正比例与反比例知识重难点
《正反比例及如何判断正反比例》教案
二、核心素养目标
《正反比例及如何判断正反比例》核心素养目标：
1.培养学生运用数学语言描述现实生活中成正比例和反比例关系的量，增强数学表达与交流能力。
2.培养学生通过观察、分析、比较、归纳等思维方法，提高解决问题的策略选择和问题解决能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调比值和乘积这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正反比例相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。如调整两个相关联的量的变化，观察它们的比值或乘积是否一定。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正反比例在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-理解比值与乘积的概念：学生对比值和乘积的理解可能不够深入，需要通过具体实例进行解释。
-正反比例的辨识：区分两种量之间的关系是正比例还是反比例，尤实际问题时，如何将问题抽象成正反比例模型：学生可能难以从实际问题中提取关键信息，构建成正反比例的数学模型。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正反比例及如何判断正反比例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过一种量变化，另一种量也跟着变化的情况？”（如：购物时，商品数量与总价的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正反比例的奥秘。
正比例与反比例-正比例教案
正比例与反比例－正比例教案一、教学目标：1. 让学生理解正比例的概念，掌握正比例的基本特征。
2. 培养学生运用正比例解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正比例的性质。
二、教学内容：1. 正比例的定义2. 正比例的基本特征3. 正比例的应用三、教学重点与难点：1. 重点：正比例的概念及其应用。
2. 难点：正比例在实际问题中的运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究正比例的性质。
2. 运用实例分析法，让学生在实际问题中体验正比例的应用。
3. 采用合作学习法，培养学生与他人交流、合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：利用生活中的实例，如“行驶的汽车速度与时间的关系”，引导学生思考正比例的概念。
2. 新课讲解：讲解正比例的定义，通过示例让学生理解正比例的基本特征。
3. 课堂互动：设计一些有关正比例的问题，让学生进行小组讨论，共同解决问题。
4. 练习巩固：布置一些有关正比例的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
5. 拓展应用：提供一些实际问题，让学生运用正比例的知识解决。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正比例的概念及其应用。
7. 作业布置：布置一些有关正比例的作业，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估：1. 通过课堂问答、练习题和小组讨论，评估学生对正比例概念的理解程度。
2. 关注学生在实际问题中运用正比例的能力，以及他们解决问题的策略。
3. 收集学生作业，分析其对正比例知识的掌握和应用情况。
七、教学反馈：1. 根据学生的课堂表现和作业情况，及时给予反馈，指出优点和不足。
2. 鼓励学生在课堂上积极提问，解答他们的疑惑。
3. 针对学生的共性问题，进行有针对性的辅导。
八、教学调整：1. 根据学生的学习进度和掌握情况，调整教学计划和教学方法。
2. 增加一些富有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
3. 对于学习有困难的学生，提供额外的辅导和支持。
正比例和反比例复习课公开课教案教学设计
正比例和反比例复习课公开课教案教学设计一、教学目标：1. 让学生理解和掌握正比例和反比例的定义和性质。
2. 培养学生运用正比例和反比例解决问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的理解和运用能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 正比例和反比例的定义和性质。
2. 正比例和反比例的应用问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：正比例和反比例的定义和性质，正比例和反比例的应用问题。
2. 难点：正比例和反比例的证明和应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解正比例和反比例的定义和性质，引导学生理解和掌握。
2. 采用案例分析法，分析正比例和反比例的应用问题，培养学生运用正比例和反比例解决问题的能力。
3. 利用多媒体课件，展示正比例和反比例的图示和案例，增强学生的直观感受和理解。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引出正比例和反比例的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解正比例和反比例的定义和性质，引导学生理解和掌握。
3. 案例分析：分析正比例和反比例的应用问题，培养学生运用正比例和反比例解决问题的能力。
