最新高一下学期第一次月考数学试卷
广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知复数(12)(2)z i i =+-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为（ ） A ．（3，4） B ．（3，－4） C ．（4，3）D ．（4，－3）2．已知AD 是△ABC 的中线，AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，以,a b r r 为基底表示AC u u u r ，则AC u u u r ＝（ ）A ．12(a b -r r )B ．2b a -r rC ．12(b a -r r )D ．2b a +r r3．若一个几何体存在两个全等的矩形面，则这个几何体可能是（ ） A ．三棱柱B ．四棱台C ．三棱锥D ．圆锥4．已知向量a r ，b r ，且||2a =r ，||1b =r ，a b⊥r r ，则|2|a b -=r r （ ）A ．8B ．9C D5．已知α为锐角，若πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A B ．C ．2 D ．236．如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，2cm C D ''=，则原图形OABC 的面积是（ ）2cm .A ．12B ．C ．6D ．7．在ABC V 中，AC =O 是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，8AB AO ⋅=u u u r u u u r，N 是直线OM 上异于M 、O 的任意一点，则AN BC ⋅=uuu r uu u r（ ）A ．3B ．6C ．7D ．98．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b cc ab-+-=，若ABC V 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（ ） A ．π0,6⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．【多选题】已知()(),24,a t b t =-=-r r，，则（ ）A ．若//a b r r ，则t =±B ．若a b ⊥r r ，则0=tC ．a b -rr 的最小值为2D ．若向量a r与向量b r 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0,∞+10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若602 1.74A c a =︒==，，，则ABC V 只有一解 C ．若tan aA b=，则ABC V 为直角三角形 D ．cos cos cos 0A B C ++>11．在ABC V 中，D 、E 为AB 边上的两点，且AE ED DB == ）A ．若CD =ABC V 为钝角三角形B ．若π3ACD ∠=，则ABC VC ．若π3ACD ∠=，则BCD ．若π3ACD BCE ∠=∠=，则cos DCE ∠=三、填空题12．已知i 是虚数单位，复数z 满足2i izz =-+，则复数z 的模为.13．已知函数()()sin πf x x ω=（其中0)ω>在区间()0,1上单调递增，且在区间()0,7上有3个零点，则ω的取值范围为.14．在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c S 为ABC V 的面积，且222()a S b c =+-，则222sin sin sin sin B C B C+的取值范围为.四、解答题15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，22OA AB ==u u u r u u u r ，2π3OAB ∠=，(BC =-u u ur ．(1)求点B ，C 的坐标；(2)判断四边形OABC 的形状，并求出其周长．16．已知函数()1cos 2f x x x m ωω=--，其中0ω>． (1)若函数()f x 的最大值是最小值的5倍，求m 的值；(2)当m =时，函数()f x 的正零点由小到大的顺序依次为1x ，2x ，3x ，…，若21π236x x -=，求ω的值．17．如图，某运动员从A 市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5km 的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A 市南偏东方向距A 市25km ，且与海岸距离为15km 的海上B 处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB 的夹角.18．如图，已知ABC V 是边长为2的正三角形，P 在边BC 上，且3BP BC =u u u r u u u r，Q 为线段AP上一点．(1)若115AQ AB BC λ=+u u u r u u u r u u u r ，求实数λ的值；(2)求QA QC ⋅u u u r u u u r的最小值；(3)当ABC V 的重心在直线CQ 上时，求PQC ∠的余弦值． 19．在Rt ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos A B Ca b c+=+. (1)求角A ；(2)已知2,,c b a P Q ≠=是边AC 上的两个动点（,P Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π6θ=时，设PBQ V 的面积为S ，求S 的最小值； ②记,BPQ BQP ∠α∠β==.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的,αβ，都有()sin2sin22cos k k αβαβ++=-求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.。
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．cos50cos20cos40sin20︒︒+︒︒的值为（ ）A ．12-B ．12C D ．2．已知向量()()1,1,1,1a b ==-r r，若()()a b a b λμ+⊥+r r r r ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-3．已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．454．如图，在ABC V 中，点D 为BC 边的中点，O 为线段AD 的中点，连接CO 并延长交AB 于点E ，设AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，则CE =u u u r （ ）A ．1344a b -r rB ．14a b -r rC ．13a b -r rD ．1334a b -r r5．