中考数学总复习 基础讲练 第4讲 二次根式(含答案点拨) 新人教版
2024中考数学一轮复习专题精练专题04 二次根式(学生版)
知识点01：二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。
（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。
（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知识点02：同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。
知识点03：二次根式混合运算与化简求值【高频考点精讲】1．二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
3．二次根式的运算结果要化为最简二次根式。
四、二次根式的应用【高频考点精讲】二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。
检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.61一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•西宁）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．×＝C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．|m|＝m5．（2分）（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（2分）（2023•内蒙古）下列运算正确的是（）A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6C．+＝D．÷＝9．（2分）（2021•荆门）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．＝xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）计算的结果是．12．（2分）（2022•济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（2分）（2021•哈尔滨）计算﹣2的结果是．14．（2分）（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为．15．（2分）（2023•池州模拟）要使式子有意义，则x的取值范围为．16．（2分）（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．17．（2分）（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）18．（2分）（2023•临汾模拟）计算：＝．19．（2分）（2023•锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为．20．（2分）（2023•大同模拟）计算（）（）的结果等于．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•陕西）计算：．22．（6分）（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．23．（8分）（2023•龙岩模拟）（1）计算：；（2）解不等式组：．24．（8分）（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）25．（8分）（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023•晋城模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．＝，＝＝＝3+像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．任务：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）写出下列式子分母有理化的结果：①＝；②＝．（3）计算：+……+．27．（8分）（2023•晋城模拟）问题：先化简，再求值：2a+，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+……（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+＝6+＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．28．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：（1）；（2）．。
第4讲二次根式及其运算(讲义)(原卷版)-2024年浙江中考数学一轮复习
第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。
中考数学复习 知识讲解+例题解析+强化训练(二次根式)
中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练（二次根式）二次根式◆知识讲解1．二次根式a≥0）叫做二次根式．2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质）2=a（a≥0）；│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6．二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．◆例题解析例1填空题：（1其中是二次根式的是_________（填序号）．（2有意义，则x 的取值范围是_______．（3）实数a ，b ，c a －b │．o【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．（2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │－a ，－│a －b │=a －ba －b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A BC（2）在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)（3）已知a>b>0，的值为（ ）A ．2 B ．2 C D ．12【解答】（1A 错．3，B 正确．||b =│a ， ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ． （2）选C ．（3）∵a>b>0）2）2=a+b－=421,22===，故选A．例3（2006，辽宁十一市）先化简，再求值：11()ba b b a a b++++，其中，【解答】原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++当，．◆强化训练一、填空题1．（2007，福州）当x______在实数范围内有意义．2．已知0<x<1=______．3．已知最简二次根式b a=______，b=_______．4．（2008，长沙）已知a，b为两个连续整数，且<b，则a+b=______．5．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0________．6．（2006，内蒙古）已知a－1，a+1）（b－1）=_______．7===，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：(200620062005++++1）=________．二、选择题8．（2006，四川南充）已知a<02a│可化简为（）A．－a B．a C．－3a D．3aob a 9．已知xy>0，化简二次根式） A..C D 10，甲，乙两位同学的解法如下=====甲乙对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ） A ．甲，乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确 C ．甲，乙都不正确 D ．甲不正确，乙正确11．若的小数部分是a ，3的小数部分为b ，则a+b 等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±112．如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b │ 的结果等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a13．若a=3a 2－6a －2的值为（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．3 14．若ab ≠0=成立的条件是（ ） A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<015．（2007，连云港）已知m ，n 是两个连续自然数（m<n ），且q=mn ，设p （ ） A ．总是奇数 B ．总是偶数C ．有时是奇数，有时是偶数D ．有时是有理数，有时是无理数 三、解答题16．计算：（1）（2008）。