4. 练习与讨论：学生进行练习，教师进行点评和解答，引导学生深入理解和掌握正比例和反比例的知识。
5. 总结与拓展：总结正比例和反比例的主要内容和性质，提出拓展问题，激发学生的思考和探索欲望。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对正比例和反比例定义的理解程度。
2. 练习题：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握和运用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决问题，评估学生的合作能力和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 多媒体课件：制作正比例和反比例的课件，包括图文并茂的讲解和案例分析。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，包括不同难度和类型的题目，以满足不同学生的需求。
3. 教学参考资料：收集正比例和反比例的相关资料，以备教师在教学中参考。
八、教学时间安排：1. 导入和讲解：20分钟2. 案例分析：20分钟3. 练习与讨论：15分钟4. 总结与拓展：10分钟5. 课堂问答和评估：5分钟九、教学注意事项：1. 关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握正比例和反比例的知识。
正比例与反比例-反比例教案
正比例与反比例－反比例教案一、教学目标：1. 让学生理解反比例的概念，掌握反比例的定义和性质。
2. 能够判断两个量是否成反比例，并能运用反比例解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 反比例的定义：如果两个量的乘积是一个常数，这两个量就成反比例。
2. 反比例的性质：当一个反比例关系的两个量增大时，另一个量会减小；当一个反比例关系的两个量减小时，另一个量会增大。
3. 判断两个量是否成反比例的方法：观察两个量的乘积是否是一个常数。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：反比例的定义和性质，判断两个量是否成反比例的方法。
2. 教学难点：理解反比例的概念，判断两个量是否成反比例。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳反比例的性质。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解反比例的概念。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学步骤：1. 引入新课：通过展示一个实例，引导学生思考两个量之间的关系。
2. 讲解反比例的定义：解释反比例的概念，让学生理解反比例的内涵。
3. 分析反比例的性质：通过示例，引导学生观察、分析反比例的性质。
4. 判断两个量是否成反比例：教授判断方法，让学生学会如何判断两个量是否成反比例。
5. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题。
7. 布置作业：布置一些有关反比例的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学活动：1. 实例分析：提供一些实际问题，让学生运用反比例知识解决，如化学反应中物质的浓度与时间的关系等。
2. 小组讨论：让学生分组讨论反比例在实际问题中的应用，分享解题过程和心得。
3. 课堂演示：教师通过演示实验或动画，直观地展示反比例关系，加深学生对反比例概念的理解。
七、教学评估：1. 课堂问答：教师通过提问，检查学生对反比例概念的理解程度。
2. 练习题：布置不同难度的练习题，评估学生对反比例知识的掌握情况。
六年级数学下册正比例和反比例复习教案苏教版
六年级数学下册正比例和反比例复习教案苏教版一、教学目标：1. 知识与技能：使学生理解和掌握正比例、反比例的概念及它们的区别和联系；能正确判断两个相关联的量之间成什么比例；能灵活运用比例知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生运用比例知识解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识、创新精神和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 正比例和反比例的概念。
2. 判断两个相关联的量之间成什么比例。
3. 比例知识的运用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：理解和掌握正比例、反比例的概念及它们的区别和联系；能正确判断两个相关联的量之间成什么比例；能灵活运用比例知识解决实际问题。
2. 教学难点：比例知识的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：复习导入，回顾正比例和反比例的概念及判断方法。
2. 自主学习：学生自主完成教材中的练习题，巩固正比例和反比例的知识。
3. 合作交流：学生分组讨论，分享彼此在解决问题时的方法和经验。
4. 教师讲解：针对学生自主学习和合作交流中的问题，进行讲解和指导。
5. 练习巩固：学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。
五、课后作业：1. 完成教材中的课后练习题。
2. 运用比例知识解决生活中的实际问题，并将解题过程和答案写在作业本上。
3. 总结本节课的学习收获，写在课后反思中。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查课后作业的完成情况，评估学生对正比例和反比例知识的掌握程度。
3. 实践应用评价：评估学生在解决实际问题时的比例知识运用能力。
