第二章水静力学-slx(a)
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水力学 水静力学 水静力学
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
第二章水静力学
n
= p • D Ax
p =
n n
•
1 2
Dy
•
Dz
代入第一式
F F F px pncos(n, x) x =0 则：
1 2
Dy
Dz
px
1 2
Dy
Dz
pn
1 6
Dx Dy
Dz
fx
=
0
整理后,有
px
pn
1 Dx
3
fx
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
0 因此：
△h
G
z1
2p 2
z2
0
h
G
p
0
（a）
（b）
圆柱上表面的静水压力 F1 = p1DA
圆柱下表面的静水压力 F2 = p2DA
小水柱体的重力
G = gDADh
力的平衡方程 p2DA p1DA gDADh = 0
p 0 ▽
h1 h2
△h
p
11
G
z1
2p 2
z2
0
（a）
p 0 ▽
h
G
p
0 （b）
单位重量的液体在某点所具有的位置势能（单位位
能）：
z1
=
mgz1 mg
z 的能量意义是单位重量液体所具有的位置势能，
称为单位位能。
pa
p1 g
h12
1
z1
pa
p2 g
z2
0
0
Z Fpy
D Fpn Fpx
z
A y CBOFpzYX
相应面上的总压力为
第二章 水静力学
静水压强及其特性
重力作用下静水压强的分布规律 测量压强的仪器 作用在平面上的静水总压力 作用在曲面上的静水总压力
第五节 本章练习
第一节 静水压强及其特性
一、静水压强的定义
静水压力：静止液体作用在与之接触的表面上的 水压力。单位：N或KN。 作用在固体边界 或液体内部
p2
p p3 p1
p’
p=p’
移去液体作用在 △ω上 的总 作用力
P0<pa
pNabs p0 h 68.6 9.8 2 88.2KPa
h
N点的相对压强 p p Nabs pa 88.2 98 9.8KPa N点的真空值
pv pa p Nabs 98 88.2 9.8KPa
N M
pM
思考：水深也为h的容器边壁上的点M有效力为多大， 方向如何？
平面静水压强分布图示例一
pa A pa
A
h
h
Pa+γ h
B
γh
B
绝对压强分布图
相对压强分布图
平面静水压强分布图示例二
A h1 h1 h2 γh1- γh2 γ h1 B γ h2 γ h2 A
γ h1 γ h1
B
h2
C
两侧受水的平面
折线型受压平面
平面静水压强分布图示例三
A
油
水
B
两种液体
自由液面确定
Px dpx
2 x
PZ dpZ
2 z
P P P
z
dpx dp dpz
计算内容
静水总压力水平分力 静水总压力垂直分力
一水平分力的大小
o x E dpx θ F B dp dpz dp dpz F
2第二章 水静力学
Байду номын сангаас
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
水力学-第二章水静力学
在压强的变化。
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1
dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
47
水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
11
作用 点…… 记住了 吗？ ？
13
水力学 液体平衡的全微分方程 2.
Xdx Ydy Zdz
第 二 章 水 静 力 学
3、等压面
1
dp
Xdx Ydy Zdz 0
W X x W Y y W Z z
力势函数
W W W dx dy dz dp x y z
p g (
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0 则得
Ｃ＝p0
p p 0 g (
则
r
2 2
2g
z)
47
水力学
静水总压力Static Surface Forces
第 二 章 水 静 力 学
平面压力Forces on plane areas
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
pr pabs pa
真空压强
pv pa pabs
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
p 3、 z C 的物理意义和几何意义 g
第 二 章 水 静 力 学
p dxdydz Xdxdydz 0 x
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
11
作用 点…… 记住了 吗？ ？
第二章水静力学
解法二：首先将两侧的压强 分布图叠加，直接求总压力
(h2 h1 ) ( gh1 gh2 ) 2
h1
e
h2
FP b
b 117.6kN
方向向右
F1 1b
1 2
g (h1 h2 ).( h1 h2 )b 39.2 KN
F2 2 b g (h1 h2 )h2 b 78.4KN
z p
g
c
z
p0
pA
Z——位置水头，单位位能。
p
g
单位压能。 g ——压强水头，
z p
g
——测压管水头，单位势能。
A
Z
静止液体内各点的测压管水头等于常数。 静止液体内各点的单位势能相等。
y
11
x
