以2：3 负于一中，其余依次类推. 按照比赛规则胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.(1)本次足球单循环赛共进行了几场比赛？你能排出他们的名次吗？(2)求各场比赛的平均进球数；(3)求备场比赛进球数的众数和中位数.25．某工厂有甲、乙两个相邻的长方体的水池，甲池的水均匀地流入乙池；如图，是甲、乙两个水池水的深度y（米）与水流动时间x（小时）的函数关系的图象．(1）分别求两个水池水的深度y（米）与水流动时间x（小时）的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(2）水流动几小时，两个水池的水的深度相同？26．有A B ，两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1-，2-和3-．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为()x y ，．(1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标； (2）求点Q 落在直线3y x =-上的概率．27．如图，AB ∥CD ，∠ABE=135°，∠EDC=30°，求∠BED 的度数.28．数学课上老师出了二道题：计算5433[8()4()()]2()a b a b a b a b +-++--÷+.爱好数学的小明马上举手，下面是小明同学的解题过程：5433[8()4()()]2()a b a b a b a b +-++--÷+ 5433[8()4()()]8()a b a b a b a b =+-+++÷+211()()28a b a b =+-++小亮也举起了手，说小明的解题过程不对，并指了出来. 老师肯定了小亮的回答.你知道小明错在哪儿吗？请指出来.29．求下列各式中的x：(1)30.008x=(2) 32160x+=的平方根之和30．如图，为测河宽，小丽在河对岸岸边任意选取一点A，再在河这边B处观察A，此时视线BA与河岸BD所成的夹角为600；小丽沿河岸BD向前走了50米到CA与河岸BD所成的夹角为450.根据小丽提供的信息能测出河宽吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.（结果精确到1米）【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．Ａ2．C3．C4．B5．Ａ6．D7．C二、填空题8．3359．③10．28 cm 11．1112．50°13．314．22(21)(21)8n n n +--=（n 为正整数）15．可能16．6817．14x =三、解答题 18．解法一：列表∴P （和为偶数）41123== 方法二：画树状图：∴P（和为偶数）41123==．19．π)101(100+cm 2 ．20．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31； (2）0.31； (3）0.31； (4）0.321．旋转的角度约为：018010573.1410⨯≈⨯22．3(4,3)2(4,2)1(4,1)4(3,4)2(3,2)1(3,1)4(2,4)3(2,3)1(2,1)4(1,4)3(1,3)2(1,2)4321(1)40；(2)85％；(3)40％；(4)70分23．10%24．(1)6场比赛，二中是第一名，一中是第二名，三中是第三名，四中是第四名； (2)各场比赛的进球数为1，5，2，2，3，5． ∴平均进球数16x =⨯（1+5+2+2+3+5）=3(个)；(3)各场比赛进球数的众数2个和5个，中位数为2．5个．25．（1）甲(：432+-=x y （0≤x ≤6），乙：231+=x y （0≤x ≤6）；（2）2小时． 26．（1）用列表或画树状图的方法求点Q 的坐标有(11)-，，(12)-，，(13)-，，(21)-，，(22)-，，(23)-，．(2）“点Q 落在直线3y x =-上”记为事件A ，所以21()63P A ==， 即点Q 落在直线3y x =-上的概率为13． 27．75°28．第一处应是(33()()a b a b --=-+，第二处错在332()8()a b a b +≠+29．(1)x=0.2 (2)x=-630．能测出河宽．过点A 作 AE ⊥BC ，垂足为E ，设河宽为X 米, 在Rt △AEB 中，tan ∠ABE=BEAE ，∴BE =ABE AE∠tan =x 33在Rt △AEC 中, ∵∠ACE=45°，∴EC=AE=x,∵ BE + EC =BC ， ∴33x+x=50，∴ x ≈32(米) 答：河宽约为 32 米．。
浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷(含解析)
浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷（含解析）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列备选答案的四个数中，最大的一个是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．据国家统计局公告，2015年我国国内生产总值达到67.7亿元，将数67700000000000用科学记数法表示应为（）A．6.77×1012B．67.7×1012C．6.77×1013D．67.7×10133．计算（2a2b）2的正确结果是（）A．4a2b B．2a4b2 C．4a4b2 D．2a4b4．如图是由四个大小相同的正方体搭成的几何体，则它的主视图是（）A． B．C．D．5．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（）A．B．C．D．6．分式方程=1的解为（）A．1 B．2 C．D．07．