七、教学拓展：1. 比例在生活中的应用：引导学生关注生活中的比例现象，如购物时的折扣、体育比赛中的得分等，培养学生运用比例知识分析问题的习惯。
2. 比例与其他数学知识的联系：探讨比例与方程、几何等数学知识之间的联系，提高学生的数学素养。
《正比例、反比例复习课》教案
《正比例、反比例复习课》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握正比例和反比例的概念，能够辨识生活中的正比例和反比例关系，运用正比例和反比例的知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过对比、归纳、总结等方法，使学生系统地掌握正比例和反比例的性质和特点，提高学生的数学思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。
二、教学内容1. 正比例和反比例的概念。
2. 正比例和反比例的性质和特点。
3. 正比例和反比例在生活中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正比例和反比例的概念，正比例和反比例的性质和特点。
2. 教学难点：正比例和反比例在生活中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过对比、归纳、总结等方法，自主探究正比例和反比例的性质和特点。
2. 利用生活中的实例，让学生体会正比例和反比例的实际应用，提高学生的实际问题解决能力。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的实例，引导学生回顾正比例和反比例的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：学生自主探究正比例和反比例的性质和特点，教师给予必要的指导。
3. 课堂讲解：教师讲解正比例和反比例的概念，引导学生通过对比、归纳、总结等方法，掌握正比例和反比例的性质和特点。
4. 实例分析：教师展示生活中的实例，引导学生运用正比例和反比例的知识解决实际问题。
5. 小组讨论：学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解决问题的方法。
6. 课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置相关的练习题，巩固所学知识，提高学生的实际问题解决能力。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：评估学生课后作业的完成质量，检查学生对正比例和反比例概念的理解和应用能力。
正比例和反比例复习课公开课教案教学设计
正比例和反比例复习课公开课教案教学设计一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握正比例和反比例的概念，能够辨识生活中的正比例和反比例关系，运用比例知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过复习和练习，提高学生对正比例和反比例的理解，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极主动参与学习的习惯，增强学生的团队协作意识。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：正比例和反比例的概念及辨识，比例在实际问题中的应用。
2. 教学难点：正比例和反比例关系的判断，比例在复杂问题中的运用。
三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲授法、讨论法、练习法、案例分析法等。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、练习纸等。
四、教学过程：1. 导入新课：通过一个生活中的实例，如“购物时发现商品打折，原价与现价之间的关系”，引发学生对正比例和反比例的兴趣。
2. 知识回顾：回顾正比例和反比例的概念，引导学生通过自己的语言解释这两个概念。
3. 案例分析：给出一些生活中的实例，让学生判断其属于正比例还是反比例关系，并进行解析。
4. 练习环节：设计一些练习题，让学生独立完成，检验其对正比例和反比例的理解。
5. 总结提升：对本节课的主要内容进行总结，强调正比例和反比例在生活中的应用。
五、课后作业：1. 请学生总结正比例和反比例的概念及辨识方法。
2. 设计一道生活中的正比例或反比例问题，并求解。
3. 反思本节课的学习过程，总结自己的收获和不足。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，了解学生的学习态度和兴趣。
2. 练习完成情况评价：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对正比例和反比例知识的理解和应用能力。
3. 学生自我评价：鼓励学生在课后反思中总结自己的学习成果和不足，培养学生的自我评价和自我调整能力。
七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括教学内容的设计是否合适、教学方法是否有效、学生的反应如何等，以便对今后的教学进行改进和调整。
七年级数学正比例和反比例北师大版大庆知识精讲
