最短路径问题--教学设计

13.4课题学习最短路径问题

张龙乡第一初级中学

王玉

最短路径问题

教学内容解析：

本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：

1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题

2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学生学情分析：

1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学策略分析：

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。

教学条件分析:

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、几何画板，ppt

教学过程：

二探究新知1.探究一：

【故事引入】：唐朝诗人李颀在

《古从军行》中写道：“白日登

山望峰火，黄昏饮马傍交河．”

诗中就隐含着一个有趣的数学

问题，古时候有位将军，每天

从军营回家，都要经过一条笔

直的小河。而将军的马每天要

到河边喝水，那么问题来了，

问题：怎样走才能使总路程最

短呢？

认真读题，仔细思考。

将实际问题中的“地点”

“河”抽象为数学中的

“点”“线”，把实际问题

抽象线段和最小问题。

从异侧问题入

手，由简到难，

逐步深入。

二探究新知2.探究二：

【变换情境】：后来将军把家搬

到了河的对面，若还是要带马

先到河边喝水，然后再回家，

应该怎样走，才能使总路程最

短呢？

（1）【转化】：你能将实际问题

抽象为数学问题吗？

（2）【展示】：

让学生猜想，并画出图形。

巡视发现学生不同的作法（尽

可能多），分别展示各小组的作

法。

给予学生一定的提示。

【回答】：学生思考并回

答，如何将实际问题转化

为数学问题。

已知：直线L和同侧两点

A、B

求作：直线L上一点C，

使C满足AC+BC的值最

小。

【学生展示】：

作法1：

作法2：：

学生主动探

索，充分发挥

学生的主动

性。

展示多种方

法，产生思维

冲突，引发学

生进一步探究

的学习欲望。

（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。作法3：

【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC ＝BC。不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的。

二探究新知3.解决问题

【追问】用第3种作法的同学，

你们是怎样想到作点B关于直

线L的对称点的？为什么要作

对称点？

如果做点B关于直线L的

对称点，就是把点B移到

了另一侧，而且满足了BC

＝BC’。其实直线L上所

有点到B和B’的距离都

相等。

也可是根据垂直平分线

的性质，L就是线段BB’

的垂直平分线，而垂直平

分线上的点到线段两个

端点的距离相等。

利用轴对称将同侧线段

和最短转化为异侧线段

和最短问题。借助轴对

称，把折线转化为线段的

长来求解。

让学生进一步

体会做法的正

确性，提高逻

辑思维能力。

让学生在反思

的过程中，体

会轴对称的作

用，感悟转化

思想，丰富数

学活动经验。