2017-2018学年上海市长宁区八年级(上)期末数学试卷

2017-2018学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.√a−b的有理化因式是（）A. √a−bB. √a+bC. √a−√bD. √a+√b2.关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是（）A. 点(−1,−2)在这个图象上B. 函数值y随自变量x的增大而减小C. 图象关于原点对称D. 图象经过一、三象限3.一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm，另一条直角边长6cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A. 4cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm4.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（-2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=k（k≠0）x上，则k的值为（）A. 4B. −2C. √3D. −√3二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.在实数范围内因式分解：2x2+4x-3=______．6.已知函数f（x）=x−2，那么f（3）=______．2x7.已知关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．8.某地区PM2.5的年平均值经过测算，2015年为180，经过治理后，2017年为80，如果设PM2.5的平均值每年的降低率均为x，列出关于x的方程：______．9.已知直角坐标平面内的点A（2，-1）和B（-3，4），那么A、B两点的距离等于______．10.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于______．11.如图，在△ABC中，∠ABC=56°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE=______度．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°，以直角顶点A 为圆心，AB 长为半径画弧交BC 于点D ，过D 作DE ⊥AC 于点E ．若DE =a ，则△ABC 的周长用含a 的代数式表示为______．13. 如图，点P 1、P 2、P 2、P 4在反比例函数y =2x （x ＞0）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作x 轴、y 轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2+S 3=______．14. 已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，点D 是AB 边上一点，将△ABC 沿着直线CD 翻折，点A 落在直线AB 上的点A ′处，则A ′B =______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）15. 计算：12−√3+√27−√12+(√48−√24)÷√6．16. 解方程：32x （x -83）=3x -4．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）17. 甲、乙两车分别从A 地将一批物资运往B 地，两车离A 地的距离s （千米）与其相关的时间t （小时）变化的图象如图所示．读图后填空：（1）A 地与B 地之间的距离是______千米；（2）甲车由A 地前往B 地时所对应的s 与t 的函数解析式及定义域是______； （3）甲车由A 地前往B 地比乙车由A 地前往B 地多用了______小时．18. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，边AB 的垂直平分线交边BC 于点E ，垂足为点D ，取线段BE 的中点F ，联结DF ．求证：AC =DF ．（说明：此题的证明过程需要批注理由）19. 已知y =y 1+y 2，并且y 1与（x -1）成正比例，y 2与x 成反比例．当x =2时，y =5；当x =-2时，y =-9．求y 关于x 的函数解析式．20. 如图，已知直线y =12x 与双曲线y =kx （k ＞0）交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线y =k x （k ＞0）上一点C 的纵坐标为8，求△AOC的面积；（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=kx限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．21.如图（1），已知四边形ABCD的四条边相等，四个内角都等于90°，点E是CD边上一点，F是BC边上一点，且∠EAF=45°．（1）求证：BF+DE=EF；（2）若AB=6，设BF=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点A作AH⊥FE于点H，如图（2），当FH=2，EH=1时，求△AFE的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：的有理化因式是．故选：A．根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号解答即可．本题主要考查了分母有理化因式的定义，比较简单，熟记定义是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：A．当x=-1时，y=2×（-1）=-2，所以点（-1，-2）在这个图象上，此选项正确；B．由k=2＞0知函数值y随自变量x的增大而增大，此选项错误；C．正比例函数图象都关于原点对称，此选项正确；D．由k=2＞0知图象经过一、三象限，此选项正确；故选：B．分别利用正比例函数的性质分析得出即可．此题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．3.【答案】C【解析】解：设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x-2）cm．根据勾股定理，得（x-2）2+36=x2，解得：x=10．则斜边的长是10cm．故选：C．设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x-2）cm．根据勾股定理列方程求解即可．本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理列出方程，熟练求得方程的解．4.