七年级数学正比例和反比例北师大版（某某【本讲教育信息】一. 教学内容：正比例和反比例：1. 变化的量2. 正比例3. 画一画二. 重点、难点：1. 初步认识正比例的意义、掌握正比例意义的变化规律．2. 会判断成正比例关系的量．3. 进一步培养观察、分析、概括的能力．理解正比例的意义，掌握正比例变化的规律．例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表．表中有几种量？是什么？表中有两种量，时间和路程．路程是怎样随着时间变化的？时间1小时，路程是60千米；2小时，路程为120千米；3小时，路程为180千米……像这样：一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就叫做两种相关联的量．它们之间是怎样变化的？时间由1小时变2小时，路程由60千米变为120千米……时间扩大了，路程也随着扩大，路程随着时间的变化而变化．现在我们从后往前看，时间由8小时变为7小时、6小时、4小时……路程又是如何变化的？路程由480千米变为420千米、360千米……从上面变化的情况，你发现了什么样的规律？时间从小到大，路程也随着从小到大变化；时间从大到小，路程也随着从大到小变化．时间扩大了，所行的路程也随着扩大；时间缩小了，所行的路程也随着缩短了．我们对这种变化规律简称为“同扩同缩”．根据时间和路程可以求出什么？可以求出速度．这个速度是谁与谁的比？它们的结果又叫什么？这个速度是路程和时间的比，它们的结果是比值．这个60实际是什么？变化了吗？路程和时间的比值，也是路程和时间的商，速度不变．行驶多少千米，速度都是60千米，这个速度是一定的，是固定不变的量，我们简称为定量．谁是定量时，两种相关联的量同扩同缩？速度一定时，时间和路程同扩同缩． 时间和路程是两种相关联的量，路程是随着时间的变化而变化的：时间扩大，路程也随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小．扩大和缩小的规律是：路程和时间的比的比值总是一样的．例2 某种花布的米数和总价如下表：按题目要求回答下列问题 （1）表中有哪两种量？（2）谁和谁是相关联的量？关系式是什么？ （3）总价是怎样随着米数变化的？ （4）相对应的总价和米数的比各是多少？ （5）谁是定量？（6）它们的变化规律是什么？比较一下两个例题，它们有什么共同点？都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果表中第一种量用x 表示，第二种量用y 表示，定量用k 表示，用字母表示成正比例的两种相关联的量与定量的关系生：k xy（一定）． 日常生活和生产中有很多相关联的量，有的成正比例关系，有的是相关联，但不成比例关系．所以判断两种相关联的量是否成正比例关系，要抓住相对应的两个量是否商（比值）一定，只有商（比值）一定时，才能成正比例关系．（1）苹果的单价一定，买苹果的数量和总价（ ）． （2）每小时织布米数一定，织布总米数和时间（ ）． （3）小明的年龄和体重（ ）．什么叫正比例关系解两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．判断两种关联的量成正比例时，必须强调两种相关联的量中相对应的两个数的商应该一定．单价和总价成正比例．（）解（×）单价和总价成正比例必须是在数量一定的情况下．三角形的高一定，底和面积成正比例．（）解（√）三. 具体内容：1. 说出下列每组数量之间的关系．（1）速度时间路程（2）单价数量总价（3）工作效率工作时间工作总量下列题里有哪两种相关联的量?这两种量成不成正比例?为什么?一种苹果，买5千克要10元．照这样计算，买15千克要30元．正比例的意义判断下面每题中的两种量是成正比例还是成反比例．1. 单价一定，数量和总价．2. 路程一定，速度和时间．3. 正方形的边长和它的面积．4. 时间一定，工效和工作总量．在学习了正比例的意义后，练习中有这样一道题：身高和年龄成正比例吗？根据正比例的意义很容易地判断出：身高和年龄不成正比例．因为人到了一定年龄就不长高啦．但有同学会提出：为什么有的同学长的高高的，而有的总长不高啊？老师为大家正确理解了正比例的意义并能灵活运用感到高兴，但老师更为这位同学敢于提问高兴，是啊，虽然身高和年龄不成正比例，但有怎样的关系呢？讨论一下：爸爸妈妈长的高，孩子也长的高；小时侯营养好，所以长的高；有的说我喜欢运动，所以长的高．课外补充：资料一：一般来讲，个子高的父母生的孩子也是高个，个子矮的父母生的孩子也是矮个，但是遗传对身高的影响不超过80%，据统计，孩子的身高，从父亲那里遗传35%，从母亲那里遗传35%，剩下的30%决定于环境，与这个数字相应，高个子的父母生下的孩子70%的概率是高个，相反，矮个子的父母生下的孩子70%的概率是矮个．还有一种说法是孩子长的高还是矮，比较而言与母亲的身高关系更密切一些．资料二：利用儿童生长发育的规律性，结合遗传和环境多方面的影响，可以通过各种公式来对儿童成年后的身高进行预测．人体身高的生长具有很大的稳定性，在相同的环境情况下，身高的遗传度可高达0.75，就是说身高75%取决于遗传，仅25%取决于后天的努力．不过，遗传只能决定身高生长的潜力，但此种潜力能否得到正确发挥则有赖于各种外界环境条件如营养、锻炼、疾病防治、生活规律、心理，目前较成熟的预测公式有：儿子成年身高（cm）等于：[（父身高＋母身高）/2]×1.08女儿成年身高（cm）等于：（父身高×0.923＋母身高）/2决定身高的因素很多啊，你们还有30%的努力机会啊！【典型例题】比和比例，学习更多数学知识的重要基础．有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多．三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题．一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比．．解：设甲的周长是1．甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC的高相等，它们的底边的比AB∶CD＝三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积＝（10－7）∶（7×2）＝3∶14.答：AB∶CD＝3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.