传染病模型

3.3.2 实际感染人数与按两个模型 计算的感染人数的比较图
3.3.3、性能分析
• 从上述图和表中，可以得出如下结果和结 论： • 1、在传染病传播的初期(t=0到t=7)，采用 两个模型都能得到很好的仿真结果； • 2、在传染病传播的后期(t=8到t=14)，采用 第二个模型仍能得到很好的仿真结果，而 采用第一个模型得到的结果则和真实结果 有较大的偏差；
• 问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正 在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已 经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研 究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人 民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立 适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价 展望。 • 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的 增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。 • 2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数 为 xm 。单位时间内感染人数的增长率是感染人数 的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模 型求t时刻的感染人数。
三、问题分析
• 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其 中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些 初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以 解决。 • 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假 2 设。 • 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续 可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时 间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相 比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分 方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数 是时间的连续可微函数。
• 3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定 时间内一定间隔区间的感染人数数据（见 下表），利用该数据确定上述两个模型中 的相关参数，并将它们的预测值与实际数 据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两 个模型进行适当的评价。（注：该问题中， 设最大可感染人数为2000人）
• 4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易 感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈 而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模 型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染 情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
二、问题重述
D = { ( y , x ) y ≥ 0, x ≥ 0, y + x ≤ 1}
1
消去dt 消去
在D内作相轨线 x ( y ) 内作相轨线 的图形，的图形，进行分析
0
D
y
1
相轨线
• 定义 • 对于二维情形，若微分方程 • dx/dt = P (t,x,y) • dy/dt = Q(t,x,y) • 满足初始条件 x(t0) = x0, y(t0) = y0 的解为 • x = x(t) • y = y(t) • 则该组解在 xOy 平面上（相平面）所描绘的 曲线就是相轨线。 • 通俗解释 • 若有两个函数变量x(t)和y(t)，绘出的y(x)曲线 就是相轨线
• B、模型构成 • 设t时刻的患病者和易感者人数分别 为 x (t ) 和 y(t) ，初始时刻(t=0)的患病者和易 感者人数分别为 x0 和 y0。根据单位时间内患 病率和治愈率的假设，可得到单位时间内传 染病人数的增量为α xy ,治愈人数为 β x 。 因此可建立如下的模型：
dx dt = α xy − β x, α、β > 0 dy = −α xy dt x (0) = x0 , y (0) = y0
• C、模型求解与分析 、 • 这是一个含两个因变量的微分方程组，该 t) 方程组无法求得 x(t )和 y (的解析解。因此， 我们转到相平面上来讨论解的性质。