中考数学一轮复习第4讲二次根式专题精练及答案.doc
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】第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5 B．43－27＝1 C ．18÷2＝9 D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间 二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 012的值是__________． 7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y＝__________. 9．当－1＜x ＜3时，化简：x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 14 －13 12、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 13、若 5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1b= 。
四、中考链接14．（乳山）计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.15．（福州）计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案一、夯实基础1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62. 4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间． 二、能力提升6．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 7．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．三、课外拓展8．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.9．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 10．x ＞3 11.> > 12.6 13.－ 5 四、中考链接14．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 15．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
(带答案)人教版初中数学二次根式基础知识点归纳总结
（带答案）人教版初中数学二次根式基础知识点归纳总结（文末附答案）单选题1、下列二次根式中能与2√3合并的是（ ）A ．√8B ．√13C ．√18D ．√92、在根式√2，√75，√150，√127，√15中，与√3是同类二次根式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、使得式子√4−x 有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x≥4B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4 4、计算：(3√48−2√27)÷√3=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．85、√2的相反数是【 】A ．√2B ．√22C ．−√2D ．−√22 6、若|x 2﹣4x+4|与√2x −y −3互为相反数，则x+y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．97、如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）cm 2A ．16−8√3B ．−12+8√3C ．8−4√3D ．4−2√38、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2A．16−8√3B．−12+8√3C．8−4√3D．4−2√3填空题9、观察下列各式：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．10、计算√23×(√8+√2)的结果是________．11、当_____时，式子√x−3√5−x12、计算√27−6√13的结果是_____．13、若x满足|2017-x|+ √x-2018 =x，则x-20172=________ 解答题14、阅读下列解题过程：√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3；…则：（1）化简：√10+√9（2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子√n+√n−1＝；（3）利用这一规律计算：(√2+1√3+√2√4+√3+⋯√2020+√2019)(√2020+1)的值．15、已知a，b，c满足|a−√8|+√b−5+(c−√18)2=0．（1）求a、b、c的值（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．（带答案）人教版初中数学二次根式_018参考答案1、答案：B解析：先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．A 、√8＝2√2，不能与2√3合并，故该选项错误；B 、√13=√33能与2√3合并，故该选项正确；C 、√18＝3√2不能与2√3合并，故该选项错误；D 、√9＝3不能与2√3合并，错误；故选B ．小提示：本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2、答案：B解析：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，继而可得出答案．∵√75=5√3，√150=√210，√127=√39，故与√3是同类二次根式的有：√75，√127，共2个,故选B.小提示：本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握同类二次根式是化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．3、答案：D解析：直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．有意义，则：4﹣x＞0，解：使得式子√4−x解得：x＜4即x的取值范围是：x＜4故选D．小提示：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4、答案：C解析：先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可．原式=(12√3−6√3)÷√3=6√3÷√3=6．故选C．小提示：本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．5、答案：C解析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此√2的相反数是−√2．