已知3cos 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 2cos 6212παπα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．14B ．12CD ．16．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =u u u r给出下列结论（ ）①OA u u u r 与OH u u u r 的夹角为π3；②OD OF OE +=u u u r u u u r u u u r ；③OA OC -u u u r u u u r u uu r ；④OA u u u r 在OD u u u r 上的投影（其中e r 为与OD u u u r 同向的单位向量）．其中正确结论为（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④7．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．32-B ．14C ．12D ．18．在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．已知在同一平面内的向量,,a b c r r r均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）A ．若,a b b c r r r r∥∥，则a c r r ∥B ．若a c a b ⋅=⋅r r r r ，则b c =r rC ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD ．若a b r r P 且a c ⊥r r，则()0c a b ⋅+=r r r10．下列计算结果正确的是（ ）A ．44ππcos sin 88-=B ．1tan151tan15+︒-︒C ．2sin15sin 751︒︒=D ．)sin140tan1901︒︒=11．定义两个平面向量的一种运算sin a b a b θ⊗=⋅⋅r r r r ，θ为,a b rr 的夹角，则对于两个平面向量,a b rr ，下列结论正确的有（ ）A ．a b b a⊗=⊗r r r r B ．()()=a b a b λλ⊗⊗r r r rC ．()()2222·a ba ba b ⊗+=⋅r r r r r rD ．若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1221a b x y x y ⊗=-rr三、填空题12．已知向量()4,3a =-r ，()2,1b x =-r，若a b a ⋅=-r r r ，则x =．13．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，则αβ+=． 14．已知()()1122,,,A x y B x y 是角αβ､终边与单位圆的两个不同交点，且1221x y x y =，则121222x x y y -+-的最大值为.四、解答题15．已知向量a r ，b r不共线，且2OA a b =-u u u r r r ，3OB a b =+u u u r r r ，OC a b λ=+u u u r r r ．(1)将AB u u u r用a r ，b r 表示；(2)若OA OC u u u r u u u r∥，求λ的值；(3)若3λ=-，求证：A ，B ，C 三点共线． 16．已知02a π<<，02βπ<<，4sin 5α=，5cos()13αβ+=.（1）求cos β的值； （2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.17．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边上CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμ+的值.（2）若2AB =，当1AE BF ⋅=u u u r u u u r时，求cos EAF ∠的值.18．现某公园内有一个半径为20米扇形空地OAB ，且π3AOB ∠=，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形MNPQ 的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设NOA ∠α=，请用α表示矩形MNPQ 的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形MNPQ 的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参1.414≈ 1.732）19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r的相伴函数.（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的相伴特征向量OM u u u u r ；（2）记向量ON =u u u r 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值；（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT =u u u r 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥u u u r u u u r .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。
高一下学期第一次月考数学试题(解析版
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围.
【18题答案】
【答案】（1）条件选择见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①由正弦定理得 即可求出 ；若选②由正弦定理得 即可求出 .
（2）用正弦定理得表示出 得到 利用三角函数求出 的取值范围.
【小问1详解】
若选①则由正弦定理得
【解析】
【分析】由题可得 .作差法可判断A；用基本不等式可判断B；分别化简不等式左边和右边可判断C；假设法可判断D.
【详解】如图
易知 .
A： （当 时取等号） 故A正确；
B： （当 时取等号）故B正确；
C：
又 （当 时取等号） 故C正确；
D：假设 成立
则
即
即
当 且 时上式不成立故D错误.
故选：ABC.
同理由 三点共线则存在实数 使得
所以 解得 所以 所以A正确.
又由 且
可得 解得 则
可得 所以B正确；
又由
当且仅当 时等号成立所以C正确.
又由 可得 所以D不正确.
故选：ABC.
12.设 分别为 中ab两边上的高 的面积记为S.当 时下列不等式正确的是( )
A. 【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得 的值由 以及 可得 的值再由最高点可求得 的值即可得 的解析式由正弦函数的对称中心可得 对称中心；
（2）由图象的平移变换求得 的解析式由正弦函数的性质可得 的值域令 的取值为 的值域解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得： 可得 所以