求2大杯、3中杯、4小杯容量之和与5大杯、4中杯、3小杯容量之和的比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2＝10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3＝（10×2＋4×3＋3×4）∶（10×5＋4×4＋3×3）＝44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你求连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙＝3∶5，乙∶丙＝7∶4，3∶5＝3×7∶5×7＝21∶35，7∶4＝7×5∶4×5＝35∶20，甲∶乙∶丙＝21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙＝2×16∶3×16∶3×2＝32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 解：设甲的长度是6份.那么甲在墙外的部分是2)321(6＝-⨯∶x ＝5∶4.516x =乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5＝30∶25. 甲∶乙∶丙＝30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时. 甲乙两地之间的公路长多少千米？1. 学生利用以前的方法独立解答. 140÷2×5＝70×5＝350（千米）2. 利用比例的知识解答.（1）思考：涉及三种量，哪种量是一定的？ 行驶的路程和时间成什么比例关系？ 速度一定，路程和时间成正比例 解：设甲乙两地间的公路长x 千米.2140＝5x2x ＝140×5 x ＝350答：甲乙两地之间的公路长350千米. 变式练习一辆汽车2小时行驶140千米，甲乙两地之间的公路长350千米，照这样的速度，从甲地到乙地需要行驶多少小时？解：设：从甲地到乙地需要行y 小时 y 3502140y ＝5【模拟试题】（答题时间：20分钟）1.甲、乙、丙三种糖果每千克售价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？2. 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是32，原来的分数是多少？3. 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？4. 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是： 甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1， 那么丙组有多少名男会员？5. 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？【试题答案】1. 解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克的平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙＝15∶11∶10.平均数是（15＋11＋10）÷3＝12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.2. 解：新的分数，分子与分母之和是（10＋23＋32），而分子与分母之比2∶3. 解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是：700×3＝2100分钟＝35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时. 这是三个数量按比例分配的典型例题. 4. 解：甲组的人数是100÷2＝50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56－24＝32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔的脚数”是32，5. 解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比. 上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1＋2＋3）＝6（倍）.如果上坡用的时间是4份，全x ：350＝（4＋5＋6）：24。
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正比例与反比例知识重难点
（1）正比例与反比例一般针对于带字母的等式、文字题、应用题、及有关周长、面积、体积的公式（绝对不存在具体的数字）；而本章前面学的比例只针对比例的意义所学到的如何判断两个比或四个数是否能组成比例，如果有未知的再解比例与正比例反比例撇清。
（2）正比例：
@相关量的两个量，一个量扩大或缩小几倍，另一个量也跟着扩大或缩小相同的倍数，它们两个（仅仅2个）的商（比值）不变。
两个变量，一个定量，两个变量有直接的除法关系，所产生的商不变。
@成正比例的两个量，它们所形成的图像是“/”（一撇）。
@给许多组数据，先看看已知的几组它们的商是否一样，如果一样，分清这两个数哪个是被除数，哪个是除数，再求出商，求被除数，商乘以除数；求除数，被除数除以商。
@用语言描述正比例：因为两个变量相除，也就是针对题目列出除法算式即a÷b=c(一定），所以这两个量a和b是成正比例关系的量，它们的关系是成正比例关系。
注意：a和b不为0，而且它们是两个有直接关系的变量，只能用除法，而且它们的商一样。
（3）反比例
@相关量的两个量，一个量扩大或缩小几倍，另一个量反而缩小或扩大相同的倍数，它们两个（仅仅2个）的积不变。
两个变量，一个定量，两个变量有直接的乘法关系，所产生的积不变。