Transportation College, Southeast University
•敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
p z pn
当dx、dy、dz均→0时
p x p y p z pn
5
Transportation College, Southeast University
三、液体平衡微分方程式
形心点A的压强为p ( x, y, z ) 表面力（以X轴方向为例）： ρfxdxdydz p dx 质量力： (p ) dydz ρfydxdydz x 2 ρfzdxdydz 依平衡条件： 则
2 2 合力对任一轴的力矩等于各分力对 该轴力矩的代数和。 FP FP左 FP右 156.8 39.2 117.6kN 方向向右→
gh2 h2b
2 1
依力矩定理：
FP e FP左
第2章水静力学
+13598×9.8×0.3-9.8×800×0.2 +13598×9.8×0.25-9.8×1000×0.6 =67805.2（Pa）=67.8(KPa)
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
第二章 水静力学
例题图示
第二章 水静力学
二、静水压强分布图
根据静水力学基本方程及静水压 强的两个特性，可用带箭头的直线表 示压强的方向，用直线的长度表示压 强的大小，将作用面上的静水压强分 布规律形象而直观地画出来。
w
FP pc w
w w
依力矩定理， P yD y dP y gy sin dw g sin y 2 dw
2 2 I I y y dw 其中 为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为 x c c w
整理可得静水总压力的压心位置： yD yc
dP ghdw gy sin dw
P dP gy sin dw
w w
P dP
O （b） α h C dw M（x,y） C D YC
hc
D
g sin ydw
w
y
x
其中 为平面对Ox轴的面积矩 P g sin yc w ghc w 所以静水总压力的大小为
1 0.1 12h 6
得
4 h m 3
第二章 水静力学
【例题】一垂直放置的圆形平板闸
门如图所示，已知闸门半径R=1m， 形心在水下的淹没深度hc=8m，试用 解析法计算作用于闸门上的静水总压 力。 解：
R4pc w ghc R2 9.8 8 12 246kN
水静力学的主要内容
§2-1 静水压强 §2-2 静水压强的分布规律 §2-3 作用在平面上的静水总压力 §2-4 作用在曲面上的静水总压力
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压强
A
A点相 对压强
大气压强 pa
相对压强基准
A点绝 对压强
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
水力学
3、 z
p
第 二 章 水 静 力 学
g
C
的物理意义和几何意义
单位重量液体的总势能或测压管水头 为常数 z 位置水头——位能—— p 压强水头——压能—— g 测压管水头——总势能 p
水力学
第 二 章 水 静 力 学
第二章
水 静 力 学 (hydrostatics)
1
水力学
2.1 静水压强及其特性
第 二 章 水 静 力 学
1 静水压强
静水压强就是单位面积上的静水压力。
p lim P / A
A 0
2
水力学
2.
静水压强的特性
第 二 章 水 静 力 学
(1).静水压强的方向垂直指向作用面。
水力学
2.5 作用于平面上的静水总压力
第 二 章 水 静 力 学
解析法: 适用于置于水中任意方位和任意形
状的平面。
1、水平面静水压力的计算
P ghA
49
水力学 2、任意平面静水压力的计算
（1）.静水总压力的大小 第 二 章 水 静 力 学
水力学
静水总压力的大小
第 二 章 水 静 力 学
x
yc A
利用惯性矩平行移轴定理：
I x I c yc A
2
54
水力学
将此定理代入上式可最后得出yD
第 二 章 水 静 力 学
yD Ic ycA
2
yc A
yc
Ic yc A
55
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
第 二 章 水 静 力 学
则总压力 P 的水平分力Px 等于各微
小面积上水平分力dPX的总和，即
67
水力学
Px
dP
x
ghdA
Ax
x
x
g
hdA
Ax
x
第 二 章 水 静 力 学
式中：
Ax
hdA
hc A x
为曲面在铅
垂平面上的投影面积Ax 对y轴的静矩。
这样x方向的总压力为
Px= ρghcAx
（1）压强表示：应力表示、大气压倍数 表示、液柱表示 应力 Pa、kPa；液柱高； 大气压强 h （2）大气压强 1个标准大气压=101.3千帕=10.33米水柱 =760毫米汞柱
p
g
水力学
相对压强
第 二 章 水 静 力 学
p r p abs p a
真空压强
p v p a p abs
作用于液体中任意一点A的质量力有重力: G=mg 和水平径向方向的离心惯性力： F=mω2r。 单位质量力在三个坐标上的投影为
X=ω2rcosθ= ω2x，Y= ω2rsinθ= ω2y，
Z=-g
44
水力学
第 二 章 水 静 力 学
45
水力学
将以上三式代入
第 二 章 水 静 力 学
dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)
第 二 章 水 静 力 学