A. B.
C. D.
安徽省淮北市濉溪县临涣中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
安徽省淮北市濉溪县临涣中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}621A x x =-<，{}|5B x x =<，则（ ）A ．{}|5AB x x =<IB ．A B ⋂=∅C ．{|5}A B x x =<UD ．A B ⋃=R2．下列各角中，与996o 终边相同的角为（ ）A ．84-oB ．276-oC ．245oD ．84o 3．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（ ）A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角4．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点()7πsin 30,cos 6P ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．12-B ．12C ．D 5．已知幂函数122()(32)m f x m m x -=-满足(2)(3)f f >，则m =（ ）A ．23 B ．13- C ．1 D ．1-6．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()4f x x =-，则()2024f =（ ）A ．8-B ．8C ．12-D ．12 7．2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为 60cm,内弧长为 21cm,则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．13cmD ．15cm8．若关于x 的不等式()210x a x ab +++>的解集为{}1x x ≠，则ab 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．－1二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．120-︒化成弧度是2πrad 3-B ．πrad 10化成角度是18° C ．1o 化成弧度是180radD ．10πrad 3-化成角度是60-︒ 10．下列不等式错误的是（ ）A ．19π2πsin tan 085⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11π13πcos sin 098> C ．()sin613cos 4510︒-︒< D ．tan343cos1740︒︒<11．已知函数()πcos 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点11π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线7π24x =-对称 D ．函数()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题12．时间经过五个小时，时针转过的角为rad .13．已知0a >，若21cos 2a a θ+=，则πcos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为. 14．设函数()()()120102x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，()()12g x f x x =-，[]2,2x ∈-，若()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知()()()sin 3sin 232cos cos 2f παπααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭. (1)化简()f α.(2)已知tan 3α=，求()f α的值.16．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象过点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求ϕ；(2)求函数()y f x =的单调增区间； (3)[0,]2x π∀∈，()f x m ≥总成立．求实数m 的取值范围. 17．某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[)30,50，[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于[)50,70和[)70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[)50,70内的概率.18．已知定义域为R 的函数()22xxa f xb -=+是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)判断()f x 的单调性，并作简要说明，无需证明；(3)若存在[]0,4t ∈，使()()22420f k t f t t ++-<成立，求实数k 的取值范围.19．已知函数()22cos 2sin f x x a x a =+-，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. (1)若π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求实数a 的值； (2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.。
吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
吉林省四平市第一高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数ππ2cos isin 33z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭虚部是（ ） AB ．1C ．πsin 3D ．πcos 32．在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ．CD 3．已知向量()7,6AB =，()3,BC m =−，()1,2AD m =−，若A ，C ，D 三点共线，则m =（ ）A ．32B ．23 C ．32− D ．23− 4．已知向量(3,4)a =，(2,)b m =−，(2,1)c =−，若()a b c +⊥，则m =（ ） A ．6− B ．2− C ．6 D ．132 5．在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．4a =，5b =，6c =B ．a =2b =，45A =oC ．10a =，45A =o ，70B =D ．3a =，2b =，60A =6．已知复数z 满足|1|1z −=，则|22i |z +−的最大值为（ ）A1 B C 1 D ．7．某校高一年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量山峰的高度.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60︒，沿倾斜角为30︒的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为75︒，则山峰高PQ 为（ ）A ．45(3+米B ．45(2米C ．1)米D ．1)米8．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD =，则||BC 的最小值为（ ）AB ．2C ．D ．二、多选题9．设(1i)2i z −=+，则下列叙述中正确的是（ ）A ．z 的实部是32−B ．13i 22z =−C ．||z =D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限 10．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若AB >，则a b >B ．222a b c +>C ．若sin sin <A C ，则cos cos A C <D ．sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++11．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，P 为ABC 内的一点，设AP xAB y AC =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 为ABC 的重心，则21x y +=B ．若P 为ABC 的外心，则18PB BC ⋅= C ．若P 为ABC 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知向量a 与b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则||a b += . 13．设复数1i 1i −=+z ，202420232()1f x x x x x =+++++，则()f z = . 14．