【答案】D【解析】解：设点C 的坐标为（x ，y ），过点C 作CD ⊥x 轴，作CE ⊥y 轴，∵将△ABO 沿直线AB 翻折，∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°， ∴CD=y=AC•sin60°=2×=， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠ACD=30°， ∵BC=BO=AO•tan30°=2×=， CE=|x|=BC•cos30°==1， ∵点C 在第二象限，∴x=-1，∵点C 恰好落在双曲线y=（k≠0）上， ∴k=x•y=-1×=-，故选：D ．设点C 的坐标为（x ，y ），过点C 作CD ⊥x 轴，作CE ⊥y 轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD ，CE ，得点C 的坐标，易得k ．本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C 的坐标是解答此题的关键．5.【答案】2（x -−2+√102）（x -−2−√102） 【解析】 解：2x 2+4x-3=0的解是x 1=，x 2=-， 所以可分解为2x 2+4x-3=2（x-）（x-）．当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．6.【答案】16【解析】解：当x=3时，f（3）==．故答案为：把x=3代入函数关系式，计算求值即可．本题考查求函数值．题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．7.【答案】k＞-1且k≠0．【解析】解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即22-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1，∴实数k的取值范围为k＞-1且k≠0．故答案为k＞-1且k≠0．根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．8.【答案】180（1-x）2=80【解析】解：设PM2.5的平均值每年的降低率均为x，根据题意可得180（1-x）2=80，故答案为：180（1-x）2=80．根据降低率的意义知2016年为180（1-x），2017年为180（1-x）2，结合2017年为80可得答案．此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．9.【答案】5√2【解析】解：A、B两点的距离为：=5．故答案为：5．直接利用勾股定理进而得出答案．此题主要考查了勾股定理，正确借助网格是解题关键．10.【答案】8【解析】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．11.【答案】28【解析】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，作EH⊥BF于H，作EK⊥AC于K，∵∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴EG=EK，EH=EK，∴EG=EH，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC=×56°=28°．故答案为：28．过点E作EG⊥AD于G，作EH⊥BF于H，作EK⊥AC于K，根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得EG=EK，EH=EK，从而得到EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BE平分∠ABC，然后求解即可．本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记性质并作出辅助线判断出BE是角平分线是解题的关键．12.【答案】(6+2√3)a【解析】解：∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，∴BC=2AB，CD=2DE=2a．∵AB=AD，∴点D是斜边BC的中点，∴BC=2CD=4a，AB=BC=2a，∴AC===2a，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2a=（6+2）a．故答案为：（6+2）a．先根据∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC可知BC=2AB，CD=2DE，再由AB=AD 可知点D是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理可得出AC的长，由此可得出结论．本题考查的是含30°的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键．13.【答案】32【解析】解：当x=1时，y==2，则P1（1，2），当x=4时，y==，则P4（4，），所以S1+S2+S3=2-1×=．故答案为．利用反比例函数图象上点的坐标特征确定P1（1，2），P4（4，），再利用平移把阴影部分转化为一个矩形的面积，然后利用两矩形的面积差求解．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．14.【答案】75【解析】解：作CD⊥AB于点D．在直角△ABC中，AB==5，∵S△ABC=AB•CD=BC•AC，∴CD==，∵将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，∴AD=A′D==，∵BD==，∴A′B=A′D-BD=，故答案为：．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，三角形的面积公式，正确理解AD=A′D是关键．15.【答案】解：原式=2+√3+3√3-√2+√48÷6-√24÷62+2√2-2=2+√3+3√3-√22=4√3+3√2．2【解析】先分母有理化和进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16.【答案】解：去括号得：3x2-4x=3x-4，2去分母得：3x2-8x=6x-8，即3x2-14x+8=0，分解因式得：（x-4）（3x-2）=0，．解得x1=4，x2=23【解析】方程去括号，去分母整理后，利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17.【答案】60 s=20t（0≤t≤3） 2【解析】解：（1）由图象可得，A地与B地之间的距离是60千米，故答案为：60；（2）设甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式为s=kt，60=3k，得k=20，∴甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是s=20t（0≤t≤3），故答案为：s=20t（0≤t≤3）；（3）由图象可得，甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了：3-（2-1）=2（小时），故答案为：2．