下表记录了小敏等四名学生五次数学测验成绩的平均数与方差：衡量指标小敏小芳小聪小明平均数90 85 90 85方差 3 3 10 12根据表中数据，要从中挑选一名成绩好又比较稳定的同学参加我区的数学头脑运动会，你认为应该选（）A．小明 B．小芳 C．小聪 D．小敏8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80° B．100°C．60° D．40°9．平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，直线y=﹣x+7和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，则落在图中阴影部分（不包含边界）内的整点个数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510．我区A，B，C，D，E五校学生足球队参加区级足球邀请赛，五位同学对比赛结果进行了预测，每人预测两个名次如下：甲预测：B校第2名，A校第3名；乙预测：D校第2名，E校第4名；丙预测：E校第1名，C校第5名；丁预测，D校第3名，C校第4名；戊预测：A校第2名，B校第5名．结果表明每人都是恰好猜对了一个名次，并且每一个名次都有一人猜对，则实际比赛各校足球队的名次为（）A．学校 A B C D E名次 1 4 3 5 2B．学校 A B C D E名次 5 3 4 1 2C．学校 A B C D E名次 3 5 4 2 1D．学校 A B C D E名次 3 5 2 4 1二、填空题（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）11．分解因式：x2﹣4= ．12．如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，则直线a与b的位置关系是．13．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= ．14．已知AB是⊙O的弦，用直尺和圆规作以AB为边的圆内接等腰三角形，若这样的三角形恰好能作两个，则AB：OA= ．15．如图，矩形ABCD的两个顶点A，B在坐标轴上，AD：AB=1：2，且A（﹣2，0），∠BAO=60°，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过该矩形的顶点，则k= ．16．学校两幢教学楼之间有一块三角形地带，将其划分为三个区域：一块菱形和两块三角形．菱形作为花坛，两个三角形内铺上草皮，两幢教学楼的夹角为120°，其余尺寸如图所示，则菱形花坛的面积为m2．三、解答题（本大题共有8小题，共80分）17．计算：（﹣1）0﹣sin30°﹣（﹣）﹣2；（2）解不等式：3（1﹣x）＜2（1+2x）．18．小敏乘动车从甲地出发经过乙地前往丙地，图1是甲、乙、丙三地的位置示意图．动车匀速行驶，图2是动车离乙地路程y（千米）与行驶时间x（小时）时间的函数关系图象．（1）填空：甲、丙两地距离为千米．（2）求动车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．19．我区某校数学兴趣小组在本校学生中开展了以“垃圾分类知多少”为主题的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为四个等级：“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并根据调查所得到的结果绘制了如下不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果，估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．20．为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1m，现计划在旧楼正南方45m处建一幢新楼．已知该市冬天中午12时阳光从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为30°，问新楼房最高可建多少米？21．边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E．（1）求点C的坐标；（2）过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为α，试求tanα的值．22．定义感知：我们把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”．如图所示的抛物线y1=x2+2x+2与y2=x2﹣2x+2是一对“孪生抛物线”，其“共点”为点A．初步运用：（1）判断下列论断是否正确？正确的在题后横线上打“√”，错误的则打“×”：①“孪生抛物线”的“共点”不能分布在x轴上．②“孪生抛物线”y=（x﹣2）2﹣9与y=（x+2）2﹣9的“共点”坐标为（0，5）．（2）填空：抛物线y=﹣2x2﹣4x+5的“孪生抛物线”的解析式为．延伸拓展：在平面直角坐标系中，记“孪生抛物线”的两顶点分别为M，M′，且MM′=4，其“共点”A 与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，试求该“孪生抛物线”的解析式．23．如图，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点，连结AE交对角线BD于点P，过点P作PF ⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA=PF．小明给出了以下证明思路：过点P作PM⊥AB于点N，只要证△PAM≌△PFN即可得证．请你帮小明完成证明过程．