已知(1,2),(1,1)a b ==且a 与a b λ+的夹角为锐角，则λ的取值范围是 .四、解答题15．已知复数()()22223i z m m m m =++−−，R m ∈，其中i 为虚数单位.(1)若1m =，求z ；(2)若复数z 为纯虚数，求m 的值.16．已知向量(1,2)OA =，(3,1)AB =，(,3)OC m =.(1)若向量OA OC ⊥，求向量AB 与向量OC 的夹角的大小：(2)若向量OB OC ⊥u u u r u u u r ，求向量AB 在向量OC 方向上的投影向量的坐标.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A =，又以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积分别为123,,S S S ，且132S S S +−=.(1)求角B 的大小；(2)求ABC 的面积；(3)若30sin sin 49A C =，求ABC 的周长. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，AD 与CE 交于点O .(1)用AB ，AC 表示DE ；(2)过点O 作直线交线段AB 于点G ，交线段AC 于点H ，且23AG AB =，AH t AC =，求t 的值；(3)若3AB AD AO EC ⋅=⋅，求AB AC 的值. 19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边.(1)若cos sin 0a C C b c −−=.①求A ；②当2a =时，求ABC 面积的最大值；(2)若8a c +=，sin tan22cos B A A=−，求ABC 面积的最大值.。
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年吉林省延边州珲春第一高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，全集，则()A.B.C.D.I2.欧拉恒等式为虚部单位，e 为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数的虚部为()A.B.C.D.3.在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则()A. B.C.D.4.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则角A 的余弦值为()A.B.C.D.5.已知向量满足，则()A. B.0C.1D.26.若函数的零点所在的区间为，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.7.在中，已知角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且，，则的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形8.已O 知是的外心，，，则()A.10B.9C.8D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则()A. B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第一象限D.复数z是方程的一个根10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()A.，，，有唯一解B.，，，无解C.，有两解D.，，，有唯一解11.设P为所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若，则点P是的重心B.若，则点P是的垂心C.若，则点P是的内心D.若，则点P是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.13.已知，，²，则的最小值为______.14.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”．在中，已知，且，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
高一下学期第一次月考数学试题1(必修4)(含答案)
高一下学期第一次月考数学试题一、 选择题（每题5分，共计60分）1、sin 210︒的值为A ．12B ． 12- C ．2 D ． 2- 2、已知4tan 3α=-，且α为第四象限角，则sin α的值为 A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 3、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4、所有与角α终边相同的角, 连同角α在内, 可构成的一个集合S 是A ．{β|β=α+k ·180°，k ∈Z}B ．{β|β=α+k ·360°, k ∈Z}C ．{β|β=α+k ·180°，k ∈R}D ．{β|β=α+k ·360°, k ∈R}5、下列函数是周期为π的偶函数为A ． cos 2y x =B ． sin 2y x =C ． tan 2y x =D ． 1cos 2y x = 6、函数)32sin(2π+=x y 的图象A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =6π对称 7、若[]0,2x π∈，则使函数sin y x =为增函数，cos y x =为减函数的区间为A ．[0,]2πB ． [,]2ππC ． 3[,]2ππD ．3[,2]2ππ 8、若函数234y x x =--的定义域为[0, m]，值域为25[,4]4--，则m 的取值范围是A.[0,4]B.[4,23] C.[3,23]D.[+∞,23) 9、函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如下，此函数的解析式可以为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y10、若函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，则||ϕ的最小值为 A. 6π B. 4π C. 3π- D. 2π11、为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，需将x y 21sin =的图像上每一个点 A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向右平移32π个单位长度 D.向左平移32π个单位长度 12、函数0.5log cos 2y x =的单调递增区间是A ． 2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） B ． ,2k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） C ． ,4k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（Z k ∈） D ．. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡++2,4ππππk k （Z k ∈） 二、填空题(每小题5分, 共20分)13、角α的终边上有一点()4,P m -，且sin (0)5m m α=<，则sin cos αα+= ； 14、一个扇形的弧长为cm 5,它的面积为25cm ，则这个扇形的圆心角的弧度数是______.15、()sin tan 1,(5)7,(5)f x a x b x f f =++=-=已知满足则 ；16、 函数[]()sin 2sin ,0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y=k 有且只有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 。
云南省红河哈尼族彝族自治州元阳县北大未名元阳实验高中2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试