（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式及定义域；（3）根据函数图象中的数据可以求得甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用的时间．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.【答案】证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE=BE，∠EDB=90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB=∠EBA=15°（等边对等角），∴∠AEC=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF=1BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），2Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），∴AC=1AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），2∴AC=DF（等量代换）．【解析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．19.【答案】解：由题意可设y 1=k （x -1），y 2=k′x ， ∴y =y 1+y 2=k （x -1）+k′x ，把x =2，y =5；x =-2，y =-9代入可得{(2−1)k +k′2=5(−2−1)k +k′−2=−9，解得{k′=6k=2， ∴y 关于x 的函数解析式为y =2（x -1）+6x ．【解析】可设y 1=k （x-1），y 2=，把已知条件代入则可求得y 与x 的函数解析式． 本题主要考查待定系数法求函数解析式，设出函数解析式是解题的关键． 20.【答案】解：（1）∵点A 横坐标为4，把x =4代入y =12x 中得y =2，∴A （4，2），∵点A 是直线y =12x 与双曲线y =k x （k ＞0）的交点，∴k =4×2=8；（2）解法一：如图，∵点C 在双曲线上，当y =8时，x =1，∴点C 的坐标为（1，8）．过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON ．∵S 矩形ONDM =32，S △ONC =4，S △CDA =9，S △OAM =4．∴S △AOC =S 矩形ONDM -S △ONC -S △CDA -S △OAM =32-4-9-4=15；解法二：如图，过点C 、A 分别做x 轴的垂∵点C 在双曲线y =8x 上， 线，垂足为E 、F ，当y =8时，x =1，∴点C 的坐标为（1，8）． ∵点C 、A 都在双曲线y =8x 上，∴S △COE =S △AOF =4， ∴S △COE +S 梯形CEFA =S △COA +S △AOF ． ∵S 梯形CEFA =12×（2+8）×3=15， ∴S △COA =S 梯形CEFA ．∴S △COA =15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，∴OP =OQ ，OA =OB ，∴四边形APBQ 是平行四边形，∴S △POA =S 平行四边形APBQ ×14=14×24=6， 设点P 的横坐标为m （m ＞0且m ≠4），得P （m ，8m ），过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，∵点P 、A 在双曲线上，∴S △POE =S △AOF =4，若0＜m ＜4，如图，∵S △POE +S 梯形PEFA =S △POA +S △AOF ，∴S 梯形PEFA =S △POA =6．∴12（2+8m ）•（4-m ）=6．∴m 1=2，m 2=-8（舍去），∴P （2，4）；若m ＞4，如图，∵S △AOF +S 梯形AFEP =S △AOP +S △POE ，∴S 梯形PEFA =S △POA =6．∴12（2+8m ）•（m -4）=6，解得m 1=8，m 2=-2（舍去），∴P （8，1）．∴点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）．【解析】（1）先根据直线的解析式求出A 点的坐标，然后将A 点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k 的值；（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C 点的坐标，由于△AOC 的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P 点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA 的面积，由于△POA 的面积为6，由此可得出关于P 点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．21.【答案】（1）证明：如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，∴∠FAH=∠FAE=45°，∵AF=AF，AH=AE，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF=FH，∵FH=BH+BF=DE+BF，∴EF=BF+DE．（2）解：∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，∴EF=x+y，FC=6=-x，EC=6-y，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴（x+y）2=（6-x）2+（6-y）2，∴y=36−6x（0≤x≤6）．x+6（3）解：如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．由（1）可知△AFM≌△AFH，∵AB⊥FM，AH⊥EF，∴AB=AH，设AB =BC =CD =AD =x ，∵∠ABF =∠AHF =90°，∵AF =AF ．AB =AH ，∴Rt △AFB ≌Rt △AFH （HL ），∴BF =FH =2，同理可证：DE =EH =1，∴CF =x -2，EC =x -1，在Rt △ECF 中，∵EF 2=CF 2+EC 2，∴32=（x -2）2+（x -1）2，∴x =3+√172或3−√172（舍弃）， ∴S △AEF =12•EF •AH =12×3×3+√172=9+3√174． 【解析】（1）如图1中，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ．只要证明△AFH ≌△AFE （SAS ）即可解决问题；（2）利用（1）中结论，在Rt △ECF 中，根据EF 2=CF 2+EC 2，构建关系式即可； （3）如图2中，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABM ．首先证明AH=AB ，设AB=x ，在Rt △EFC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。