1 dx dx = α xy − β x, α、β > 0 σ = α / β dy = σ y − 1 dt x dy y = y0 = x 0 = −α xy dt 相轨线 x(0) = x0 , y(0) = y0 1 y x ( y ) = ( y 0 + x 0 ) − y + ln σ y0 x 相轨线 x ( y ) 的定义域
• A、模型假设 、 • 1)、感染人数是时间的连续可微函数； • 2)、感染人数受环境条件的限制，有一个最 大的可感染人数 xm。 • 3)、单位时间内感染人数的增长率和感染人 数有关，是其线性函数，最大感染时对应 增长率为零。
• B、模型构成 、 • 仍然设t时刻的感染人数为 x (t ) ，初始时刻 ( t = 0 )的感染者人数为 x0 ，感染者人数为0 时，感染人数的增长率为 r0 。根据单位时间 内感染人数的增长率和感染人数有关，是其 线性函数的假设，可得增长率关于感染者人 数的线性函数关系式：
1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式， 与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函 数及其导数应用规律。
x(t ) =
xm xm − r0t 1 + − 1 e x0
• D、模型分析 、
• a)、 根据前述微分方程作
出dx/dt~x的曲线图，见图 1-1，这是一条抛物线。由 该图可看出感染人数增长 率随感染人数的变化规律： 增长率随着感染人数的增 加而先增后减，在xm/2时 达到最大。这预示着传染 病高潮的到来，是医疗卫 生部门关注和需要密切注 意的时刻。因为感染人数 增长率在一定程度上代表 了医疗卫生水平，增长率 越小卫生水平越高。所以 改善保健设施、提高卫生 水平可以推迟传染病高潮 的到来。
3.4、问题4的解答——模型三
• A、模型假设 • 1)、总人口可分为传染病患者和易感染者，患病 者和易感人数都是时间的连续可微函数。 • 2)、假设易感染者因与患病者接触而得病，患病 率为α ；而患病者会因治愈而减少，治愈率为 β 。 • 3）、患病者治愈后对该传染病具有免疫功能，不 再成为易感染者。
相轨线 x ( y ) 及其分析
x
y(t)单调减→相轨线的方向 单调减→ 单调减
y = 1/ σ , x = xm t → ∞, x → 0
1 D
y x( y) = ( y0 + x0 ) − y + ln σ y0
P4
1
P2 xm y∞ y ∞ 满 足 y 0 + x 0 − y ∞ + ln =0 y0 σ
r ( x) = r0 − kx
• 进一步，由最大感染时对应的增长率为零 可确定参数k的值为：
r0 k= xm
• 因此，在该模型的假设下，感染人数 x(t ) 应满足如下的微分方程：
x dx = r ( x) x = r0 (1 − ) x, xm dt x(0) = x 0
• C、模型求解 、 • 这是一个非线性微分方程，利用微分方程中的分 离变量法，求得其解为：
微分方程建模 ——传染病模型 传染病模型
传染病模型
目的
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
一、微分方程建模
• 在研究实际问题时，常常会涉及到某些变 量的变化率或导数问题，这样所得到变量 之间的关系式就是微分方程模型。微分方 程模型反映的是变量之间的间接关系，因 此，要得到直接关系，就得求解微分方程。 • 求解微分方程有三种方法：
dx = rx, dt x(0) = x0
• C、模型求解 、
• 这是一个线性常系数微分方程，容易求得其解为：
x (t ) = x0 e ≈ x0 (1 + r )
rt
t
• D、模型分析 、
• 由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时 间的增长按指数规律无限增长。特别地，当时间 趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。这 显然是不符合现实的，说明该模型不可能用于传 染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型 进行必要的修正。
3.3.4、两个模型的评价
• 1、通过上述分析说明，第一个模型用于短 期感染者估计有较好的近似效果，但不能 用于传染病的长期预报；第二个模型较为 符合实际情况。 • 2、同时说明，感染者人数的增长率并不是 一个常数，而受到环境等条件的制约，是 变化的、递减的。
• 3、在模型二中，为了简便，我们给出了较 准确的最大可感染人数估计；实践中，这 个参数是不易准确得到的(可通过数据拟合)， 错误的参数估计会极大地影响该模型的性 能，这也是该模型的一个缺点之一。 • 4、这两个模型都是确定性的连续时间模型； 为了使预报更准确，可以进一步地发展随 机性模型和离散时间模型。
• 将问题所给出表中t=0时刻和t=1时刻的数据 代入所建立的两个模型中，确定模型中的 未知参数r和 r0 ，然后再利用它们得到t=2到 t=14时刻的仿真数据，进一步地可以得到 两个模型的仿真误差百分比。两个模型的 仿真效果和性能可以从下面的表和图中清 晰地看出。
3.3.1 实际感染人数与按两个模型 计算的感染人数的比较表
α(患病率 ↓ ⇒ 卫生水平↑ 患病率)↓ 卫生水平↑ 患病率 β(治愈率)↑ ⇒ 医疗水平↑ 治愈率 ↑ 医疗水平↑ 治愈 • 降低 y0 群体免疫
三、问题求解
• 3.1、问题1的解答 、问题 的解答 的解答——模型一 模型一