故选C．6、答案：A解析：根据题意得:|x2–4x+4|+√2x−y−3=0，所以|x2–4x+4|=0，√2x−y−3=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．7、答案：B解析：先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD的长与宽，再利用长方形ABCD 的面积减去两个正方形的面积即可得．面积为16cm2的正方形纸片的边长为√16=4(cm)，则CD=4cm，面积为12cm2的正方形纸片的边长为√12=2√3(cm)，则BC=(4+2√3)cm，因此，图中空白部分面积为BC⋅CD−16−12=16+8√3−16−12=8√3−12(cm2)，故选：B．小提示：本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．8、答案：B解析：先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD的长与宽，再利用长方形ABCD的面积减去两个正方形的面积即可得．面积为16cm2的正方形纸片的边长为√16=4(cm)，则CD=4cm，面积为12cm2的正方形纸片的边长为√12=2√3(cm)，则BC=(4+2√3)cm，因此，图中空白部分面积为BC⋅CD−16−12=16+8√3−16−12=8√3−12(cm2)，故选：B．小提示：本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．9、答案：√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)解析：观察分析可得√1+13=(1+1)√11+2，√2+14=(2+1)√12+2，√3+15=(3+1)√13+2，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)解：根据题意得：√1+13=(1+1)√11+2，√2+14=(2+1)√12+2，√3+15=(3+1)√13+2，……，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)．所以答案是：√n+1n+2=(n+1)√1n+2(n≥1)小提示：本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．10、答案：2解析：利用二次根式的乘除法则运算．解：原式=√23×√8+√23×√2=√2×83+√2×23=43+23=2.故答案是：2.小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．11、答案：3≤x ＜5．解析：根据二次根式和分式的意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．根据题意，得：{x −3≥05−x ＞0，解得：3≤x ＜5． 小提示：本题考查了的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．12、答案：√3．解析：解：原式=3√3﹣6×√3=3√3﹣2√3=√3．3故答案为√3．13、答案：2018解析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程√x-2018 =2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．解：由条件知，x-2018≥0，所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ √x-2018 =x，即√x-2018 =2017，所以x-2018=20172，所以x-20172=2018，所以答案是：2018．小提示：本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x的取值范围是解题的关键．14、答案：（1）√10−3；（2）√n−√n−1；（3）2019．解析：（1）可分母有理化也可利用上面的规律；（2）可分母有理化也可利用上面的规律；（3）先根据已知得到(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)(√2020+1)，合并后根据平方差公式即可求解．解：（1）√10+√9=√10−√9(√10+√9)(√10−√9)=√10−√9=√10−3，（2）原式＝√n−√n−1(√n+√n−1)(√n−√n−1)＝√n−√n−1n−(n−1)＝√n−√n−1所以答案是：√n−√n−1（3）(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)(√2020+1)＝（(√2020−1)(√2020+1)＝2020﹣1＝2019．小提示：本题主要考查了分母有理化的应用、平方差公式、二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类，理解题意找到规律是解题关键．15、答案：（1）a=2√2，b=5，c=3√2；（2）能，5+5√2解析：（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；（2）根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．解：（1）由题意得：a−√8=0，b−5=0，c−√18=0，解得：a=√8=2√2，b=5，c=√18=3√2．（2）根据三角形的三边关系可知，a、b、c能构成三角形此时三角形的周长为a+b+c=2√2+5+3√2=5+5√2．小提示：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．11。
中考数学(人教版)总复习 课件：第4课时 二次根式
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
答案:1
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
答案:-1≤x<2
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
答案:B
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
解析:(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式,C选项中的被 开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故B 选项正确;
考点四 二次根式的运算
1.二次根式的加减法 合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式 化为最简二次根式后,若有同类二次根式,则 可把同类二次根式合 并成一个
答案:A 答案:B
考点梳理 自主测试
基础自主导学
答案:C 答案:12 答案:11
命题点5 二次根式的非负性
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
规律方法探究
第4课时 二次根式
考点梳理 自主测试
基础自主导学
考点梳理 自主测试
基础自主导学
考点三 最简二次根式、同类二次根式
1.最简二次根式的概念:我们把满足被开方数不含分母,被开方数 中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.
人教版初中数学二次根式知识点总复习附答案
8a6
1 4
a2
= 32a4
，故此选项错误；
C． 3a1 3 ，故此选项错误； a
2
D． 2 3a2 3a 3a2 4a2 4a 1 ，正确．
故选 D．
18．下列根式中属最简二次根式的是（
A． a2 1
【答案】A 【解析】
B． 1 2
）
C． 8
1
D．
2
试题分析：最简二次根式是指无法进行化简的二次根式.A、无法化简；B、原式= ；C、
7 11 11 = 11 ，此选项正确； 11 7
C、 75 15 3 =（5 3 - 15 ）÷ 3 =5- 5 ，此选项错误；
D、 1 18 3 8 = 2 2 2 2 ，此选项错误；
3
9
故选 B
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.