（2）过点F作FQ⊥BD于点Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请你写出线段AB，BF，BP之间满足的数量关系，不必说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点A作∠OAB=45°，在角的一边上截取AB=3，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，D在线段BC上，且BD=OA=，E，F分别是线段OA，AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．（1）填空：点D的坐标为；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系式；（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF边折叠，得到△A′EF，试求折叠后点A′的坐标．2016年浙江省绍兴市上虞区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列备选答案的四个数中，最大的一个是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【考点】有理数大小比较．【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【解答】解：∵﹣3＜﹣＜＜3，∴最大的一个是3，故选：B．【点评】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是熟记两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．2．据国家统计局公告，2015年我国国内生产总值达到67.7亿元，将数67700000000000用科学记数法表示应为（）A．6.77×1012B．67.7×1012C．6.77×1013D．67.7×1013【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将67700000000000用科学记数法表示为：6.77×1013．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．计算（2a2b）2的正确结果是（）A．4a2b B．2a4b2 C．4a4b2 D．2a4b【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，即可解答．【解答】解：（2a2b）2=4a4b2．故选：C．【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方公式．4．如图是由四个大小相同的正方体搭成的几何体，则它的主视图是（）A． B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黄球的概率．【解答】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是==，故选B．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．分式方程=1的解为（）A．1 B．2 C．D．0【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣3x=x﹣2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故选A．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．下表记录了小敏等四名学生五次数学测验成绩的平均数与方差：衡量指标小敏小芳小聪小明平均数90 85 90 85方差 3 3 10 12根据表中数据，要从中挑选一名成绩好又比较稳定的同学参加我区的数学头脑运动会，你认为应该选（）A．小明 B．小芳 C．小聪 D．小敏【考点】方差．【分析】根据方差越小成绩越稳定进行解答即可．【解答】解：因为小敏和小芳的方差小，且小敏的平均数大，所以挑选一名成绩好又比较稳定的同学应该是小敏，故选D【点评】此题考查方差问题，关键是根据方差越小成绩越稳定进行解答．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80° B．100°C．60° D．40°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°﹣140°=40°．∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．9．平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，直线y=﹣x+7和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，则落在图中阴影部分（不包含边界）内的整点个数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据题意，首先确定双曲线与直线的方程的交点，进而由图象可得阴影部分即直线下方与双曲线上方的部分；依次找x=1到6之间，横、纵坐标都是整数的点，可得答案．【解答】解：根据题意，易得双曲线与直线均过点（1，6）与（6，1），阴影部分即直线下方与双曲线上方的部分，易得当x=1时，y1=6，y2=6，其格点为（1，6），当x=2时，y1=5，y2=3，其格点为（2，3）与（2，4）（2，5），当x=3时，y1=4，y2=2，其格点为（3，4），（3，2），（3，3），当x=4时，y1=3，y2=，其格点为（4，3）（4，2），当x=5时，y1=2，y2=，格点有（5，2），当x=6时，格点为（6，1）．故落在图中阴影部分（不包含边界）内的整点个数有（2，4），（3，3），（4，2），故选B．【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，同学们要注意对各个知识点的灵活应用．10．我区A，B，C，D，E五校学生足球队参加区级足球邀请赛，五位同学对比赛结果进行了预测，每人预测两个名次如下：甲预测：B校第2名，A校第3名；乙预测：D校第2名，E校第4名；丙预测：E校第1名，C校第5名；丁预测，D校第3名，C校第4名；戊预测：A校第2名，B校第5名．