云南省红河哈尼族彝族自治州元阳县北大未名元阳实验高中2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{|22}M x x =-<<，{0,1,2,3}N =，则M N ⋂=（ ）A ．{}1,2B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}22x x -<< 2．已知共轭复数1i z =-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设x 为实数，若向量(2,3)a =r ，(,6)b x =-r ，且//a b r r ，则x 的值为（ ）A ．92- B ．4 C ．4-D ．32 4．化简AB CA BC ++=u u u r u u u r u u u u u r （ ）A ．0B ．0rC ．AC u u u rD ．CA u u u r 5．在ABC V 中，D 是AB 的中点，则CD =u u u r （ ）A ．1122CA CB +u u u r u u u r B ．CA CB +u u u r u u u r C ．12CA CB +u u u r u u ur D ．12CA CB +u u ur u u u r6．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B =30︒，b =2c =，则C =（ ）A ．π4B ．π3π44或C ．3π4D ．π2π33或 7．如图所示，以直角梯形ABCD 的AD 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的表面积是（ ）A ．20πB ．16πC ．16π+D ．20π+8．在正三棱锥-P ABC 中，AB =正三棱锥-P ABC 的体积是则正三棱锥-P ABC外接球的表面积是（ ）A ．5πB ．15πC ．25πD ．35π二、多选题9．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“3x ∀≥，2100x -≥”的否定是“03x ∃≥，02100x -<”B ．1x x+的最小值是2 C ．若0a b >>，则22a b >D ．πsin(2)3y x =+的最小正周期是π10．（多选）下列命题中的真命题是（ ）A ．若直线a 不在平面α内，则//a αB ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αC ．若//l α，则直线l 与平面α内任何一条直线都没有公共点D ．平行于同一平面的两直线可以相交11．如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱111C D C C ，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线BN 与1MB 是异面直线C ． AM 与BN 平行D ．直线1A M 与BN 共面12．对于任意的平面向量,,a b c r r r ，下列说法错误的是（ ）A ．若//a b r r 且//b c r r ，则//a c r rB ．()·a b c a c b c +=⋅+⋅r r r r r r r C ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r r ，则b c =r r D ．()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r三、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+v v ．若a b ⊥r r ，则m =．14．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为．15．向量a b r r ，的夹角为π3，且||1,||2a b ==r r ，则||a b -r r 等于． 16．已知复数z 满足43i 3z --=，当z 的实部取最大值时，z =．四、解答题17．解不等式或方程 (1)02x x ≤- (2)23830x x --=18．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||a r ＝1，)b =r ． (1)求||b r 及a b ⋅r r ； (2)求|2|a b -r r .19．已知函数()()()()log 3,log 3(0,1)a a f x x g x x a a =-=+>≠，记()()()F x f x g x =-．(1)求函数()F x 的定义域；(2)判断函数()F x 的奇偶性，并说明理由；20．已知函数()e x f x a x =+(0)a >.(1)判断()f x 的单调性，并证明；(2)当0x ≥时，不等式()f x ≥a 的取值范围. 21．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得45,75,100BCD BDC CD ∠=︒∠=︒=米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒．△的面积；(1)求BCD(2)求塔高AB．。
重庆市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2023-2024学年度下期高2026届第一次月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(AB BC AD +-=（）A.AD B.DAC.CDD.DC【答案】D 【解析】【分析】直接用向量加减法容易得解．【详解】解：AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题．2.在ABC 中，已知120B =︒，AC ，2AB =，则BC =（）A.1B.C.D.3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3.已知向量()63,9a t =+ ，()42,8b t =+ ，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（）A .1- B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值．【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+ ，所以()63,1113a b t =++ ，()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4.在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，记AE a = ，CD b = ，则AC =（）A.()13a b - B.()12a b - C.1123a b - D.()23a b -【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，()12a AB AC =+ ，1122b AB CA AB AC =+=-．两式相减，得32a b AC -= ，所以()23AC a b =-．故选：D ．5.已知向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，则一定共线的是（）A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出,BD AC，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量a ，b不共线，且4AB a b =+ ，9BC a b =-+ ，3CD a b =- ，282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+= ，则有//AB BD，而,AB BD 有公共点B ，有A ，B ，D 共线，A 是；0BC ≠ ，不存在实数λ，使得AB BC λ=，因此,AB BC 不共线，A ，B ，C 不共线，B 不是；0BC ≠，不存在实数μ，使得CD BC μ= ，因此,BC CD 不共线，B ，C ，D 不共线，C 不是；130AC AB BC b =+=≠ ，不存在实数t ，使得CD t AC =，因此,AC CD 不共线，A ，C ，D 不共线，D不是.故选：A6.已知对任意平面向量(,)AB x y = ，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ，点()14B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为（）A.31,2⎫+⎪⎭ B.31,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.52⎛⎝ D.(5,212【答案】A 【解析】【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合A 点坐标可得点P 的坐标．【详解】O 为坐标原点，由已知2)AB =，ππππ12sin()2cos()](,333322AP =----+-=- ，又(1,2)A ，所以P点坐标为13(1,2)(,)(1,)2222OP OA AP =+=+-=+ ，故选：A ．7.如右图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，则2x y +的最小值为A.2B.13C.33+ D.34【答案】C 【解析】【分析】由题意可得MG GN λ=，利用三角形重心的向量表示，化简可得113x y+=.然后利用基本不等式来求得最值.【详解】因为M ，N ，G 三点共线，所以MG GN λ=，所以()AG AM AN AGλ-=- 又因为G 是ABC 重心，所以()13AG AB AC =+，所以()()1133AB AC x AB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得113x y +=，由基本不等式得()(1111212233333x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2113x y y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2122,36x y ==时，等号成立，故选：C 【点晴】8.