传染病模型

传染病模型
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

问题提出
请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？
问题分析：
关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素
摘要：
随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。

但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。

20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。

长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。

不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。

数学建模
模型1
在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，
增加，就有
病人人数的到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)
(
t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ
程有个病人，即得微分方时有再设00x t =
)1()0(,d d 0x x x t
x ==λ
方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ=
结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。

建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。

模型2 SI 模型
假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。

人群分为易感染者（Susceptible ）和已感染者（Infective ）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI 模型），以下简称健康者和病人。

时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。

2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。

当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。

的增加率，即有
病人数就是
个健康者被感染，于是有，所以每天共
为变为病人，因为病人数个健康者
天可使根据假设，每个病人每Ni Nsi t i t Ns t Ni t s λλλ)()()()( )
3(d d Nsi t i N λ=)4(1)()(=+t i t s ，则
病人的比例为再记初始时刻0)0(i t =)5()0(,)1(d d 0i i i i t i =-=λ 方程（5）是Logistic 模型。

它的解为
)6(1111
0t e i λ-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+
所示。

和图的图形如图和21~d d ~)(i t i t t i
：传染病模型
，这个时刻为达最大值到时
可知，第一，当式及图由m t i t i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d d d 2/11)6(),5(
)7(11ln 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i t m λ
这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻
ª
殊莫,1实际情况。

病人，这显然不符合
人终将被传染，全变为即所有
时潮的到来。

第二，当平可以推迟传染病高保健设施、提高卫生水以改善
越小卫生水平越高。

所卫生水平，表示该地区的
成反比，因为日接触率与→∞→i t t m λλλ 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。

模型3 SIS 模型
补充假设
3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率。

模型修正为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=0
)0()1(i i i i i dt di μλ （t 时刻每天有μNi 病人转变成健康者） （9）
（9）的解为
数学建模
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+≠--+-=----μλλμλμλλμλλμλ101)(0)1(])1([)(i t e i t i t （10） 可以由（9）计算出使dt di 达最大的高潮期m t 。

（dt di 最大值m dt di )(在λ
μλ2-=i 时达到）。

记μ
λ=a ，可知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=∞10111)(a a a i (11)
)(t i
i 11= t t
)1(>a )1(≤a
模型解释 可知a （a 刻画出该地区医疗条件的卫生水平）为一个阈值，当0≤a 时，0)(→t i ，当1>a 时，)(t i 增减性取决于0i 的大小，但其极限a
11-，且a 愈大，它也愈大。

模型4 SIR 模型
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。

这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程。

模型假设
1.总人数N 不变。

人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed ）三类，称SIR 模型。

三类人在总数N 中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。

病人的日接触率为λ，日治愈率为μ（与SI 模型相同），传染期接触为 σ=λ/μ。

模型构成
由假设1显然有
s(t)+i(t)+r(t)=1 (12)
：传染病模型
根据条件2方程（8）仍然成立。

对于病愈免疫的移出者而言有
)13(d d Ni t
r N ϖ= 可以写作
模型的方程
式，，则由不妨设移出者的初始值和和病人的比例分别是
再记初始时刻的健康者SIR r i i s s )13(),12(),8()0()0()0(00000=>> )14()0(,d d )0(,d d 00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=s s si t s i i i si t i λμλ
方程（14）无法求出s(t) 和i(t)的解析解，我们先作数值计算。

模型5 SIR 模型
SIR 模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。

人员流动图为：S-I-R 。

大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R 类
假设：
1 总人数为常数，且i （t ）+s （t ）+r （t ）=n ；
2 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k （传染强度）。

3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l 。

称为恢复系数。

可得方程：
0)0(0)0(,d d 0)0(,d d 000>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=>=-=s s r r ksi t s i i li ksi t i 初值
模型分析： 由以上方程组的：s
i d d =p/s-1 p=l/k, 所以i=p lns/0s -s+n.容易看出当t 无限大时 i(t)=0;而当0s ≤p 时，i(t)单调下将趋于零；上批示，i(t)先单调上升的最高峰，然后再单调下降趋于零。

所以这里仍然出现了门槛现象：p 是一个门槛。

从p 的意义可知，应该降低传染率，提高回复率，即提高卫生医疗水平。

令t →∞可得： 0s ―∞s =2*0s (0s ―p)/p
所以：δ<<p s0=p+δ，当时，s ≈2δ，这也就解释了本文开头的问题，即统一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变。

模型的应用与推广：
数学建模
根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。

传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性,疾病的发生及在种群内的传播,发展规律,以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性,定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。

对于2003年发生的SARS疫情,国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势,研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用,为决策部门提供参考.有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR或SEIR模型.评价措施效果或拟合实际流行数据时,往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现.石耀霖[2]建了SARS传播的系统动力学模型,以越南的数据为参考,进行了Monte Carlo实验,初步结果表明,感染率及其随时间的变化是影响SARS传播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型,并对北京的数据进行了较好的拟合.。