结果表明每人都是恰好猜对了一个名次，并且每一个名次都有一人猜对，则实际比赛各校足球队的名次为（）A．学校 A B C D E名次 1 4 3 5 2B．学校 A B C D E名次 5 3 4 1 2C．学校 A B C D E名次 3 5 4 2 1D．学校 A B C D E名次 3 5 2 4 1【考点】推理与论证．【分析】直接假设甲预测的B校与A校名次分别正确，进而与其他人预测的对比进而得出各校名次．【解答】解：设甲预测：B校第2名，正确，A校第3名错误；则戊预测：A校第2名正确，B校第5名错误，出现矛盾，故假设不成立，故甲预测：B校第2名，错误，A校第3名正确，则戊预测：A校第2名错误，B校第5名正确，故丙预测：E校第1名正确，C校第5名错误；乙预测：D校第2名正确，E校第4名错误；丁预测，D校第3名错误，C校第4名正确；综上所述：A校第3名，B校第5名，C校第4名，D校第2名，E校第1名，故选：C．【点评】此题主要考查了推理与论证，解题关键是每人都是恰好猜对了一个名次，并且每一个名次都有一人猜对．二、填空题（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）11．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．12．如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，则直线a与b的位置关系是平行．【考点】平行线的判定；三角形的外角性质．【分析】先根据三角形外角性质，求得∠4=75°，再根据∠1=75°，即可得到∠1=∠4，进而判定a ∥b．【解答】解：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角，∴∠4=∠3+∠2=75°，又∵∠1=75°，∴∠1=∠4，∴a∥b．故答案为：平行．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．13．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= 90°．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【解答】解：∵∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°．故答案为：90°．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．14．已知AB是⊙O的弦，用直尺和圆规作以AB为边的圆内接等腰三角形，若这样的三角形恰好能作两个，则AB：OA= 2：1或：1 ．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】计算题．【分析】分类讨论：当以AB为底边作一个等边△ACB和等腰△AC′B时，如图1，作OH⊥AB于H，利用垂径定理得到AH=BH，再利用点O为等边△ACB的内心得到∠OAH=30°，则根据余弦的定义可求出=，所以AB：OA=：1；当以AB为底边作两个等腰Rt△ACB和Rt△AC′B时，如图2，根据圆周角定理得到AB为直径，于是有AB：OA=2：1．【解答】解：当以AB为底边作一个等边△ACB和等腰△AC′B时，如图1，作OH⊥AB于H，则AH=BH，点O为等边△ACB的内心，∠OAH=30°，在Rt△OAH中，∵cos∠OAH==cos30°=，∴AB：OA=：1；当以AB为底边作两个等腰Rt△ACB和Rt△AC′B时，如图2，因为∠C=∠C′=90°，所以AB为直径，所以AB：OA=2：1．故答案为2：1或：1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是画出几何图形．15．如图，矩形ABCD的两个顶点A，B在坐标轴上，AD：AB=1：2，且A（﹣2，0），∠BAO=60°，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过该矩形的顶点，则k= ﹣2﹣或﹣6﹣．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，再由A（﹣2，0），∠BAO=60°可知∠ABO=30°，故可得出AB的长，再由AD：AB=1：2求出AD的长，根据直角三角形的性质求出AE及DE的长可得出D点坐标，同理可得出C点坐标，再分函数的图象过C点与过D点两种情况讨论即可．【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵A（﹣2，0），∠BAO=60°，∴OA=2，∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，OB=AB•cos30°=4×=2．∵AD：AB=1：2，∴AD=2．∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠DAE=30°，∴DE=AD=1，AE=AD•cos30°=2×=．∴D（﹣2﹣，1）；在Rt△BCF中，∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠CBF=60°，∴BF=BC•cos60°=2×=1，CF=BC•sin60°=2×=，∴C（﹣，1+2），∴当反比例函数经过C点时，k=﹣×（1+2）=﹣6﹣；当反比例函数经过D点时，k=﹣2﹣．故答案为：﹣2﹣或﹣6﹣．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．16．学校两幢教学楼之间有一块三角形地带，将其划分为三个区域：一块菱形和两块三角形．菱形作为花坛，两个三角形内铺上草皮，两幢教学楼的夹角为120°，其余尺寸如图所示，则菱形花坛的面积为m2．【考点】菱形的性质．