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，2AB =，BC =AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A.B. C.4 D.6【答案】D 【解析】【分析】设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，利用余弦定理求得2AC ，表示出sin β，进而可求得2BD ，结合辅助角公式即可求得答案.【详解】由题意2AB =，BC =设(0),,,,πABC ACB αβαβ==∠∠∈，则由余弦定理得：2222··cos 12AC AB BC AB BC ABC α=+-∠=-，由正弦定理得：sin β=因为AC CD ⊥，则90BCD β︒∠=+，在BCD △中，()28122cos 90BD a β︒=+--⨯+20α=-+π202016sin 4ααα⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，3π4α∴=时，2BD 的最大值为36，BD 取得最大值6，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A.()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅ B.若a b = ，则a b=± C.若a b ⊥，则a b a b+=- D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c=【答案】ABD 【解析】【分析】根据数量积的意义判断A ，根据向量模的意义判断B ，根据向量数量积的运算律运算及向量垂直判断C ，根据向量的数量积运算判断D.【详解】对于A ，因为()a b c ⋅⋅ 表示向量c λ，()a cb ⋅⋅ 表示向量b μ ，当,c b不共线且0,0λμ≠≠时，两个向量一定不相等，故A 错误；对于B ，因为a b = 时，向量,a b 的方向不确定，故a b =±不正确，故B 错误；对于C ，a b a b +=-⇔ 22a b a b+=- 2222220a a b b a a b a b b a b ⇔+⋅+=-⋅+⇔⋅=⇔⊥，所以C 正确；对于D ，由cos ,cos ,a b a c a b a b a c a c ⋅=⋅⇒⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，不能得出b c =，故D 错误.故选：ABD10.在ABC 中，AB =，2BC =，45A ∠=︒，则ABC 的面积可以为（）A.B.32C.332+ D.622+【答案】AC 【解析】【分析】由余弦定理可求得b ，再用三角形面积公式可得解.【详解】c =，2a =，o 45A =，∴2222cos a b c bc A =+-，即2222cos 4622b ac bc A b =-+=-+⨯⨯，整理得220b -+=，解得1b =+1，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A +==⨯⨯=，当1b =时，)113sin 12222ABC S bc A -==⨯⨯=，所以ABC 的面积为332+故选：AC.11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，则下列结论正确的有（）A.22OA OD ⋅=-B.OB OH +=C.AH HO BC BO⋅=⋅D.AH 在AB 向量上的投影向量为2AB【答案】ABD 【解析】【分析】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．【详解】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为1，对于A ，11cos1352OA OD ⋅=⨯⨯︒=- ，故A 正确；对于B ，90BOH ∠=︒，则以OB ，OH 为邻边的对角线长是||OA 倍，可得OH OB +==，故B 正确；对于C ， AH BC = ，||||HO BO = ，AH 与HO 的夹角为180AHO ︒-∠，BC 与BO的夹角为OBCAHO ∠=∠，故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r，故C 错误；对于D ，AH 在AB 向量上的投影向量为cos1352AH AB AB AB AB AB AB⋅⋅=⋅=-，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】【详解】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．考点：向量共线．13.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.【答案】67【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+ ，122n e ke =+ ，12111cos 602e e ⋅=⨯⨯︒= ，22121211221(32)(2)6(34)26(34)2112m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++= ，解得：67k =．故答案为：67．14.已知平面向量a ，b ，c满足：2a b c ⋅== ，3a c -= ，4b c -= ，则a b c +-= ___________，且a b +的取值范围为___________.【答案】①.5②.[]3,7【解析】【分析】第一空：由题意可设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，进一步有()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，结合2a b ⋅=有2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，而a b c +-也可以用含x y +的式子来表示，从而即可得解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.【详解】第一空：2c = ，3a c -= ，4b c -= ，设()2cos ,2sin ,,OC c OA a OB b θθ====，从而3,4CA CB ==，设()()2cos 3cos ,2sin 3sin ,2cos 4cos ,2sin 4sin B C θαθαθβθβ++++，从而()2cos 3cos 4cos ,2sin 3sin 4sin a b c θαβθαβ+-=++++，又因为2a b ⋅=，所以()24cos6cos cos 8cos cos 12cos cos θθαθβαβ+++()24sin 6sin sin 8sin sin 12sin sin 2θθαθβαβ++++=，记6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，从而2x y +=-，所以a b c +-=5===；第二空：对于两个向量,u v，有u v u v u v -⋅≤⋅≤⋅ ，进一步有222222222u u v v u u v v u u v v -⋅+≤+⋅+≤+⋅+ ，所以u v u v u v -≤+≤+ ，注意到2c = ，5a b c +-=，从而3a b a b c c +=≥+-- ，等号成立当且仅当,a b c c +-反向，7a b a b c c +=≤+-+ ，等号成立当且仅当,a b c c +-同向，所以a b +的取值范围为[]3,7.故答案为：5，[]3,7.【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合2a b ⋅=，得到2x y +=-，其中6cos cos 8cos cos 12cos cos x θαθβαβ=++，6sin sin 8sin sin 12sin sin y θαθβαβ=++，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量a ，b ，2,1a b == ，且a 与b的夹角为π3.（1）求2a b +；（2）若2a b + 与()2a b λλ+∈R 垂直，求λ的值【答案】（1）（2）4-【解析】【分析】（1）根据已知利用向量的数量积公式得出a b ⋅，即可由向量模长的求法列式2a b +=，结合向量的运算代入值求解即可；（2）根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可.【小问1详解】2,1a b == ，且a 与b 的夹角为3π，π1cos 21132a b a b ∴=⨯⨯⋅==22a b +== 【小问2详解】2ba + 与()2ab λλ+∈R 垂直，()()202a b b a λ∴⋅+=+，即222024a b a a b b λλ+⋅+⋅=+，即8240λλ+++=，解得：4λ=-.16.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.【答案】（1）72（2）4【解析】【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA ＝2.5分（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若cos 3B =，求()sin 2B A +的值；（3）若ABC的面积为3，3a =，求ABC 的周长和外接圆的面积.【答案】18.