@成反比例的两个量，它们所形成的图像是弯弯的一捺。
@给许多组数据，先看看已知的几组它们的积是否一样，如果一样，先求出积，再用积除以已知因数得出未知因数。
@用语言描述正比例：因为两个变量相乘，也就是针对题目列出乘法算式即a×b=c(一定），所以这两个量a和b是成反比例关系的量，它们的关系是成反比例关系。
注意：a和b不为0，而且它们是两个有直接关系的变量，只能用乘法，而且它们的积一样。
（4）正比例与反比例的相同点与不同点
判断两个量（2个量）是成正比例或反比例，首先看看两个量是否有关系，如果没有关系什么正反比例都不是，如果有关系，还要看看他们之间是存在加减乘除的哪一种，如果是加减什么正反比例都不是，如果是除法，还要看看他们的商是否不变，如果商不变，他们这两个变量成正比例。
如果是乘法，还要看看他们的积是否不变，如果积不变，他们这两个变量成反比例。
谁和谁成什么比例，先看这两个有没有关系，有关系的话是乘法还是除法，其结果还要一定。
如身高与影子，因为身高÷影子=商（一定），因此身高和影子成正比例。
注意：变量乘以或除以变量 = 结果（一定），如果是文字，其结果后面一定写上“（一定）”
相同点：
@他们都有关系。
@都有两个变量，一个定量。
两个变量都会变，不过都跟乘除法有关，成正比例的两个变化一样，一个扩大或缩小几倍，另一个也跟着扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变；成反比例的两个变化相反，一个扩大或缩小几倍，另一个缩小或扩大相同的倍数，它们的积不变。
不同点：
@成正比例与反比例，它们的图像不一样，正比例图像是“/”；反比例图像是弯弯的一捺。
@根据正比例或反比例求表格的未知数方法不一样，先看已知几组数据的商一样还是积一样，如果商一样，先求出商，确定被除数和除数，求被除数用乘法，求除数用除法；如果积一样，先求出积，求因数用除法。
（5）正反比例的实例
@数量关系式。
三个量转换，每一个数量关系式可以说出一个反比例，两个正比例。
每份×份数=总数，总数一定，每份和份数成反比例；份数一定，总数和每份成正比例；每份一定，总数与份数成正比例。
速度×时间=路程，路程一定，速度和时间成反比例；时间一定，路程和速度成正比例；速度一定，路程与时间成正比例。
单价×数量=总价，总价一定，单价和数量成反比例；数量一定，总价和单价成正比例；单价一定，总价与数量成正比例。
工作时间×工作效率=工作总量，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例；工作时间一定，工作总量和工作效率成正比例；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。
@乘除法之间的正反比例
因数×因数=积，因数一定，积与另一因数成正比例；积一定，两个因数成反比例。
被除数÷除数=商，商一定，被除数和除数成正比例；除数一定，被除数和商成正比例；被除数一定，除数与商成反比例。
@字母关系式
a×b=8,a和b成反比例。
Ab=1,a和b成反比例，两个数互为倒数，这两个数成反比例关系。
（这两个数不能是具体的数字）
A-b=0,a和b成反比例，因为他们相除商永远是1.
X/y=9,X和y成正比例；5a=6b,a和b成正比例。
a÷b=4.5,a和b成正比例；9/a=b,a和b成反比例。
8a=b,a和b成反比例；5a-6b=0，a和b成正比例。
@公式关系式
（长+宽）×2=周长，周长与长和宽的和（而不是长或宽，因为长与宽是加法）成正比例。
长×宽=面积，面积一定，长和宽成反比例；长一定，面积和宽成正比例；宽一定，面积与长成正比例。
边长×4=周长，周长一定，边长和4不成比例（因为4不是变量而是定量，本来是2个变量，一个定量，此题却有2个定量)；周长和边长成正比例。
边长×边长=面积，面积与边长不成比例，因为没有定量。
底×高=面积，面积一定，底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例；高一定，面积与底成正比例。
底×高÷2=面积，面积一定，底和高成反比例（因为底×高=2×面积）；底一定，面积和高成正比例（因为面积÷高=底÷2）；高一定，面积与底成正比例（因为面积÷底=高÷2）。
（上底+下底）×高÷2=面积，面积一定，上下底之和和高成反比例（因为上下底的和×高=2×面积）；上下底的和一定，面积和高成正比例（因为面积÷高=上下底的和÷2）；高一定，面积与上下底的和成正比例（因为面积÷上下底的和=高÷2）。
圆周率×直径（2个半径）=周长，周长一定，直径和圆周率不成比例（因为圆周率不是变量而是定量，本来是2个变量，一个定量，此题却有2个定量)；周长和直径（半径）成正比例。
圆周率×半径×半径=面积，面积与半径不成比例（因为面积÷半径=半径×圆周率，没有定量），面积与半径的平方成正比例。
底面积×高=体积，体积一定，底面积和高成反比例；高一定，体积和底面积成正比例；底面积一定，体积与高成正比例。
长×宽×高=体积，不能说什么正反比例，因为有3个变量，只能2个变量，一个定量。
附加：图上距离一定，实际距离与比例尺成反比例；实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例；比例尺一定，图上距离与实际距离成正比例。
（6）用正反比例解决问题
从题目中发现3个数据和一个未知数。
看看哪两个有直接关系，是乘还是除，如果是间接要转化为直接关系。
如果是乘，那么相关联的两个量成反比例，设关键的或问题为x,列方程：与未知数有关的数与未知数相乘=已知的两个直接关系的量相乘，即几×未知数=几×几；如果是除，那么相关联的两个量成正比例，设关键的或问题为x,列方程：与未知数有关的数与未知数相除=已知的两个直接关系的量相除，即几÷未知数（未知数÷几）=几÷几，注意不要除反了。
如：总面积与地砖的面积（边长×边长）有直接关系，与边长是间接关系。
两个直接相乘或相除的必须要对应，有时要化单位，要巧设未知数。