表示静水压强沿受压面分布情况的 几何图形称为静水压强分布图。
在工程中只需计算相对压强，所以
这里只绘制相对压强分布图。
按照 p =ρgh 绘制
图2.14,2.15,2.16,2.17等
34
水力学
第 二 章 水 静 力 学
水力学
2.4 重力和惯性力同时作用下的液体平衡
第 二 章 水 静 力 学
求: P , 作用点位置 , F
a
b
例2-5 水力学 解：
第 二 章 水 静 力 学
P gh c A g ( H
yD yc I cx yc A
h 2
y
) ab
H
water hinge P F
q
h
sin q
yc H sin q
h 2a
a 2 aH h
I cx
68
水力学
总压力P 的铅垂分力Pz等于各微小面
第 二 章 水 静 力 学
积上铅垂分力dPz的总合，即
Pz
dP
z
ghdA
Az
z
g
hdA
Az
z
gV
式中： hdA
Az
z
V
为压力体的体积
69
水力学
压力体是由以下面组成：
第 二 章 水 静 力 学
曲面本身；
通过曲面周界的铅垂面；
11
水力学
Euler 液体平衡微分方程: 第 二 1 p 章
X
Y
水 静 力 学
x
1 p
0
y
1 p
0
(1 )
Z
z
0
12
水力学
上式为液体的平衡微分方程式。又称
第 二 章 水 静 力 学
为欧拉平衡微分方程。 它反映了在静止液体内部，若在某一
方向上有质量力存在，那一方向就一定存
第 二 章 水 静 力 学
总压力P 等于该平面形心点c 的压强 pc
与平面面积 A的乘积。
（2）. 静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
52
水力学
静水总压力的作用点
第 二 章 水 静 力 学
静水总压力P 的作用点称为压力中 心，以D表示。为了确定D的位置，必 须求其坐标xD和yD。 用理论力学中的合力矩定理求坐标
(p
) dydz ( p
0
p x
dxdydz
X dxdydz
0
10
水力学
以ρdxdydz 除以上式各项，并化简，
第 二 章 水 静 力 学
得x方向的液体平衡微分方程。同 理可得出其他两个方向的液体平衡微分 方程
（Differential equation of liquid equilibrium)。
水力学
•U 型测压管
第 二 章 水 静 力 学
p A g m hm g a
水力学
•差压计
第 二 章 水 静 力 学
p A pB gz B g m hm g ( z A hm )
水力学
7、静水压强分布图(Pressure distribution diagram)
压力表达方式。
8
水力学
质量力
第 二 章 水 静 力 学
六面体中液体质量为ρdxdydz。在
三个坐标轴上的投影为X，Y，Z。则x方向
的质量力为
Xρdxdydz
9
水力学
根据液体平衡条件，合力为零。 x方向的
第 二 章 水 静 力 学
平衡微分方程为
p dx x 2 p dx x 2 ) dydz X dxdydz
用压力图法较为方便。
压力的大小、方向和作用点
其大小为： P =Ωb
式中: Ω为压强分布图的面积;b为作用面的宽度。
62
水力学
矩形平面上静水总压力 P 的作用线
第 二 章 水 静 力 学
通过压强分布体的重心。（也就是矩形 半宽处的压强分布图的形心），垂直指 向作用面，作用线与矩形平面的交点就 是压心D。
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水力学
2.6
第 二 章 水 静 力 学
作用于曲面上的静水总压力
首先分析作用于具有水平母线的二
向曲面上的静水总压力。
66
水力学
静水总压力的大小
第 二 章 水 静 力 学
对dP先进行分解，它在x,y轴方向上 的分力为 dPX=ρghdAcosα= ρghdAx dPz=ρghdAsinα= ρghdAz
是水平面这一结论，只能适用于互相连
通的同一种液体。
例图2.8、2.9、2.12、2.13
24
水力学
p p0 gh
第 二 章 水 静 力 学
水力学 6. 测压原理
•测压管
第 二 章 水 静 力 学
水力学
• 倾斜测压管
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A α
p A gh gl sin
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水力学
第 二 章 水 静 力 学
6
水力学
第 二 章 水 静 力 学
以x方向为例
表面力 周围液体作用于六面体的六个面上 的压力是表面力。AB 和CD面上的压力
分别为
7
水力学
第 二 章 水 静 力 学
(p
p dx x 2 p dx x 2
)dydz
(p
)dydz
同理，也可写出作用在其它四个面上的
a
a b
3
4
a h (2 H h)
a
yD yc
ah 4(2 H h)
F
P ( yD yc a ) 2a
g ( 8 H 5 h ) ab / 16
b
水力学
2.矩形平面静水压力——压力图法
第 二 章 水 静 力 学
求上、下边与水面平行的矩形平面 上的静水总压力及其作用点的位置，采
自由液面或其延续面。 (分步画法,例一，例二，例三，例四)
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水力学
静水总压力的方向
第 二 章 水 静 力 学
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水力学
例：对三角形的压强分布图