【分析】如图，设菱形AEDF的边长为6k，作BM⊥CA交CA的延长线于M，利用平行线的性质求出BE、CF（用k表示），在RT△ABM中，利用30°性质用k表示AM、BM，在RT△BCM中利用勾股定理求出k即可解决问题．【解答】解：如图，设菱形AEDF的边长为6k，作BM⊥CA交CA的延长线于M．∵DE∥AC，DF∥AB，∴===， ==，∴BE=4k，CF=9k，AB=10k，AC=15k，在RT△ABM中，∵∠M=90°，AB=10k，∠MAB=60°，∴∠ABM=30°，∴AM=AB=5k，BM=5k，在RT△BCM中，∵BM2+CM2=BC2，∴75k2+400k2=10000，∴k=（负根已经舍弃），∵四边形AEDF是菱形，∠EAF=120°，∴AE=ED=DF=AF，∠DAE=∠DAF=60°，∴△AED，△ADF都是等边三角形，∴S菱形AEDF=2•S△ADE=2××AE2=×（6×）2=．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共有8小题，共80分）17．（1）计算：（﹣1）0﹣sin30°﹣（﹣）﹣2；（2）解不等式：3（1﹣x）＜2（1+2x）．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣4=﹣3；（2）去括号得：3﹣3x＜2+4x，移项合并得：7x＞1，解得：x＞．【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．小敏乘动车从甲地出发经过乙地前往丙地，图1是甲、乙、丙三地的位置示意图．动车匀速行驶，图2是动车离乙地路程y（千米）与行驶时间x（小时）时间的函数关系图象．（1）填空：甲、丙两地距离为1050 千米．（2）求动车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：900+150=1050（千米）；（2）分两种情况：当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为：y=kx+b，把（0，900），（3，0）代入得到方程组，即可解答；根据确定高速列车的速度为300（千米/小时），从而确定点A的坐标为（3.5，150），当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为：y=k1x+b1，把（3，0），（3.5，150）代入得到方程组，即可解答．【解答】解：（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：900+150=1050（千米）．故答案为：1050．（2）当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为：y=kx+b，把（0，900），（3，0）代入得：，解得：，∴y=﹣300x+900，高速列车的速度为：900÷3=300（千米/小时），150÷300=0.5（小时），3+0.5=3.5（小时）如图2，点A的坐标为（3.5，150）当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为：y=k1x+b1，把（3，0），（3.5，150）代入得：，解得：，∴y=300x﹣900，∴y=．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式．19．我区某校数学兴趣小组在本校学生中开展了以“垃圾分类知多少”为主题的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为四个等级：“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并根据调查所得到的结果绘制了如下不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果，估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据基本了解的人数是36，所占的百分比是18%，据此即可求得总人数；（2）利用总人数减去其它组的人数即可求得比较了解的人数，从而补全直方图；（3）利用总人数1500乘以对应的百分比即可求得．【解答】解：（1）本次被调查的学生人数是36÷18%=200（人）．答：本次被调查的学生人数是200人；（2）比较了解的人数是200﹣40﹣36﹣4=120（人）．；（3）比较了解垃圾分类的人数是1500×=900（人）．答：这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数是900人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1m，现计划在旧楼正南方45m处建一幢新楼．已知该市冬天中午12时阳光从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为30°，问新楼房最高可建多少米？【考点】解直角三角形的应用．【分析】过点D作DE⊥AB，可得四边形BCDE是矩形，知BC=DE=45m，CD=BE=1m，在RT△ADE中AE=tan30°•DE求出AE的长，由AB=AE+EB可得答案．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB与点E，在RT△ADE中，∠ADE=30°，DE=BC=45m，则AE=tan30°•DE=×45=15，而EB=DC=1m，∴AB=AE+EB=15+1，答：新楼房最高可建（15+1）米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用．注意能根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是解此题的关键．21．边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E．