π319.620.8，3π【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出b c +，再由正弦定理求外接圆半径即可.【小问1详解】由cos cos 2cos +=ac B b C A，由正弦定理sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos A AB C A A A +=⇒=，sin 0A ≠ ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.【小问2详解】因为sin 3B ==，所以23,1sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-，πππ223sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭.【小问3详解】因为11sin 2223S bc A bc ==⋅=，所以163bc =，由余弦定理得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即()216933b c =+-⨯，解得5b c +=，所以ABC 的周长为8a b c ++=，由32πsin sin 3a R A ===所以外接圆的面积2π3πS R ==.19.已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数.（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若当()85f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；（2）设()()ππ3cos 63g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM共线的单位向量；（3）已知()2,3A -，()2,6B，()OT = 为函数()()πsin R 6h x m x m ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()π23x x h ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）410-；（2）)OM =，1,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在点()0,2，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据向量的伴随函数求出()f x ，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；（2）化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得OM，继而进一步计算即可；（3）根据题意确定m 的值，继而得到函数()π2sin 6h x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，继而得到()2cos 2xx ϕ=，设点,2cos 2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.【小问1详解】根据题意知，向量(ON = 的相伴函数为()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当()π82sin 35f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 33x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4133433525210-=⨯-⨯=.【小问2详解】因为()ππ3cos 63g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭3cos x x =+，故函数()g x的相伴特征向量)OM =，则与)OM =共线单位向量为)313,622OM OM⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】因为()π31sin sin cos 622h x m x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故32112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()π2sin 6h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()πππ2sin 23236x x x h ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 2cos 222x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，设点,2cos2x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以22cos 3,2,2cos 622x x AP x BP x ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，若AP BP ⊥ ，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2244cos 18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为139522cos 2,2cos ,22222x x -≤≤-≤-≤-，故22591692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭成立，故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解答本题的关键.。
江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(原卷版)
20232024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. cos150︒=A.B. C.12D. 1-22. 已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ） A. 30B.π12C.π6D.π33. 已知α是第二象限角，则点()cos ,tan P αα在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若()1,A y 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =（ ） A. 3-B. 3C. 1-D. 15. 在[]0,2π上，满足sin 2x ≥的x的取值范围是 A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期T π=，下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上减函数 B. 函数()f x 的图象的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数D. 函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2] 7. 函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()cos3g x x =的图象（ ）A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度D. 向右平移π12个单位长度8. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 280,,139⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. ()0,1二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若,A B 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =+C. 甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75D. 从1,2,3,4中任取2个不同数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是1310. 已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 最小正周期为π2B. ()f x 的定义域为ππ,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. 若()1fθ=，则()πZ 2k k θ=∈ D. ()f x 在其定义域上是增函数11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若对R x ∀∈，有()()()21f x f x f +=+，且当01x <<时，()21f x x =-+，则下列结论中正确的是（ ）A. ()11f -=B. 函数()f x 是周期函数，且周期为2C. 函数π()()sin2xh x f x =+在区间[]4,3-上的零点个数是7个 D. 