人教版初中数学二次根式知识点总复习附答案
一、选择题 1．一次函数 y mx n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 (m n)2 n2 所得的
结果是( )
A． m
B． m
C． 2m n
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得﹣m＜0，n＜0，再进行化简即可．
【详解】
∵一次函数 y＝﹣mx+n 的图象经过第二、三、四象限，
的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋ ( a b )2 的结果是（ ）
A．2a+b
B．-2a+b
C．b
D．2a-b
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数轴得出 a 0 ， a b 0 ，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．
2024年中考数学一轮复习考点04 二次根式(精讲)(解析版)25
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
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考纲要求命题趋势1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a)2＝a(a≥0)．2．能用二次根式的性质a2＝|a|来化简根式．3．能识别最简二次根式、同类二次根式．4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.知识梳理一、二次根式1．概念形如________的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件要使二次根式a有意义，则a≥0.二、二次根式的性质1．(a)2＝a(______)．2．a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a≥0，a<0.3．ab＝______(a≥0，b≥0)．4．ab＝______(a≥0，b＞0)．三、最简二次根式、同类二次根式1．概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．四、二次根式的运算1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a·b＝____(a≥0，b≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a≥0，b＞0)．自主测试1．使3x－1有意义的x的取值范围是( )A．x＞13B．x＞－13C．x≥13D．x≥－132．已知y＝2x－5＋5－2x－3，则2xy的值为( )A．－15 B．15 C．－152D．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A ．18B ．27C ．23D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝65．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间6．化简：27－12＋43.考点一、二次根式有意义的条件【例1】若使x ＋12－x有意义，则x 的取值范围是________．解析：x ＋1与2－x 都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x 不能为零，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x >0，解得－1≤x ＜2.答案：－1≤x ＜2方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．触类旁通1 要使式子a ＋2a有意义，则a 的取值范围为__________．考点二、二次根式的性质 【例2】把二次根式a－1a化简后，结果正确的是( )A ．－aB ．－－aC ．－aD ．a解析：要使a －1a 有意义，必须－1a＞0，即a ＜0.所以a－1a＝a－a a 2＝a －a－a＝－－a . 答案：B方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．触类旁通2 如果2a －12＝1－2a ，则( )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12考点三、最简二次根式与同类二次根式【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．2x 2B ．b 2＋1 C ．4a D ．1x(2)在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( )A ．2aB ．3a 2C ．a 3D ．a 4解析：(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C 选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D 选项中的被开方数中含有分母，故B 选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a 2＝3|a |，a 3＝a a ，a 4＝a 2，结合同类二次根式的概念，可得出a 3与a 是同类二次根式．答案：(1)B (2)C方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．触类旁通3 若最简二次根式a ＋b3a 与a ＋2b 是同类二次根式，则ab ＝__________. 考点四、二次根式的运算【例4】计算：(50－8)÷ 2.解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3. 方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x －4有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ≤22．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间3．(2012浙江杭州)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×(－221)，则有( )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－54．(2012广东)若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 012的值是__________．5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)1．下列各式计算正确的是( )A ．2＋3＝ 5B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－ 52．估计8×12＋3的运算结果在( ) A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 3．若a ＜1，化简a －12－1等于( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a4．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112的值是( )A ．2 011B ．2 010C ．2 012D ．2 0095．计算212－613＋8的结果是( )A ．32－2 3B ．5－ 2C ．5－ 3D ．2 26．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y＝__________. 7．当－1＜x ＜3时，化简：x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.8．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．9．计算：(－3)0＋12×3＝__________.10．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－23－(π－2)0＋|－1|.11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2 .参考答案导学必备知识 自主测试1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62.4．D25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间．6．解：原式＝33－23＋233＝⎝⎛⎭⎪⎫3－2＋233＝533.探究考点方法触类旁通1．a ≥－2且a ≠0 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a ≠0，解得a ≥－2且a ≠0.触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，所以1－2a ≥0，解得a ≤12，故选B.触类旁通3．1 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，3a ＝a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴ab ＝1.品鉴经典考题1．C 因为二次根式有意义，则2x －4≥0，所以x ≥2.2．B 因为面积是15，则边长为15，则边长大小在3与4之间．3．A m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×(－221)＝233×21＝23×37＝27＝28，∵25＜28＜36，∴5＜28＜6，即5＜m ＜6，故选A.4．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 5．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．研习预测试题 1．C A 项中2与3不是同类二次根式，B 项中2与2不是同类二次根式，C 项中32－2＝(3－1)2＝22，D 项中原式＝124－104＝3－52＝3－102.2．C 原式＝2＋3，1＜3＜2，所以3＜2＋3＜4.3．D (a －1)2－1＝|a －1|－1＝1－a －1＝－a .4．C 由算术平方根的意义知，a ≥2 012，则2 011－a ＜0， ∴a －2 011＋a －2 012＝a .∴a －2 012＝2 011.∴a －2 012＝2 0112，∴a －2 0112＝2 012.5．A 原式＝2×22－6×33＋22＝2－23＋22＝32－2 3.6．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2012＝1.7．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 8．x ＞39．解：原式＝1＋23×3＝1＋6＝7. 10．解：原式＝3－23－1＋1＝－ 3.11．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 12．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.。