（1）求点C的坐标；（2）过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为α，试求tanα的值．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，得到AB=CD=2，由点A的横坐标为1，得到OA=1，于是得到结论；（2）过D作DH⊥OC于H，根据相似三角形的性质得到，求出AE=，得到DE=，根据勾股定理得到CE==，根据三角形的面积得到DH==，根据勾股定理得到OD==，OH==，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=CD=2，∵点A的横坐标为1，∴OA=1，∴OB=3，∴C（3，2）；（2）过D作DH⊥OC于H，∵AD∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴，即，∴AE=，∴DE=，∴CE==，∴DH==，在Rt△ADO中，OD==，∴OH==，∴tanα==．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．22．定义感知：我们把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”．如图所示的抛物线y1=x2+2x+2与y2=x2﹣2x+2是一对“孪生抛物线”，其“共点”为点A．初步运用：（1）判断下列论断是否正确？正确的在题后横线上打“√”，错误的则打“×”：①“孪生抛物线”的“共点”不能分布在x轴上．×②“孪生抛物线”y=（x﹣2）2﹣9与y=（x+2）2﹣9的“共点”坐标为（0，5）．√（2）填空：抛物线y=﹣2x2﹣4x+5的“孪生抛物线”的解析式为y=﹣2x2﹣4x+5 ．延伸拓展：在平面直角坐标系中，记“孪生抛物线”的两顶点分别为M，M′，且MM′=4，其“共点”A 与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，试求该“孪生抛物线”的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】初步运用：（1）由“孪生抛物线”的意义判断即可，它们的共点在y轴，求出其坐标；（2）由“孪生抛物线”的顶点关于y轴对称，所以把解析式化成顶点式，求出其“孪生抛物线”；延伸拓展：由于其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，①开口向上时，求出M（﹣2，3），M′（2，3），A（0，6），设出“孪生抛物线”把共点A（0，6）代入即可，②开口向下时，求出M（﹣2，﹣3），M′（2，﹣3），A（0，﹣6），设出“孪生抛物线”把共点A（0，﹣6）代入即可．【解答】解：初步运用：（1）①∵把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”．∴“孪生抛物线”的“共点”能分布在x轴上，②∵交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”，∴“孪生抛物线”的“共点”在y轴上，②“孪生抛物线”y=（x﹣2）2﹣9与y=（x+2）2﹣9∴令x=0，y=5，∴共点（0，5）故答案为×，√（2）∵抛物线y=﹣2x2﹣4x+5=﹣2（x2+2x）+5=﹣2（x+1）2+7，∴它的“孪生抛物线”为y=﹣2（x﹣1）2+7=﹣2（x2﹣2x+1）+7=﹣2x2+4x+5，故答案为y=﹣2x2﹣4x+5；延伸拓展：由题意得，“孪生抛物线”有下面两种情况：①当“孪生抛物线”的开口向上时，如图1所示，∵由于其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，∴MM′×OA=12，∴OA=6，∴M（﹣2，3），M′（2，3），A（0，6），由此可设“孪生抛物线”的解析式为：y=a（x+2）2+3与y=a（x﹣2）2+3，∵点A（0，6）在“孪生抛物线”的图象上，∴6=a×22+3，∴a=，∴“孪生抛物线”的解析式为：y=（x+2）2+3与y=（x﹣2）2+3；②当“孪生抛物线”的开口向下时，如图2所示，∵由于其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，∴MM′×OA=12，∴OA=6，∴M（﹣2，﹣3），M′（2，﹣3），A（0，﹣6），由此可设“孪生抛物线”的解析式为：y=a（x+2）2﹣3与y=a（x﹣2）2﹣3，∵点A（0，﹣6）在“孪生抛物线”的图象上，∴﹣6=a×22+3，∴a=﹣，∴“孪生抛物线”的解析式为：y=﹣（x+2）2+3与y=﹣（x﹣2）2+3；【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义的理解和掌握，二次函数的性质，解决二次函数的方法一样，解本题的关键是掌握“孪生抛物线”的定义．23．如图，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点，连结AE交对角线BD于点P，过点P作PF ⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA=PF．小明给出了以下证明思路：过点P作PM⊥AB于点N，只要证△PAM≌△PFN即可得证．请你帮小明完成证明过程．（2）过点F作FQ⊥BD于点Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请你写出线段AB，BF，BP之间满足的数量关系，不必说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）连结PC，由正方形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP，然后依据SAS证明△APB≌△CPB，由全等三角形的性质可知PA=PC，∠PCB=∠PAB，接下来利用四边形的内角和为360°可证明∠PFC=∠PCF，于是得到PF=PC，故此可证明PF=PA．。