对*N n ∀∈，123944444n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数ππ2sin 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为______.13. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ=_____________．14. 已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P - （1）求sinα和tanα的值（2）若()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-，化简并求值 16. 已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域.17. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按[)[)[)[)[)[]140,145,145,150,150,155.155.160,160,165,165,170分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该校男生身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从身高在[145,150)和[)160,165内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在[)145,150内的概率.18. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，ππϕ-<<），若()f x 的图象的相邻两对称轴间的距离为π4，且过点π,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）记方程()43f x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．19. 已知函数()()sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，0πϕ<<）的图象两邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π6单位，再向上平移1个单位，所得函数()g x 为奇函数. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若对任意π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2220fx m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()23h x f x =+的图象在区间[],a b （,R a b ∈且a b <）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间[],a b 上，求b a -的最小值.。
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开始
0 k=
k＝k＋1
31 n n
=+
150? n>
输出k ,n
结束
是
否输入n
一、单项选择（每小题5分，共60分）
1.以下赋值语句书写正确的是（）
A．2a
=B．1
a a
=+
C．2
a b
*=D．1
a a
+=
2.(程序如图）程序的输出结果为（）
A. 3，4
B. 7，7
C. 7，8
D. 7，11
3.(1)某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ
系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．问题与方法配对合理的是（）
A. (1)Ⅲ，(2)Ⅰ
B. (1)Ⅰ，(2)Ⅱ
C. (1)Ⅱ，(2)Ⅰ
D. (1)Ⅲ，(2)Ⅱ
4.阅读图1的程序框图. 若输入5
n=, 则输出k的值为（）
A．2 B．3
C．4 D．5
5.三位八进制数能表示的最大十进制数是（）
A. 399
B.999
C.511
D. 599
6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1800，1800,2400人，现用
分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年
级抽取的学生人数为 ( )
A.25
B.30
C.15
D.20
7.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了n个同学进行调查,结
果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位:元),其中支出在[)
30,50(单位:
元)的同学有67人,其频率分布直方图如右图所示,则n的值为（）
A．100 B．120 C．130 D．390
8.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩
分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588
B ．480
C ．450
D ．120
9.在样本频率分布直方图中，一共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积之和的1
4
，且样本容量为160，则中间一组的频数是（ ） A. 32
B. 20
C.40
D.25
10.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ） A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11.读下边的程序，当输出的y 的范围大于1时，则输入的x 值的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
12.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是（ ）
A ．
715
816P <≤ B ．15
16P >
C ．715816
P ≤<
D ．3748
P <≤
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.261和319的最大公约数是_________________.
14.把“五进制”数转化为“七进制”数： ()5321=__________()7 15.某人连续五周内收到的包裹数分别为3，2，5，1，4，则这5个数据的标准差为 ．
16.阅读下边的程序框图，若输出S 的值为－14，则判断框内可填写
三、解答题（17题10分，其余各12分，共60分）
17.用秦九韶算法求多项式x x x x x x x x f ++++++=2
34567234567)( 当3=x 时的值。
18.编写一个计算12
＋32
＋52
＋…＋992
的程序语句。
19.在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中，共调查了160人，其中女生85人，男生75人.女生中有60人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有20人选修排球，其余的人选修篮球.（每人必须选一项，且只能选一项） （1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与体育选修项目有关？
参考公式及数据：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.
K 2
≥k 0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0
0.455
0.708 1.32
3
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直
方图如图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500)．
(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？
21.某年青教师近五年内所带班级的数学平均成绩统计数据如下：
年份x年2009 2010 2011 2012 2013
平均成绩y分97 98 103 108 109
（1）利用所给数据，求出平均分与年份之间的回归直线方程ˆy bx a
=+，并判断它们之间是正相关还是负相关。
（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该教师2014年所带班级的数学平均成绩.
(
()()
()2
1
2
1
1
2
1
x n
x
y x n
y
x
x
x
y
y
x
x
b
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
-
-
=
-
-
-
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=x
b
y
a-
=)
22.某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数．。